卷九十六　格物部二　算学

振兴算学论

此论系友人金匮华世芳先生所撰录登于报以供众览其文曰数为六艺之一权于隶首而详于周官保氏孔门七十子之徒咸通其理秦汉而降代不乏人如洛下张衡刘焯祖之辈各有著述号为专家唐时设明算科其书颁在学宫令博士弟子分年肄习沿及宋元其学大盛自明人崇尚八股始薄九章为小道或鄙夷而不屑或学之而不精唐顾诸人奋其私智纔学中堕我　国家右文稽古振兴算学　　　圣祖仁皇帝聪明天亶几务余闲旁及象数　　御纂数理精蕴五十三卷立纲明体分条致用以点线面体为经以和较顺逆为纬通中西之异同阐天人之微奥大哉　　圣人之制作固当超万古而上一时承学之士若薛仪甫王晓庵梅征君类皆甄明八线洞晓六宗而梅氏著书至七十余种阐明各法意境莹然以故宗其学者益众干嘉以来人才辈出自戴东原表章古籍而算经诸书传自张古愚李尚之罗茗香诸君核算细草而天元四元之术明自明静庵董方项梅侣戴谔士徐钧卿诸家发挥杜术而屡乘屡除之法精自李壬叔读徐李之业而几何曲线重学代数微分积分之学备算学之至今日古义既明新法日出斯诚极古今未有之奇萃中外一家之盛矣然以中国之大人材之众而海内精此学者不过十余家而嘉道时院文达公编辑畴人传为书祗四十六卷罗氏续之得六卷然犹借才于异代借才于异地以中原文献之邦曾不若泰西诸国之盛者何也西国算学列于书院月有考试等其高下而进退之大书院肄业者多至数百人夫聚数百人之心思才力相与计论而研究之其用力少而成功速也明矣中国则不然律令有天文之禁　朝廷无考试之条而钦天监率任世职默守成法习其所当然而不知其所以然功名之士谁肯舍其当务之急而为此不急之务即有一二笃志嗜学之人而或穷乡僻壤既少书籍之考证又无友朋之讲习冥搜暗索劳精疲神焉有不废然中辍者乎同治中大臣有上书请　诏开算学科者格于部议未见施行观礼部原奏云昔康熙年间杨光先与汤若望赌测日影于　午门九卿中无一知其法者由是以推今若开科将不独应试者人数不敷即主试者亦恐骤难其选吁亦可慨矣幸年来当轴诸公有见于西人制器之精无不以算学为本而尤惜从事于此者之少也思有以振兴之由是京师设同文馆闽中沪上两船厂亦开学堂招致生徒讲明算法而学使岁科两试始有录取算学之例可谓求其本矣今两广张制军讲求实用为国储才创建算学馆广致算师诱掖而奖进之语云城中好高髻四方高一尺吾知有志之士必争为有用之学行见家有其书人自为学实事求是精益求精将上以察天星之高远下以辨地域之广轮以制造测量之学西人所矜为独得者更不难发其扃而辟其奥谁得目为小道而忽之哉

推广算学议

礼乐射御书数六艺之中算居其一正字通周髀算经二卷注云数学始包牺氏周公授于商高以九数勾股重差算日月周天行度远近之数算经云黄帝定三数为十算命隶首作数以率其羡要其会隶首因以着九章周礼云保[氏](民)养国子以道乃教之六艺曰九数注数即九章算术也汉平征天下历算小学所在为驾一封又张苍善算故以列侯居相位综理上计唐李淳风明步天历算制浑天仪着法象书七篇又江本撰三位乘除法位算法二卷宋祖之有度景量竿法皆本勾股重差为乘除元博极书凡天文地理历算靡不研究明洪武定科举格中式后十日以骑射书历五术试之郑善夫言汉宋以来皆设算学与儒算同科谓之四门博士古人往籍历历可征算学之行已非一朝一夕即列入考试令典亦早有所由来中朝成宪遵循近时经古中亦许诸生报考然勾股开方弦和测量等术仍不外周髀所遗且命题者非尽精通历算不过抄录前人之说依样葫芦故各处所出算学题苟幕无熟习之人大都不脱范围千篇一律别无翻新花样意见独奇者自利玛窦入中国与徐光启译几何本而后知算学一门厥用甚广一天文也行星之度昼夜之运行风雨阴晴推迁不爽一地舆也经纬之分明道路之远近山川江海高下深阔皆有一定之理一制造也配合勾连大小轻重马力则有多有少运动则有速有迟一军战也鎗炮之准头药弹之增损纬度之平直地势之低昂以上四途仅以旧法应之必至临事茫然格不相入而西学中无不需算欲求事之有济非精于此艺断不为功中兴以后国家风化维新力除积习知西人之学实为富强之原于是竭其才智聪明有心效法十年以前又准臣工之奏特开算学一科将算学生咨送总署覆勘作为算学生员俟乡试之年按册咨取录送顺天乡试每二十名取中一名会试则与诸士子仍归大号既中贡士即为洋务人员如此破格取才朝廷已为郑重然算法包罗甚广罗茗香先生平生习算至不得游息之闲尝谓习算之人须精神充足由童时以至壮岁中无作辍方得旁通曲证参透精微若欲于文章八股余闲兼习其艺以为此乃寻常小学不必甚专此大谬也夫人生记悟之功全在髫龄若使年华已富则心思涣散讵能深入显出体会深微算学变化靡穷纵探讨甚勤尚恐不能精到若偶然涉猎其能造极登乎今天子求才崇尚有用之学张香帅雄才大略又能为国尽心宜算措余资于各省设立公塾招集子弟专教西算西算既习考取之后将进取之生分隶各种学堂或习天文或习地理或习制造开矿各艺不必诵读西文宜由　朝廷明定章程将已有西人各种算书钦定全集其不足者翻译以补之务使简括详明一览便能明晓最妙者各县皆设时务西学书院其中另设算学一斋俾有志者肄业则人才易于培养而算学可推行矣或谓中国之大州县之多若尽聘西师非惟经费太多抑亦有才难之叹然子弟启蒙之始不必良师兹思得简易之法天主耶稣教堂遍于中国皆中国为之保护该教士皆性情肫挚好学多才且立志大公毫无私弊既蒙吾朝恩宠岂无报之心今议各学堂即请若辈以充教师代为化导每县各立学堂各延教士俟子弟学问已进择尤送入省会学堂再求深造此则节糜费而成实效广造就而养真才将来润色升平栋梁大岂非国家之福自强之基哉

学算笔谈序　　　　　

华蘅芳

孟子言仁义礼智有四端吾谓算亦有端算之端何计较之心也儿童分果必争其大农夫行路必趋快捷方式计较之显然者无论矣他若衣服之工补短截长奇袤合度则有面积之意也烹饪之工味咸而和以水味淡而剂以盐则有比例之意焉此皆能算之端具于生初者也是故有是端而不知扩充之则囿于一艺一能之末有是端而知所以扩充之则统乎万事万物之纲故凡天文之高远地域之广轮居家而布帛粟菽在官而兵河盐漕以至儒者读书考证经史商贾持筹权衡子母莫不待治于算此又算之切于日用斯须不可离者也夫以算之切于日用者既如此具于生初者又如彼宜乎夫人而知之夫人而能之矣而世之学者辄诧为绝业而苦其难明者何哉窃尝论之上古之算本简捷而易明也自后世事物日变人心智虑日出于是设题愈难布算愈繁而精其业者各以心得著书又好为隐互杂糅穷极微奥不屑以浅近示人甚或秘匿其根源以炫异变易其名目以托古此今古畴人之积习作者之恒情算学之境因是而益深而学算之人宜其望洋而兴叹也咸同以来风气稍开四方向学者渐众津逮初学之书亦渐出顾或力求简易语焉不详或稗贩成书无足观览或硁硁然随问演草因题立术亦云曲尽能事矣然无论说以疏达之贯澈之学者病其烦读不终篇辄倦而思卧耳余有鉴于此而重惜人人具有扩充之力而未得其用力之途也思有以诱掖而引进之因举学算次第之大旨并胸中所欲言者一一达之笔而着于篇演为算式以习其数设为问答以穷其趣法由浅而入深语虽繁而易晓聊以扩充其能算之端云尔至于辞句之俚俗体例之参差见哂高明所不计也刻既成因书其缘起于简端以质海内游艺之君子

总论算法之理　　　　　

华蘅芳

人之心中若果懵懵然茫无知觉则亦不必谈及算学若其稍有知觉而能思维计较者即已有算学之理与有生以俱来试观孩儿嬉戏见果必争取其大者因其胸中已有一多寡之见存焉也由是知算学之理为人心所自有并非自外而入故取算书中不甚繁重之题以语不习算法之人彼亦能积思而得其所求之数惟迟速难易则与能算者大异焉此因算之未得其法则各数悉从心计而出故必甚难苟知算法则无论设数如何皆可以法驭之而心中可不必思索所以能事逸而功倍也夫一切算法其初皆从算理而出惟既得其法则其理即寓于法之中可以从法以得理亦可舍理以用法苟其法不误则其理亦必不误也

识数之法

物生而后有象象而后有滋滋而后有数则物之有数乃人之强立名目以记物之多寡者也故亦谓之数目

数目之名即一二三四五六七八九十是也然数可多至无穷若每数必立一名则不胜其繁且终不能尽纪其数故又立一简便之法名其自一至九为单位之数满十则为进一位之数仍以自一至九之各字记之而名之为当十之位满百则又进一位亦仍以自一至九之各字记之名之为当百之位由此而百进为千千进为万而十万而百万而千万其位均以下一位之数满十而进为一则任数之如何多皆可以此法记之

所以必以十进制者因人手有十指便于屈指计之也凡常用之数大抵以十进制者为多惟天文家度分秒之数则以六十进制

各位之数既俱可用自一至九之各数记之则其空位当以零字记之或作一圈以代零字亦可

凡学算法必先从识数起故识数为算学中第一步工夫不识数之人不可以学算也惟数目之字并无意义可寻其初必从强记而得所以人自孩提之时父母即教其识数聪明之人有数岁即能识数者愚蠢之人有数十岁仍不识数者识数之法先将自一至十之十个字读至极熟能一气贯注而不凌乱错杂便能将十个物任取几个数之知其为何数再从一十一读至一百则能数一百个钱又知十百为千十千为万等意则其人便可为识数之人

识数之工夫由于习练而成非但口中要熟亦须眼中看惯方能敏捷如将子五枚置于桌上则儿童不能随口即言其数必用手一一数过而后知之此因眼光未习练之故也及已看惯则物之不满十个者平常之人皆能一望而知之惟因眼中亦能识数故数物可不必一个一数而可任几个数之然亦各有数法譬如数钱数则以五个一数而口中呼一五一十十五为最便譬如数鸡卵则手中不能持五个鸡卵祗能两个一数而口中呼一双两双至末则云几双或几双多一个此固寻常习用之法而其中已暗以加法乘法为妙用焉维不经道破则人亦不觉耳

大扺物之能随手运动者数之易其不能随手运动者数之稍难因不能将已数过者另置一边也譬如入山林而数丛树往往数之数次不得分明因其已数过者与未数过者易致看错非有遗漏则有重复故不能得其真实之数然此亦有法焉可将他物于每数过之树次第作志则无志者为未数过之树易于遍数而遍志之以得其的确之数其作志之意犹之另置一边也

作志之法惟手所能及之物或手虽不能及而可用长竿及之者则可若其物非手与竿之所能及则此法不能用譬如欲数清天空之星则其事甚难因不能于星上作志也

人虽不能于星上作志然可于纸上作点以肖其星故可观列宿之形而一一绘之于纸以成星图则数图上之星与数天上之星无以异也所以星亦有数此皆识数以后之巧思也算法亦为各种巧思故遇一难算之题则必有一法以解之及解去此难又有一难于此者在前必又有一法以解之如此由浅入深步步各有难处而步步各有巧法故无论题之如何深奥皆可于纸上写之算之以与人共明之

论加减乘除开方之用　　　　　

华蘅芳

算学中各种题若非用加减乘除开方等法以驭之则不能得其所求之数可见此五者实为算学中各种利器藉以攻坚入深者也有此五者则于寻常浅近之算学中已无不能推算之题

然学算之人每不以加减乘除开方为难而以用此五者为难因题中所言之各数但有其彼此相关之理而未明言其何数为实何数为法何数当加减何数当乘除开方也题之形状万变不穷知其一未必知其二通于此未必通于彼则加减乘除开方虽已习之极熟而不得其用之之道亦几与不习者无异焉

然则如之何而后可惟有将从古迄今所有之各种算学题目由浅及深分门别类一一立术演草或加以图说以明其何以当加减何以当乘除何以当开方则题意明而驭题之法亦明可不致遇题束手矣

吾且掩卷思之古今来所有之算学书流传于世者奚止数百种吾所曾经寓目者亦有数十种此数十种书何种非将算学之题由浅入深分门别类按题立术演草附图以明其加减乘除开方之故者与其抄撮前人之书以侈吾之卷帙曷若请学算之人自观各种算书以明其加减乘除开方之用也哉

果如此说则笔谈之作即可从此而止矣然而仍不能已者何也余于算学中寝馈者已数十年此中之甘苦知之最悉故欲将已历过之境界已见到之地步为学者缕述之以助其观书之功而省其枉费之力俾不致如余之尽从暗中摸索得来则吾愿慰矣

吾于算学生平未尝受业于人即与能算者相友善亦未尝数数问难也惟乐观各种算学之书自十五六岁时偶于故书中检得坊本算法心窃喜之日夕展玩不数月而尽通其义吾父见其癖嗜此学必是性之所近也遂为之购求算学之书爰得周髀九章孙子五曹张邱建夏侯阳辑古海岛益古演测圆海镜俾纵观之除益古海镜二书以外其为常法所能通者以加减乘除开方之法驭之无不迎而解惟于天元之术则格格不相入者几及一年始得涣然冰释后又得秦氏数书九章梅氏历算全书罗氏观我生室季氏遗书董方立遗书衡斋算学焦理堂学算记骆春池游艺录始知算学有古今中西之异同而几何原本当时尚未译全其前六卷世无单行之本惟数理精蕴中有之及购得数理精蕴遂能通几何之学而吾年亦已二十矣是时海内算学名家如项氏梅侣徐氏君青戴氏崿士李氏秋纫其所著各书尚未出因访秋纫于墨海书馆见其方与西士伟烈亚力对译代数学及代微积拾级尚未告竣秋纫谓余曰此为算学中上乘功夫此书一出非特中法几可尽废即西法之古者亦无所用之矣余于是知天元之外更有代数微分积分之术爰从其译稿中录得数条视之迄不得其用意之处又阅数年其译本先后刊竣惠我一编披阅数页外已不知其所语云何也其格格不相入者犹之初读海镜时也诘诸李君则云此中微妙非可以言语形容其法尽在书中吾无所隐也多观之则自解耳是岂旦夕之工所能通晓者哉余信其言反复展玩不辍乃得稍有头绪譬如傍晚之星初见一点旋见数点又见数十点数百点以致灿然布满天空是余之于代数其明也以渐非如天元之术不悟则已一晤则豁然开朗也然后知代数之术其层累曲折多于天元故其致用之处亦比天元更广从此以后无时不究心于代数每觉李氏所译之二种殊非易于入手之书故余又与西士傅兰雅译出代数术微积溯源三角数理代数难题解法流播于世于是今之言算者皆知西法之代数即是中法之四元而其浅深难易则不可同日而语矣

或有问者曰如子之说则必先罗致多书而后可以学算乎抑不必罗致多书而亦可学算乎

答之曰学算不必多书也惟择其要者观之而已其最易入手者为程氏算法统宗屈氏九数通考此二书于加减乘除开方之用言之极详故于初学最相宜且从此又可学得开带纵平方及正立方之法亦可稍知西法中各种名目九章算术为中法最古之书其文义与古书相往来亦学者不可不读之书也能读九章则一切古算书无不能读矣是书锺祥李云门演有细草图说极为详细外间有刻本矣

几何原本为西法中最古之书不言法而言理不言数而言象彻乎立法之源凡九章所不及者无不赅也不读几何则不能明点线面体之理而于加减乘除开方之用终不能了然于心目之间是书第十卷之理甚深非初学所能通晓但观其前六卷可也

几何之界说及各题字字齐力其释题之语无一字不周到无一句无来历学者读惯此书其心思自能缜密则看各种算学之题如禹鼎烛奸可以无遁形矣

论看题之法　　　　　

华蘅芳

初学之人于题中之各句句中之各字往往模糊看过不能字字尽见虽将其题看之多次算之数遍仍有一两个最要紧之字未曾看清非真未见此数字也见之而不知其用意之所在则此数个最要紧之字依然漠不关心亦犹之乎不见而已

题中之字句有极其力者有不甚力者又有可有可无者惟其可有可无及不甚力之字往往皆显露于面前一望即见而其极力之字则藏伏隐匿于各字之间而使人不易见是在乎看题之眼光能识别之其辞气轻重之间最有关系故于虚字尤不可忽略看过也

凡看算学之题务将其每句每字俱看完全不可有一字遗漏亦不可有一字不从心上经过则可知题之所语云何其注意之处何在即能知其某句某字力不力于是题中所暗藏之意思可以尽显而各数相关之故亦确凿可指而不至有游移两可之见夫而后题中之各数能为我所用而我之加减乘除开方等法亦肯为题中各数所用而不至于捍格不相入矣

算学中各种题譬如用线绾成各种花样之结加减乘除开方等法犹之各种器具可用以解结者也惟欲用各器以解其结必先看清结之丝缕方能有下手之处看题之法亦如是而已

既能看清题中之丝缕则可将题中不要紧之闲字闲句逐渐删汰之而变为另自一种说法惟其各数相关之理则不可与原题稍有背谬

假如有题云某日买笔二枝用钱十四文某日买墨一锭用钱十文某日买纸十张用钱二十文问共享钱若干

　题所问者为共享之钱而不计其用去之日故其笔墨纸三物虽非一日所买而其共用去之钱则与一日用去者无异也所以题中之三个某日二字俱与算法不相关可以删去之又因题之所问者为共享之钱非问笔之每枝墨之每锭纸之每张其价若干也所以可改其题云笔十四文墨十文纸二十文共钱若干

　然其所买之物实与所用之钱亦无相关因买笔买墨买纸之钱可作买茶买酒买浆之钱算之其共享之钱无异也即作一次买物二次买物三次买物算之其共享之钱亦无异也所以又可改其题云先用十四文后用十文又用二十文问其用钱若干则夫人而知当以此三数相加而得其共享之钱四十四文矣

惟有一种题其字句一气呵成不能稍为删节则只可看明题意而将题中各数别作一简易之说法

假如九章之题云五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀一燕交而处衡适平并雀燕重一斤问雀燕一枚各重几何

　则此题之意言五雀重于六燕也其五雀六燕之共重为十六两也又言一雀五燕与四雀五燕其重相等也惟因一雀五燕与四雀一燕相并即为五雀六燕所以可将十六两分为两个八两一为一雀五燕之重一为四雀一燕之重则可改其题之说法云一雀五燕共重八两四雀一燕亦共重八两问雀燕一枚各重几何

凡看数题而觉此题与彼题相似者必将其两题看至极其透彻究竟其中或有略异之处否题有面目虽异而算法则同者亦有面目相似而算法不同者

假如有两题其一云原有钱一千文已用去四百文今剩钱若干其二云原有钱一千文今剩去四百文已用去若干

　则此两题之说法虽异而算法则同因用去之钱与今剩之数于原有之中减了今剩即是用去之数也

假如九章之题云今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止问犬不止复行几何步及之

又如代数术中之题云有野兔为猎犬所追兔在犬前五十步犬每行三步兔能行四步而兔之三步等于犬之两步问犬追若干步可得兔　观此知中西皆有犬追兔之题其说法及算法略有不同而所求之数则俱为犬之步数也其第一题不及三十步而止之句其三十是兔之步数若认作犬之步数则误矣

算学之题大抵有比例者居多惟其相比之理每暗藏于所言各事之事其相比之数又颠倒错乱和较杂糅于各数之内观者最易为其混淆

即以四率比例之题而论其一率二率三率有顺列于各句之内者亦有不依次序者试列六题如左

其一题云原有钱二十千文买得米十石今有钱五十千文问可买若干石

其二题云先将米十石售得钱二十千文今又欲得钱五十千文问须售去米若干石

其三题云今有钱五十千文欲以买米先用钱二十千文买得米十石问其钱可共买米若干石

其四题云今有钱五十千文欲以买米已知每米十石其价为二十千文问可买米若干石

其五题云甲有钱二十千文乙有钱五十千文均欲买米甲将其钱买得米十石问乙钱可买米若干石

其六题云甲有米十石乙有钱五十千文甲以其米售得钱二十千文问乙钱可买米若干石

　则以上六题其比例之率均为二十与十之比若五十与二十五之比

总言之算学中所有之各题其平正通达简明直捷者固多而其暗藏机械有意难人者亦复不少看题之人如听断疑狱如搜捕伏匿虽具明察之才精细之心苟非老成谙练洞悉此中故智者不能尽知其情伪也

更有一种难题其设题之时已将题中要紧之义藏匿于人所不易留心之处而将题中不应有之算理显豁呈露以使人易于误认若不迟回审顾而后下手鲜有不受其愚弄者

假如有题云今有布一匹共长二十尺每日剪取一尺用之问几日剪毕

　则骤观此题必答曰二十日殊不知其数已误矣因题之所问者是几日剪毕非问几日用毕也若问几日用毕则每日用一尺其二十之布当为二十日用毕今问几日剪毕则每日剪去一块其长一尺至第十九日已剪去十九块计共已剪去十九尺其所剩之一块适得一尺可为第二十日之用而第二十日取此一块布时不必再动剪刀则是十九日剪毕也

由此可见前题中末句之剪字乃是最力之字断乎不可轻忽者也看题之时若读至末句不能将此剪字看出而以为与几日用毕几日可毕几日而毕几日乃毕无异则安得不误算耶

其所以易误之故因题中所言之各数俱为整齐易算之数其二十尺为一尺之二十倍而一日剪一尺又明明有一比例之理置于面前则观者不及转念已不觉脱口而出曰二十日是驷不及舌矣

假如有题云今有竿高十尺有虫从平地起缘竿而行每日能上二尺而夜间必缩下一尺问此虫几日能到竿顶

　见此题而不细思其故必以为每日上二尺而下一尺则是只上一尺也一日上一尺则十日必上十尺而到竿顶矣所以必答曰十日

　殊不知行至第八日其虫之足已至九尺之处及缩下而在高第八尺处过夜至第九日穷日之力再上行二尺已到竿顶矣题所问者是能到竿顶之日其已到而再缩下则不计矣

前题所以易误之故由于始念之差但知其每日只上一尺而忘其第一日上行之数已到二尺之处若以第一日为能到二尺而每日能上一尺固是九日到顶也

大抵看题之法不过是心思细密又能习练眼光令人不能乘我之懈耳非必每题每术一一能强记之也

论驭题之法　　　　　

华蘅芳

学者既能看明题理即能用加减乘除开方等法以驭其题惟题之形状万变不穷则驭题之法亦当随机应变不能执一以论也

寻常之算学书其每题之下必有答数又必有专算此题之术或更有细草图说附焉则依其术以演其数固是易易惟每题各有一术苦于不能记忆学算之人若非胸有成竹则一掩卷即不能算矣于是有将各术分明别类编成歌诀以便于记诵者殊不知所记者乃是呆法耳题目一变即无所用之矣

既明算理之人于书中所有之各题可不必观其术曰如何自能立术以驭其题其所立之术或与本书之术合或出于本书之外而能殊途同归惟但明几何而未习天元之人其所立之术必枝枝节节而为之不能有一以贯之之理故其用心也苦而用力也劳

不论其题之如何变化而概用一法驭之者惟天元之术能之然天元仍籍几何为用故虽有天元而几何之理要不可以尽废也

算学中有数种常用之法其理皆从几何而出其法必由于学之而后能苟无其法则加减乘除开方无所施其技而天元亦不能用矣兹设数题以明其各法之用

一题　有大小两数之和及大小两数之较求其大小两数

　法以和较相加半之得大数以和较相减半之得小数

二题　有四率比例之一二三率求其第四率

　法以二三两率相乘一率除之得第四率

三题　有正方形或方形之纵横两边求其方形之面积

　法以纵横两边相乘得方形面积

四题　有句股形求其面积

　法以句与股相乘半之得句股形面积

五题　有平三角形求其面积

　法以底边与中垂线相乘半之得三角形面积

六题　有平圆之周径求其面积

　法以周径相乘四除之得平圆面积

七题　句股弦面羃相等之理

　凡句之平方与股之平方相并必等于弦之平方

八题　求正立方形及带纵立方形之体积

　法以长与相乘又以高乘之即得立方形体积

九题　求堑堵阳马臑之积

　堑堵之积居立方二分之一　阳马之积居立分三分之一　臑之积居立方六分之一

十题　求高台之积

　法以上长倍之加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之两数相并又以高乘之以六除之得其台积

以上十题仅择算书中最要者略举数端耳读者触类旁通可也

论学算之法　　　　　

华蘅芳

算学中门径甚多歧途百出非备尝此中之艰苦者不能洞悉其曲折所以学算亦不可无法也

学算之人其志向各有不同故其所学之事遂亦从此分焉综而计之大约可分为两类一为阐明数理以成著作一为推演各数施之实用

算学中可施之实用者皆无难为之事如推田亩之积步仓之积斛商功之积尺测量高深广远推步日月五星皆已有成法在前依其法而演之祗须知加减乘除及比例之法已绰乎有余其须用开方者固不多见也

即进而论造表之法如八线与弧背互相求真数与对数互相求或从纵横两线求各曲线之长及其所函之面积皮积体积若既有其本题之级数式依其式而演之亦不过用加减乘除开方而已并无难为之事也

所以学算者之志向若只求见用于当世为衣食名利之计则祗须熟习整数分数小数之三种加减乘除开方再从各书中摘录测量推步各种成法藏之箧中便已无所不能算矣天元代数之术皆可不必究心也

若非急于求用而务欲阐明数理则其所学之事非株守成法者所可比因数学中深奥之理无穷则其明理之法亦非一端所能尽故必兼综各法乃于理无障之处也

一切算法皆从条之理而生故算学中浅近之理皆可以几何之法明之惟笃信几何之人每自恃其点线面体之学而不信天元且不肯再习天元此乃为几何所囿而不得自脱者也

用几何之法以明算理每题必作一图每图必系以说有图无说有说无图皆不足以发明题义然至立方以上其条之理已不能绘图则几何之术穷矣天元之术不必处处言条而一切条之理无不包括于其中此益古演之所由名也至如积相消而条之理终不肯紊乱所以无论若干乘方亦无论如何带纵不必分别其形象而概以一例推之

惟演元之书其所设之各题大抵务为深奥而不适于用习天元者不能不习其题则从此又生魔障矣此非为天元所误乃为天元书中之题所误也

即如句股弦可以彼此相求又能以和较之互相求又能以和较之和较互相求亦可谓极其变化之妙矣犹不肯已则以同式之各句股又成和较而一一识别其彼此相关之理标名立目条分缕析以解之创之者自诩神奇传之者共推绝学师以此授其弟官以此课其士萃古今能算之才使之困顿老死于句股之中而不自知悔悟者李栾城之力也

几何之学从条以明题理故条明而题理亦明天元之学从题理以明条故题理明而条亦明惟几何之条必藉夫图天元之条则无藉乎图也所以天元所明之理能比几何更深

然天元但能将未知之数明其条而其已知之数则浑和于太极之中不能一望而知其条如何惟代数之术则无论已知之数未知之数其条之理莫不一二分明故代数所明之理又能广于天元

学者既明代数之术则于数理之奥赜者固无不能明矣然犹有言之或甚繁求之或甚难而不得简易之法以赅之者何哉因代数但能推一切常数而不能推其变数也惟微分积分之术则能推一切变数故有微分积分之术而代数之用愈广矣

或有问者曰如子之说天元胜于几何代数胜于天元微分积分又胜于代数则学者何不径习微积而必从几何元代以及微积耶

答之曰不习几何则于如积之理不能尽明故不可径习天元不习天元则于正负开方之理不能尽明虽从代数得其相等之式亦不易求其同数微分积分其算式仍籍代数为用不习代数乌能径习微积所以几何元代微积其学必循序而及不可躐等而进也

或又问曰微积之必由代数而出固无疑矣若谓习代数者必先知天元习天元者必先明几何此乃欺人之论也夫天元中法也几何代数皆西法也中西各创其法曾未彼此相谋则创天元者固不知有几何也创代数者亦不知有天元也不知者尚且能创而谓反不能学者天下有是理乎

答之曰余之所谓循序而及者言如此学之则易于入耳非谓舍此即不能学也创天元者固未见几何之书而天元之理则无非几何之理也创代数者虽未见天元之书而代数之理则犹之天元之理也然则几何元代其明理之法虽异而其所明之理则同惟几何为初学所最易明故必从几何入手天元之书难于几何而易于代数以其有数可核也代数之法繁于天元而其用则广于天元故既明天元方可学代数

又有问者曰演数与明理既分为两途则演数者固不必明理矣惟不知明理者亦能演数否且不知明理者所演之数有异于不明理者所演之数否

答之曰明理之人惟不喜演数耳非不能演数也使强明理之人为演数之事其演得之数亦无异于演数者所演之数也惟专门演数之人因已演之甚熟故速而且准为明理者所不能及耳

或又问曰算法之事所用者数也明其理而不善演其数则是能说而不能行矣又曷取乎明理为哉

答之曰演数者祗能用法而明理者则能创法凡演数者所用之法皆明理者之所创也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如创业演数之人譬如守成其劳逸难易有不可同日而语者明理之人非但能创前所未有之法又能以因为创而将从前已有之法改之使更便于用故有至难之法一变而为至易者亦有至繁之法一变而为至简者即如圆径求周古时用割圆之法开方数十次仅能得数位密率今用屡乘屡除可任求若干位密率而不必开方又如求八线之法古时用六宗三要二简法而不能任求某角之线今则弧背与八线能彼此相求又如真数求对数古时用中比例之法以代开数十百次之方今用级数可以任求而不必用中比例其简易不知几何倍矣

或又问曰明理始能创法是创法之人无有不明其理者也吾见近时算学之书每有但言其所立之各术而于立术之理则不赘一辞岂其理祗能自明而不能与人共明欤抑秘其立术之理而惟恐人之得明欤

答之曰子所言之书其创法之时用天元之术以演各尖堆之积枝枝节节而为之此中曲折之故祗为创法者所自明若欲与人共明其理则取径纡布算繁重演之非易言之甚难不能如微分积分之直捷简明也卷帙既多则刊校均非易事故先刊各术而其释术之书将俟续出后因已见微积之术觉己法不足以传示后世遂焚弃其稿未可知也或身遭兵燹就义成仁而遗稿飘零散失亦未可知也

或又问曰有数种算学之书其所立之术虽未尝自匿其理而观其释术之语终不能明白晓畅其故何也

答之曰立术之理若非从大公至正之轨悟入每觉可以意会而不可以言传故自明其理则易欲使他人共明其理则难其人虽有深致远之心思而笔墨所达未能曲尽其妙则他人观之仍不能明此亦由于观是书者功夫尚浅未能领略其语耳

或又问曰今之算术密矣巧矣简而易矣蔑以加矣吾恐从此以后即有钻研数数之人亦未必能再创新术矣

答之曰他事皆有止境而算学无止境也古人创术之时何尝不自以为巧密逮有功密于古术者则以古术为拙矣后之视今亦犹今之视昔安知此后更无再巧再密之术而视今之巧密者为拙耶

论比例之用　　　　　

华蘅芳

中法之异乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真为四率比例之题方田差分商功均输虽非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少广盈朒方程句股每章各有专术不必强以比例明之罗茗香作比例汇通将一切算法皆归比例识者讥之

题中所藏之比例其理未必尽显是在乎学者探索题意而得其相比之理则能将题中各数用加减乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用数次比例者所以比例之名甚多有正比例转比例合率比例按分递折比例递加递减比例超位加减比例和较比例等名名目愈多头绪愈乱余以为比例只有一法乃二三两率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此诸率之法随题异形稍有分别耳

新译几何原本序代曾文正公　　　　　

张文虎

几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰间海李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书子曰此算学家不可少之书今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻木纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相迭而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于籍者欤

象数一原序一　　　　　

项名达

方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵先生捷法解释焉而未抉其原当自为一书非正释也自董氏术出而方圜率相通之理始显术凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢审定乘除法以明率数倍分率圜所以通方也析分率分所以通圜也其释倍分率以方锥堆而方锥堆实出于三角堆弦之二率即两堆根相并数四率即两立积相并数矢之三率即两平积相并数五率即两三乘积相并数四五率以下多乘积以还莫不如是故递次乘除皆求堆积法也而即以之求弦矢弦之分有奇无偶矢之分奇偶俱全至析分率则三角堆无其数即假倍分之率较量而反释之可为独具只眼矣所疑者堆积既与率数合何以有倍分无析分倍分中弦率又何以有奇分无偶分且弦矢联于圜中于三角堆何与蓄是疑有年丁酉归自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆数起于一递加一得堆根递加根得平积递加平积得立积递加数也弦矢率由圜中两等边三角挨次比例而生亦起于半径之一半径即一率递加一率得二率递加二率得三率递加三率得四率亦递加数也数有整必有零起整分者曰整数递加祗一式即三角堆相连两根积相并与倍分矢率倍分中奇分弦率等数起零分者曰零数递加有无量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率实参列其间不惟若是倍分者一分弧之几常以一为分母析分者几分弧之一常以一为分子今得零分则分子母不必定一任设几分弧之几无不可求因立此弧求他弧两术以补所未备又不惟若是分子母既可任设则六十度通弦倍矢与与半径等诸率齐同取为分母任设某度为分子并诸率本数可省去不求但求递加差数即得逐度分秒之正弦正矢因更立半径求弦矢两术以备制表之用似便于用弧约言之弦矢诸率其比例生于两等边三角其数本于递加两等边三角尖象也递加数尖数也通方圜必以尖故自来割圜术不离勾股而得其象未得其数取数不无繁重自有零整分递加而后象与数会分于是定率亦于是通分即递加数之根率即递加数之积分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶应乎内方就圜也割圜术至此始无余蕴爰乘数月暇着为图说二卷友人王子琴逸嗜算术遍涉中西见是术爱之欲与杜董术合刊为一册嘱余序其大意余因详术所由不嫌辞费者亦以此通贯方圜之率非董氏理无自彰非杜氏法无自立非句股割圜等法以为导亦无自察象稽数以底于至精然则古人创始之难其可忽哉

象数一原序二　　　　　

项名达

向玩弦矢诸率会得递加数复析圜得两等边三角其象适与数会因草成图解一册聊自达意而脱甚多丙午冬谢去紫阳讲席笔墨就闲渐编定整分半分起度两种弦矢率而梁楚香中丞复以紫阳大小课艺嘱选辞不获遂又见阻杨缃芸农都在京见旧刻割圜捷术序中言及图解亟思一见丁未冬来杭见访因示以所编缃芸谓书未半而君年垂迈是书断不可不成且不可缓成克期以一载临别尚谆切致嘱余感其意为之定书名曰象数一原卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦矢率论卷五曰诸术通诠卷六曰诸术明变随将卷三编定选课毕复阻于病今夏始将卷四着有六纸不料病躯重感湿热兼肝乘脾几不可救医治两月无起色乃又重感燥火致脏腑无不病者遍体血脉不行医尽束手自知残灯微焰断难久延而是书从此搁笔矣缺而不完世间事大都如是何必恋恋所歉者负缃芸谆嘱之心耳然书虽未完而零分各腰率零分递加数卷三中已衍成其式惟义赜绪繁拟分条详论于卷四业论至易率法之相当率寄分毕则论用率寄分论定率寄分皆宜分别奇偶论之而易率法毕次论衍递加数法亦论寄分论子母论正负论奇行偶行积子母互异论直行并行积子母互异而递加数毕次论递加数即各形腰率而正负不同论心角形腰与腰较率正负相反论并积即弦矢率易正负有定法论矢率弦率子母全半之不同而弦矢率毕末乃依半分起度式分六术以明其算特彼论全半此论子母异同处略一分别可也至卷五卷六皆有旧稿且经编定只须照式录之今将各卷总为一束设有本鄙意而续成者惟条论稍难六术则易于从事无续成者卷四作未完之书亦无不可

对数简法跋　　　　　

项名达

求对数旧法言之綦详而数重绪多初学恒未易了鄂士先生揭其精要而变通之着为对数简法首论开方自浅入深而约以七术继复立累除法省数十次开方用表已备极能事尤妙者舍开而求假设数夫对数折半真数开方开至单一下空多位之零数于是真数对数遂得其会通此开方所由重也顾必累开不已始得会通何如径就会通处假一数以通之迨展转相通而七十二对数之等差已备具于假设诸数中一比例而定准之数出矣以是知数之为用带零求整难设整御零易凭所知课所求顺推而入难借所求通所知逆转而出易苟悟此可以得用数之方岂惟是对数一门有裨后学耶

对数简法识　　　　　

戴煦

对数以加减代乘除用之甚便而求之甚难旧法求诸对数皆先求自一至九递至单一下九空位零一至九之九十九数而求之之法大略有三先定十百千万之对数而其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方得中率之真数以首率末率两假数相加折半得中率之假数渐求渐近以至适合如旧法求九之假数用中比例求至二十六次而得八位之对数此一法也凡假数之首位因真数之位数而递加以真数递次自乘至多位而其位数即假数首位以前之数然后以自乘第几率除之即得真数第一率之假数如旧法求二之对数自乘至一千三百余亿率除自乘之位数四百十余亿位而得十二位之假数又一法也既定十之对数为一乃以真数十开方五十四次三十三位以假数折半五十四次为逐次假数列为开方表乃以第五十四次真假两数比例得单一下十五空位零一之假数为率于是以应求对数之真数开方四五十次求得十五空位与为比例然后以开方第几次之率数乘之而得二十二位之假数或真数开方二十余次求得九空位与表内九空位开方数为比例亦以率数乘之而得十三四位之假数如旧法求二与六之对数又一法也顾此数法布算极繁甚至经旬累月而不能竟求一数故言算者鲜不望之而生畏夫立泣太繁则较算不易深虑寖久而失其真也因复详加探索始悟求十一二位之对数开方表祗须二十一次一十四位已属敷用而既有开方表则求诸对数可不必更开方较之旧法省算数倍且不特此也凡诸对数皆定于十之对数而实生于单一下五六空位零一之对数今欲以十之对数求单一下五六空位零一之对数势不得不屡次开方若借一算为单一下五六空位零一之对数转求十之借数即可得其比例之率知累除之法可代开方而用二十一次之开方表犹属舍易求难然是术也立法殊简用意非深西士若往讷白尔之徒既能立对数虑无有不知此者意者彼时欧逻巴人故匿其易而术其难以夸中土欤兹为揭出俾求对数者有取焉

续对数简法　　　　　

戴煦

　前岁之秋予以对数简法呈梅侣项先生翼日谓予曰递求数可开平方亦可开诸乘方会得二术属稿未定予归而思之亦得二术以呈先生而先生亦以定稿见示其逐数皆正一术与予正负相间者不同其第一数正而以下皆负一术则若合符节焉于是开诸乘方遂有三术予思既有三术必更有一术因补衍之将呈先生而先生适以补衍一术见示又若合符节焉惟先生以乘数加一为廉率谓诸乘方第一廉与末一廉之数也而予以连比例率推之复一一合因以其法用代累乘求积亦无不可通乃知廉率本生于连比例率也夫对数开平方多次以开方旧法至十二乘已属繁重断难开至亿兆乘故以平方代开耳今开诸乘方既通为一法可不必代开由是因繁得简复推得开极多位九乘方之法而对数之简法出矣前术用假设对数乃立天元一术即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法为母今须累除数百次则寄母极繁不可算不得不径用除法则数百次之畸零累积其差甚大故难求至多位不如连比例递求数之所差极微也至对数还原即代累乘求积之法而变通之因亦类焉

对数生于连比例率如设一数为本数第一率命为方根则其自乘之积为倍大第二率再自乘之积为倍大第三率三自乘之积为倍大第四率故以本数之对数二乘之即自乘积之对数三乘之即再乘积之对数四乘之即三乘积之对数若反言之则设一数为本数第一率命为方积而其开平方之根为折小第二率开立方之根为折小第三率三乘方之根为折小第四率故以本数之对数二除之即平方根之对数三除之即立方根之对数四除之即三乘方根之对数推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率与连比例率相应而折小各率不相应者谓二率平方积自乘一率方根除之得三率立方积二三率平方立方二积相乘一率方根除之得四率三乘方积推之各率皆然析小各率则不然倍大之率率数也故求对数用乘法折小之率率分也故求对数用除法倍大不仅率数亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不仅率分亦有率数如０五即折小第二率之率数０三三三零即折小第三率之率数其倍大折小同率之率分率数恒两两反对其每率之率分率数恒与第一率之一为三率连比例而必以一为中率故以率分除之或以率数乘之得数必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分为整数即率数为整数零率者如有一数较本数开平方根则不足较本数开立方根则有余其率分必为二而下带畸零小余或较本数自乘积则有余较本数再乘积则不足其率数亦必为二而下带畸零小余而以此种带畸零之率分或率数为首率一为中率求其末率必仍带畸零是此种倍大折小之率分率数皆带畸零而成零率矣若今所用之对数正真数之率数也非率分而其本数为一率为一０故一０之对数为一即一率之一而一００为本数倍大第二率其对数亦为二一０００为本数倍大第三率其对数亦为三若一以上一０以下自二至九则不满一率故对数首位为０而下带畸零一０以上一００以下自十一至九十九则不满二率故对数首位为一而下带畸零此即所谓零率也知对数之为连比例率数而求对数之法可得而言矣

　倍大率　　　　　　　　

率数一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００

　一率

方根

二率

平方积

三率

立方积

四率

三乘方积

五率

四乘方积

六率

五乘方积

七率

六乘方积

八率

七乘方积

九率

八乘方积

十率

九乘方积

率分一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００

　折小率　　　　　　　　

率数一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００

　一率

方积

二率

平方根

三率

立方根

四率

三乘方根

五率

四乘方根

六率

五乘方根

七率

六乘方根

八率

七乘方根

九率

八乘方根

十率

九乘方根

率分一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００

以本数为积求折小各率

第一术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法以初商实减本数其减余数为乘法其所求第几率名为率分乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正　以乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃并诸正数得所求

　按此术项氏所定

第二术

法检本率乘数之开方初商表取其较小于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法以初商实减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃并诸正数并又诸负数减之得所求

　按此术予所定

第三术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以初商实为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第二数负　乘法乘第二数除法除之又以率分减一乘之二因率分除之为第三数负　乘法乘第三数除法除之二因率分减一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分减一乘之四因率分除之为第五数负　如是递求至应求位数乃并诸负数减第一正数得所求

　按前开平方七术即此法

第四术

法检本率乘数之开方初商表取其较大于本数者以其根为第一数正　次以本数为除法初商实内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率分除之为第一数负　乘法乘第二数除法除之又以率分加一乘之二因率分除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之二因率分加一乘之三因率分除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之三因率分加一乘之四因率分除之为第五数正　如是递求至应求位数乃并诸正数又并诸负数减之得所求

　按前二术予所定与项氏所定暗合

以本数为根求倍大各率

第一术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为一数正　次以本数为除法本数内减截去数为乘法其所求第几率名为率数乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之又以率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃并诸正数得所求

第二术

法任截本数几位依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数为除法本数内减截去数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数正　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数正　乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃并诸正数得所求

第三术

法任截本数几位于末位加一依本率乘数累乘之为第一数正　次以截去数加一为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数减一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数减二乘之三除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之率数减三乘之四除之为第五数正　如是递求至率数减尽而止乃并诸正数又并诸负数减之得所求

第四术

法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正　次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负　乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正　乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负　乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正　如是递求至单位下乃并诸正数又并诸负数减之得所求

　按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除

论对数根

对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一０为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一０为积开方五十四次即以一０为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也

今定一０之对数为单一求对数根

法先以一０开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四０三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法　递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六为第一数正　除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０为第二数正　除法除第二数二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二为第三数正　除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五为第四数正　除法除第四数四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三为第五数正　如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正０三五五四六一六三一三为第七数正　二一五九四一０四六为第八数正　一三三二六五三０为第九数正０八三二七一０为第十数正　五二五五七为第十一数正　三三四五为第十二数

正　二一四为第十三数正　一四为第十四数正　一为第十五数正　乃并诸正数得二三０二五八五０九二九九四０四五七七为首率单一为中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即对数根也

用数　　一０七四六０七八二八三二一三一七四九七

除法　　一四四０三四一九二一八八六八六五三九

第一数　　二二二一六九四六九０二四九六三二六六　除法除之一乘二除得

　二　　　　　七七一二三八六四０一０六七八三０　同　　　二　三

　三　　　　　　三五六九七０一六四九二五一二二　同　　　三　四

　四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八０五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　一０三二四０九四四二０八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　二一五九四一０四六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三０　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一０　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　首率　二三０二五八五０九二九九四０四五七七

　　中率　一

　　末率　０四三四二九四四八一九０三二五一八一一

　按此即以一０为本数第一率依第一术求折小第一无量数率也其第一数本为单一凡求极多率者初商恒为单一依对数例以单一下之零数为比例而截去首位故置第一数不用而竟以第二数为第一数也其以三十二乘之者缘用数系本数之折小第三十二率当于求得数后以三十二乘之为所求数而以三十二乘第一数其得数亦同也所异者求法既依第一术则第二数应以一无量数加一乘之二无量数除之而何以用一乘二除不知求极多率者无加一之差也今试以九乘方言之其率分为十其乘法十一与除法二十之比较一与二之比所差尚大若两位九乘方谓九十九乘方其率分为百而一百零一与二百之比较一与二之比所差较微若三位九乘方谓九百九十九乘方其率分为千而一千零一与二千之比较一与二之比其差更微由是推之多位九乘方则其差必极微而可以不计矣苴非特不计已也譬之割圆有大弧弦求析分小弧弦每数乘法有分子之减差析之愈小减差愈微若求弧则有分母无分子并此减差而无之稍有减差则亦稍有觚棱而非真弧矣求对数根亦然必须开无穷无尽极多位九乘方并此加差而无之然后求至数百千位而无不合若稍有加差则必滞于第几率而求至多位反不合矣即如开平方五十四次而所求之对数根不过十五六倍若欲增求一位必须再开[三四]次不能如前法之求几位即得几位者以其滞于一兆八千余亿率也然则一乘二除二乘三除正开无穷无尽极多位九乘方之法无以名之姑名其折小第一无量数率耳

论用数

前言有本数求折小第一无量数率可以径求此立法也而法有所穷必须先求三十二率何也多率之开方初商表其数极繁惟初商单一则任折小至多率而初商实亦必仍为单一幸而求折小多率者其首位必为单一故用第一第二两术其第一数必为单一而初商实犹可知若用第三四术则初商必为二而初商实即极繁而不可求矣然即用第一二术而其中又有窒今试以一０为本数依第一术求之则以一０为除法初商实一减一０得九为乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能递求依第二术则一除九乘位不惟不降而反升尤不能递求是窒也夫求折小多率者其本数必须单一下有空位空位后带零数则减余数小而可求今本数一０既非单一又无零数则必假一单一下有空位带零数之数以求之此用数之所由来也而求用数约有四法以本数先求折小第几率为用数其第一数以折小率若干乘之然后递求此一法也以本数首位降为单位以自二至九自一一至一九诸数累除之为用数求得数后以除法对数加之视降几位再首位加几又一法也以本数先求倍大第几率以首位降为单位为用数求得数后视降几位则首位加几然后以倍大率若干除之又一法也置本数以自二至九累乘之以首位降为单位为用数求得数后视降几位首位加几然后以乘法之对数减之又一法也然第一法取数不易而有畸零惟求对数根不得已而用之第二法亦有畸零第三法虽无畸零而不得必得诸数之倍大率不能辄得首位为一而下有空位也惟第四法既无畸零且可必得故求用数可以倍大率求者则用倍大率其不可用倍大率者则用借数累乘法为便也

假如以倍大率求二之用数

法以二自乘九次得一千零二十四为二之倍大第十率降三位得一０二四为二之用数

假如以累乘法求七之用数

法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八为七之用数

假如兼用倍大率及累乘法求三之用数

法以三自乘再乘得二十七为三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八为三之用数

论借数

借数者自二至九共八数借为累乘之数也凡诸数择八数内之数乘之皆可得首位为一而下有空位故借数不必广求即八数而已足但由用数求得之对数必以乘法之对数加之则必先求借数之对数而借数虽有八数实止三数何也二五四八本通为一数三六九亦通为一数惟七则自为一数故有三数之对数而八数之对数已备有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣

假如有对数根求二与四与五与八之对数

法依前求得二之用数一０二四减去单一得００二四为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在单位下则乘得数小于原数为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得三六０二二一二一五０七为第四数负　如是递求得六九一六二四七三三为第五数正０一三八三二四九五为第六数负　二八四五五四为第七数正　五九七六为第八数负　一二七为第九数正　三为第十数负　乃并诸正数得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并诸负数得００００一二五一一二八四六七四八一一八以负减正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九为一千零二十四之对数以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小余四九为二之对数也

求四之对数者以四即二之倍大第二率乃以二之对数二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三０００

求五之对数者００００相乘即十乃以十之对数单一内减二之对数得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之对数

求八之对数者以八即二之倍大第三率乃以二之对数三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之对数

用数　　一０二四

乘法　　００二四

第一数　００一０四二三０六七五六五六七八０四三　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　一二五０七六八一０七八八一三七　同　　　二　三

　三　　　　　　　　二００一二二八九七二六一０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　三六０二二一二一五０七　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三

正数　　　００一０四二五０六九四八六五六００六七

负数　　　００００一二五一一二八四六七四八一一八

减得　　　　００一０二九九九五六六三九八一一九四九

首位加三　　三０一０二九九九五六六三九八一一九四九

十除之　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　二之对数

二乘之　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八　四之对数

以减单一　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一　五之对数

三乘之　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七　八之对数

假如求三与六与九之对数

法依前求得三之用数一０八减去单一得００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三为四数负　如是递求得二八四六一九二三一六六０一为第五数正０一八九七四六一五四四四０为第六数负０一三０一一一六四八七六为第七数正　九一０七八一五四一为第八数负　六四七六六六八七为第九数正　四六六三二０一为第十数负　三三九一四二为第十一数正　二四八七０为第十二数负　一八三七为第十三数正　一三六为第十四数负　一０为第十五数正　一为第十六数负乃　并诸正数得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并诸负数得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以负减正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为用数之对数以用数系降二位于乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二为一百零八之对数以系借四乘再减四之对数得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四为二十七之对数以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之对数也

求六之对数者以二三相乘即六乃以二之对数加三之对数得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之对数

求九之对数者以九系三之倍大第二率乃以三之对数二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之对数

用数　　一０八

乘法　　００八

第一数　００三四七四三五九八五五二二六０一四四九　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　一三八九七四二三四二０九０四０五八　同　　　二　三

　三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六０一　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四０　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　一三０一一一六四八七六　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　九一０七八一五四一　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　六四七六六六八七　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二０一　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七０　同　　　十二十三

　十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四

　十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五

　十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一０　同　　　十五十六

　十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正数　　　　　　　００三四八一七九六四０七０六九七二一五二

负数　　　　　　　０００一三九四二０八五八三七四七五一四０

减得　　　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二

首位加二　　　　　　二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二

内减四之对数　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四

三除之　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之对数

内加二之对数　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０　六之对数

二乘三之对数　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二　九之对数

假如求七之对数

法依前求得七之用数一００八减去单一得０００八为递次乘法乃以乘法乘对数根得０００三四七四三五五八五五二二六０一四五为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一为第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负　如是递求得二八四六一九二三为第五数正　一八九七四六为第六数负　一三０一为第七数正　九为第八数负　乃并诸正数得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一　又并诸负数得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六　为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三０三四六０五三二一０九五０六四八六０为一千零八之对数以系二与八与九迭乘所得乃并二八九之三对数得二一五八三六二四九一０九五二四九六五三八减之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之对数也

用数　　一００八

乘法　　０００八

第一数　０００三四七四三五五八五五二二六０一四五　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　　一三八九七四二三四二０九０四一　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三０一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九

正数　　　０００三四七四四二五九七七六六三九一五一

负数　　　０００００一三八九七八六八一五七四二九一

减得　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０

首位加三　　三００三四六０五三二一０九五０六四八六０

三对数　　二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八

减得　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二　七之对数

　按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一０二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者而此用第二术者对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也

假如有借数求二十三之对数

法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一０三五为二十三之用数减去首位单一得００三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得００一五二００三０六八六六六一三八一三四为第一数正　乘法乘第一数一乘之二除之得二六六０五三七０一六五七四一七第二数负　乘法乘第二数二乘之三除之得六二０六七九一九七０五三四０为第三数正　乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五第四数负　如是递求得四五六一九九二０九八三为第五数正　０一三三０五八一０二九为第六数负　三九九一七四三一为第七数正　一二二二四七一为第八数负　三八０三二为第九数正　一一九八为第十数负　三八为第十一数正　一为第十二数负　乃并诸正数得０一五二０六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得０一四九四０三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九迭乘所得乃以五与九两对数相并得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之对数也

用数　　一０三五

乘法　　００三五

第一数　００一五二００三０六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得

　二　　　　　　二六六００五三七０一六五七四一七　同　　　二　三

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　三　　　　　　　　六二０六七九一九七０五三四０　同　　　三　四

　四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五

　五　　　　　　　　　　　四五六一九九二０九八三　同　　　五　六

　六　　　　　　　　　　　　一三三０五八一０二九　同　　　六　七

　七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八

　八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九

　九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八０三二　同　　　九　十

　十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一

　十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二

　十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

正数　　　　　００一五二０六五一八二二四五七一九九五八

负数　　　　　００００二六六一六八四三一六三五四三八一

减得　　　　　　００一四九四０三四九七九二九三六五五七七

首位加三　　　　三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七

二与九对数共　　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三

减得　　　　　　一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　二十三之对数

　按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也

　附对数还原

论借用本数

对数为真数之率数而恒以一０为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一０不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一０为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一０００００一何以言之用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得０００００一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一为便也惟诸对数系以一０为第一率之率数今用一０００００一为第一率则率数不合矣法先求得一０００００一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一００００００一为本数第一率之率数也

假如以一０００００一为借用本数求其对数为除法

法以对数根降六位得００００００四三四二九四四八一九０三三为第一数正　以第一数降六位一乘之二除之得一二七一四七二为第二数负　以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正　乃以第一第三两数相并内减第二数得０００００００四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也

本数　　一０００００一

乘法　　００００００一

第一数　０００００００四三四二九四四八一九０三三　乘法乘之一乘二除

　二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三

　三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

得数　０００００００四三四二九四四八一九０三四

减得　　０００００００四三四二九四二六四七五六二　一０００００一之对数

论借用率数

前言以一０００００一之对数除所设对数为率数而一０００００一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一０００００九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也

求备减表

自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若００一至一０九则原数即可递求不必再用数至一００一至一００九则递求各数与一０一至一０九相同止须逐数递降一位并减之即得若一０００一至一０００九则再降一位并减之以后各数并同此法

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

二　　　　　　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九

三　　　　　　　　０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一

四　　　　　　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八

五　　　　　　　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一

六　　　　　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０

七　　　　　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二

八　　　　　　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七

九　　　　　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二

一一　　　　　　　００四一三九二六八五一五八二二五０四一七

一二　　　　　　　００七九一八一二四六０四七六二四八二六九

一三　　　　　　　０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六

一四　　　　　　　０一四六一二八０三五六七八二四八０二七一

一五　　　　　　　０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二

一六　　　　　　　０二０四一一九九八二六五五九二四七七九六

一七　　　　　　　０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八

一八　　　　　　　０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一

一九　　　　　　　０二七八七五三六００九五二八二八九六一九

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一０一　　　　　　０００四三二一三七三七八二六四二五六六五

一０二　　　　　　０００八六００一七一七六一九一七五五九八

一０三　　　　　　００一二八三七二二四七０五一七二二０四六

一０四　　　　　　００一七０三三三三九二九八七八０三五四三

一０五　　　　　　００二一一八九二九九０六九九三八０七四四

一０六　　　　　　００二五三０五八六五二六六六八四一二六四

一０七　　　　　　００二九三八三七七七六八五一０九六四０二

一０八　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二

一０九　　　　　　００三七四二六四九七九四０六二三六三三八

一００一　　　　　００００四三四０七七四七九三一八六四０七

一００二　　　　　００００八六七七二一五三一二二六九一二五

一００三　　　　　０００一三００九三三０一０四一八一一四六

一００四　　　　　０００一七三三七一二八０九０００五二九七

一００五　　　　　０００二一六六０六一七五六五０七六七六二

一００六　　　　　０００二五九七九八０七一九九０八六一二二

一００七　　　　　０００三０二九四七０五五三六一八００七０

一００八　　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０

一００九　　　　　０００三八九一一六六二三六九一０五二一六

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一０００一　　　　０００００四三四二七二七六八六二六六九六

一０００二　　　　０００００八六八五０二一一六四八九五七二

一０００三　　　　００００一三０二六八八０五二二七０六０九

一０００四　　　　００００一七三六八三０五八四六四九一八七

一０００五　　　　００００二一七０九二九七二二三０二０八二

一０００六　　　　００００二六０四九八五四七三九０三四六九

一０００七　　　　００００三０三八九九七八四八一二四九一九

一０００八　　　　００００三四七二九六六八五三六三五四０八

一０００九　　　　００００三九０八六九二四九九一０一三一０

一００００一　　　００００００四三四二九二三一０四三０八四

一００００二　　　００００００八六八五八０二七八０六二六三

一００００三　　　０００００一三０二八六三九０二八四八九三

一００００四　　　０００００一七三七一四三一八四九八０九二

一００００五　　　０００００二一七一四一八一二四五一五五一

一００００六　　　０００００二六０五六八八七二一五三九六九

一００００七　　　０００００三０三九九五四九七六一三九八六

一００００八　　　０００００三四七四二一六八八八四０三三三

一００００九　　　０００００三九０八四七四四五八四一六七五

真数　　　　　　　假数　　　　　　　　　　　　　　　　小余

一０００００一　　０００００００四三四二九四二六四七五六二

一０００００二　　０００００００八六八五八八０九五二一八七

一０００００三　　００００００一三０二八八一四九一三八八五

一０００００四　　００００００一七三七一七四四五三二六六四

一０００００五　　００００００二一七一四六六九八０八五三三

一０００００六　　００００００二六０五七五九０七四一五０一

一０００００七　　００００００三０四００五０七三三一五七七

一０００００八　　００００００三四七四三四一九五六八七六七

一０００００九　　００００００三九０八六三二七四八三０八三

假如有００００００００七八三六０一七五九二八七八四求借用率数

法置所设对数去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得００二九三五一五五一九五三八六六四一八又足减一０四之对数减得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足减一００五之对数减得００００一０五七五四一四０　九八六一一三又足减一０００二之对数减得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足减一００００四之对数减得０００００一五三二四九六五九九八四四九又足减一０００００三之对数减得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０为借用率数也

一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　首位减一得

０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　内减二之对数

０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　减得

００六０六九七八四０三五三六一一六八三五　内减一一之对数

００四一二九二六八五一五八二二五０四一七　减得

００一九三０五一五五一九五三八六六四一八　内减一０四之对数

００一七０三三三三九二九八七八０三五四三　减得

０００二二七一八一五八九六六０六二八七五　内减一００五之对数

０００二一六八０六一七五六五０七六七六二　减得

００００一０五七五四一四００九八六一一三　内减一０００二之对数

０００００八六八五０二一一六四八九五七二　减得

０００００一八九０三九二八四四九六五四一　内减一００００四之对数

０００００一七三七一四三一八四九八０九二　减得

００００００一五三二四九六五九九八四四九　内减一０００００三之对数

００００００一三０二八八一四九一三八八五　减得

０００００００二二九六一五一０八四五六四　以借用本数之对数

０００００００四三四二九四二六四七五六二　除之得

０五二八七０八五九０二一二０　　　　　　　借用率数

假如有对数一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真数

法依前求得借用率数０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本数首位单一下加十九空位得一０００００００００００００００００００为第一数正　次以借用本数减去单一得００００００一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七０八五九０二一二０为第二数正　乘法乘第二数又以率数反减一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负　乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正　乃并诸正数得一０００００五二八七０八五九０二一二一内减第三负数得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一０００００三与一００００四与一０００二与一０五与一０四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也

本数　　一０００００一

乘数　　一０００００一

第一数　一０００００００００００００００００００　降六位率数乘之得

　二　　　　　　　　　五二八七０八五九０二一二０　降六位率数减一乘之二除之得

　三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率数减二乘之三除之得

　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

本数　一００００００五二八七０八五九０二一二一

减得　　一００００００五二八七０八四六五六一九二　以一０００００三乘之得

　　一０００００三五二八七一００五一七四四六　以一００００四乘之得

　　一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得

　　一０００二四三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得

　　一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得

　　一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位

　二三

　按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大干单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣

割圜连比例术图解序　　　　　

董佑诚

元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示海张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反复寻绎究其立法之原即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢互求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉

割圜连比例后序　　　　　

董佑诚

割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反复推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜杂而不越师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元鉴菱草形果垛迭藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之

少广缒凿　　　　　

夏鸾翔

开平方捷术一

小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

算例

假如平积一百二十一求方根

小初商□０为一借根　一借根除本积得一□二一为二借根　并一二借根半之得一□一０五为三借根　三借根除本积得一□０九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根

开平方捷术二

大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　并一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

　此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

　算例

　假如平积九十九求方根

　大初商一　为一借根　一借根除本积得□九九为二借根　并一二借根半之得□九五为三借根　三借根除本积得□九九四九七四借根　并三四借根半之得□九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根

开诸乘方捷术一

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷

　算例

　假如平积五十求方根

　以□七一之平积五０四一为外积□七一为外根求得一□四二为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四为二借根　二借积四□九九０五五六减本积余以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五为三借根截去末二位得□七０七一０即方根

开诸乘方捷术二

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止

　算例

　假如平积八八求方根

　以□三之平积□九为外积□三为外根求得□六为递次除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得００三三三三三以减一借根余□二九六六四八一为三借根截去末二位得□二九六六四即方根

开诸乘方捷术三

小初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根　下皆如是求至借根小者渐小与方根密合而止

　算例

　假如平积五十求方根

　以□七之平积四□九为内积□七为内根求得一□四为递次除法　小初商□七为一借根　一借积四□九减本积余以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六为三借根截去末一位得□七０七一０即方根

开诸乘方捷术四

大初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根以下逐数皆一减一加相间下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

　算例

　假如平积八八求方根

　以□二九之平积□八四一为内积□二九为内根求得□五八为除法　大初商□三为一借根　一借积□九内减本积余以除法除之得　□三四四八二七以减根余□九六五五为二借根　二借积□八七九四一九　减本积余以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五为三借根　三借积□八八００一二二二内减本积余以除法除之得　００００二一以减三借根得□二九六六四七为四借根截去末一位得□二九六六四即方根

天元开诸乘方捷术一较数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与元数密合而止

　算例

　假如平方负积十六正方二正隅一求元数

　以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法　小初商□三为一借根　一借积一□五减本积余以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九　为二借根　二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三　为三借根　三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三为四借根截去末三位得□三一二三即元数

天元开诸乘方捷术二和数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积于外根加一之积相减又加一为递次除法　一借积减本积除以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积二九正方四负隅一求小元数

　以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法　小初商　九为一借根　一借积□二七九减本积余以除法除之得００五五以加一借根得　九五五为二借根　二借积０九０七九七五内减本积余以除法除之得□０００三九八七以减二借根余０九五一０一为三借根　三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０为四借根　四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得０００００九二八以减四借根得　九五一一九　为五借根截去末一位得０九五一一九即小元数

天元开诸乘方捷术三益积用此术

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一昔积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数

　以三０之积二四０为外积三０为外根求得三□八为递次除法　大初商三０为一借根　一借积二四　内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根　二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得００九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根　三借积一六□八三四内减本积余以除法除之得０００八九四以减二借根余二□八００一为四借根　四借积一六□八０三内减本积余以除法除之得００００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数

天元开诸乘方捷术四翻积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一　积相减又加一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借根积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积二九正方四负隅一求大元数

　以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法　小初商□三为一借根　一借积□三内减本积余以除法除之得００五以加一借根得□三０五为二借根　二借积□二八九七五减本积余以除法除之得０００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根　三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数

天元开诸乘方捷术五

如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法　乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事

　算例

　假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之

　先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三　又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法　除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数　如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣

　按正诸乘方方可用右术

天元开诸乘方捷术六

方廉隅相并减以除本积得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根　二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止

　算例

　假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二　为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数

　凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣

　若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后

　又算例

　假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数

　方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也

　右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此

天元开诸乘方捷术七

以方为递次除法　除法除本积得一借根　一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同相加异名相减　以除法除之得二借根　二借根诸数加减本积以除法除之得三借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

　右术亦方大者用之为便

　算例

　假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数

　以方除本积得□一九五一二为一借根　一借根乘隅得□三八０七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根乘隅得□三九九０四０加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数

　又算例

　假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数

　以方除本积得三三三三□三为一借根　一借根立积乘隅得三十兆七０三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根　二借根立积乘隅得四十兆一三０三三三０一加本积以方除之得三四七一０为三借根　三借根立积乘隅得四十兆一八一八０五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根　四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三０一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数

　又算例

　假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数

　以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五　为二借根　二借根平积乘廉得一百兆九一四０六二五以减本积一　借根立积乘隅得八十兆三七四０二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根　三借根平积乘廉得一百兆０九０五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二０四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根　四借根平积乘廉得一百兆九七九０九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八０四三九一以加本积减余数以方除之得四四五０□六为五借根　五借根平积乘廉得一百兆九八０七八四　以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五０□三为六借根　六借根平积乘廉得一百兆九八０五一七０以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五０□四为七借根即元数

　右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也

天元开诸乘方捷术八

如前诸术先求得元数数位为一借根　前得元数数位又为外根又求得递次除法　一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根　次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根　三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

　按正诸乘方亦可用右术

　天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也

　算例

　假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八０□三欲增求之

　以六一八０□三为外根如前又求得二二三六０因为递次除法　六一八０□三为一借根　一借积九九九九九一０八０□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六０□六为初变方正一为正隅　置初变积以除法除之得　三九八八七有奇截用四位得□０三九八八为次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八为二借根　次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得　七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八为三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八为三借根　三小根借积一□六七六六０三七六八九六七００００四减次变积余０００二一二０八七０三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅　置三变积以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四为四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四为四借根即元数

　按右例所得十六位数即理分中末之大分数也

截球解义　　　　　

徐有壬

　几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明风用方今用圆其理则无二也述截球解义

设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘羃因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径羃内容一象限为此体之凑心立面各一

图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径

图略于此体横切之去其上截则高为余弦

图略下半截上面截成两象限一大一小

图略

此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径　句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推　其理易见

然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也

又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也

底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等

于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也

小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也

余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累迭积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷　薄切之皆相等之象限面圆球横　切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣

是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圆球两倍圆囷其积必等

夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣是故球之外面皮积与囷之皮积必等是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积

再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥

再依前法将截球壳外圆囷所藏之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半小象限截球止弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣

圆囷既剜去内锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二

求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等

是故截球余弦高乘球之中周大圆即截球之外面皮截积

全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即余弦乘周也上截球之外面皮积即矢乘周也

球径求积术

径自乘再乘半之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数　诸数相并即球积

球径求球壳积术

径自乘三之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并即球外面皮积

截球余弦求截球积术

　识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍　半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍　两积相并为截球积

半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球积

截球矢求截球上积

　识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍　矢乘矢径差为正弦羃求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减

　　余为积

矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球上积

附录椭圜求周术

　椭圜求周无法可驭借乎圜周求之则有三术以为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方

堆垛术曰一为第一数　一乘三乘第一数四除之为第二数　三乘五乘第二数九除之为第三数　五乘七乘第三数十六除之为第四数　七乘九乘第四数二十五除之为第五数　九乘十一乘第五数三十六除之为第六数　依次列之为初表

招差术曰广各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根

招差又术曰以为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径

堆垛又术曰三因借圜径为第一数　四分第一数之一二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一八分去一九分去二为第五数　四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数　递求至若干位相并为椭圜周

　右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下

招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径

　此即戴氏术变通得之余三层皆同前

　若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也

四元解序　　　　　

顾观光

四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则羃与羃乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也翻阅之暇每欲改易算式而其道无由乙巳冬海李君秋纫以所著四元解示余余受而读之见其以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反复辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也

对数探原序　　　　　

顾观光

对数探原者海李君秋纫所著也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为０而百亿之对数亦为０故尖堆下之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为０此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二之积不得不同于三四两之积以三因代再乘则二之积不得不又同于五六七八四之积此尖堆二以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也

数学跋　　　　　

顾观光

江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日历指再意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四０三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫

　岁实消长其故有二一由两心差有大小一由黄赤距有远近吴江王氏青州薛氏并尝言之今薛氏天学会通未见足本晓庵新法又脱去补遗不知其说云何江氏之说得其一而失其一考之未审矣夫黄极环赤极二万五千八百六十八年而一周即岁差也黄道既退行于赤道则岁实必渐消惟是西人旧说皆以岁差为恒星东行遂与最高行两数混淆无从分析中法知岁差为岁不及天矣而又不知最高之有行分宜乎岁实消长历千余年而未有定论也近日西人新测春秋分点每岁西行五十一秒最高每岁东行十一秒八两心差古大今小约百年差二万五千分之一黄赤道古远今近约百年差四十八秒咸丰庚申最卑过冬至十度二十八分五十三秒三０黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八

五星岁轮与伏见轮之不同　　　　　

顾观光

西法步五星土木火用岁轮金水用伏见轮梅勿庵谓五星皆有岁轮而伏见轮即岁轮上星行绕日之圆象婺源江氏从之着金水二星发微绘图立算缕析条分而征之等边等角之两三角形以着其理二家之说可谓详且明矣余尝细译历书而知岁轮与伏见轮之算其不可强同者有四试详言之土木火次引以初实行减太阳实行得之是次引大小一由于太阳之盈缩一由于本天之高卑而金水二星但以初均加减伏见平行不用太阳盈缩差其不同一也土木火以初实行减太阳实行则初均数为加者距日度反差而少初均数为减者距日度反差而多此缘上三星之行迟于太阳故如此立法若金水二星之行速于太阳初均数加则距日度亦加初均数减则距日度亦减而乃反用初均以加减伏见平行与上三星算同而理正相反其不同二也用岁轮则心在本道有升度差用伏见轮则心在黄道无升度差其不同三也土木火以正交行减初实行是用次轮心距正交度金水以正交行减初实行又加伏见实行而初实行而初实行与伏见实行相并之度即平行与伏见平行相并之度是从伏见轮言之为星距正交度从本天言之即本轮心距正交度矣其不同四也因此四事而知岁轮与伏见轮之用离之则双美合之则两伤矣然则梅氏江氏之说非乎曰未可非也所不同之四事历书均已言之曰伏见轮虽以太阳为心实以太阳本轮心为心也曰伏见轮最远点无定分其距平远点之度必与初均等也曰伏见轮最远点距伏见轮正交之度必与伏见轮心距本道正交之度等也之三者非征之实测未易决其是非惟谓伏见轮在黄道无升度差则即以伏见轮之理考之而知其必不可通何也伏见轮之心虽行于黄道而其面与黄道斜交半在南半在北惟正交中交二点与黄道合联此二点过心成一直此必与黄道平行而其距伏见轮远近之度时时不等设正交距最远九十度则伏见轮之上下一南一北成偃卧之势谓其无升度差理固然矣若正交与最远合则伏见轮之左右一南一北成侧立之势与土木火本道之斜交于黄道者其象正同又安得无升度差乎斯时黄道如句视纬如股伏见轮面如弦自黄极出抵黄道及星在伏见轮之右者其度必差而东在伏见轮之左者其度必差而西历书概置不论但以本道即黄道一语了之不思经度与纬度相待而成无升度差安得复有视纬此可以理决之不俟实测而后信也要之伏见轮之法本于岁轮自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回历五星并用太阳平行并无升度差岁轮与伏见轮通为一法西人于土木火三星屡改益精而金水二仍同回历由泥于伏见轮在黄道之说而不复深思改法者已不知伏见轮为岁轮上星行绕日之圆象矣梅氏江氏之说悟绝伦表而出之以告天下后世之读古人书而死于句下者

几何原本六和六较解　　　　　

顾观光

大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　两正方较积四其边二与大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三阔一

大小两分相并得七四六四奇为第一合名第二第三同

相减余五三五奇为第一断第二第三同

设有比例八与大分有等　以乘矩形之长得二十四其边四八九八奇以乘矩形之阔得八其边二八二八奇两数相并得七七六奇为合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形两数相减得二０七奇为断自之得四二八五奇即第一断乘比例之矩形

设有比例六九二八奇与小分有等以乘矩形之长得二十０七八奇其边四五五八奇以乘矩形之阔得六九二八奇其边二六三二奇　两数相并得七一九奇为第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形两数相减得一九二六奇为第一中断自之得三七０九奇即第二断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一其边四五八二奇以乘矩形之阔得七其边二六四五奇　两数相并得七二二七奇为第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　两数相减得一九三七奇为第二中断自之得三七五二奇即第三断乘比例之矩形

大分四一二三奇正方十七０小分三六０五奇正方十三　两正方较积四其边二与大分无等　半小分一八０二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三０六一奇阔一０六一奇　大小两分相并得七七二八奇为第四合名第五第六同

相减余五一八奇为第四断第五第六同

设有比例八二四六奇与大分有等　以乘矩形之长得二十五二四奇其边五０二三奇以乘矩形之阔得八七四九奇其边二九五七奇　两数相并得七九八奇为太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　两数相减得二０六六为少自之得四二六八奇即第四断乘比例之矩形

设有比例七二一奇与小分有等　以乘矩形之长得二十二０七其边四六九七奇以乘矩形之阔得七六五其边二七六五奇两数相并得七四六二奇为比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　两数相减得一九三二奇为合比中方自之得三七三二奇即第五断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一四二七其边二七二三奇　两数相并得七三五一奇为两中面之自之得五四０九奇即第六合名乘比例之矩形　两数相减得一九０五奇为合中中方自之得三六二九奇即第六断乘比例之矩形大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五两正方较积一百其边十与大分有等　大小两分相减余三八二奇为第一断　即以较积方边为比例圆半径以乘第一断得三十八二奇开得断六一八奇即圆内容十边形之一边

大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五两正方较积一百二十五其边十一一八与大分无等　大小两分相减余六九一奇为第四断　有比例二十圆径与大分有等以乘第四断得一百三十八奇开得少十一七五奇即圆内容五边形之一边

大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六两正方较积一百三十三三三其边十一五四奇与大分有等　大小两分相减余四四一奇为第一断　即以较积方边为比例球内容六面体之一边以乘第一断得五十０八九奇开得断七一三奇即球内容十二面体之一边

大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五两正方较积一百其边十与大分无等　大小两分相减余六一八奇为第四断　有比例十七八八奇容二十面体上五边形之圆径与大分有等以乘第四断得一百十０四九奇开得少十０五一奇即球内容二十面体之一边

圆锥三曲记　　　　　

顾观光

凡圆锥体横剖之成平圆斜剖之成椭圆平圆祗有一心其周之距心恒等椭圆则有二心自二心出抵圆周二之和必与长径等也命椭圆之长径为横轴短径为纵轴则任于圆周作纵为股所截长半径之横为句股羃乘长半径羃与句羃乘短半径羃之和恒与两半径羃相乘之数等其过心之倍股即长轴之通径以长径为连比例之首率短径为中率则通径为末率也股羃与所分长径二分相乘之羃若短径羃与长径羃于长径上作平圆则同句之平圆股若长径与短径矣任于圆周出二斜抵横轴之两端为正余二通弦则二通弦对角正切相乘之羃即长径羃约短径羃之数自圆周作二斜与二通弦平行则椭圆切也引横轴与切相交成句股形切为弦纵为股则其句为次切法以横羃与长半径羃相减为实横为法实如法而一即次切也自切点作抵横轴与切成直角是名法法为弦纵为股则其句为次法法以短半径羃乘横为实长半径羃为法实如法而一即次法也椭圆法平分切点距二心之交角故切与距二心之交角亦相等矣二切既与二通弦平行则自二属点过中点之斜径亦与二通弦平行命之曰相切径任于圆周作纵与一半径平行截其又一半径为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二羃和与长短径之二羃和恒相等也径端距二心相乘之羃与半径羃等相属径四端之四切成平行四边形亦与长短二径相乘之羃等若以二径之平圆面积为首末率而求其中率即椭圆面积也

凡圆锥体依一边之势自对边斜剖之至底成单曲形以此形横置之作过心横轴引长至顶点外如顶点距心度乃作垂与轴成直角即准也任于曲上作横直交于准必与距心等任于曲上作纵为股截轴之横为句以句为连比例之首率股为中率则通径为末率通径者过心之倍股也折取其半即心距准之度矣自纵上端作斜为曲之切引横轴与之相交亦与次切成句股形又作法直交于切亦与次法成句股形单曲之次切倍于横而次法恒为通径之半以纵约次法或以次切约纵皆切与轴交角之正切也切点距心交法之角恒等于法交轴之角故法之两端其距心亦相等切点距心交切之角恒等于切交轴之角故切之两端其距心亦相等自心作斜直交于切即切点顶点两距心之中率矣任作通弦与切平行又自切点作横径与轴平行必分通弦为两平分半通弦为纵截横径为横与横轴上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截单曲之面积也

凡圆锥体依立垂之势自一边直剖之至底成双曲形以此相等之二形横置之其二顶点之相距即为横径任于曲上出抵二心二之较必与横径等也自横径之中作直交于横径即为纵径中点距心为弦其距顶为句求得股为半纵径自横径之上下截之复作相等之二曲形为相属双曲引纵横二径为二轴皆过曲之二心以横径为连比例之首率纵径为中率则通径为末率即横轴上过心之倍股也任于曲上作纵为股截横径之引长为句股羃乘半横径羃与句羃乘半纵径羃之较恒与两半径羃相乘之数等股羃与句加横径乘句之羃若纵径羃与横径羃矣自纵上端作切法二亦与次法二成句股形其求切交轴之角与单曲之切平分切点距二心之交角故其法亦平分切点距二心之外角任于曲上出二斜抵横径之两端为正余二通弦二通弦对角正切相乘之羃即横径羃约纵径羃之数自横径之中又作二斜与二通弦平行四端皆抵曲命之曰相属径以此二径引而长之任于曲上作纵与一半径平行截其又一半径之引长为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二羃较与纵横径之二羃较恒相等也相属径四端之四切成平行四边形与纵横二径相乘之羃等纵横径四端之四切成长方形作对角二斜引而长之与四曲渐近而永不相合命之曰渐近以横径约纵径即渐近与横径交角之正切矣任与曲上作纵与一渐近平行截其又一渐近为横纵横二相乘之羃恒为中点距心羃四之一引长纵以四曲为界补成平行四边形恒为纵横二径相乘羃二之一任于曲上作切以二渐近为界必平分于切点上之相属径亦与切相等若以股乘半横径与句乘半纵径二羃之和乘讷氏对数二七一八二八二以减句股相乘之羃即所截双曲之面积也

此三曲皆圆锥之分形其离切之率当以合吻圆度之任于曲上作诸圆形与曲同切于一点则圆周之离切半径小者较速半径大者较迟而诸圆形中必有一圆周与曲吻合无间即合吻圆也命圆半径为曲率半径则各点曲率半径之比同于法立方之比法立方为实半通径之平方为法实如法而一即曲率半径也椭圆二心相距之半之为两心差以长半径约之则为椭率置圆周率三一四一五九二六五以长径乘之为实椭率自之为屡乘数递取其四之一十六之三三十六之十五以减实即椭圆体之曲面积也法乘纵而以通径约之于上法加纵而半之以乘讷氏对数加入上位即单曲之长也以通径约圆周率四因三除以乘法次法两立方之较即单曲体之曲面积也椭圆体积等于外切圆柱三之二单曲体积等于外切圆柱二之一单曲面所容最大长方其横径恒为轴三之二圆锥所容最大单曲面其轴恒为斜距四之三引而伸之触类而长之曲之能事毕矣

静重学记　　　　　

顾观光

重学之本始于权衡权与物均而衡平则左距与右距等若不均而衡平则左距乘左重与右距乘右重等比例之法由此起矣杆之异于衡者不惟其平而惟其定直杆或平或斜并与衡同曲杆则视力与杆之交角其角正得九十度比例同于直杆不正得九十度则左距乘左重与右角正弦若右距乘右重与左角正弦或有曲杆之折角而求左右两角则左距乘左重为实右距乘右重为法实如法而一内减折角余弦折角正弦除之即左角余切也求右角者仿此

二力之引重而行也二相合则用其和二相对则用其较若不相合而未至于相对者以二力补成平行四边形作对角为二力之合率三力以上其理一也

引重之器有七其助力各不同杆之助力为右距与左距之比轮轴之助力为轴径与轮径之比齿轮之助力为小轮齿数与大轮齿数之比单滑车之助力为一与二之比连滑车之助力为一与二依滑车数少一乘方积之比或为一与索数之比或为一与二依动滑车数乘方积少一之比斜面之助力为股与弦之比劈之助力为劈背与劈边之比螺旋之助力为两螺距与柄长为半径所成圆周之比七者或分或复或单皆能以小力运大重其力与重皆若重动速与力动速也

独体合体均有重心自重心作垂必与地平成直角凡三边形各于半边作对角三相交之点为重心其距角与距边若二与一也两两相等四边形于相等边之半作联两相交之点为重心其距两边恒相等四不等边以对角分为两三边形各以法求其重心两重心联为一则大形垂与小形垂若小形之重心距与大形之重心距也凡尖锥体先求底之重心自底心至尖作联其四之一为底心距重心若去其尖则以上下两重心作联全体之重心必在此上矣设诸面体之角各为质点而以联之又或断而不连或动而不定亦必有此重心引重之器以力与重联为一力降则重升而联上必有定点即重心也既有重心可明定理体之定于一点者自悬点作垂必过重心体之定于一面者自重心作垂必与定点相合体之定于一点及一面者自重心作垂为一边自面之定点作直交于面为又一边面之定点距重心为底则两定点相距为三角形之大分边体之定于两点者以此两点引而长之必交于重心所作之垂也体之定于两面者两定点之抵力各与其面成直角引而长之亦必交于重心之垂也凡体已定而微动之或复原处或离其原处则固定与非固定之别也设小半球切于大半球之凸面其重心恒为球半径八之五自切点作与地平成直角重心在此内者为固定在此外者为非固定法以两半径相乘为实两半径相并为法实如法而一为固定率若切于大半球之凹面则两半径相乘为实两半径相减为法实如法而一为固定率屋梁相定之理三梁相合成两等边三角形加重于顶自顶点作垂分为两句股形则句为梁平力之率倍股为梁垂力与加重之率三梁相属以次递降自下梁重心作直引中梁与之相遇复自相遇点至下梁下端作斜则与地平成句股形句为下梁平力之率弦为下梁垂力之率四梁相属长短轻重如一合地平成五不等边形自顶点作垂则与垂成小句股小股对角之正切与大股对角之正切若一与三也

桥环相定之理先令诸劈之大小形状左右俱等自桥顶作垂以诸劈之左右切面引而长之必与垂遇于一点此点即环心也各切面与垂之交角其切较为各劈重率割为各劈抵力率不合此率而又无面阻力桥必圮矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面为抵力引而长之与左右两垂相遇必在劈行之中若出劈外而又无胶固力桥必圮矣桥之下面为圆者自圆心作地平又以圆半径为股桥顶至圆心之垂为弦取其句于垂上自圆心截之复作一地平此自中至边渐与桥之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圆心作一斜乃取交点距桥顶之度于斜上自圆心截之即上曲所到也桥之上下面俱为地平者中间必为垂面各切面与垂之交角其切较为各劈重率即为各劈面积率抵力不出劈外与桥环同

凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面则祗有平面之阻力也任何面体行于平面其重即为抵力两面俱木而纹平行者取抵力二之一两面俱木而纹横直相交或两面俱金者取抵力四之一两面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力为面阻力斜面之阻力则置物于平面而以一边徐徐举起于物欲下未下之时测斜面与地平之交角其全数与角正切若抵力与面阻力也桥环诸劈之重不合于切较则抵力与切面斜交试于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即为斜交之大限切面在此二限之中环亦定矣

有小圆柱旋转于大圆柱中其相切处亦生面阻力两面俱木者取抵力十二之一两面一铜一铁者取抵力七之一各以乘抵力为面阻力轮轴滑车率皆准此

动重学记　　　　　

顾观光

凡动无他力加之则方向必直迟速必平若加以他力而方向异于本动者以二方向补成平行四边形作对角为二速之合率力之加于物而生动也不论正加旁加其动力恒等于抵力故左重与右重若右速与左速二物相引则速之大者必减小者必增各以其重乘所增减之速其数亦相等也

凡球行于平面是平力二球相击其体平而复凸是生凸力球之无凸力者或铅或瓦击时二速消尽二球必止而不行矣凸力有等于平力者谓之全凸力有小于平力者谓之朒凸力呢纱等球凸力为平力九之五象牙球为九之八玻璃球为十六之十五正相击后二球分行于二对面各生新速其击前速与击后速若平力与凸力也设二球皆全凸力正相击后小球之速必减而大球之速必增二重和与二重较为倍大重与减速之率又为倍小重与增速之率各以其重乘速而并之击前与击后亦等二球之凸力等而正相击后小球止而不行其大球与小球必若平力与凸力也若以动球击静球而二体相等又皆为全凸力者其动静必互相易动球小于静球则小者返行而大者前行必小于小者之前速动球大于静球则小者之速必大于大者之前速而大者随行其速小于前速三球在一上以次递小而大中二球之较大于中小二球之较者大球由中球传速于小球必大于直传速于小球若中球为大小球之中率则传速最大矣自击点过二球心作交其合于球行之方向者为正相击不合者为斜相击二球方向一直一横则击后横者斜行以击前二方向引而长之补成平行四边形作对角即斜行之也二求俱斜则击后二方向与击前二方向互为平行自方向之端作直交于交前后各成两句股形其两句必自相等又以击前二方向引之相交则交角之对边即击时之两半径和也

二球相距必有重心至相击时重心即为击点二球相对而行则重心恒不动故左重与右重若右距与左距相随而行而后速大于前速则重心随而前行法以两重各乘速而并之为实并两重为法实如法而一即重心行也设二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交点截之为两腰作联为三角形之底则左速与右速若右分边与左分边乃自分边处至交点作直即重心行也

凡有凸力之球斜击于不动之面则击后必斜行自击点过球心作交又自方向之端作直交于交成前后两句股形凸力全者两句股形相等而方向与交之交角前后亦必相等凸力不全则后角与前角之正切为平力凸力之率后角与前角之正弦为前速后速之率无凸力者击后行于面边其前速与后速若全数与角正弦也

凡动有二一为平速一为渐加速动成长方形速为阔时为长则路为长方积加速动成堑堵形力为高时为长与阔则速为长方积路为堑堵形积物在空中为地力所引而下坠愈下愈速即渐加速也地形椭圆长径过赤道短径过两极径羃与地力为转比例故两极下地力与赤道下地力若百四十五与百四十四两极赤道之间地力适中于一秒中测物之下坠凡十六尺又万分尺之六百九十七倍之为一秒之地力依堑堵形求之速与路俱可得矣声之行为平速一秒中凡千十七尺设投石井中历几秒闻水声则以地力除二开平方为石过井率以声速除一为声过井率并之以比所历之时即井口距水之深也大小二重悬于定滑车者大重必随地力而下二重和与二重较若地力与长加力物自斜面下行两面皆为光面必相切而行非旋转而下斜面之弦为重率股为力率力乘地力即斜面之长加力以堑堵形之比例通之地力乘股以除二弦羃实时羃也二地力以乘股即速羃也故不论弦之长短但股等则速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大则重上行垂面之重小则重下行以垂重乘弦与斜重乘股之较乘地力为实并二重以乘弦为法实如法而一即长加力也设有圆面直交地平自顶点至圆界作诸通弦则物任行于何通弦自顶点至末点时刻俱等大小两圆面之顶合为一点直交地平自顶点至大圆界作诸大通弦中有诸小通弦则物行于两通弦之较自小圆界至大圆界时刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也

抛物空中上行极则弯环而下其两端恒相等是名抛抛与地平之交角适足四十五度者抛界最大其左右皆渐小而两两相等至九十度则无抛界矣若抛物于斜面则视斜面与九十度之交角抛中分此角者抛界最大其左右亦渐小而两两相等至九十度则无抛界矣以抛之切为弦则垂为股地平为句切生于平速之抛力故时速相乘而得弦垂生于渐加速之地力故半地力乘时羃而得股以平三角之比例通之抛交地平之倍角正弦乘速羃为实地力为法实如法而一即平面抛界也抛交地平角与抛交斜面角相并为和相减为较和角较角两正弦之较乘速羃为实较角余弦羃乘地力为法实如法而一即斜面抛界也九十度之抛即为抛高倍之为平面之最大抛界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大抛界故平面之抛界视斜面为大矣自抛高上端作横为规规距抛顶之度与抛顶距心之度等自心作横直交于心距规两端皆抵抛此必倍于心距规即末率也心距规以二抛高为最大故末率以四抛高为最大抛与平之交角自地平上以渐而小至抛顶则与平合而为一无交角矣垂所截之地平为实抛交地平角之余弦羃乘二抛高为法实如法而一以减抛交地平角之正切即交角正切也若以同速抛各物而同在一平面者历若干秒各物所到之点联之成平圆形若不在一平面成立圆形其抛点距圆心之度即若干秒中地力下行所过之路矣

悬物空中左右限以曲令物一往一来则与曲乍合乍离而其行又成曲是名摆倍圆径为摆长又倍之为摆周则圆周为摆之界即横径也于横径之中作垂必抵摆之底点以此垂为圆径作平圆形则任于垂上作横其所截平圆之弧必等于平圆外之横而所截之摆周必倍于平圆内之通弦物自摆下行为地所引其速与垂等以测各处地力之大小至易见也一秒之地力为实圆周率三一四一五九二六五三自之为法实如法而一为秒摆长秒摆者一秒摆动一次也设地力为定数则摆长之平方根与时刻成正比例摆长为定数则地力之平方根与时刻成转比例故以秒摆长除摆长或以地力除原地力平方开之皆为摆动一次之时刻也若以较数求之则摆长者动迟摆短者动速以摆长与秒摆长之较乘一昼夜八万六千四百秒为实倍秒摆长为法实如法而一即一昼夜摆动加减次数地形高下处处不同高则摆动迟下则摆动速一昼夜加减次数为两处高下差之率倍之为两处地力差之率摆之用尽于此矣

有诸质点各以坚联于平面力加一点则诸点随之而动此与独动不同因诸质点各有抵力环轴时必互相感召或生动或阻动也距轴愈远用力愈少力距相乘积等则速亦等自轴心作地平为句自诸点各作垂为股诸点之距轴为弦各以质重乘弦羃而并之即诸点之质阻率力乘距羃为实质阻率为法实如法而一即实生力也诸质点为地力所引亦各有长加力自轴心作直则分诸点为左右两边各以质重乘句视诸点在直之一边者相加在两边者相减用乘地力又以所求点之距轴乘之为实质率为阻法实如法而一即所求点之长加力也诸质相距必有重心其距轴为弦垂为股所截之地平为句合各质重以乘重心之句与质重各乘距轴之句以相并者其数正等引重心距轴而长之即为摆心重心摆心两距轴相乘即环轴半径羃也自重心作直与距轴成直角亦分诸质点为左右两边而诸点之距重心为弦直为股所截之距轴为句各以质重乘句其在重心之两边亦相等也合各质重以乘重心距轴羃又以质重各乘弦羃而并之亦与质阻率等重心距轴与距摆心相乘即环重心之半径羃合各质重乘之与质重各乘弦羃以相并者其数亦等重心为心轴心为界作平圆形任于圆上取一点为悬点摆次并同若以摆心为界其理亦同故悬点与摆心点可互易也

二重一加于轮一加于轴而在轮周者下行在轴周者上行轮轴之长加力各如其半径之比三轮相属或联以索或衔以齿而二重一加于第一轮一加于第三轴轮轴之长加力如三轮半径连乘之比不等二重加于杆之两端者二重之长加力各如距重心之反比矣凡圆体有转动有过面动此二动常相因也以索之一端于圆体一端过定滑车而以重悬之设等质之实圆柱则柱重乘地力以加悬重为实三因悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力悬重乘柱径又乘地力为实三因悬重加柱重以乘柱径羃八之一为法除之即转动之长加力若圆柱空而极薄则柱重乘地力为实倍悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力倍悬重以乘地力为实倍悬重加柱重以乘柱半径为法除之即转动之长加力设索之一端于圆体一端着于定点则过面动之长加力实圆柱为地力三之二空圆柱为二之一球为七之五也圆体由斜面而下两面皆为糙面令圆体不为直动而为转动则不用地力而用直动之长加力其比例并与此不等二重加于静滑车者令大重下行之长加力即令小重上行之长加力若加于二滑车而一静一动者动滑车之长加力为静滑车二之一因速减半故也若加于连滑车而一静数动者第一动滑车之长加力为静滑车二之一第二动滑车为四之一第三动滑车为八之一既得诸器之长加力用和分法推之即可知诸器之动矣

凡二体相切相磨皆能生面阻力而动速渐减使牵力与面阻力等则物之行恒为平速矣车行于石路之牵力小者为物重千分之十六大者为二千分之三十九路极不平处至千分之二十四火石路为千分之六十四铁轨路牵力或为物重二百四十分之一或为三百分之一平石路为七十分之一石子路为十五分之一若车行于斜而其所加之牵力等于股为实弦为法设斜面二丈最高一尺则比平面牵力加物重二十分之一也陆路不论速之大小阻力恒同水路则速羃渐大阻力亦渐大故车或五小时行十里或一小时行十里牵力并同而舟则一小时行十里较五小时行十里者牵力当加二十五倍也惟一小时十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生动之力有六曰定质重曰流质重曰定质凸力曰流质动力曰流质涨力曰人畜能力皆以力乘路为当程功定质重之动力斜面与垂面不同设自行车路高一百尺长四千尺轻车一千斤以重车四千斤下行之力引之上行面阻力为二百分重之一法以重较三千斤乘高一百尺得三十万为当程功以二百除一千得五斤为上行阻力以二百除三千得十五斤为下行阻力并之以乘长四千尺得八万为实程功是当程之功比实程为四倍弱也用于垂面则以重乘路当程之功即为实程之功矣流质重之动力以水言之其当程功与定质同而水中又有横流之水互相推荡不能用以程功故水激上半轮当程功与实程功若五与四水激下半轮当程功与实程功若十与三也捕鸟鼠之巧机能生暂动巧偶钟表之发条能生长动皆凸力也发条动时抵力恒有改变故以绕轴渐卸时所过微路乘各秒中所加抵力之路为所程功风气之力有二风枪用涨力风帆用动力水气亦有涨力与动力其动力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以静体为最大人力二十八斤又五分斤之四马力一百四十四斤行则力必减小行至极速则力不能程功而一小时中极速之限人行六里马行十二里故求人所程功者以一小时里数与六里相减余数自之四因五除为人力求马所程功者以一小时里数与十二里相减余数自之为马力各以里数乘之为所程功也

车以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石类而车体甚坚阻物与轮周仅遇于一点过此点时车必减速加力则速不减矣车过阻物上行时所加之力为重阻力车行忽改方向震动时所加之力为震阻力法以轮半径除阻物高为第一数轮半径羃倍之以除阻物高羃为第二数以此两数之较乘平速羃为震阻力率地力乘阻物高为重阻力率并两率以乘车重即车过阻物之加力也若阻物高小于轮半径则平速羃为震阻力率轮半径乘地力为重阻力率或以薄铁片附于轴下取其凸力令轮心渐离直而不震动阻力可减大半也

以物击物其受击物之抵力由两物相遇而生故铁锤之力大于纱球铁墩所抵之能大于软枕而锤之能力消于墩之抵力其所历之时刻又有不同时刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者时刻亦愈小也钢铁凸力率九百万尺如以铁锤击铁墩则锤高加墩高以乘锤高又以锤下行数乘而倍之为实凸力率为法实如法而一平方开之即锤墩共凸之路锤高乘凸力率又以锤下行数乘而倍之为实锤高加墩高为法实如法而一平方开之即铁墩之抵力也若以锤击钉入木则力为平力而钉能动抵力必小钉长加锤高以乘木径倍凸力率除之即钉入木之路锤高乘平行数木径除之内减钉入木路即锤钉井凹之路也

流质重学记　　　　　

顾观光

物各有质木石之类为定质风水之类为流质而流质又有轻重之分轻如风气重如水液其体皆得热而大得寒而小而水之质独异当寒暑表之四十度为极小之限更寒则反增大至三十二度而成冰矣成冰之时其体增大最速故瓶盆贮水每因冰而迸裂也流质在器为地力所引必皆平于地平地球旋转生离心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面当赤道则曲于球形当二极则平于球形月过处有引力又合地力而生并力必令水面改变即潮汐之理也水之小者同于平面故测两地高卑以水为准若二处流质相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水载大重而上升或不用水而用风气理亦同也定质抵力惟在引力所加之方向流质抵力处处皆同设水在器中于其四周开相等之四xiao穴以短柱塞之令可进退一柱渐进则余柱必渐退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向对边而倾以一边无抵力也流质愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘体积即水抵力之重矣流质抵力必有重心设上下不等正方体水满其中重心必近于大方令大方在下则重心低而抵力大大方在上则重心高而抵力小若有两器同底同高不论方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下设为平行四边形则抵力心之高为三分高之一设为两等边三角形角尖在上则为四分中垂之一角尖在下则为二分中垂之一凡水闸当抵力心处必多加能力以阻水也

定质为流质所载重者必变而轻故竹木入水必升铁入水银亦升因等体积之流质重于定质故也定质重为向下之力流质重为向上之力二力同在一垂相等则物必定由此可得体积相等轻重不等之率如金重三十五分入水中则重三十一分所少四分即等于金体之水重是知水与金之重率为一与八七五矣若不合相定之理则物在水中或升或降令物升降之力即等体积之水重与物重之较也人入水中身重小于等体积之水重又胸中空处能大能小首昂则胸大而两重较更大且以两手入水必不沉也若手出水则身重大于等体积之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之体积愈小而不能复升矣人于桅端下坠入水必深以身重大于等体积之水重也殁则体涨大而复升以身重小于等体积之水重也气球上升亦同此理其上升之力即球重于等体风气重之较矣风气又有冷热之分而热轻于冷又热则体必加大而等体之冷风气愈重二重之较即令热风气上升之力聚火处开烟囟令烟速出于上即此理也烟囟高则热风气向上直升恒高于顶数尺外风不能敌之低则热风气亦低或不能敌外风而回入室中矣

凡空处皆有风气风气涨力四面散行直至遇物拦阻而止设冷热等则涨力大小与空体大小有转比例如有长空圆柱两端一通一塞以通之一端入水则柱中空体为水所逼渐下渐小而令柱下行之力必渐加大此即风气之涨力以涨力与抵力恒相等也水热至寒暑表之二百十二度其涨力与风气等每方一尺抵力二千一百二十斤更热则涨力极大虽至坚之物不能当之矣

地球外之风气层层包裹近地最厚渐高渐薄至一百五十里则无风气矣用玻璃管长三十二寸内径极小不过八分寸之一两端一通一塞满贮水银倒植水银器中则管中水银必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者为风气之所抵而风气厚薄时时不等故升降亦时时不等也海面水银高二十九寸九分二厘二毫在高山则必降风气薄而轻也在深壑则必升风气厚而重也大率高九百尺水银降下一寸是又为测高之简法矣水在器中或倒悬而水不出以口有风气抵力也虹吸内两边倒悬之水俱欲下行在顶点有两分之意而顶点无空势不能分两边一短一长必令短者逆流而上所以无空者风气抵之也若顶点高过三十二尺即有空矣极大虹吸高不得过三十二尺

风气冷热处处不同赤道之下日光正射而热人必多斜射则热少愈斜则愈少故一年热气中率赤道之下寒暑表八十四度两极之下仅得四度然则赤道下之风气较他处热而轻故必上升而其下南北之冷风气入之复受热气上升而其下之冷风气又入之如水之流终古不断遂生上下二潮上自赤道流向两极下自两极流向赤道而名之曰风风气恒随地球而行地球右转之势近赤道者较速近两极者较迟故上潮速恒而下潮迟及其降至地面迟则与地转相逆而北半球为东北风南半球为东南风速则与地转相顺而北半球为西南风南半球为西北风其势正相反也赤道下有飓风亦由于此上下方向相对遂成回旋之风矣摆用流质与定质同其动之比同于长平方根之比水自器中出口其速之比同于口离水面平方根之比设于器旁开二口一离水面一尺一离水面一百尺则一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力为之也口在器底则水向下直行口在器旁则水依抛物行设为径寸平圆之口则近口处径一寸渐远渐小小至八寸之五谓之截面此面距口有一定之度过此则形不变故测流质出口多少不用口面积而用截面积也

舟行水中阻力之比同于速羃之比而阻力又有大小之不同全在水中则大半在水中则小行于阔处则大行于狭处则小若于狭处一小时行十余里舟行愈速出水愈高其阻力必大减矣水行川中上面速于下面中流速于两边因底与两岸有面阻力且多曲处故也曲处凹边之流速于凸边因各点有离心力能令水积于凹边也上下行速不同方向或异甚至有对面者如海口潮来咸水从下入淡水从上出以重者下而轻者上也浪乃略高之水行于水面与水行方向不同如桅上旗因风而生绮浪亦与旗行方向不同故水浮水面浪虽拥击而水不行也浪每因风而生水阔二三百尺深三四尺浪高不过三寸深二三十尺浪高约尺半故可以浪之高低测水之深浅矣潮汐高卑由于日月摄力朔望时用其和两弦时用其较而二摄力之大小时时不等因日月距地时时不等而摄力与距地之立方有转比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高与最卑若两大数和与两小数较即若十与三之比也各地早晚不同当考者有五事一为月过中差潮涨在月过中后若干时刻日日不同大率当以朔望为准二为半月差月过中又因距日而生差当于日月赤道纬度及地心差为中数时测之此差半月而复故名半月差三为潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望后之三潮上潮距月过中之平数即潮距朔望也四为日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高当于各地测之五则日月地心差不同赤道纬度不同潮之高卑时刻亦因之而变测之既久乃知变者皆其常也有诸海港合而复分水道屡变有时成环绕之行水道变则迟速亦变是又当兼测水道矣

天重学记　　　　　

顾观光

日居中而不动地球环之其旋转于本心而一日一周者昼夜之故也其循行于本道而一岁一周者寒暑之故也旋转之势依赤道循行之势依黄道二道交角今为二十三度二十八分交点每岁西行五十秒一故地行黄道一周三百六十五日五小时四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而后复于恒星即岁差也黄道椭圆而日不正当椭圆之中两心差００一六七八三六最高每岁东行十一秒八故地绕太阳一周三百六十五日六小时九分九秒六再加四分三十九秒七而后复于最高半周角度小于积度则实行差而迟最卑半周角度大于积度则实行差而疾故日距地之平方与速率有反比例日距地之面积与时分有正比例也中距日视径三十二分三秒三高则变小卑则变大大小之比同于日距地之反比矣黄道椭圆而地形亦为椭圆长径过赤道短径过两极二径之比若二百九十九与二百九十八地之旋转近赤道则渐疾而下引之力减近两极则渐迟而下引之力增故物在两极较赤道重一百九十四之一各度加重之比同于纬度正弦羃之比也地径与日径比若一与一百十一五地径与黄道径比若一与二万三千九百八十四故日之地平视差为八秒六各度视差之比同于视距天顶正弦之比也赤极环绕黄极二万五千八百六十八年一周为诸星所摄动而黄赤大距古大今小约百年差四十八秒其最大差为一度二十一分赤极又为月所摄动而成小椭圆之行长径十八秒五短径十三秒七四凡十九年一周长径恒向黄极故大距又有微差矣地以二十四小时旋转一周而考之钟表亦有微差一为椭圆迟疾差近最高则行迟而自转有减分近最卑则行疾而自转有加分一为黄赤升度差近二分则黄道一度当赤道不足一度故自转有加分近二至则黄道一度当赤道一度有余故自转有减分合二差以加减平时即真时也光行之速一秒凡五十五万五千里而地行黄道一秒仅五十五里故光速率与地速率若半径与二十秒五之正切是为光行差近地恒有蒙气能令七政升卑为高地平视差三十三分地平以上渐小而其差又随时随地不同此必征诸实测非算术所能御矣

月绕地而又绕日其旋转于本心与环绕乎地球皆二十七日七小时四十三分十一秒五而一周故月向地之面终古不易也月行白道与黄道斜交其角五度八分四十八秒交点退行于黄道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交终也白道椭圆而地不正当椭圆之中两心差最大最小之比若三与二其中数为００五四八四四二最高每日顺行六分四十一秒八故月行迟疾二十七日五五四五而一周即转终也月行于椭圆周每日十三度一七六四亦以面积为平行角度为实行与太阳同中距月视径三十一分七秒大小之比亦为月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九０七五积二十九日十二小时四十四分二秒八七而复合是为一月地径与月径比若一与０二七二九地径与白道径比若一与五十九九六四三五故月之地平视差其中数为五十七分六秒也日月二半径和加月地平视差其最大者一度三十四分二十七秒日月两心距小于此数则地面必有见食之处故日食限之距交为十六度五十八分法自日体之两边各作与月体相切引长之成尖圆其尖或过地或不及地若以两交互切月引长至地界内即生淡影人在淡影中则见食在尖圆中则见食既也月与内虚二心距等于月外虚二半径和即月入外虚之时等于月内虚二半径和即月入内虚之时故月食限之距交为十一度二十一分法自日体之两边各作与地球相切引长之成尖圆即内虚也若以两交互切地引长之过月体即外虚也日光透过蒙气则折而下其交外虚之角即倍地平蒙气差其交内虚之角即倍蒙气差与日视径之较月八外虚为昏黄色入内虚则浅者为蓝绿色深者为红紫色也凡摄力之大小与相距之平方有反比例月距地心约地半径之六十倍故地摄月力为地面摄力三千六百之一日之摄力甚大于地而日地距大于月地距约四百倍故日摄月力仅得地摄月力一百七十九之一也白道长径与地之行每日差五十二分二十七秒二五积二百五日八九四而复合此一合中两心差有增减长径亦有进退而增减进退之差在最高者较大在最卑者较小大小之比若二十八与二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增则长径变长朔望后二象限切力令恒速率减减则长径变短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小两弦前后各三十五度十六分法力向内令曲率略大其最大差为一度四分一月而复名二均差也月受日之摄力朔时距日近而略大望时距日远而略小故日心斜交地月之令月增减于椭圆行其最大差为二分名月角差也地行于椭圆周最高后距日渐近则日摄月力渐大最卑后距日渐远则日摄月力渐小其最大差为十一分一岁而复名年差也二千年间地道两心差恒变而小约百年差二万五千分之一则年差亦微有不同而月之平速恒变而大约百年差十一秒九其一终之时甚久未能征诸实测也二体相距必有重心其距二体心远近之比若二体轻重之比联日地为一直其公重心在日体中联月地为一直其公重心在地球中故月地之公重心绕日地之公重心而自人视之一若月绕地而地又绕日焉然因此而日之经度亦有微差一月而复因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平视差也白极环绕黄极十八年六而一周而赤道既退行于黄道又退行于白道则赤极所行方向恒正交赤白二极距故不成正圆而为次摆其速率亦时大时小二道所生二差之比若二与五矣

五星绕日而行轨道并为椭圆与地球同其两心差各以长半径准之水星０二０五五一四九金星０００六八六０七火星００九三三０七０木星０四八一六二一土星０五六一五０五距日中数以地道半径准之水星０三八七０九八一金星０七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二０二七七六０土星九五三八七八六一地与五星周时平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七００七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一万七百五十九日二一九八一七其交黄道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交点与最高点行皆甚迟故联两交点为一恒平分黄道焉外星之摄动内星也于内道上取距外星等于日距外星之两点内星自等距点至交点者交点退而后自交点至等距点进而前内星之摄动外星也二道相距小于内道距日者于内道上取距日与外星相等之两点其交点之进退与外星摄内星同二道相距大于内道距日者二星在交之两边交点退而后在交之一边交点进而前若二星中有一星正当交点则交点不动矣二道渐相近而摄力又引之近二道渐相远而摄力又推之远则交角变大二道渐相近而摄力反推之远二道渐相远而摄力反引之近则交角变小引之近者交点退推之远者交点进故交角之大小与交点之进退不相应也法力能变曲率向内则曲率增向外则曲率减切力能变速率顺则速率增逆则速率减故法力向内而星近高点则长径退近卑点则长径进自高至卑则两心差增自卑至高则两心差减法力向外者反是切力顺而星近高点则两心差减近卑点则两心差增自高至卑则长径退自卑至高则长径进切力逆者反是是两心差与最高行互为消长而切法二力亦互为消长故五星之椭圆周古今不甚相远也人视五星见其忽顺忽逆忽留若无法者因地不在星道之心而又绕日环行故也若自太阳视之则有迟疾而无留退故求地心经纬度当以日心经纬度为根先用弧三角形直角为一角星道交黄道角为一角最卑交点二经度较为两角所夹之弧求得对直角之弧以加减星距最卑度即星距交度仍以直角为一角星道交黄道角为一角星距交度为两角所夹之弧求得对交角之弧即日心纬度又求对直角之弧以加减交点距春分度即日心经度也次用平三角形直角为一角日心纬度为一角星距日为对直角之边求得纬度角角之对边为星距黄道又求得两角所夹之边为星对边又以星对边为一边地距日为一边星地二日心经度较为两边所夹之角求得对角之边为日对边又求地距日之对角以加二日心经度较再加地之日心经度即星之地心经度又以日对边与星距黄道为夹直角之两边而求星距黄道之对角即地心纬度也土木二星之互相摄动也二星一合为七千二百五十三日四积至三合则土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日数乘之得三十二万二千三百七十三日约八百八十三年然其差因积久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周时变短则一星速率减而周时变长其最大差土星四十九分木星二十一分二星经度之比若二星体积各乘长径平方根之反比也金星之摄动地球也一合为五百八十三日九二积至五合则地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日数乘之得八万七千五百八十八日约二百四十年而一周此一周中地速率减则日地中距变大地速率增则日地中距变小其差甚微然因此而月之速率亦有增减其最大差为二十三秒金星摄力又有直加于月者地转三终则金转五终而多二十七日十三小时七分三十五秒六较月转终少十分五十六秒七约为三千六百二十五分月转终之一凡二百七十三年而一周其最大差为二十七秒四是又在日地二摄力之外矣五星地半径差并小于月测之甚难而联日星与地为三角形则星距日与地距日若星距日度正弦与地道半径差之正弦此差一年而周与光行差相似若以光行星与地道差为夹直角之两边而求地道差之对角即星所在之度也

彗星行法与五纬同而椭圆之长径甚长两心差甚大故或数十年而一见其差甚多不能尽知其根数也因格彗半长径二二一六四两心差０八四七四三六交黄道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半长径三九九四六两心差０六一七二五六交黄道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陆孙彗半长径三一五０二一两心差０七九三六二九交黄道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半长径三五０一八二两心差０七五五四七一交黄道角十二度三十四分十四秒凡六年二０二而一周飞彗半长径三八一一七九两心差０五五五九六二交黄道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周达唳彗半长径六三二０六六两心差０七五六七二交黄道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半长径一七九八七九六两心差０九六七三九一交黄道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一０六而一周又有乾隆三十五年之彗两心差０七八五八交黄道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日０００五五八交黄道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有顺治十八年之彗约一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗约二百九十二年而一周康熙十九年之彗约五百七十五年而一周上考往古有当见而不见者必近日而昼见有虽见而先后一二年则为他星所摄动也乾隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周减百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增减之故未得而详彗之头如星气渐近中心渐厚尾恒背日太虚中之薄气故借日光而明有时隔彗能见恒星知其薄气而非实体矣

代微积拾级序　　　　　

李善兰

几何之学自欧几里得至今专门名家代不乏人粤在古昔希腊最究心此学尔时以圜锥诸曲之理为最精深亚奇默德而后其学日进至法兰西代加德立纵横二轴推曲内诸点距轴远近自有此法而凡曲无不可推故曲之数多至无穷而以直为限一例用曲之法驭之既得诸曲依代数理推之可得诸平面诸曲面诸体其已推定之曲略举其目曰平圜椭圜双物半立方抛物薜荔叶蚌摆余摆和音次摆弦切诸指数对数亚奇默德螺对数螺等角螺交互螺两端悬葛西尼诸椭圜平行动而圜锥诸曲与他曲统归一例无或少异此代数几何学也自有代数几何而微分学之用益大微分学非一时一国一人所作其源流远矣数学有数求数代数无数求数然所推皆常数微分能推一切变数创法者不一家理同而术异求本之者日耳曼人也立界说曰以小至无穷之点积至无穷多推其几何名为推无穷小点法难者曰无穷小之点虽积之至无穷不能成几何解之曰但易无穷小为任何小即有积可推矣故其说虽若难解而其理未始不合也而英国奈端造首末比例法不用无穷小之长数乃用有穷最小长数之比例而推其渐损之限其几何变大则为末限变小则为首限此法便于几何而不便于代数后造流数术弃不用而谓万物皆自变其变皆有速率凡几何俱可用直显之故速率之增损可用直之界显之此说学者皆宗之嘉庆末法兰西特浪勃造限法自云不过用奈端首末比例耳而兰顿别创新法凡微分一凭代数不云任近限而云已得限名曰剩理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略与兰顿同总论之微分不过求变几何最小变率之较耳家数虽多理实一焉奈端来本之同时各精思造法未尝相谋相师也奈端于元上加点以显流数如申为甲之流数是也用以推算觉不便故用来氏之彳号以显之积分者合无数微分之积也亦用来氏之禾号以显之微分积分为中土算书所未有然观当代天算家如董方立氏项梅侣氏徐君青氏戴鄂士氏顾尚之氏暨李君秋纫所著各书其理有甚近微分者因不用代数式故或言之甚繁推之甚难今特偕李君译此书为微分积分入门之助异时中国算学日上未必非此书实基之也

代微积拾级序　　　　　

伟烈亚力

中法之四元即西法之代数也诸元诸乘方诸互乘积四元别以位次代数别以记号法虽殊理无异也我　朝康熙时西国来本之奈端二家又创立微分积分二术其法亦借径于代数其理实发千古未有之奇秘代数以甲乙丙丁诸元代已知数以天地人物诸元代未知数微分积分以甲乙丙丁诸元代常数以天地人物诸元代变数其理之大要凡线面体皆设为由小渐大一剎那中所增之积即微分也其全积即积分也故积分逐层分之为无数微分合无数微分仍为积分其法之大要恒设纵横二以天代横以地代纵以彳天代横之微分以彳地代纵之微分凡代数式皆以法求其微系数系于彳天或彳地之左为一切面体之微分故一切面体之微分与纵横之微分皆有比例而迭求微系数可得面体之级数曲之诸异点是谓微分术既有面体之微分可反求其积分而最神妙者凡同类诸题皆有一公式而每题又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天与彳天之同数或地与彳地之同数以代之乃求其积分即得本题之全积是谓积分术由是一切曲曲所函面曲面曲面所函体昔之所谓无法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真数求对数对数求真数昔之视为至难者今皆至易呜呼算术至此观止矣蔑以加矣罗君密士合众之天算名家也取代数微分积分三术合为一书分款设题较若列眉嘉惠后学之功甚大伟烈君亚力闻而善之亟购求其书请余共事译行中国伟烈君之功岂在罗君下哉是书先代数次微分次积分由易而难若阶级之渐升译既竣即名之曰代微积拾级时几何原本刊行之后一年也

谈天序　　　　　

李善兰

西士言天者曰恒星与日不动地与五星俱绕日而行故一岁者地球绕日一周也一昼夜者地球自转一周也议者曰以天为静以地为动动静倒置违经畔道不可信也西士又曰地与五星及月之道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等议者曰此假象也以本轮均轮推之而合则设其象为大轮均轮以椭圆面积推之而合则设其象为椭圆面积其实不过假以推步非真有此象也窃谓议者未尝精心考察而拘牵经义妄生议论甚无谓也古今谈天者莫善于子舆氏苟求其故之一语西士善求其故者也旧法火木土皆有岁轮而金水二星则有伏见轮同为行星何以行法不同歌白尼求其故则知地球与五星皆绕日火木土之岁轮因地绕日而生金水之伏见轮则其本道也由是五星之行皆归一例然其绕日非平行古人加一本轮推之其推月且加至三轮四轮然犹不能尽合刻白尔求其故则知五星与月之道皆为椭圜其行法面积与时恒有比例也然俱仅知其当然而未知其所以然奈端求其故则以为皆重学之理也凡二球环行空中则必共绕其重心而日之质积甚大五星与地俱甚微其重心与日心甚近故绕重心即绕日也凡物直行空中有他力旁加之则物即绕力之心而行而物直行之迟速与旁力之大小适合平圜率则绕行之道为平圜稍不合则恒为椭圜惟历时等所过面积亦等与平圜同也今地与五星本直行空中日之摄力加之其行与力不能适合平圜故皆行椭圜也由是定论如山不可移矣又证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以煤坑之坠石而地之自转益信证以彗星之轨道双星之相绕多合椭圜而地与五星及日之行椭圜益信余与伟烈君所译谈天一书皆主地动及椭圜立说此二者之故不明则此书不能读故先详论之

谈天序　　　　　

伟烈亚力

天文之学其源远矣太古之世既知稼穑每观天星以定农时而近赤道诸牧国地炎热多夜放羊因以观天间尝上考诸文字之国肇有书契即记及天文如旧约中屡言天星希腊古史亦然而中国尧典亦言中星历家据以定岁差焉其后积测累推至汉太初三统而立七政统母诸数从此代精一代至郭太史授时术法已美备惟测器未精得数不密此其缺陷也中国言天者三家曰浑天曰天曰宣夜然其推历但言数不言象而西国则自古及今恒依象立法昔多禄某谓地居中心外包诸天层层硬壳传其学者又创立本轮均轮诸象法綦繁矣后代测天之器益精得数益密往往与多氏说不合歌白尼乃更创新法谓太阳居中心地与诸行星绕之第谷虽讥其非然恒得确证人多信之至刻白尔推得三例而歌氏之说始为定论然刻氏仅言其当然至奈端更推求其所以然而其说益不可摇矣夫地球大矣统四大洲计之能尽历其面者无几人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者计绕太阳有小行星五十余大行星八其最大者体中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也设以五百地球平列土星之光环能覆之而诸行星又或有月绕之总计诸月共二十余设尽并诸行星及诸月之积不及太阳积五百分之一太阳体中能容太阴六千万倍可谓大之至矣而恒星天视之亦只一点耳设人能飞行空中如最速子亦须四百万年方能至最近之恒星故目能见之恒星最小者可比太阳其大者或且过太阳数十万倍也夫恒星多至不可数计秋冬清朗之夕昂首九霄目能见者约三千设一恒星为一日各有行星绕之其行星当不下十五万恒星又有双星及三合四合诸星则行星之数当更不止于此矣然此仅论目所能见之恒星耳古人论天河皆云是气近代远镜出知为无数远镜界内所已测见之星较普天空目所能见者多二万倍天河一带设皆如远镜所测之一界其数当有二千零十九万一千设一星为一日各有五十行星绕之则行星之数当有十亿零九百五十五万意必俱有动植诸物如我地球伟哉造物其力之神能之巨真不可思议矣而测以更精之远镜知天河亦有尽界非布满虚空也而其界外别有无数星气意天河亦为一星气无数星气实即无数天河我所居之地球在本天河中近故觉其大在别星气外远故觉其小耳星气已测得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星气为未成星之质至罗斯伯之大远镜成始知亦为无数小星聚而成而更别见无数星气则亦但觉如气不能辨为星之聚设异日远镜更精今所见者俱能辨恐更见无数远星气仍不能辨也如是累推不可思议动法亦然月绕行星行星绕太阳近代或言太阳率诸行星更绕他恒星与双星同然则安知诸双星不又同绕一星而所绕之星不又绕别星耶如是累推亦不可思议伟哉造物神妙至此荡荡乎民无能名矣

割圜八缀术序　　　　　

左潜

自泰西杜德美立割圜九术以屡乘屡除通方圜之率我　朝明氏董氏各立一家言以为之说而杜氏之义推阐靡遗顾八互求尚无通术未足以尽一圜之变夫非明董之智力不能因法立法以尽其变也其能穷杜氏之义也资于借根方其不能广杜氏之法也亦限于借根方借根方即天元一之变术而借根方之不能立式究不如天元一之巧变莫测也是书祖杜氏而宗明氏又旁参以董氏之法八相求各立一式因式立法不烦审顾之劳因法入算不费寻求之苦向之不可立算者今皆能驭之以法即有不能立法布算者而其式终存则式能济法之穷而度圜诸一以贯之无遗法矣推其立式之由所谓比例术即明氏定半径为一率所有为二率或三率之法也所谓还原术即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也所谓借径术即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数借百分全弧通弦率数求千分全弧通弦率数诸法也所谓商除法又即还原术之变法也是故缀术之生因于明氏而又足以尽明氏之变明氏之未能立式也借根方法取两等数其分母分子杂糅繁重而不可通也其多号少号辗转互变而不可约也试取明氏书驭之以缀术其递降各率顷刻可求则是书也其真能因法立法而更能树帜于明董之后者与书为徐君青先生所作吴君子登述而成之顾详于式而略于草惟弦求矢矢求弦弦求切切求弦弧求割小切求大切小切求大弦小割求大矢八式有草余皆有式无草欲考其立式之原不可遽得学者难焉因于暇日一一尽为补草合为四卷书既成丁果臣先生以尝习算于徐先生将以此书付诸梓因缀数语于简端云

缀术释戴序　　　　　

左潜

余既补订徐庄愍公割[圜](团)缀术丁果臣先生复以戴氏鄂士求表捷术见示图解详晰立法巧变于天地间自然之形数曲尽精微其中各式有足补徐氏之未备者如余弦求各式有式同于徐术而立法不同者徐术先求差根此术先求乘法更为直捷法异而理不异也要皆祖杜宗明使割圜之理一以贯之虽各有创术而因法立法互相发明益足见明氏书之为通术而其理固无所不赅也原书算式繁重通分化分诸法学者骤难通晓余因思缀术乃天元一之变法用以立式巧变莫测遂依法改演各草不一日而诸式立就且与书中细审诸草一一密合爰并取全书删繁就简手录成帙至求式各法已详缀术草中兹不再述

缀术释明序　　　　　

曾纪鸿

易系曰极其数遂定天下之象则综天下难定之象以观于有定莫数若矣在昔圣神制器尚象利物前民其于数理必有究极精微范围后世者代久年湮其数学渐至失传近三百年泰西犹能推阐古法翻陈出新而中国之才人智士或反蹈其成辙而率由之孔子曰天子失官学在四夷正今日数学之谓也中国旧有弧矢算术而未标角度八之名未立八钤表则虽有用其理以入算者而无表可藉则每求一数必百倍其功而始得且得而仍非密率明代译出泰西八表及八对数表核其立法之源得数之初甚属繁难而成表之后一劳永逸大至于无外细至于无微莫不可以此表测之则其用之广大可想然得表之后虽无事于再求而任举一数何能较其讹误若仍用旧术则非匝月经旬不得一数此明静庵董方立推演杜德美弧矢捷术之可贵也向来求八者例用六宗三要二简各法若任言一弧度必不能考其弦矢诸数至杜氏创立屡乘屡除之法则但有弧径而八均可求董方立解杜术先取直之极微者令与弧合而后用连比例以推至极大又考诸率数与尖锥理相合故用尖锥以释弧矢而弧矢之理以显而数亦显明静庵解杜术先取四分弧通十分弧通弦直之极大者用连比例以推至千分万分弧通弦之极微者考其乘除之率数与杜氏原术乘除之理相合故用缀术以释弧矢而弧矢之数以出而理亦出董明二君均为弧矢不祧之宗无庸轩轾其间迩百年中继起者如戴鄂士煦徐君青有壬季壬叔善兰所著各书虽自出新裁要皆奉董明为师资也吾友左君壬叟湘阴相国之侄也英年积学于诗文赋字无不深纯每应试必冠其曹而于数学一道尤孜孜不倦遇有疑难之题必穷力追索务洞澈其奥窔而后止尝谓方员之理乃天地自然之数吾之宗中宗西不必分其畛域直以为自得新法也可曾释徐君青氏缀术又释戴鄂士求表捷术兹又释明静庵弧矢捷术而一贯以天元寄分之式于圆率一道三致意焉可谓勇矣余癸酉从丁果臣先生游始识壬叟继与共述粟布演草圆率考真二书相得甚欢不啻古所谓同方合志者孰意天厄良才壬叟竟于甲戌秋不永年而逝凡在同学诸人无不叹息不置余与壬叟两世神交能无怆切耶果臣先生为湖南数学之领袖所刊二十一种算书嘉惠士林良非浅尟兹文集壬叟遗书而汇刊之倩新化黄君玉屏宗宪任校之役订正精审毫发无憾壬叟得此不朽矣若夫诗古文词古人之门径已搜括殆尽即附为壬叟之绪余剞劂尚需诸异日也

圜率考真图解跋　　　　　

曾纪鸿

曩读古今人数学书莫不言割圜之难数理精蕴中所载圜率与西人固灵所求三十六位之数相同皆用内容外切屡次开方之法欲求此三十六位之率不下数十年工夫亦綦难矣后有泰西杜德美特立屡乘屡除之法省去开方较旧法为稍捷然秀水朱君小梁用其术以求四十位圜率止有二十五位不误其后十五位概行误足见纷赜繁难易于淆乱果臣先生属纪鸿等凝心构思幸得创兹巧法敛级甚速按等推求了如指掌迩日深于算者穷理之功多演数之功少反觉不切于日用今左君壬叟黄君玉屏竟用此术推得各弧背真数至百位之多庶几息诸家之聚讼而为古之困于圜率者置一左券也

对数序　　　　　

刘彝程

人莫不知对数之用世亦不乏求对数之书奚俟后有论譔顾是书之不容已于作也其要有二一则自来求对数者求一对数祗可得一对数今思得一法求一对数俱可得两对数以前册开方第二术求大于本数之对数较易正负相间之诸数为皆正即为小于本数之对数较以前册开方第三术求小于本数之对数较易诸数皆正者为正负相间即为大于本数之对数较以此求诸对数以备立表视前人诸法不尤捷乎此首卷之所以要也一则近来西书求对数半较其法颇捷而立法之原不详间以开方之理推之乃知亦系开方之法但此开方与前册开方诸法不同以中方根求大小两方根半较法也爰自平方至无量数九乘方各以率数阐之莫不显然一贯而开方之说可以据为定论无疑此次卷之所以要也至是书中逐事逐节阐微抉隐于对数之理均觉似非小补然以视最要之端则犹为余事矣

论对数根　　　　　

刘彝程

　第一问

问何谓对数根曰命单一下带无数空位零一之数为方根求其无量数九乘方之积为真数次置方根零数即零一之一以一无量数乘之得单一为真数之自然对数由自然对数求得定准对数即对数根也法以十之自然对数为首率十之定准对数单一为中率求得末率为对数根十之自然对数与十之定准对数单一之比若以单一为自然对数与其定准对数之比而此所得定准对数用之乘一切方根零数可得一切数之定准对数以其为诸对数之所自出故曰对数根也

　第二问

问以对数根乘一切数之方根零数而得一切数之定准对数其理若何且求一切定准对数舍对数根尚别有法乎曰一切数之方根零数既为一切数之自然对数则置本数之方根零数任以若干数之定准对数乘之以若干数之自然对数除之必得本数之定准对数顾此法须一乘一除不若有乘无除或有除无乘之便有乘无除者以对数根为乘法是也有除无乘者以十之自然对数为除法是也自然对数单一与定准对数对数根之比同于一切自然对数与一切定准对数之比而所宜置之一率系单一可以省除宜以单一为一率对数根为二率一切自然对数为三率求得四率为一切定准对数故以对数根乘一切方根零数即得一切定准对数又十之自然对数与十之定准对数之比同于一切数之自然对数与一切定准对数之比而十之定准对数系单一可以省乘故以十之自然对数除一切方根零数即得一切定准对数夫位少之数乘便于除位多之数除便于乘似以十之自然对数为除法较以对数根为乘法为便十之自然对数与对数根皆位多之数顾乘除方根零数乃乘除于得数之后得数即得方根也乘除所借之根单一为乘根于第一数之先第一数即连比例之第一数乘除于后与乘除于先原无少异则与其以十之自然对数除方根零数孰若以对数根乘借根单一之为便乎此求对数者所以恒置对数根为第一数之实也置对数根为第一数之实即如以对数根乘单一也

　第三问

问求对数根共有几法曰旧法以十为本积开五十四次平方然后以方根为真数以方根之零数为自然对数以单一折半五十四次为定准对数置单一以定准对数乘之自然对数除之得对数根此一法也戴氏以十为本积先开三十一乘方为用数然后以用数开无量数九乘方求得方根零数以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然对数以十之自然对数除定准对数单一得对数根此又一法也李纫叔氏以二为本数求得自然对数三因之得八之自然对数又求得四与五之自然对数较命为八与十之自然对数较四五与八十比例同故对数较亦同以加八之自然对数为十之自然对数然后以十之自然对数除单一得对数根此又一法也夫旧法极繁不可为训戴李二术因十之自然对数不可径求故一则借用数以求之一则分二次以求之皆法之极善者也

　第四问

又问求对数根别有法乎曰无论以若干数之自然对数除本数之定准对数皆得对数根以对数根乘诸自然对数既得诸定准对数则以诸自然对数除诸定准对数必得对数根但诸数之自然对数与定准对数恒难兼而有之如二可得自然对数不能得定准对数十之平方根可得定准对数不能得自然对数试思何数可兼得自然与定准两对数则得对数根矣间尝于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法与戴法相似后一法与李法相似此法任取略大于单一之数皆可为求对数根之借端明乎此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左

一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根

　假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求之二十三乘方根法以借积减本积得０一五０二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三为第二数除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四为第三数乘法乘第三数除法除之得０００００００八一以四十九乘之七十二除之得００００００００五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得０００００００００八以七十三乘之九十六除之得００００００００００六为第五数诸数相并得一一００六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术

次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四余十之定准对数得００四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得０一００六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得０一００六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得００一０一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得０００五０六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得００００五一０四八五又二乘之三除之得００００三四０三二三三为第三数正乘法乘第三数得０００００三四二六八五又三乘之四除之得０００００二五七０一四为第四数负如是求得００００００二０七０００四为第五数正０００００００一七三八为第六数负００００００００一五为第七数正００００００００一三为第八数负００００００００００一为第九数正诸正数相并并诸负数以减之得００九五九四一０四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数００四一六六六六六六七以自然对数００九五九四一０四五六除之得０四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术

一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根

　假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得０一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得０一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得０００五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得００００三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得０００００二五为第四数负如是求得００００００二为第五数正０００００００一六七为第六数负００００００００一四为第七数正０００００００００一为第八数负诸正数相并并诸负数以减之得００九五三一０一八为一一之自然对数以上用开方第一术

　次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得００一五０二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六□五五四八０六七第二位为单数故志以□为屡次除法合以较积为乘法小借积为除法今以乘法除除法为除法则屡次乘法可以省去置大借积之根单一以除法除之得００一五二五五九八为第一数正除法除第一数一乘之二除之得００００一一六三七五为第二数负除法除第０二数二乘之三除之得００００００一一八四为第三数正除法除第三数三乘之四除之得０００００００以００一四为第四数负第一第三数相并以第二第四数相并减之得００一五一四０七八为大借积与小借积之自然对数较亦即为大积与小积之自然对数较大小两借积皆寄大积除法为母同一寄母则与原大积小积比例仍同比例同故对数较亦同次置一一之自然对数以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次数加一乘之也得二二八七四四四三二为小积之自然对数以大小两积之自然对数较加之得二三０二五八五二为十之自然对数置定准对数单一以十之自然对数除之得０四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第四术

代数术序　　　　　

华衡芳

代数术二十五卷余与西士傅兰雅所译也傅君本精于此学余亦粗明算法故傅君口述之余笔记之一日数千言不厌其艰苦凡两月而脱稿缮写付梓经年告成爰展阅一过而序之曰数之名始于一而终于九故至十则进其位而仍以自一至九之数名之至百则又进其位而仍以自一至九之数名之如是以至千万亿兆其例一也夫古人造数之时所以必以十纪之者诚以数之多可至无穷若每数各与一名则吾之名必有穷时且纷而无序将不可记忆不如极之于九而以十进其位则举手而示屈指而记虽愚鲁者皆能之故可便于民生日用传之数千百年至今不变也观夫市廛贸易之区百货罗列精粗美恶贵贱之不同则其数殊焉多寡长短大小之不同则其数又殊焉凡欲以其所有易其所无者必握算而计之其所斤斤计较者莫非数也设有人言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变而我立一通法以驭之此中法之天元西法之代数所由作也代数之术其已知未知之数皆代之以字而乘除加减各有记号以为区别可如题之曲折以相赴迨夫层累已明阶级已见乃以所代之数入之而所求之数出焉故可以省算学之工而心亦较逸以其可不藉思索而得也虽然代数之术诚简矣诚便矣试问工此术者遂能不病其繁乎则又不能也夫人之用心日进而不已苟不至昏眊迷乱必不肯中辍故始则因繁而求简及其既简也必更进焉而复遇其繁虽迭代数十次其能免哉由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法而设也若米盐零杂之事而概欲以代数施之未有不为市侩所笑者也至于代数天元之异同优劣读此书者自能知之无待余言也

论四元相消之理　　　　　

汤金铸

四元之书今所存者以元朱汉卿四元玉鉴为最古然四元实由天元所推广而天元则宋秦道古数学九章元李镜斋测圆海镜益古演郭邢台授时历艹皆着其法今并存唐王又孝通辑古算经所立诸术多与天元四元所衍得者同疑亦据此而作也考九章算术少广章曰借一算为法步之似即立天元一所自始顾天元因借一而立然所借止于一用犹未广故推衍为四元而四元法则悉本方程以为用也天元地元即方程[之]一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色须多一行犹元术多一元即多一式四元之相消无异方程之互乘对减方程对减一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然则对减者方程之转枢而相消者实四元之关键矣夫相消原与常法相减无异而理则有殊减则数有大小即有减余之数而相消必两数参差相等消后数有对者汰之无对者列为正负存之故所得必正负相当而等于无数天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者须得相等两如积相消遇寄左数须开平方始与又数等者即又数等于左数之平方根也故以又数自乘即与寄左数相等因自乘必无奇零开方数常不尽故以此通之也或遇左数当以某数除之始与又数等者即又数小于左数若干倍也则以其数乘又数令大若干倍即与左数相等因如积常不受除故以此通之也两数既等即可消为一行得开方式若立二元者既有两如积相消而得一式矣然式中又有两元之和数或较数则两元仍不可知故必更求两如积相消而得又一式乃以此二式相消得开方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式则二式之最左一行必相同而相消必尽犹方程之互乘对减必减去最上一层也知其必尽故不必乘亦不必减所以省算也如是屡乘屡消以消至一行止为开方式若遇两式中左行之数彼大于此若干倍者可以约率求之不必互乘互乘所以齐同今此既小于彼若干倍则依若干倍之即与彼齐同矣遇两式之行数不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇层数高下不同者亦然如右式有数在太上一层左式太下一层始有数可令右式降而从之或以左式升而从之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元则可任意升降而不可任意左右地人两元互相牵制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元则牵制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行数层数不齐者必用剔消法驭之剔消之理因各式之数既正负相当则任以一数乘之或除之其相当固不变即其数任分为二各自乘相减所得仍相当不变也故三元法遇各式行数多少不齐即将少行之式直剔为二各自乘而相消则数本为元者可增而为面体及多乘方可与多行之式相消矣四元法遇各式行数层数均不齐者则直剔一式使少行增为多行又横剔一式使少层增为多层亦可与多行多层者相消矣至旧法天物相乘地人相乘得数皆纪于夹缝中式中有此则视其由何数相乘而得者即以其数除而去之若不受除则乘他式以齐之凡此皆不外通分齐同之义而能尽相消之用者也

　正负相当等于无数则任以数乘之除之或自乘开方或剔乘相消必仍相当而等于无数作者以此释相消之理良由于四元代数贯彻纯熟故能语必破的

九减法及任用他数减试说　　　　　

沈善蒸

验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九十九九百九十九九千九百九十九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能郄尽无余又如三与三十之较数二十七七与七十之较数六十三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八百六十五万五千七百八十四今欲以并代减将各位相并得四十三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也

论海洋深浅之理　　　　　

沈善蒸

依重心之理而论大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全体各质点皆有吸力各点互吸其力必聚于公重心犹之一重物各质点皆有重率而重心必归于一点也凡万物之存重力皆因地球吸力所致而重力与吸力原非二物故吸力之心即重心无疑所以地面上有物坠下必向地球之公重心而海面恒与重心至地面径线成正交故重心即球心也又因地球以二极为轴每日东转一周而生离心力焉故北半球之垂线俱向重心而稍偏南垂线者即悬线也南半球之垂线俱向重心而稍偏北维赤道与二极地方之垂线直向重心是以地球为微匾形矣今阅地图北半球陆地多于南半球若使海洋深浅略同则北半球地质多于南半球重而南半球轻其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地没为海南半球之浅海变为陆何能成现在之形状以鄙意度之北半球之海洋应倍深于南半球之海洋故北半球洋面虽少以深补之仍不为少南半球洋面虽多以浅消之仍不为多乃两半球之地质轻重相等而重心亦无偏北之势庶能成现在之形状又大西洋应深于太平洋之理亦然不知此论然否须质诸泰西测海家验以实测方可自信如其不然必因地质有松密北半球地质多而松南半球地质少而密亦能轻重相等可使重心不偏也

质点　　　　　

韩应升

欧罗巴人旋光性论云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以为人之不能分非物之不可分以几何之理言之物虽大合之可至无穷虽微分之可至无穷尺椎之说也而以为物有不可分之地者何也定质质点大小质点小水质点大气质点小气中各类应又分何类质点大何类质点小丸与黍大小悬殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴则丸相聚下至尽囷而正盂底穴则黍相聚下至尽盂而止其下之形与水之下之形无以异也顾囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸则丸不得下也盂之穴不大于黍则黍不得下也故丸也黍也以网盛则下以布帛盛则不下布帛以盛水则下陶为密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也比陶为尤密矣质较疏者以盛水水无沁于外以盛油久而油沁于外孔大油粒小也水粒之大大于孔油粒之大不大于孔也据此而知凡物质之有点点之有原度不独定质重流质亦有之则亦可推此而知不独重流质轻流质亦有之轻流质之有质点虽无据岂遂不能更有他器可以测而知之者乎而今则未有其器可以测而知之者也

极说　　　　　

韩应升

凡可论之物有有极者有无极者有两端皆有极者有一端有极一端无极者一端有极一端无极者数也度也数始于一一数之至小也不可更减也故即以是为小极由是而递加加之而至无穷也此小有极大无极者也度终于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是为大极由是而递减减之而至无穷也此大有极小无极者也两端皆有极者南北极是也几何之理是也几何之理始于点终于体点不可减故为小极体不可加故为大极点不但不可减亦不可加使点可加加而为线是点虽不本大而固可使大维其不可加使大故终于点终于小也故为小极也体不但不可加亦不可减使体可减减而为面是体虽不本小而固可使小惟其不可减使小故终于体终于大也故为大极也是两端皆有极者也而几何中线加减不离线递减不及点递加不及面面加减不离面递减不及线递加不及体体加减不离体递减不及面递加减不及他形也是线也面也体也小亦无极也大亦无极也是两端皆无极者也而线以两点为界即以两点为极而两端可引之至无穷是两端皆无极者也面以心一点为心线为界体以重心一点为心面为界心为小极线为大极重心为小极面为大极也而面之心一而已其界之线递加而无穷也递减而无穷也体之重心一而已其界之面递加而无穷也递减而无穷也是又小有极大无极者也一端有极一端无极者也投物水中水之浪层层相生以至无穷投物处极也其层层相生而无穷者无极也声亦然出声处为极声渐远而渐微者无极也光亦然出光处为极光渐远而渐暗者无极也地球之理亦如是也地球以地心为极而水附于土以共为一球气又附于水土以共为一大球地心吸力极大以渐而减地心吸力地质点滞力用足相反也力足相敌也力相敌故相定几何度球面距地心一里吸力几何则等几何度球面距地心加一倍为距二里其吸力必减四倍何也距地心二里球面必四倍大于距地心一里球面也则距地心二里球面也则距地心二里球面质点滞力必四倍大于距地心一里球面质点滞力也夫地心吸力加于地质递加递进以至地面亦加于水递及水面地水之上地心吸力又加风气使地心吸力不加风气则风气之性既自生涨力能推诸点四面散行渐远地心地水向心风气离心方向相反地上气下应生空隙今乃不然足证非是地心吸力加于地质渐减以至地面地面之上又加风气渐远渐减以至无穷何也地面风气涨力有几何重可测而知如以玻璃方器抽出风气外面风气挤逼立碎试问此器不用风气用几何力方能挤碎设云一十六两则风气挤力极小当不能减于一十六两挤力涨力名异实同非有二义地心至地面万五千里据上所云其距倍是为三万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成四两使更倍是为六万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成一两其距递加其力递减递加之数可至无穷递减之数去多存少去三存一终存四一亦自无穷譬如尺椎日取其半万世不竭使不取半日取四三万世之后终存四一是故地心吸力最大渐远渐减以至地面又加风气渐远渐减以至无穷永无尽界地心极也其渐远渐减而无穷者无极也故风气尽界说称风气愈高愈薄涨力愈小涨力能推诸点四面散行渐远地心其方向与地心力对面此言是也至称涨力渐小至与地心力相等风气诸点不复推开而有尽界者其义非是也

翻译航海通书原本　　　　　

金楷理

是书所列日月行星每日躔度悉照英国都城外之观象台地名固林为志经所定其地在赤道北纬五十一度二十八分三十八秒凡日月星从午迤西旋转复至午为一日所历之太阳平时日月星多寡不同在日则曰太阳日二十四时在月则曰太阴日约二十五时弱即今日过午至明日过午为一日在行星则各有行星日在恒星则有恒星日二十三时五十六分三秒半弱其命时也悉以太阳平时为宗　设太阳为不动则地轴旋转及绕日其方向终古不变月星绕日从地心见其迟速不一成各星日也

测算有平时真时之别按钟表时走平分即太阳之平时日晷测时不平分即太阳真时其理解见译之航海通书

凡钟表宜照平时开准真时由测星而得平时以意平分之谓为平时者别于真时也

平时真时之较曰时差每日午正以所差之数列如表

设于一千八百七十年正月初一日在该处测日心正交午所得之午正即为该处真时查其时差为三分五十一杪四零依号加于真时则知日交午之平时为午正三分五十一秒四零也

凡推算必先准定一处为起算之端如此表依英国为准移用他处俱照相距该处之远近为加减相距十五度即差一点钟设同此一时在该处为午正者其西十五度之处尚为午初同时太阳不能分居两处之午也

行船表即度时表在彼处开准者任至某处欲知该处之时检表即得诸实测尚须推算其时差以加减之凡算家所定之表宜各照其测处之午为准

常用以夜半子正起至明日子正为一日而中分于午为午前十二点午后十二点此书则以正午起至明日正午止历二十四点为一日如常用在正月初二日午前七点钟四十九分此书则为在正月初一日十九点四十九分也余仿此

　每月月终必多列一日即下月初一之数中比例之用也

每月第一页所列诸数系日心正交该处午时之数其赤道经度自春分点记起日距赤道南北若干度谓之纬度若干别时求日之赤道经纬度及时差之法当以次行所记之一点较数上求之表所列之数为午正前后一点中日所移之数若算别时之较取距午正折中之处而比其较中之较视下日较数之大小以别加减乃加减于本日较数内即为所求时每点应移之数而与所求时相乘即得其午正后所移之准数以加本日午正如日之赤纬度及时差在退行时则减于本日午正即得所求之数也考其所列之每点较数乃并上下两日之行分乃以两日共四十八点归之即得下日之一点较

设是年正月十六日在该处四点钟时求日之赤道纬度则检表内十六日午正之一点较为二十八秒七六十七日午正之一点较为二十九秒七五两较相减得较中之较为零秒九九以二十四点归之得每点差百分秒之四有奇乃以求午正后四点折半为二点即其中处与百分秒之四有奇相乘约得百分秒之八乃视其下日之较为渐大故加于十六日一点较数上共为二十八秒八四即所求四点时每点应移之赤道纬度乃以四点因之得一分五十五秒四查十六日正交午时在赤道南二十度五十五分０五秒视十七日纬度小于十六日则知渐减以减十六日之纬度余为南二十度五十三分十秒即所求四点时之赤道纬度也求经度及时差之法皆仿此

日半径每日过午所历之恒星时因日距赤纬之南北而改变及半径有大小别所历之时因之不等考其测日之过午必测日之外环相切于午加此半径所历之时而得日中心过午之时故设此表也首页时差表为真时改平时之用设是年正月十六日该处真时为午后三点求其平时查正月十六日时差次行一点较为千分秒之八百四十四十七日为千分秒之八百十五则十六日三点之较应为千分秒之八百四十二法见前以三点因之得二秒二六以加十六日时差十分零三秒七五共为十分零六秒二八再加三点得三点十分零六秒二八即所求之平时

四月首页时差表有加有减十五以前为加十五以后为减中有粗画作记每月第二页表为该处平午正时日之赤道经纬度按此表从日之黄道经纬及黄道交角等数算出记真太阳所见处距地球赤道及真春分点之数

任于何地何时算日之赤道经纬度法　设于是年三月初一日在英国偏西九十八度之处平时为二十一点二十分求日之赤道经度按偏西九十八度应加六点三十二分为英国之三月初二日三点五十二分也查三月初二与初三两日经度之较为三分四十三秒九五以二十四点比三分四十三秒九五若三点五十二分与三十六秒0八凡四率比例皆用以比若与四字括之以即一率比即二率若即三率与即四率下仿此以加三月初二之经度二十二点五十二分三十八秒一二共为二十二点五十三分十四秒二零即所求经度也如求纬度亦查初二与初三两日纬度之较为二十二分五十七秒六以二十四点比二十二分五十七秒六若三点五十二分与三分四十一秒九查两日之纬度渐减以减于初二日纬南七度九分五十三秒六得纬南七度六分十一秒七即所求之赤道纬也若更穷其细依前法求两日之每点较数比例之则愈密也因各曜之迟速在一日之内亦非平分必以渐而改日之半径因距地远近而异夏至后十余日在其至高故半径最小冬至后十日在其至卑故半径最大每日列表如测日之高度若测其上环必减此半径或测其下环则加此半径或测日月相距度乃并日月两半径以加减之即得其中心之距度

第二页时差表为平时改真时之用故其加减之号与真时条下相反两数有微差者乃时差中亦应移之数实时差行也日之赤道经纬度亦同

既有平时如号加减即得真时设于是年四月初二日在该处之平午正时欲求其真时查此日午正时差表应减三分三十七秒七零以减初二日午正即为四月初一日二十三点五十六分二十二秒三零即所求之真时也又如在该处偏东一百零五度之地四月十五日平时为十五点即十六日午前之三点钟时此系偏东处平时求真时偏东一百零五度应减七点是为英国之四月十五日八点查十五与十六两日时差之较为十四秒七九因一为加一为减故相并为一日较以二十四点比十四秒七九若八点与四秒九三而十六为当加之日十五为当减之日其十五日表内减余之数只剩零秒四六少于应减之数乃以比得之数反减零秒四六余四秒四七其号即变为加乃加于十五点共得十五点零四秒四七为所求处之真时

恒星时者乃每日该处平午正时午在线赤道经度距春分起点之数乃日之平分赤道经度也设太阳为不动则地轴每日旋转一周又兼绕日之行视恒星所居之原点已西移三分五十六秒半也逐日累之则成恒是时矣

是书所载恒星时乃算家常用之表以明正午测望时距分点偏西之度分秒恒星时分点其差甚微故曰真恒星时而不名平恒星时如以日有平时而欲求恒星平时即日之平经度以十五约之即为平恒星时恒星之真时与恒星平时之较十九年中止差二秒三差甚微细故不另立表也算家测各恒星经度其表已悉订正无误是书因之倘欲变更测凡章动之数皆须改易也

凡测量以求日之平时即以平午正之恒星时为准如用恒星时求日之平时或用日之平时求恒星时俱用五百零四至五百零七页之等时表查之即得设于是年正月初二日二十一点九分二十四秒零四之恒星时求该处午线相当之太阳平时

法以今有恒星时内减本日午正之恒星时十八点四十七分四十一秒余为本日午正后之恒星时二点二十一分四十三秒零四检等时后表即得其相当之太阳平时为二点二十一分十九秒八二即所求盖以恒星时一点比太阳平时五十九分五十秒一七零四若本日午后恒星时二点二十一分四十三秒零四与所求之太阳平时二点二十一分十九秒八二与表数合

又如正月初二日二点二十一分十九秒八二之太阳平时求该处午线相当之恒星时

法以今有太阳平时检等时前表即得其相当之恒星时为二点二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恒星时十八点四十七分四十一秒共为二十一点九分二十四秒零四即所求盖以太阳平时一点比恒星时一点零九秒八五六五若今有太阳时二点二十一分十九秒八二与所求之恒星时二点二十一分四十三秒零四与表数合即加于本日午正之恒星时是也

凡测算在该处之西者其平午正之恒星时每点照加九秒八五六五在该处之东者则减亦如之

设于该处偏西九点十分六秒之地十五度为一点求正月初二日平午正之恒星时乃以一点比恒星时长于太阳平时之较九秒八五六五若偏西九点十分六秒与一分三十秒三七偏西应加以加表内是日平午正之恒星时十八点四十七分四十一秒共为十八点四十九分十一秒三七即所求

每月第三页列太阳黄道经度从春分点起而光行有差故所记经度真数为平午正时之数

设以囷为连半径以四百九十七秒九八与囷相乘减余为日之经度真处因光行之差其过见处较后于真处也

太阳黄道纬度乃自太阳中心成一弧线与黄道之面交股其弧度即为太阳黄道纬度也

　考日之黄道纬度根于自转日之本体想亦椭圆二十六日自转一周与表内交终之率恰合因此悟及也

带半径之对数乃平午正时地心与日心真影相距之对数即黄道之长半径即日距地心对数

以上诸条为量日之准而行星及彗星之行度皆藉以推测其距日心之处而求地之经度须查太阳经度而订其光行差即可测算

光行差表见二百四十二页黄道交角等表内每十日列一数余详五百三十二页内

凡于太阳黄道经度既得其光行差数并其章动数可求诸恒星之位

月半径者乃自月心至地心一如半径则月之半径如正切所成之角如从地心见之也

地平视差者乃自地心至月心一如半径则地球半径如正切所成之角如从月心见之也

凡测见月之外环而欲求其中心可用月半胫表至于地之各纬度望月求其视差必以月在地平时最大之视差为比例盖以地为匾球则随处可以测月即高出地平之处其差亦能算故于地面测月可改为不异地心见月耳

海上测月常用赤道地平之视差表以算高出地平之视差不必以地为匾球惟欲细推月掩及日食之数则必以地为匾球

高出地平之视差有太阴高弧视差表合地平视差与蒙气差为一表更简见航海简法

设于是年二月十九日常午前六点钟时在该处东十五度之地求月半径及地平视差数此书从午正起午前六点尚为二月十八日十八点钟偏东十五度应减一点钟为该处之十七点钟是过子正五点钟矣欲知五点较数当视十二点之较数为比例查十八日子正月半径表为十六分二十九秒三十九日午正为十六分二十七秒三是十二点中之较为二秒以十二点比二秒若五点与十分秒之八乃于十八日子正之数内减之余十六分二十八秒半即为所求月半径数次查地平视差表二月十八日子正为六十分二十四秒六十九日午正为六十分十七秒二十二点钟之较为七秒四以十二点比七秒四若五点与三秒一亦于十八日子正之数内减之余六十分二十一秒半即为所求地平视差数

海上寻常测月可用此法如欲细穷其数法尚未密因秒数之减率不一也惟于所指之时前后各拣出两半径较之则其差亦不满十分秒之二也法如左即所谓较中之较也

　此半径数名地平半径外尚有每高度之加数因太阳去地甚近其高度愈多半径愈大也

　　　　　月半径　　　　　　　　较　　　　　　　　　较中之较

二月十八日午正十六分三十秒四

　　子正十六分二十九秒三　　　　一秒一

　十九日午正十六分二十七秒三　　　　二秒零　　　　　　　十分秒之九

　　子正十六分二十四秒五　　　　二秒八　　　　　　　十分秒之八

　加秒０一三四六七八九０　　　　　　加秒一二三四五五六

　　　　　　　　　一　　　　　　　　一一一一一一一

　高弧０五０五０五０五０　　　　　　高度五０五００００

　度　一一二二三三四　　　　　　　　四五五六七八九

以两项较中之较相加共一秒七折半得百分秒之八十五为中较再以八约之得百分秒之十一则所较不过差百分秒之十一也

照此细推视差其差为十分秒之四

每月第四夏月行黄道经度纬度之数其正交分点处乃自地心推算所载表数无益航海之人黄道经度乃专为章动而设盖月之动也迟速不一欲于子午两正外测月之黄道经纬二度则须较其秒数甚有较之三四次始得其准者月年者乃日月合朔一周之日数也如中历每月日数月过子午圈者乃太阴中心每日过该处上子午之平时表数仅记十分分之一不更求其细依表测月可定行船经度并以推测潮信至欲求月出月入时候亦用此表而参以半弧表表中有○此记号者乃明此日太阴不过该处子午圈也盖月行之数较多于日太阴行一过太阳尚未及一周太阳在月行一周之中故每月有一日不过子午圈者

如正月三十日月行多于日行五十二分三即两次月过午时之较查其上次过午时乃在正月二十九日二十三点十五分六下次过午则在正月三十一日零点七分九是知中间之一日月尚未及一周也若日月相距在半周时每月有一日不过下子午

三百九十页至四百二十八页记月相近之星表内亦记月在何时常仅过该处午线一次如三百九十三页记正月三十一日月仅过下子午一次三百九十四页记二月十五日月仅过上子午一次之类

无论何处欲求月过子午圈之平时设其地在该处之东者则以昨今过午时相较如在该处之西者则以今明过午时相较乃以二十四点比两次过午时较若所偏经度化时与所求之较在东者应减在西者应加盖在东者太阴必先过午也

设于是年正月二十六日午前在该处之东六十度求月过子午圈之平时按二十六日在午前者为此书之二十五日查月过该处午为十九点三十六分三与前一日过午时之较为五十二分九以二十四点比五十二分九若四点即偏东六十度所变之时与八分八于十九点三十六分三内减之偏东故减得十九点二十七分半即所求设于是日再求偏西六十度月过午之平时则将十九点三十六分三与后一日过午时之较为五十四分三以二十四点比五十四分三若四点偏西度变时与九分一乃加于十九点三十六分三得十九点四十五分四即所求

以上算法似嫌未密然寻常用之差亦无几不必过求其细也

每月第五页至十二页所记每日每点太阴所行赤道纬度并纬度每十分之较数其纬数时数地平经度月出月入等项可由诸页检算至表列之数乃从地心推出

设于是年正月十二日午后八点四十五分在该处东六十度之地求月之赤道经度

法以偏东六十度变为四点以减与八点四十五分为该处之正月十二日四点四十五分查是日四点表数为三点二十七分二十八秒八五五点表数为三点二十九分二十九秒八零两数相减余二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分与一分三十秒七一加于四点表数得三点二十八分五十九秒五六即所求

求纬度亦同此法惟有时较中之较亦不甚小故有每十分纬度之较

如前所设时求赤道纬度查是日四点纬表每十分之较为八十六秒六九五点纬表每十分之较为八十六秒一四是四点二十二分半之中即四十五分折中之处其每十分之较应为八十六秒四八即将两较中之较用六十归之二十二分半乘之以减于四点下十分之较即得所求理与日一点较同以十分比八十六秒四八若四十五分与六分二十九秒二查表知纬度渐加以加于四点表数纬北十三度五十三分二秒三得纬北十三度五十九分三十一秒五为所求月之赤道纬度太阴形载每月第十二页所记朔望两弦时仅至十分分之一月之黄道经度与日无距度为朔距日九十度为上弦一百八十度为望二百七十度为下弦所列俱为该处之平时

月过其本天最高最卑二点为离地最远最近所由分其所列表数亦为该处之平时

每月第十三页至十九页为月中心与日心及行星恒星之斜距度乃从地心推算逐日照该处平午正时起每越三列一数凡既测见月距星之斜距度则当依表加其视差而减其蒙气差盖推算之表数乃月与星之实相距度测得者为月与星之视相距度在月要推月之视差用太阴高弧视差表止能改月之视高为实高其斜距弧上实距与视距之较须再用三角形算盖高弧视差即如高下差再推东西南北差也可以凭月心与何星之实相距度依下法推其为该处之何平时诸星自西徂东表以距月最西起列至最东为序西则在月之西东则在月之东

诸星距月度数每三点有较即列其比例对数用以较定度数而得该处平时法详后

任于何日何时测得月与星斜距度按前法改为实距度乃查此表是日月与其星相距度与所测略近者取其前一数相距度与所测度相较余求比例对数见航海表内减前一数之傍所列之比例对数余检比例对数表所对之时分秒加于前一数之时即得该处之平时比例对数表至三小时其数为[0]故省一三小时乘之也按此一比例不用对数算之亦易以表中前后两距度化秒比历时三点钟若所出距度减前一数距度之较不足减反减之与所求之历时恒加于前一数之时是也

加月星相距度数与前后比例对数之较其加减同率则照前法自无谬误若其加减异率者欲求该处之时另应查一准数法详下

一　如前法求　二　查表内某度前相近一数或后相近一数得两项比例对数相减而得其较　三　于第四百九十八页准数表内傍行查时即先依前法比出其零时分乃以所得零时检此表而以比例对数之较于表上横行查对检其与零时分纵横相遇之秒数即为所求之准数也　四　视比例对数渐减则加此准数若渐加则减此准数加减于先得之零时分可得该处之平时设于是年正月初十日测得月实距飞马甲西名星四十四度十九分五十秒求该处平时查初十日该星表所测相距度在三点六点之间则三点为相近前一数算如下

　三点月与星相距四十三度四十五分二十九秒其比例对数三千九百十九

　今测月星相距四十四度十九分五十秒

两距度之较为三十四分二十一秒　　　　　比例对数七千一百九十四

比例对数表所对之时为一点二十四分四十一秒　　　　　　减余三千二百七十五

查三点与六点之表知前后比例对数之较为四十九再查第四百九十八页准数表内一点二十分与所算之时为最近而以四十九即用四十八亦可行下查其纵横相遇之准数为十五秒因其比例对数由渐而减故加于算出之时上为三点以后之零时故求得该处平时为正月初十日四点二十四分五十六秒也如不算准数即差经度三分四十五秒准数之表仅列至一百三十八凡遇比例对数之较有大于此者可折半以检表查得准数后倍之理亦同设于是年五月二十一日测得月距飞马甲星除去视差蒙气差外实距为三十度零八分零二秒求该处平时

查二十一日该星表数所测相距度在十八点与二十一点之间则十八点为相近前一数算如下

　十八点月相距为三十度三十六分三十一秒　　　　比例对数五千一百五十

　今测距度为三十度零八分零二秒

　两距度之较为二十八分二十九秒　　　　　　　　比例对数八千零零七

　检表之时为一点三十三分十四秒

查十八点与二十一点之表其比例对数之较为二百五十二此数大于一百三十八故半之为一百二十六再查四百九十八页准数表傍行内与所算零时分相近者为一点三十分次查上面比例对数之较第一百二十六之行与傍行时分纵横相遇之准数为三十九秒倍之因较数以折半检表故得数倍之为七十八秒因比例对数由渐而加故于所算之时分内减之即为十八点以后之零时分故求得该处平时为五月二十一日十九点钟三十一分五十六秒也若不算准数即差经度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例较数愈小则测之愈易缘月之向星或离星所行加速所测倍准且当比例对数渐减必其本数加大故对数渐减知月行渐远而测之较便矣如是年正月二十日午正至三点钟时土星最易测查是日之比例对数仅二千二百七十数较少于他星故土星表自二十起至二十六日止均易测算也又如是年七月十六日九点至十二点内以比例对数言之其易测者序如下

第一土星　　　　第二毕宿大星　　　　第三木星　　　　第四娄三　　　　第五火星

第六太阳　　　　第七金星　　　　　　第八河鼓二

以上诸星测不易准如欲验其准否须测数星而比较之视其比例对数之小者庶可无差按各条用法皆测得星月相距以推该处之平时其用比例对数之较求准数一表乃巧而捷因月行斜距线迟疾渐改不可以平行驭故再求准数加减之所以齐其不齐也

每月第十九页乃算家爱里氏所定恒星准数乃用下页甲乙等号对数及该处十二年星部算出西国算家以此法精于白水而氏故恒用之以其不用加减之号法省且便也列如表

下页亦兼列白水而氏法各有其妙设于是年二月初五日在该处平子正时求某恒星距赤道经度及距北极度并岁差光行差章动准数等数分点过午之平时者乃春分起度之点每日过该处午线时之恒星时即恒星时当午正中时分点距午之时数故是表谓之恒星子午正中时凡已知恒星时而欲求太阳平时可用第五百零六七页之等时表算之每月第二十页乃白水而氏恒星准数表是表明恒星真处及其中处有方程式或用乘数不依恒星之处为众星公共之数盖惟凭日月黄道经度并月之交点也表内对数为公共对数算家用之随算一星可合方向照三百二十九页之表已经于该处平子正时算合惟丙丁二号内除二式

是表与英会星历合算可得彼历所记恒星之处凡星历内未及之星应先算其与他星相合对数而后用甲乙丙丁号内之数或即照第三百三十页及三百三十一页列之表推算亦可因是表不论何星皆合也其数系从三百二十九页方程式算出列譬于左申明二表之法用星历者其勿忘恒星赤道经度准数之号耳

设于是年二月初五日平子正时在该处求其星赤道经纬二度岁差光行差及章动之准数此星即英会星历第一千六百八十七号之星

天ㄙ为经度准数　　黄ㄙ为纬度准数

旧历日数表　是表乃英星士黑失而氏添入谓有此表可省天算家查数之烦分日平时者谓自春分后所过平时也以平午正时为则而记其日之分数是年正月初一日至三月二十二日又百万分日之二十一万四千七百五十一为一千八百六十九年之春分后自二十一日又百万分日之二十一万四千七百五十一以后乃为本年春分年之始时因春分年为三百六十五平日又百万分平日之二十四万二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分时为三百六十五日又百万分日之二万七千四百六十五可知是年三月二十二日又百万分日之二十一万四千七百五十一乃春分年新旧之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正时为三百零三日又百万分日之二万七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年终乃改共分为百万分日之二十一万四千七百五十一是年三月二十三日平午正时为百万分日之七十八万五千二百四十九此共分数应加于每日春分时至明年而止

凡日到平春分时设在某处午在线此处午线之平太阳时适与春分时相合周而复始至明岁春分年终日已过某处午三百六十五次又二四二二一六则春分起点又应在他处午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五点四十八分四十七秒四六是年与明年之间春分东过经度百万分日之七十八万五千二百四十九即该处西五点九分十四秒四八也

一千八百二十八年行海通书始附列此表盖天下各处仪象台之子午远近不一概以春分时则随处皆可得一同数之日而与日行迟速亦无异同故历家观象论时不必更详何处之时如是年正月初五日彗星过最卑之点在英国平时为五点四十七分在泼立司法都平时为五点五十六分二十秒六而以春分时核之则俱为一千八百六十九年二百八十九日六点二十六分三十二秒九八盖以两地测之则有远近不同之数而春分年乃天下共公之时也

凡已得太阳平时而求相合之春分时如于该处相合之平时内加此日该处平午正之春分时其总数即所求时如前彗星之譬泼立司在该处之东九分二十秒六于五点五十六分二十秒六内减去九分二十秒六为五点四十七分与该处平时相合以加该处正月初五日春分平午正时二百八十九日又百万分日之二万七千四百六十五约其分数即三十九分三十二秒九八故当日彗星过最卑点时为二百八十九日六点二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分后之日时也

一千八百二十八年行海通书附用迪白而氏平黄道经度以定春分时所定之时每年长短一例俱系三百六十五平太阳日又二四二二六四以后推算太阳纵使加精此数亦无可更改嗣于一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通书则改用白水而氏平黄道经度以定春分时其时则每年长短不一英星士黑失而氏谓一千八百二十七八年至一千八百三十三四年间应将白迪二家之表不同之数较正自一千八百五十六年以后春分年应永定为三百六十五平太阳日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年长短其差甚微可以不计盖其差之最大者亦不过万分日之二也

一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止较正白迪二家表数如下

论年之日数　表列统年日数自正月一日平午正起故正月一日为零而以初二平午正为满一日

论年之分数　此分数乃以万分为一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登记其数计日加二十七分半以便天算家也

第二百四十二页列黄道与赤道相交之角每十日记其数记至明年正月六日止故于十二月则多六日为三十七日此角度数常改因有中减率并地轴施动也凡知星距此一面或黄道或赤道若干数即可依表算得彼面之数如从黄道经纬度数可得赤道经纬度或从赤道经纬度算可得黄道经纬度是也设值表上未列之日而欲求是日之交角数则以前后所记二数求每日比例较分即中比例但其较甚微故平常测量止取表内相近之数用之

日之地平视差乃日心至地心为一直地之横半径上再出一斜射日心成一最大角形如从日心见之也是表亦十日一记地心距日心愈远此角愈小视差之用乃人在地面测日可改到地心推算也

光行差光常流行地又常依轨道行故所见日广非其真处真处较在见处之前是以有差所差之数表内亦十日一记凡已知日见之黄道经度而求其真处依表加此光行差即得如从地心推算一星之处而求日之真黄道经度亦加此光行差设是年四月十一日平午正时所列日见黄道经度为二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黄道经度

岁差　春分点在赤道上所退之数即恒星东移之数十日一记用以正平春分之经度如是年四月十一日真春分之日见黄道经度为二十一度二十三分十二秒二光行差为此号为减二十秒四春分差为十六秒八反用⊥此别为加法加此二数得二十一度二十三分四十八秒四为四月十一日平春分日之真黄道经度相合之岁差十三秒八为二十一度二十三分三十四秒六为四月十一日之日真黄道经度但此数系以是年正月一日平春分算起者

春分差凡日月星所列黄赤诸表俱系平春分算定但平春分算定真春分点不符故有春分差所差之数十日一记于平春分之黄道经度内减此差数即得真春分之黄道经度

若所指一星黄道经度据真春分言则将此差数反用之即得平春分之黄道经度设是年四月十一日真春分所合太阳黄道经度为二十一度二十三分十一秒二相合之春分差为丁十六秒八反用⊥法得二十一度二十三分二十八秒即为此日平春分之太阳黄道经度

赤道经度之春分差亦照此法推算即得与黄道相交然其度分须燮点算变时表恒星等时亦同此

月正交点之平黄道经度０六十日一记以平春分算如值表内未列之零日可用表末在表之下每日计三分一八每日退行数算之如欲约算月将平掩何星亦须此表也

第二百四十三页至二百五十页日之纵横线每日列该处平午正时日心与地心之纵横用□天□地□人号记之○天为每日过真春分○地为赤道面向夏至之○人为赤道面交股向北之　算家以彗星难推故别列此表变真春分○天○地○人纵横而用是年正月一日之平春分纵横

第二百五十一页至三百页乃诸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道经纬度皆依该处每日平午正时从地心推算列表谓星之中心如从地心见之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黄道经纬度皆从日心推算谓星之中心如从日心望见之以平春分记之其地心之赤道经纬度有光行差故所记为其见处凡求纬度时罗[盘](盛)偏东偏西即可测望金火木土四星而得之盖能见太阳时亦能见此诸星也　内金木二星尤易测量

行星过该处午之平时亦可藉此以推过他处午之平时然亦有一日内不过该处午者因行星日较长于平太阳日也行星如月亦有不过午之日表以○(＊)为记查是年四月十二日水星不过该处午是日水星日之始早于太阳日二分九在十二日午正之前而其终则迟于太阳日十分分之八在十三日午正以后故太阳一周日间此星不及过午也若如中法子正起算水星无日不过子午者

亦有一日过午二次者则以行星日较短于太阳日也盖行星日之始在太阳日之后而其终则在太阳日之前故太阳一周日间行星必过午两次矣表亦记之但与月有异因太阴日恒长于太阳日行星有退行时短于太阳日者如是年六月初四日水星过该处午在午正后一分再于是日之二十三点五十四分九即初五午前也复道午也

求行星过别处午之平时　查前后两日过午之较为行星二十四点中之加速率或减速率既得此率再以距英国经度而比其较此较数谓之正数或加或减于行星过英国午时之上但布算者宜详细审察如测处在英国之东则所有加速率乃行星过测处午早于英国若所有减速率乃行星过测处午迟于英国在英国之西者反是

设于是年二月初四日午后六点钟测处平时在英国偏西三十度之处求水星赤道经纬度并水星过测处午迟之平时法偏西三十度应加六点钟为英国之二月初四日八点钟以算赤道经度查二月初四日水星赤道经度为二十点五十五分三十五秒九五二月初五日为二十点五十分五十三秒八一两数之较为四分四十二秒一四以二十四点比四分四十二秒一四若八点与一分三十四秒零五查表经度渐减以减于初四日经度余为二十点五十四分零一秒九零即为所求水星赤道经度也然其每点之减率不同须再算较中之较法见日减之得二十点五十四分零秒五八为所求赤道经度

再求赤道纬度　查二月初四日为南十三度三十三分二秒九二月初五日为南十三度五十一分二十五秒九两数之较为十八分二十三秒以二十四点比十八分二十三秒若八点与六分七秒七加于初四日之纬度得纬南十三度三十九秒十秒六即所求赤道纬度再推较中之较应减七秒九法见日

求水星过测度午之平时　查二月初四水星过英国午为二十三点四十九分二二月初五为二十三点四十分九其较为八分三以二十四点比八分三若二点偏西三十度所化之时与十分分之七测处在英国之西且又减速率应减于初四之过午时为二月初四日二十三点四十八分五即得测处水星过午之平时寻常测算不必求精用此法则无大差第三百零一二页乃水金木火土天王六行星之赤道地平视差及半径越五日一记下载水土二星乘数为算极半径之用木土二星极半径等于赤道半径乘千分之九百二十七

第三百零三至三百二十四页记五星及天王海王过该处午时之赤道经纬度及每点较数每间日一记用以较算过别处午之赤道经纬度应推其相距英国之数用每点较数求之如所设经度在其东则取本日表数与前二日之表数核其较如所设经度在其西则与后二日之表数核其较以两项每点较数相减得其较中之较以两日共四十八点归之乃以两处相距之经度变时折半取其中数乘之视下一数每点较数比本日较数大小以别加减乃加减于本日每点较数为所求时每点较数之准数复以两处相距度变时乘之即得里差应移之赤经度理与日每点较数法同乃视下一日赤经度之进退以别加减加减于本日经度得测处之赤经度求纬度法仿此

设是年三月初二日在英国东六十度之地求过午之赤道经纬度　查三百零四页内是日水星过英国午时其赤道经度为二十一点十三分四十二秒二五每点经度之较为⊥此代数记号西表作一译改作⊥十一秒五七用上法推得四点相距六十度变时时之每点较数为十一秒五四与减西作十译改作四点相乘得四十六秒一六以减于是日英国过午之赤道经度此逆推而上之法理亦同得二十一点十二分五十六秒零九为水星过测处午时之赤道经度也　再查是日水星纬度表为南表以南为数十六度四十七分三十七秒三每点较数为⊥二十八秒五如上法推得准数为⊥二十八秒二与四点相乘得一分五十二秒八以加是日纬南度得纬南十六度四十九分三十秒一即水星过测处午时之赤道纬度也再设在三月初一日算其经度准数应为⊥十一秒一八纬度准数应为⊥二十四秒七也

凡测度行星之环而欲推算其至中心之数可用半径过午之恒星时表若推算其纬数则用半径表地平视差表用以便观象者改到地心推算也

第三百二十五至三百八十九页记一百四十七恒星之赤道平经纬度以是年正月一日午正后千分日之四十八为起算之端并记其岁差　其赤纬南北各有记号惟以北纬为⊥凡纬北可依号加减南纬为在纬南者须反用其号

设于是年五月三十一日求毕宿大星之平赤道经度查经度岁差为⊥三秒又万分秒之四千三百五十三再查五月第二十页末行万分年之分数表内其三十一日相合分数为四千一百零七依原表加万分之二十六得万分之四千一百三十三此数与三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以后至五月三十一日岁差之分例比数也既有⊥号应加于正月一日又千分日之四十八时候所记赤道平经度四点二十八分二十七秒七八二上共得四点二十八分二十九秒二零二是为五月三十一日所求毕宿大星之赤道平经度又查赤道纬度岁差为上七秒六二二如前法与万分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既为北纬度则依号加于正月一日又千分日之四十八时候所记之赤道平纬度北十六度十四分四十四秒一四内共得北十六度十四分四十七秒二九是为五月三十一日所求毕宿大星之赤道平纬度

又如是年六月初三日求帝星之赤道平经纬度查经度岁差为万分秒之二千四百八十九再查六月第二十页是日年之分数为万分之四千一百八十九依原奏加万分之二十六得万分之四千二百十五此数与岁差相乘得千分秒之一百零五依号减于正月一日又千分日之四十八时候平赤道经度十四点五十一分六秒八五七减余为十四点五十一分六秒七五二是为六月初三日所求帝星之平赤道经度

又查赤道纬度岁差为十四秒七五七与年之分数四千二百十五相乘得六秒二二依号减于正月一日又千分日之四十八时候平赤道纬度北七十四度四十一分十一秒二四减余为北七十四度四十一分五秒０二是为六月初三日所求帝星之平赤道纬度

又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道纬度查其岁差为减八秒三八七与是日年之分数为万分之四千一百三十三见前相乘得三秒四七因为纬南度故岁差之号应反用遂加于所记正月一日又千分日之四十八时候该星纬南二十六度八分二十七秒六二共得纬南二十六度八分三十一秒０九是为五月三十一日所求心宿中星之平赤道纬度

每月第二十页所载白水而氏之推方表已设譬于三百二十九页此三百三十页及三百三十一页所用英会星部恒数定星表亦于五百二十九页内详其法勾陈第一星及第三星并逐日列表其余一百四十五恒星皆越十日列一数所列之数皆以是日恒星过该处午时之经纬度表之上面所列赤道经度之点分数与纬度之度分数因一岁之中恒星赤道经度出入之数只争在秒故其大数总计于上端止以秒数小余记其下故其秒数即有过于六十外者亦不便收分仍以秒计如三百四十六页是年十二月十七日屏星第二所见之赤道经度为四点五十九分六十秒四二其实则为五点０秒四二也　又如三百四十八页是年十二月十七日厕星第一所见赤道纬度为南十七度五十四分六十二秒七其实则为南十七度五十五分二秒七也其不可移换大数者限于幅耳

每十日并列其经纬较数便求零日用中比例也

恒星亦有一日过该处午两次倘遇其日亦即记其经纬度两次如三百五十四页七月三十日记柳宿第五星过午两次者凡遇恒星过午两次之日若非表列之日即于经度上下十日之中间别列小字指出十日内之何日此星过该处午两次则太阳日十日内其星既过午十一次则其所记之较数亦应作十一分比例如三百四十八页参宿第二星表内六月初十日与二十日之间傍注小字为十三以明六月十三日此星过午两次也查表傍较数为０秒一二作十一日分之每日应为千分秒之十一其十三日之第一次过午为十日内第三次应用三因千分秒之十一而得其较十三日之第二次过午为十日内第四次应用四因千秒之十一而得其较其十四日之过午为十日内第五次也虽差数止微其理固如是也

如欲细算五极星所见位数须寻一准数此准数当以代数∥０求之

是表记星所见之位不算准数者缘星之００变率每日约二十六度所变甚大故不记也惟三百八十八九两页于月之黄道经度则每度记之表末申明其法正每日光行差之方程式记在序内

第三百九十页至四百二十八页乃近月之星谓其赤道经纬度距月不远凡欲算地上东西二午之较即较所测见之星与月相距赤道经度而得之盖月如不动则星与月赤道经度之较无论何处午皆可一例相同惟月常行动则过二处(之千)之午已自改其赤道经度所改度数加于二处之午较数内即知西边午应移若干度而月始至故知月赤道经度之较亦可算东西二午之较月明环之赤经度与月中心之赤经度在过该处之上下午时表列其数均有其天下字作记号甲乙二字记月之左右二环

星之等数表即记星之大小表之左行记其日数及十分日之几

每隔一点即十五度月改赤道经度表即月过该处午时之每点较数也　如月自英东七度半至英西七度半两处之较为一点此一点所移之数即从月之明环赤经度推测故其半径亦常改也

凡东西二午之较不大谓在一二度之间可用近月之星算之若较数甚大谓相距十度以上而欲详算其经度应以东什西二午之中间午为准求得月所移赤道经度之数而推得之　如欲约算月之明环过他处子午之赤经度用此测之　法以英国午与赤处午经度之较与月所移经度相乘得数视测处午距英国之东西以别和减在东者减在西者加乃加减于表内赤经度即为测处子午上月明环经度

设于是年六月十八日月过英国上午时其乙明环赤经度为二十二点四十七分四十七秒二四其每点较数为一百二十四秒五　而求乙环过泼立司法都上午之赤经度　查泼立司偏东九分二十秒六化为千分点之一百五十六与每点较数相乘得十九秒四二以减偏东故减表内赤经度余二十二点四十七分二十七秒八二是为乙明环过泼立司午之赤经度

凡他处距英国不甚远者其月之赤纬度亦可如法约算惟地偏于东及纬度在南者皆为负数即以前譬明之　是日月过英国上午为南十二度三分四十一秒八每点较数为除⊥六百二十三秒一此数与千分点之一百五十六相乘得一分三十七秒三此负数与纬南度相加月之纬南渐减因偏东故反减得纬南十二度五分十九秒一是为月过泼立司午时之赤纬度

星名表侧有米号者指此星不论在赤道南北俱可与月同时测算并以定月之视差也

月半径过午所历之恒星时　此数因月距赤纬之南北而改变时时不等凡测见月之外环相切于午之时而加此数即改为中心过午之时

第四百二十九页至四百四十三页记日月交食在何地何时可以望见并记其算出之诸根数

第四百四十四页至四百五十四页记星之交食其数有五　其一记一等至六等之恒星于该处平子正时为月所掩在该处能测见者　其二记恒星或行星自一等至五等不论何处见其为月所掩者　其三记星与月应于该处何平时同一赤经度　其四记月与星合一经度时其纬度有何较数　其五记在何纬度外月不掩星

凡算月掩何星可用诸表表内所记星月之数皆从地心推算故地上不等何处皆可通用惟算须距其英国若干经度变时以加减之在东者加在西者减即得月星相合时之测度平时

设于是年八月初四日月抵氐宿第三星在英国平时为十六点二十九分五十七秒而在泼立司平时为十六点三十九分十七秒六因泼立司在英国东九分二十秒六故也

纬限者谓自地上某度起至某度止得见月掩何星外此不见其掩是为纬度之限也

设有人自星望地而月界其中则地面几分为月所掩而月自西至东移过时地面成一带形阔与月径相等若反言之则人在地面于带形中望月则星为月掩在带之上下两限但见月与星相切而不相掩是为纬度限在其上者为上限在其下者为下限

纬限表以明星在何度应为月掩外此不必布算也

如英国在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北极高出地平度设于是年八月内查四百五十一页表自十六日起查末行纬限表至十七日掩α星只指一希腊字星名α希腊字在赤道北二十六度之处起至九十度之间皆可见惟被掩之时在三点十一分四十四秒是在午后日光所逼仍不能见惟是日之十二点四分二十一秒月又掩０星在赤道北十四度至九十度之间八月十九日十四点一分十七秒月掩毕宿第五在赤道南四度之处起至赤道北六十八度之间又是日十四点三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之处起至八十五度查四百五十六页表知已上三星之所掩其二在英国能见其一不能见也

第四百五十五六页之表乃恒星与行星在该处地平上为月所掩记其不见至再见之恒星时及平时并记星于月环内始隐于某度复见于某度若以翻影镜测之凡穿过月之北极与中心成一大圈与月环成一交点方近月环之星距交点若干度当从角之北点数之穿过月之天顶与其中心成一大圈亦与月环成一交点方过月环之星距交点若干度则从角之顶点数之用此角并可测量小星且当星之隐而复见时亦须先知此角不然难定镜之方向表内月掩几星时有在该处不得见者然离该处不远即能见也

第四百五十七页至四百七十六页是表所记木星之月或食或掩或月过或影过等数皆准该处之平时并图形以明其隐显之处如自翻影镜视之图内之形虽举望日之数然木星离地甚远目力不及故其体与影一月内更变甚微除与日对峙时形状有异外余则通月皆然试以两月图形较之便可晓然当木星距该处地平上八度日在地平下八度时其月之食有此米为号明该处可以测望至木星在地平上日在地平下时有此十为记则亦能望见也

○甲者指月木星月被星影所掩方隐之际也□乙者指月离星影再显之时也此乃月距木星略远则然若日星对峙时则月之食也近星之体日星对峙以前月之隐见在木星之西日星对峙以后月之隐见在木星之东用翻影镜视之则东西相反日星对峙以前仅见第一月之隐对峙以后方见其显至第二月被星影所掩时其隐见鲜能并见第三第四月或可并见云

凡在别处求木星某月隐见之时即以测处经度在英国之东西推算在东加经度之较变时在西减经度之较即为所求时然亦须查木星之地平上下与日在地平上下如日在地平上光耀难见算之者应以半弧表自东至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向

测得木星月之食可定地上经度第一月最易测惟须详悉测量之的确时刻此时与英国时之较即为经度之较化度测处之时早与英国为在其西迟于英国为在其东

设于是年七月二十四日在泼立司法都测得木星第一月之隐见时为十四点三分二十四秒九乃查第四百六十六页表内英国平时为十三点五十四分四秒三其较为九分二十秒六即两处相距之经度因所测之时迟于英国故知其在东也

凡测星月之掩木星与其月除表有差数外尚有别样难处不能详定地之经度且远镜测量各不同若欲详算经度须用相类之镜并算其地面蒙气视差若不必详算则以测见木星为某月所掩约计地上经度如某月之隐见俱能测得则更妙矣

表内约计月食月过之过所以便天算家预备测量推验此表之差否因测此二事须用最妙之镜而海上尤不易测也

入出二字记月初遇木星环面为入初离木星环面为出

第四百七十七页至四百八十七页　木星两月毘连表内用数记之以代寻常之０号而不记其黄道纬度在上者记于上在下者记于下表右为东表左为西如见木星之月自西向东移动时则知木星在月与地之间而月行于后半轨道故有食有掩若见月自东向西移动时则知月在木星与地之间而月行于前半轨道故有月过与影过

设于是年正月二十七日在英国八点钟时平时用翻影镜测望木星月如图其第一第二两月实在木星之左从翻影镜相之则在右第三第四两月寔在右而反左　表首西东二字乃月实在木星之东西方向也木星常在该处天顶之南图左之月应见于木星之西图右之月应见于木星之东月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直远近相等而左右互易以此验图可得月之真向

表内时分皆指该处平时观表与图可以辨木星之诸月而亦以别他星之近木星者

第四百八十八页至四百九十页　行星与月或与他行星合一赤经度及行星与恒星或合经度或合纬度皆每月一格记其日时行星当此时候最易测望又以便天算家考验表之然否

第四百九十一页　土星光环之位表中越二十日一记以明其能见与否０为光环之短轴距何赤纬度甲∣乙∣甲∥乙∥为光环所见大小之数丑丑∣之比以定能见与否盖太阳与地同在一边高过环面时其环自能测见若不能见之时则其故有三　一则环面平过日心则丑∣与０等

二则环面平过地心即丑与０等皆不能见　三则日在环之面而地又在一面亦不能见因环上无经光之面向地耳第四百九十二三页记月之明环约于何平时侧动最大并记火星金星之环在何月中光显几分至月之纬度侧动之数则不论何时皆可照四百九十三页计之

第四百九十四页至四百九十七页　系该处潮汐与中国无涉故不译

第四百九十八页之准数表　凡测见距星之度数业将蒙气视差等推准可求秒数相较即比例对数之较于表内查一准数以加减之即可得该处相合之时其算之法见后五百二十五六页内

第四百九十九页至五百页　表内之数算月之侧动

第五百０一页至五百０三页　为测勾陈大星若不在午线时可用此表能算地上纬度法如左

先将仪差及蒙气推准减于星之高点再照五百０四页改测望之太阳平时为恒星时于此表内查得相合之第一准数为⊥按号加减于测见之高度得所求纬度之约数复以所算恒星时查第二第三表得相合之第二准数加此二准数于上约数内即得真纬度

航海通书改率说

是集从英国行海通书译出考西人之航海来游寔以此书为乡导盖海舶既驶远洋茫无畔岸可纪罗盘祗可辨方向不能测其现行何地惟藉天度可认地球之经纬数理精蕴天上一度相当地面二百里至三十六万尺以天度之一秒当地面一百尺此论南北纬度则然若东西偏度不正当赤道下每度皆不满大圈之里数须依弧三角法算之昼则量日夜测月星辅以算术道里之距了如指掌是以无远弗届故吾中国航海亦以翻译此书为首务特延西士层解条分阐明理数撮要删繁译成是集以引诱来学凡吾同志咸宜家置一集朝夕讲求引伸类长制备仪象随时测量并可验其算法之疏密然否实为推步家特开门径学者必由是而学焉则庶乎其不差矣

改率

考行海通书原依英都观象台之中线立算诸星行度表悉照该处平午正时解见时差从地心起数其天周以春分起步与中国不同今译改时遵　京都顺天府为中线诸星皆从子正起天周以冬至起步中西同用平时共宗地心立算三百六十度为一周天中法又分为十二宫以冬至丑宫初度起逆行十二支每宫三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四时此书从西例以一点钟为一时便布算也故凡言一时皆一小时也每时六十分忡法又以十五分为一刻一时为四刻因多增位数不便布算姑从西例不命刻每分六十秒秒下小余则随秒不以六十递析

据西士实测得东西经线相距一百十六度二十七分变时见变时表为七点四十五分四十八秒盖英国午正已为顺天七点四十五分四十八秒也故用原书之本日午正星度再加四点十四分十二秒之星行度即满半日十二时之数倘星之经纬有退行者则减即得明日顺天之子正度也

中比例算法

星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例为西算之大宗其法以已知推未知故以原有之数为一率二率今有之数为三率恒以二率与三率相乘数为实以一率为法归除之得所求之四率数也

时差

推算所得曰平时通书表数俱按平时算定如钟表之走平分时也中国又名实时日晷所测曰真时中国又名用时盖时刻并宗赤道原系平分黄道与赤道斜交在赤道则度有阔狭日行黄道又有冬盈夏缩之异缘此两端故生时差即平时真时与之较也两数相减曰较其数列如表加减于平时即得真时也

钟表宜开平时说

西书云一昼夜地球自转一周则宗北极一岁中地球绕日一周则宗黄极两极相距二十三度二十七分西率尚有二十余秒零数且每年有行分如岁差然盖日晷测时皆依绕日之轨而出故与赤道自转之率有异细数之且逐日不同用度时表候之表之极准者行船用以较偏度故又名行船表二十四时中即一昼夜甚有差至半分者故设时差加减也

然则钟表但能走平分与赤道同率如太阳之盈缩黄赤道之升度差不与焉故必开准平时按号加减时差以求合于日晷测量之要事也

如先测得日晷午正求钟表平时则将时差号反用加者减之减者加之以加减十二点即得平时

逐日测北极高度不拘何时

法候日晷将交午正之前后凡日晷至午可不问地之经纬何度节气早晚器之密咸可一概施之惟罗盘(正)指南钺与日影有偏向且随地不同中国恒偏于日影之东故测太阳高度宜过晷数分候之用纪限仪屡测太阳高度取其最高之度为本日午正太阳高度内减蒙气差加地半径差则改视高为寔高随查通书内本日太阳赤道纬度表数俱子正起求午正用中比例南加北减于太阳实高度得赤道距地平度亦即北极距天顶度再与一象限九十度相减得测处北极出地度　若测恒星高度赤纬加减与太阳同法惟恒星无地半径差但减蒙气差即寔高度

又法任于何日算勾陈大星过上子午之时分测视其高度内减蒙气差改为实高度又减距极度约一度二十一分半余即北极高度或算其过下子午线之时分测其视高度内减蒙气差加距极度亦即北极高度

测候用时表说

凡度时表必按京师之平时开准盖诸曜黄赤经纬表数俱依京师平时起算故任至何地视表内之时分与通书上星行经纬度随时合时表寔为省算之快捷方式设无时表船至某处尚未知其地经纬何度用何比例求星之所在必任设多处逆探推求岂不费算故西人航海测天仪器而外度时表与通书二者相须为用缺一不可也

算星过午线时即中星时

置本日星之赤道经度内减本日太阳平行赤道经度即恒星时若不足减加二十四时减之此为设星在午正太阳平行距午正后之时分视其数不满十二时则加十二时过十二时则减十二时比例要从子正起算故加减十二时为本日星过午之泛时如恰在子正即为平时有距时分因日星俱有行分故曰泛时如法再求明日星过午线之泛时以一日化一千四百四十分为一率两日之泛时较化秒为二率本日泛时化分为三率求四率即泛时内应行之泛时较秒数视两日之泛时顺逆以别加减如明日之数多则加于本日数明日之数少则减于本日数加减于本日泛时即京师星过午之平时如算太阴过午线每时俱有细行只须用一时之数为比例不用两子正比例

有某地纬度用日晷测偏度

法以日晷按其地极高度测得时分若非午正晷须极准方应视京师平时表内系何时分加减本日本时之时差改为京师日晷时与所测日晷时相减以时较化度法见变时表即得其地距京师之偏度也所测时早于京师为偏东迟于京师为偏西

测太阴过午线偏度

任至何地测得太阴过午视京师平时表内系何时分随检通书本日太阴过午系何时分与所测时分相减余为两地所测处与京师过午时分较乃检通书之明日过午时分内减本日过午时分余化分加一日化一千四百四十分为一率一日化一千四百四十分为二率两地过午时分较为三率求四率为偏度时分检变时表得偏东西度早于京师为偏东迟于京师为偏西

盖测太阴视差多端惟其过正午时但有南北视差可于经度多关是以便于测算诸曜每日过午之时分较数惟太阴为最大用以比例求偏度易准若恒星每日过午时分较祗三分五十六秒五六太阳平行度即恒星时也故测得两地午时分较每点钟减十秒即偏度时分西人航海常测月过午差为算偏度之快捷方式也

赤道经纬度说

按西书七政经纬度并宗赤道立算求其故皆因诸曜随天西转西谓地球自西徂东亦同惟赤极不动故其经纬随地随时测算较易若黄极每日既绕赤极一周则其经纬晷刻异视不惟测候甚难即凭以知地之经纬布算亦不易故西书云黄道经纬度无益航海之人考其数亦从赤道经纬度用斜弧算出又其五星之黄道经纬度皆从日心立算恒以星出入黄道之南北交终为一周天如水星只八十八日一周金星二百二十余日一周之类并无退留之行用于仰观不合故是集止取其赤道经纬度列表若求黄道经纬度　钦天监既有七政时宪书颁行故省推算

表算日食法

求入限

所求年干支察首朔食应表表见后得年前十二月朔食应以后每朔但于月数上递加一月小余仍之满食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月数余为所求朔食应视某月朔入食限

二月三六五二三六以外

三月一三００八五二八以内

八月六０七五六四七以外

九月三七二四一三九以内

附求望食限

所求年干支察首望食应表得年前十二月望食应以后每望递加一月小余仍之满食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食应视某月望入食限

二月五五六一一七八以外

三月三一二七０七一八以内

右平朔望可食之限摘徐钧卿先生法不过举其大凡欲定食之有无须用日月离求实朔望太阴距交度始为的食限也

求实朔泛时

以平朔距冬至之日数用推日月离法法见考成后编各求其子正黄道实行将本日子正太阳实行与太阴实行相较如太阴寔行未及太阳则平朔日即为寔朔本日如太阴寔行已过太阳则平朔日即为实朔次日平朔前一日为实朔本日又用推日月离法各求其子正黄道实行将本日子正太阳实行内减太阴实行余为月距日度分化秒求对数法见数理精蕴加日法一千四百四十分对数内减一日之月距日实行对数次日日实行内减本日日实行余为一日之日实行又次日月实行内减本日月实行余为一日之月实行内减一日之日实行余为一日之月距日求对数即是得距本日子正分数之对数检表得真数以时收之得实朔泛时如次日月实行仍未及日则次日为实朔日乃以次日日实行内减月寔行余为月距日化秒求对数加一千四百四十分对数内减前所得一日之月距日实行对数对距次日子正后分数之对数

求泛时月距正交

次日月距正交内减本日月距正交不及减加十二宫减之余为一日之月距正交化秒求对数加泛时距子正分数之对数内减一千四百四十分对数得距本日子正之月距正交化秒对数检表得真数以度分收之加本日子正月距正交得泛时月距正交

求的食限

视月距正交初自宫初度至初宫十八度二十六分自五宫十一度三十四分至六宫六度二十二分自十一宫二十三度三十八分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限内者不食即不必算

视泛时若在夜距日出前日入后五刻以内者见可食五刻以外者全在夜不可见即不必算如泛时在日出入前后者先须加减时差审昼夜

求实朔实时

实朔泛时上下设前后两时如泛时为丑正二刻则设丑正初刻为前时寅初初刻为后时用推日月离法各求其黄道实行以前后两时日实行相减为一小时日实行以前后两时月离黄道实行相减为一小时月实行两实行相减为一小时月距日乃以前时日实行内减月实行余为前时月距日化秒求对数加一小时化三千六百秒对数内减一小时月距日化秒对数得距前后秒数之对数检表得真数以分收之加于前数得实朔实时用推日月离法再以实朔实时各求其黄道实行则日月必同宫同度分秒不异方准乃视本时月距正交入前限者为有食

求均数时差

实朔日引宫度察日均数差表即得记加减号

求升度时差

实朔日黄道宫度察升度时差表表见后即得记加减号

求实朔用时

实朔实时加减二时差得实朔用时

求日实行

前后两时日黄道实行相减为一小时日实行

求月实行

前后两时月离白道实行相减为一小时月实行

求实行总较

日实行与月实行相加为实行总相减为实行较

求半外角

置半周一百八十度内减黄白大距余数半之即半外角

求半较角

实行较对数凡弧度求对数化皆秒入算求三差法仿此如求入对数必要弧度入算加半外角正切对数内减实行总对数余为半较角正切对数

求斜距交角差

半外角减半较角余为斜距交角差

求斜距黄道交角黄白二经交角

实朔黄白大距加斜距交角差即斜距黄道交角亦即黄白二经交角实朔月距正交初宫十一宫白经在黄道经西五六宫白经在黄经东记东西号

求两经斜距

日实行数对加实朔黄白大距正弦对数内减斜距交角差正弦对数余为两经斜距对数

求斜距对数较

一小时三千六百秒对数内减两经斜距对数余为斜距对数较各限距弧求距时加对数较距时求距弧减对数较故用对数较

求食甚实纬

斜距黄道交角余弦对数加实朔太阴黄纬化秒下同对数内减半径对数即前位所进之一余为食甚实纬对数检表得真数为秒秒下必带小余一位求三差法仿此记南北号与实朔月纬南北同

求食甚斜距弦　食甚距时

斜距黄道交角正弦对数加实朔太阴黄纬对数内减半径对数余为食甚距弧对数再加斜距对数较即食甚距时对数检表得真数为秒以分收之月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加记加减号

求食甚用时

实朔用时加减食甚距时得食甚用时即京师食甚用时

求太阳实引

实朔太阳自变量加减太阳均数得太阳实引

求太阴实引

实朔太阴自变量加减太阴初均数得太阴实引

求地平高下差

太阴实引宫度及本天心距地见月离察交食太阴地半径差表表见考成后编得太阴在地平时最大地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差

求太阳实半径

太阳实引宫度察交食太阳视半径表得视半径内减太阳光分十五秒即实半径

求太阴视半径

太阳实引宫度及本天心距地察交食太阴视半径表得太阴视半径

求并径

太阴实半径加太阴视半径得并径

求距时日实行

日实行对数加食甚距时对数内减三千六百秒对数余为距时日实行对数加减号与食甚距时同

求食甚太阳黄道经度

实朔太阳黄道实行加减距时日实行得食甚太阳黄道经度

求食甚太阳赤道经度

食甚太阳黄道经度察黄赤升度差表得黄赤升度差加减黄道经度即食太阳赤道经度

求食甚太阳赤道纬度

食甚太阳黄道经度察黄赤距度表得食甚太阳赤道纬度记南北号

求食甚太阳黄赤道宿度

用上元甲子列宿黄赤经纬度表列宿黄道经度加岁差每年五十二秒算至所求年察食甚太阳黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳黄道宿度　又将赤道宿度按赤经加减岁差算至所求年察食甚太阳赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳赤道宿度

求太阳距北极

置九十度南加北减太阳赤道纬度得太阳距北极

求黄赤二经交角即黄道赤经交角之余

食甚太阳黄道经度察黄赤二经交角表得黄赤二经交角冬夏至后黄经在赤经西东记东西号

求赤白二经交角

黄赤二经交角与黄白二经交角即斜距黄道交角东西同号相加东西仍之异号相减东西从数大者得赤白二经交角记东西号此之谓东西乃白经在赤经之东西也若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角如无黄赤二经交角则黄白二经交[角](加)即为赤白二经交角东西并同

求北极距天顶

置九十度减本地北极出地度得本地北极距天顶

求半和弧　半较弧

日距北极与北极距天顶相加半之为半和弧相减半之为半较弧

求正弦对数较

半和弧正弦对数减半较弧正弦对数得正弦数较其号为减因与半角余切相减也

求余弦对数较

半较弧余弦对数减半和弧余弦对数得余弦对数较其号为加因与半角余切相加也此两数九限皆可同用较之旧法用垂弧者简捷数倍

求本地食甚用时

置京师食甚用时加减本地偏东西度时分偏东偏西度见考成下编得本地食甚用时

求用时太阳距午赤道度即可借为前设时

以食甚用时午前午后时分如用时在午正前则置十二小时减用时余为午前时分如用时在午正后减十二小时余为距午正后时分变赤道度如用时距午正一小时变为十五度一分变为十五分一秒变为十五秒得用时太阳距午赤道度或用变时表按时取度表见冯林一先生中星表后半之为半距午赤道度

求设时半较角

半距午赤道度余切对数内减正弦对数较得半较角正切对数

求设时半和角

半距午赤道度余切对数加余弦对数较得半和角正切对数

求设时赤经高弧交角

半和角减半较角若北极出地二十三度二十七分以内太阳夏至前后在天顶北者则两角相加得设时赤经高弧交角午前为东午后为西记东西号

求设时白经高弧交角

设时赤经高弧交[角](高)与赤白二经交角见前东西同号相加东西仍之异号相减东西从数大者得设时白经高弧交角记东西号此之谓东西乃太阳在白平象限之东西也若两角相等而减尽无余则太阳正当白平象限无交角设时即真时但有高下一差者相加过于九十度与半周相减用其余则白平象限在天顶北

求设时太阳距天顶　设时高下差

北极距天顶正弦对数加设时太阳距午赤道度正弦对数内减设时赤经高弧交角正弦对数得设时太阳距天顶正弦对数加地平高下差对数内减半径对数得设时高下差对数

求设时东西差

设时白经高弧交角余弦对数加设时高下差对数内减半径对数得设时东西差对数

求设时南北差

设时白经高弧交角正弦对数加设时高下差对数内减半径对数得设时南北差对数如白经高弧交角为九十度则无南北差寔纬即视纬但有高下一差

求设时视纬

食甚实纬南加北减南北差得设时视纬若不足减则置南北差反减寔纬变北为南白平象限在天顶北者反是记南北号

求设时距分

设时与食甚用时相减得设时距分如以食甚用时为前设时则无距分

求设时实距弧

设时距分对数内减斜距数对较得设时寔距弧对数在用时前后为纬西东记东西号

求设时视距弧

设时实距弧加减设时东西差得设时视距弧

月在限东西设时在用时前则减加后则加减

月在限东西东西差大于寔距弧为纬东西小为纬西东记东西号如以食甚用时为前设时则无寔距弧其东西差即视距弧限东亦为纬东限西亦为纬西

求设时视距视纬差角

设时视距弧对数加半径对数内减设时视纬对数得设时视距视纬差角正切对数

求设时两心视相距

设时视距弧对数加半径对数内减设时视距视纬差角正弦对数得设时两心视相距对数

　以上各条自太阳距午赤道度起至两心视相距止共十四件凡食甚用时近时真时及初亏复圆用时近时真时皆名同而数异故不重列诸求其寔皆设时也故统以设时冠之其求三限真时并用前后两设时求之

求食甚前后两设时视相距和较

前设时两心视相距与后设时两心视相距相加为视距和相减为视距较

求对视行角

前设时视距视纬差角加减后设时视距视纬差角东西同则减异则加得对视行角半之得对视行半角

求半和角

对视行半角余切对数加视距较对数内减视距和对数得半和角余切对数

求视行旁小角

半和角内减对视行半角得视行旁小角

求两设时视行

对视行角正弦对数加小视相距对数内减视行旁小角正弦对数得两设时视行对数

求视行差

视距和对数加视距较对数内减两设时视行对数得视行差对数

求食甚真时视行

两设时视行加视行差半之得食甚真时视行

求食甚真时距分

两设时较对数加真时视行对数内减两设时视行对数得食甚真时距分对数

求食甚真时两心视相距

视行旁小角正弦对数加大视相距对数内减半径对数得食甚真时两心视相距对数

　复以食甚真时为设时求其两心视相距以考其合否合则食甚真时即为定真时否则再求视行以求考定真时并如前法

求食甚定真时

设时距分小大于真时距分限西为加减限东为减加置食甚设时加减真时距分得食甚定真时

求食分

并径内减定真时两心视相距余求对数加六百秒对数内减太阳全径太阳实半径倍之即全径对数得食分对数

求初亏复圆前设时

食甚定真时两心视相距与并径相加为距径和相减为距较径较

距径和对数加距径较对数半之加定真时距分对数内减定真时视行对数得初亏复圆前设时距分对数

求初亏复圆后设时

前设时两心视相距与并径相减为距径较食甚两心视相距与前设时两心视相距相减为视距较

距径较对数加前设时距分对数内减视距较对数得后设时距分对数

求初亏复圆真时

两设时相减为设时较两设时视相距相减为视距较后设时两心视相距与并径相减为距径较设时较对数加距径较对数内减视距较对数得真时距后设时对数

求初亏定交角

初亏真时视距视纬差角即并径白经交角加减白经高弧交角得定交角初亏在限东西者纬南北则加与半周相减纬北南则减南北以初亏视纬论若白平象限在天顶北则纬南如纬北纬北如纬南如无初亏白经高弧交角则视距视纬差角即定交角如两角相等减尽无余或相加适足一百八十度则交角为初度

求复圆定交角

复圆真时视距视纬差角即并径白经交角加减白经高弧交角得定交角复圆在限东西者纬北南则加与半周相减纬南北则减解同初亏

求初亏方位

初亏在限东西者定交角初度为正上下四十五度以内为上下偏右四十五度以外为右偏上下九十度为正右过九十度为右偏下上白经高弧交角大反减交定角者变右为左白平象限在天顶北左右相反

求复圆方位

复圆在限东西者定交角初度为正下上四十五度以内为上下偏左四十五度以外为左偏下上九十度为正左过九十度为左偏上下白经高弧交角大反减交定角者变左为右白平象限在天顶北左右相反

求食限总时

复圆定真时减初亏定真时得食限总时

对数尺以量代算或作　量法代算

西洋对数能变乘除为加减其算必资于表造之实难而用之甚便为今习算者所不可少近已用活字翻行弁以用法数则俾得开卷了然蒇事后复深思其理既可两数相并以代乘相减以代除必能施诸量法因变通其术作直尺一千根记数于尺之上面爰按假数之积各识真数于尺内以代表施之闾阎贸易寻常日用之算乘除可以量驭法甚浅易虽妇人孺子略识数目字亦可朝得暮能岂非于常算之外更出一奇乎凡习此尺须制薄铜尺一根或牙或篾青皆可将一边削薄口如刀以便密切尺内之数必取光滑则所记墨识算讫随可揩去依书中两根尺度为长以官尺三四分为阔居中刻定一线平分为两根凡遇乘法有两零相并过一根者即将一根并入根数内用其下余数量之理亦同或遇除法有实之零内不足减法之零者即可少记一根移于尺之上半将实之零数接于下即可减矣

凡初习此尺须用算盘记根数便于加减待用之既熟根数加减自能肚算无须算盘矣又此尺只能以加减代乘除之用如有几数迭加或递减此尺不能驭仍须用算盘凡定所求位数之大小用对数表之首位法辨之如单位之首为０十之首为一百之首为二千之首为三万之首为四十万之首为五之类如百与十乘则二加一为三其所得应为千数如乘法遇有两根相并过一千根者即可减去一千根用余数量之得数亦同惟其位数照常必升一位矣又除法遇有实之根数少于法之根数则不足减可加一千根于实内减之仍用减余数量之得数亦同惟其位数照常必降一位矣若所求位数之大小可以会意不者便不须寻首位矣

凡有法实两数欲相乘者先任以一数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数另用铜尺上端齐尺之上面细界量至真数所在之处即其根数下之零数用墨线记于铜尺上再查又一数之上面根数并入所记根数上复以铜尺上墨线所记之处齐尺之上面细界量至又一数真数所在之处亦其根数下之零数再以墨线记其下则两零数亦接成一直线矣爰视两次所并之根数于尺之上面根数中寻对再以铜尺上端齐尺之上面细界线量其下所记墨线处

相遇之真数即得两数乘出之数也如遇两根数相并过一千根及两零相接过一根者俱依前法量之凡有法实两数欲归除者先以实数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数另用铜尺上端齐尺之上面细界量至寔之真数所在之处即其根数下之零数用墨记于铜尺上再以法数于尺内真数中对寻看尺之上面记其根数亦以铜尺上端齐尺之上面细界线量至法之真数所在之处亦其根数下之零数用墨线记于铜尺上面先将寔之根数内减去法之根数视其减余之根数于尺之上面查对复以铜尺上实之零数内亦减去法之零数用其减余之较数齐尺之上面细界量其下所记墨处相遇之真数即得两数除出之数也如遇实之根数少于法之根数及实之零少于法之零者俱依前法量之

凡算四率比例依常法第二率与第三率相乘数为寔以第一率为法归除之即得所求之第四率数故用量法亦以二率与三率之根数与零数如乘法相并即为寔再如归除法减去第一率之根数及零数视其余数依前法量之即得所求之四率数其理与用对数表同

凡开平方先以方积于尺内真数中寻对看尺之上面根数若为偶数即可折半若为奇数则少记一根移于纸上再以纸齐尺之上面细界量至方积真数所在之处即其根数下之零数以墨记于纸上随视折半之根数于赤之上面寻对再将纸上零数对折齐尺之上面细界量其下墨处相遇之真数即得方边然须审方积之位数必加首位于根数上折半复去首位而量之始方边之数不淆因方积两位定方边一位故也如方积止有单位则首位为０即将根数折半是也若方积在一百以内为二位数则其首位为一必加一千根于根数上折半方合若方积在一千以内为三位数则其首位为二必加二千根于根数上折半方合递求而上皆然

凡开立方积之根数亦必加首位惟根数与零数各取其三分之一如前法量其相遇之真数即得立方边多乘方依数递推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之类

中西历学源流异同论

窃谓两间中有万古不易之理无百世不变之法万事皆然于历为最故治历者惟当顺天以求合不当为合以验天尧命义和历象日月星辰舜在璇玑玉衡以齐七政是皆随时考测以合天也从未闻立一千古不易之法以能合永远之天象虽子舆氏所云苟求其故千岁之日至可坐而知然亦仍属求合之言古今来治历者七十余家疏密代更详推各异而要其理不外乎唐虞时所定之型模历也象也璇玑玉衡也即算数图象及测验之器也此乃治历之大经虽万世莫之易顾其历书三代而上诚有原原本本则师传曹习之书而毕丧于祖龙之焰惟尧典仅载以三百有六旬有六日为岁实杜预谓举全数而言则有六日其实为五日有四分日之一日论谓汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限定岁寔为三百六十五日又万分日之二千四百二十五较前代为密至前明西法渐入中土历数之学始称美备自汉时西人多禄亩以迄明第谷则立为本天高卑本轮均论诸说用三角推算其术尤精乃定岁实为三百六十五日又千万分日之二百四十二万一千八百七十五较之郭守敬又减万分之三有奇　国朝西人刻白尔噶西呢等更相推考又以本天为椭圆均分其面积为平行度又月离古历皆谓月每日行十三度又十九分度之七东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬定为转分进退时各不同犹今之有初均也迨今西法益明始知太阴共有十种行度皆因日行盈缩及本天高卑两弦朔望而生均与旧法迥殊惟因古时历年既浅所差甚微非一时所能灼见迨岁月迁流积微成着然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也盖前人不能预见后来之差而后人则能考前代之度分也故世愈以降历愈以明其势则然此历法所以古疏而今密者良有由也考泰西历学起于罗马国罗马历自奴马至该撒儒略一年为十二月乃祭司与大吏任改意定后该撒儒略征请亚力山大天算家锁西日呢定历始创三百六十五日及三百六十六日二假岁寔之法以三百六十六日为闰日之年每四年一闰与郭守敬第谷等所定之岁寔略近乃于耶稣降生前四十五年正月初一日为始改用新历

按史记当在汉宣元之间是时历法尚乱故史称其年为乱年嗣后儒略之令未行而死死后祭司不明历以本年为第一闰年至第四年又为闰年如是每三年中一闰历三十六年中当闰九日而误闰十二日该撒亚古士督觉其误下令十二年不置闰日乃合儒略之大意后不复改至小余积久自生差遂为格勒固里改之当汉儒子婴初始元年新莽建国四年及天凤三年等俱为闰日之年历家咸依此上推迄唐时始有九执历元季始有回回历统回部各国犹太等历言之也欧罗巴人又从回历加精近世噶西呢等踵起阐微发奥推测尤详当时西法并宗之然而术分疏密今古殊途理至精微中西一辙我　国家推恩中外一视同仁遂聘西人襄理历法此　历象考成等书所由来也然于历算诸学皆殚极精微惟中国向以闰月定四时成岁其故因地球历三百六十五日五小时三刻三分四十五秒而绕日一周月约二十九日十二小时二刻十四分二秒而追绕地球一周地绕日一周而月绕地十二次有十日有奇故三年一闰五年再闰十有九年而七闰始合其期惟二十四节气古时皆平分岁实故谓恒气今以日行盈缩而定其损益谓之定气而节气一周与岁实仍同焉西国以太阳恒星十二宫分岁实为十二分彼既不以月圆为例故无正月二月等名目俗称外国正月二月者乃华人称之则然尔在西国历家固无所谓月也然其十二月之日数亦各不同以黄道上有高卑差而日躔即因之有加减也如磨碣宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫若巨蟹宫日最高行迟故三十一日而行一宫总以三百六十五日为一年较诸岁实尚欠五小时有奇故每四年闰一日又因四倍五小时有奇尚不足一日之数故又历一百二十八年而少闰一日法应闰三十二日者则闰三十一日始合其期夫闰日乃以太阳行度纪年闰月则以太阴行度作岁虽月分闰法各有不同而岁序纪纲则无少差异此谓之不约而合者也中国以正月朔为岁首梅勿庵谓西国以日躔斗四度为正月朔或云西国以地球当最卑为过年之期二者所差尚微因最卑东行每岁约六十二秒恒星东行每岁约五十一秒仅差十一秒须积至三百二十七年有奇始差一度推今岁冬至最卑点距冬至点后十度五十八分四十一秒自注此论系光绪丙戌年作冬至后二十日内日行最速每日约一度有零故冬至越十日而为西国过年之期即中国十二月初八日也西人恒以过年前八日为耶稣诞辰即太阳躔第十三宫第二十五日故耶稣诞辰在中国冬至后三日也

虽然中西两历不同而实同然而同之中又有不同焉耶稣诞辰后冬至三日者在近今六十年中则然尔推原厥故并非关乎理法之疏密而由于立法之各异天象之变迁惟西国总以地球当最卑为过年之期最卑又每岁东行约六十二秒约历六十年而差一度故六百年之间而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度为过年之期大略相同如今年最卑后距冬至十度零越六百年而当变为距二十度零则西国过年之期亦将在中国冬至后二十日而耶稣诞辰即因之变为后十三日矣大凡六十年中亦有一二日参差今岁交冬至节在十一月二十七日卯初故为后三日设于二十六日亥时交冬至则变为后四日矣惟查康熙戊辰年瞻礼单耶稣诞辰则在冬至后四日似以日躔斗四度为过年之期也考最卑与冬至同度当在宋理宗时自宋以上又差而前故上溯汉哀帝庚申年最卑以前距冬至约二十二度十六分所以耶稣降生之辰当在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日为小雪后二三日也一千九百年之间已差至三十一日此所谓同之中更有不同者也愚准最卑东行之理推之自今以往约历一万零一百四十年之久则地球绕日之轨道最卑最高将易位置是最卑点当夏至点而西国过年之日在中华夏至之期即耶稣诞辰在中国夏至前七日矣当是时北半地球夏生酷暑冬有严寒愈近北极而其苦愈甚盖最卑最高所受日光之比若十六与十五比地土皆环绕北冰海披离下垂故南半球多水北半球多陆水可回光故难受亦难散陆能传热故易受而易散夏至北极朝日日光直射北半球惟地球适当最高则相宜乃彼时适当最卑其积热应得百度者增而为一百零七度冬至南极朝日日光斜照北半球若地球当最卑则尚宜乃彼时适当最高其余热应有二十度者减而为十八度虽略能以行度之盈缩而迭相消长然曷若今日消长之自然也或曰寒暑表上升降数度在人似不大觉何苦之有曰伏暑增两三度不能隆冬减两三度不能不见夫赤日当空火伞方张之候竟有多挂一丝而不能者此何故欤又不见云愁水结灯寒榻冷之间直有欲把刀剪而难堪者此又何故欤夏至时且将增七度之热而人有不唤苦者乎自此更历万余年而仍复今日此又天运之循环而中西岁月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之运行弗替则其故甚微一时不可思议虽欧洲楚精天文家亦莫明其妙惟大约其故必在恒星焉

更定测北极出地简法

西人颜家乐测北极出地简法见赤水遗珍畴人传亦载之其法先于其处测一恒星自出地平至正午所历之时及其高度以时变赤道度以其大矢为一率正矢为二率高度正弦为三率得四率为正弦查表得度内减去星距天顶度余与九十度相加折半转减九十度得北极出地度但此法必北极出地不满半象限星过子午圈在天顶南赤道北而后可否则不合李氏士叔以其非通法也而改之见所著天算或问其法视星在赤道南北不同而大矢正矢异其乘除视星之高弧或深弧南北不同而两弧异其加减法虽略备转失之繁故颜氏法简而不备李氏法备而不简学者卒难领悟今变通两家缀为公法诸题均可一以贯之并补图演草于后推步之家庶有取焉光绪十二年丙戌夏六月丁澣识于沪滨格致堂

法曰于一处任测一恒星自出地平至子午圈所历之时及在子午圈之高弧乃以时化度以其本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦为三率得四率为正弦检表得度为星之深弧与高弧相加以减半周折半得北极出地度自地平圈南至星出地最高点为高弧自地平圈北至星入地最深点为深弧两弧如有过象限者仍用本角度不用外角度

图略

如图午癸丙丁有依子午圈剖成平圆面乙丁为地平癸为北极癸乙为北极出地午为赤道交子午圈点甲为星甲丙为星道径甲丁为高弧甲壬为其正弦乙丙为深弧庚丙为其正弦甲辛为星道度本角正矢辛丙为星道度外角正矢星一昼夜而一周故以时化度即星道度甲辛壬与辛庚丙两句股形为同式故星道度本角正矢即甲辛弦与星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股与深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸与癸丙两弧相等并为深弧加北极出地之度以甲丁高弧减乙己丁半周余甲乙弧为北极出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以减半周折半即北极出地度此加减而得北极出地之理也何以知星道度本角正矢为甲辛外角正矢为辛丙也如甲卯丙未为依星道剖成平圆面甲丙为星道径丑甲为星出地平至子午圈所过之度甲心丑为本角其正矢为甲辛丑心丙为外角其正矢为辛丙也

于一处测得一恒星自出地平至子午圈历二十六刻二分高弧六十三度求北极出地

草曰以星出地平至子午圈时刻化度得九十八度其本角正矢为一、一三九一七三外角正矢为０、八六０八二七乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０、八九一００六五为三率求得四率０、六七二二０九八为深弧正弦检表得四十二度十九分与高弧相加得一百零五度十九分以减半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北极出地度对数草曰九十八度本角正矢对数为一０、０五六五八九七一外角正矢对数为九、九三四九一五八三乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、九四九八八０八八为三率求得四率九、八二八二０七为深弧正弦对数检表得四十二度十九分如前法加减得北极出地

　于一处测得一恒星自出地平至子午圈历十四刻十二分高弧七度求北极出地

草曰以星出地平至子午圈时刻化度得五十五度三十分其本角正矢为０、四三三五九三八外角正矢为一、五六六四０六二乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０、一二一八六九三为三率求得四率０、四四０二六六五为深弧正弦检表得一百五十三度五十三分与高弧相加得一百六十度五十三分以减半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北极出地度

对数草曰五十五度三十分本角正矢对数为九、六三七０八三０一外角正矢对数为一０、一九四九０四三九乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、０八五八九四四七为三率求得四率九、六四三七一五八五为深弧正弦对数检表得一百五十三度五十三分如前法加减得北极出地

　于一处测得一恒星自出地平至子午圈历四十二刻二分高弧一百二十一度求北极出地

草曰以星出地平至子午圈时刻化度得一百五十八度其本角正矢为一、九二七一八三九外角正矢为００七二八一六一乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０八五七一六七三为三率求得四率０、三二三八六九三为深弧正弦检表得一度五十一分与高弧相加得一百二十二度五十一分以减半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北极出地度

对数草曰一百五十八度本角正矢对数为一０、二八四九二三一五外角正矢对数为八、八六二二二七六七乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、九三三０六五五九为三率求得四率八、五一0三七0一一为深弧正弦对数检表得一度五十一分如前法加减得北极出地

附真数对数求正矢法

真数求正矢以余弦减半径即得如弧之过象限者其余弦为负故以加为减

对数求正矢无论过象限与否以半弧正弦对数倍之加二之对数０、三０一０二九九九减半径对数一０、即得盖首率半径中率通弦即半弧倍正弦得末率为倍正矢故通弦自乘半之半径除之为正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今对数倍之为自乘加为乘减为除故半弧正弦对数倍之加二之对数减半径对数即正矢对数也

近代畴人著述记

　畴人传自罗茗香续后未有再续者近时算家著述序跋足继前贤而开后学者颇不乏人顾或僻处偏隅遗书未显或英年多故著作未成亦往往而有欲搜访而续缉之诚未易言矣然而覃精数理者名山之绝业也多方搜录者尚友之苦心也不揣梼昧勉效管窥意在网罗有伤繁冗谨分条诠次如左

仪征阮文达公元尝以虞推小雅十月之交在幽王六年因用时宪术士推幽王六年十月朔正得入交督漕运时立粮艘盘粮尺算法颁行各省又尝溯古今沿革之原究中西异同之致掇拾史书荟萃籍创为畴人传自黄帝以降甄而录之得二百八十人综算氏之大成纪步天之正轨至今游艺之士奉为南针

甘泉罗茗香士琳少时所著有比例汇通四卷摘九章中切于日用者汇为比例十二种意主法明西法后益专精于天元四元之术着观我生室汇稿已刻者凡九种曰句股容三事拾遗本博绘亭之法取句股中旧有之容方边容圆径益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和较算例取斜平三角中两边夹一角术镕入立天元一法用和较推演成式曰四元玉鉴细草以朱松庭原书秘奥难读殚精一纪步为全草补漏订讹申明疑义曰演元九式括玉鉴中进退升降消长诸例借无数之数入以正负开方式曰台锥积演以玉鉴中有茭草形果积垒藏二门足补少广之缺爰取台锥形引而申之曰周无专鼎铭考以四分周术为主佐以三统汉术推得宣王十六年九月既望甲戌与铭词合曰续畴人传以阮传历年已久有应续增入者因复增补得六卷曰弧矢算术补以李四香弧矢算术其术未备爰增二十七术合成四十术曰增广新术推广正升斜升横升之算法以求太阴随地随时之明魄方向分秒复以其术通之以求交食限内之方向边分及所经历之边分其未刻者有六种曰交食图说举隅遵现行之椭圆法于各求下缀以法解曰春秋朔闰考集黄帝以来六术及汉三统术以考春秋自隐迄哀凡二百五十五年总经传七百九十九日名推演成书曰缀术辑补以祖冲之之缀术久佚爰搜括各书参以本法演得二卷曰句股截积和较算例以孔轩少广正负术所载未备推而广之得八十四术曰淮南天文训存疑曰博能丛话

甘泉易蓉浦之瀚以罗茗香玉鉴细草格于体裁凡四元之条段羼糅开方之头绪纷如悉未能指出义例因撮取开方以及天元四元诸算例为四元释例一书附于罗草之后

山阳骆春池腾风着开方释例四卷于诸乘方方廉和较大小加减之理皆质言之而推求各元进退定商诸术足补李四香开方说所未备又尝取衰分方程句股等法以及九章所未载与夫古今算书之未能该洽者溯源正为艺游录二卷

全椒江云樵临泰善用对数所著弧三角举隅续传误为张作楠作简明直指附刻于张丹村翠微山房丛书中

黟县俞理初正燮博极书长于考订兼擅天算之学所著沟洫东田诸解恒星七曜古宪四分诸论皆独具神识未经人道德清许积卿宗彦经生而兼经推步之理着太阳行度解以辨王寅旭戴东原之误其目曰解日本天解日行黄道解日经度解日纬度解求经纬度解高卑盈缩解用赤道度解日度无阔狭解日左右旋凡九篇

元和沈狎鸥钦裴尝为李云门校九章算术细草图说均输一章多所增订又补海岛算经细草晚得秦道古数书九章钞本于张古愚家订补脱历有年所著有秦书刊误以老病未卒业殁后其子弟宋勉之搜得残稿数卷采其说入札记居京师时尝手录徐氏所步玉鉴细草数段因欲补撰全草遗稿四册为长洲马远林钊所藏余师张啸山先生曾见之其草与罗氏大同小异实不如罗之详然四象朝元第三第五两问罗草方廉隅诸数皆不符原术竟无说以处此沈氏所演独与术合此则胜于罗草者也马君谋刻之而未果后马君殉难遗稿遂不可踪矣江阴宋勉之景昌着数书九章札记以狎鸥所校明钞本为主而参以李四香所校四库馆本搜众说而折衷之足资后学考证又尝较杨辉算法六种皆刻入宜稼堂丛书中其未刻者有开方之分还原术一种

无锡邹敬甫安鬯精究琴理着琴律细草一卷笃好天元一术校读算书每有所得辄题于眉上尝以郁刻秦道古数书九章谬讹错出演算不易故用力尤勤而辨正为多有沈李毛宋诸家所未及者窃拟编次其说为数书校议一册庶几乡先哲之学术可以不没云

乌程陈静杰着算法大成上编凡十卷门分类别意在引诱初学其中平弧三角数卷颇能洞见本原句股求三整数法尤为新得之理惟以天元正负诸乘方为算家故设难题不适于用未免为识者所噱下编十卷则由法而致用顾无刻本盖未定之书也又有缉古算经细草一卷图解三卷马义一卷刊行于世又有彗星谱二册其弟子有乌程张南坪福禧归安丁书兆庆皆明算而未成著述算法大成中录其两边夹一角径求对边术解颇为明晰

钱唐项梅侣名达其算学之书已刻者曰下学算书凡三种曰句股六术图解变通旧术分术为六使题之相同者通为一术图解明晰比例精简曰平三角和较术曰弧三角和较术极数究理于无中比例中寻得比例婉转妙合古所未有惜其图解尚无成书未刻者曰象数一原项氏原书祇六卷而卷四仅六纸为未完之书殁后其友人戴鄂士校补之始成全帙凡七卷卷一曰整分起度弦矢率论卷二曰半分起度弦矢率论卷三卷四曰零分起度弦率矢论皆以两等边三角明其象递加法定其数末乃申论其算法卷五曰诸术通诠取新立此弧弦矢求他弧弦矢二术半径求弦矢二术及董氏杜氏诸术按术诠解之卷六曰诸术明变杂列所定弦矢求八术开诸乘方捷术算律管新术椭圆求周术皆从递加数转变而得者也卷七曰椭圆求周图解则鄂士所补纂也其弟子钱唐王吉甫大有笃嗜算术涉中西两家言尝校刻割图捷术合编不知有他著述否

乌程徐壮愍公有壬者务民义斋算学已刻者凡七种曰测圆密率本杜德美董方立辈屡乘屡除之法而广为互求之术曰造表简法以垛积招差之法求西人立表之根曰椭圆正术因新法盈缩迟疾皆以椭圆立算而取径迂回布算繁重爰撰是术法简而密尤便对数曰截球解义直抉球与等径等高之圆囷其外面皮积亦等之理为几何所未发曰弧角拾遗括旧法垂弧次形矢较诸目而统归于和较施之对数尤便曰表算日食三差以西法步算多资于表独日食未立步法故用新法补之曰朔食九服里差增广畴人旧术为见食各州郡随时测验之准其未测者尚有堆垛测圆三卷圆率通考一卷四元算式一卷校正九执术一卷古今积年解源二卷强弱率通考一卷毁于兵燹不可得见矣

钱唐戴鄂士煦粤雅堂丛书中刻其所著求表捷术三种共九卷其一曰对数简法续对数简法始以开方表求诸对数继因假设对数即讷白尔对数以求定准对数即十进对数续悟开无量数乘方法用连比例求诸对数而得数益捷此求对数表捷术也曰外切密率用连比例互相比例借杜德美求弦矢诸术变通之以求切割二割圆之法乃大备此求八表捷术也曰假数测圆创为负算对数可舍八而径用弧背入算以求其八对数此求八对数表捷术也又有四元玉鉴细草与罗茗香所著略同而图解明畅过之音分古义二卷以连比例立算与古律分合皆未刻

吴县冯景亭桂芬着弧矢算术细草图解一卷本李四香十三题而详演天元加减乘除开方各式意浅语详有裨初学刻入昭代丛书中咸丰之季西人新术初入中土通其法者尟而李壬叔所译代微积拾级一书尤为难读因取其书逐节疏解与上元陈子玚同撰西算新法直解一书惟轻改其所记之号所代之字此正如戴东原之变易旧名转足以疑误后学也又有中星表按咸丰辛亥天正冬至星度立算

金山顾尚之观光著书甚多全稿名曰武陵山人杂着其言算者有十一种曰算剩初续编凡二卷曰九数存古依九章为九卷而以堆垛大衍四元旁要重差夕桀割圆弧矢诸术附焉皆采自古书而分门隶之曰九数外录则括西术为对数割圆八平三角弧三角各等面体圆锥三曲静重学动重学流质重学天文重学作记十篇曰六历通考据开元占经作纪黄帝颛顼夏殷周鲁积年而为之考证曰九执历曰回回历解皆就其法而疏通证明之曰推步简法曰新历推步简法曰五星简法皆就畴人所用术改度为百分趋于简易而省其纡曲曰算剩余稿曰杂着则身殁之后余师张啸山先生为之分别编次者也

杭州夏紫笙鸾翔遗书凡四种曰万象一原曰致曲术图解推究纵横之条理研求微积分之奥窍曰洞方术探索夫递加数尖堆底之原可以加减代乘除为求弦矢之快捷方式曰少广缒凿专立捷术以开各类乘方通为一术可径求数十位方根无论益积翻积俱视为坦途矣

临川纪慎斋大奎着笔算便览其书以笔算为名而兼及筹算述宣城梅氏之义具见简明同治庚午南昌梅氏重梓算经十书曾取其书附刻于后

广州何报之梦瑶曾删订算法统宗及辑梅定九朱吟石两家之书共为四卷继复钞撮数理精蕴得八卷合为一书凡得十二卷名曰算迪今伍氏刻本祗八卷盖非其全稿也

南海邹特夫伯奇遗书曰学计一得以算术解经义为治经者之助曰补小尔雅释度量衡三篇博引传注考证详明曰格述补述梦溪之遗绪为算学之支流曰对数尺记因西人对数表而变通之以尺代表制简用广曰乘方捷术首立开方四术以明其理又立求对数较四率以探其赜末设对数开方计息诸草以着其术之切于日用曰存稿则杂文也尝绘舆地全图其经度无盈缩而纬度渐狭相视皆为半径与余弦之比横九幅纵十幅合一之则成地球滂沱四隤之形以圜绘圜其形维肖又准咸丰甲寅岁前恒星经纬绘赤道南北恒星图二幅其未定之书尚有测量备要二册其弟子伊善卿德龄有求弦矢通街一卷刻入传习录中

嘉定时清夫曰醇熟于求一之术尝以大衍一术求等约分头绪不一撰求一术指一书晚年目已双瞽犹能手按珠盘口授其子着百术衍二卷以张邱建百一题衍为大中小三色皆有分子之题以尽通分之妙每题分立两法一驭以方程一驭以求一以示术理相通每问各列三答以求其概然疏略甚多若以代数求之则合问之答数尚不止此也兴化刘融斋熙载着天元正负歌四则简捷易明最便初学见昨非集

长沙丁果臣取忠为楚南绝学之倡尝校刻白芙堂算学丛书其所撰述者曰数学拾遗多发明古今算家未尽之旨曰舆地经纬度里表据魏氏海国图志以补张氏揣钥小录为之析旗部增海国推距里惟魏图辗转钩摹所纪经纬不足为据而据以推算不无毫厘千里之谬即如今实测英国伦顿为中国京师中偏西一百十六度二十八分而此表乃云一百二十七度十分差至一千二百余里其它各国误率类是曰粟布演草其书以发商生息为题辑各家术草汇以明开方之术而邹特夫截算续商二法亦藉以附见焉曰对数详解一本乎代数之法而阐明对数之理与用算式繁重演算不易则曾栗諴之力也

海李壬叔善阑尝与西士伟烈亚力续译几何原本之后九卷以竟徐文定公未完之业又译代数学十三卷代微积拾级十八卷重学二十卷曲说三卷谈天十八卷刊行于世代数者犹中法之天元四元也惟天元四元之所重者在行列位次而代数则不论行列位次一切皆以记号明之故其理虽同而为用尤广微分积分者凡面体皆设为由小渐大一剎那中所增之积即微分也其全积即积分也一切曲及曲所函面曲面及曲面所函体八弧背互求真数对数互求昔之所谓无法而难求者今皆有法求之而甚易矣重学者其学分动静两支静重学所推者力相定动重学所推者力相速速有平渐速加速之分而其理之大要有二曰分力并力曰重心则静动两学所共也又有流质重学其力有二曰互摄力曰互推力曲者圆锥三曲也一为椭圆二为双曲三为抛物置圆锥形截之其截面锥底交角小于锥腰锥底交角者为椭圆大于锥腰锥底交角者为双曲等于锥腰锥为底交角者为抛物谈天者西士候失勒所著天文之书也其言日与恒星不动而地与五星俱绕日而行地与五星之绕日与月之绕地其轨道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等此真顺天以求合而非为合以验天也凡此数者皆西人至精之诣中土未有之奇以视明季所译殆远过之矣所自著者有则古昔斋算学凡十四种曰方圆阐幽曰弧矢启秘曰对数探源皆以尖锥立算发古人未发之秘曰垛积比类则本玉鉴遗法而分条别派详细言之于九章外别立一帜曰四元解指明算例改定算格详演细草图解术虽深读此可豁然矣曰麟德术解以李氏盈朒迟速二法为授时术平定二差所托始因取史记所载校正而解明之曰椭圆正术解以徐所立正术俱极精深逐术为补图详解之曰椭圆新术则又变通正术而益趋于简易曰椭圆拾遗拾西说之遗义以究曲以极致曰火器真诀以抛物之法通之于平圆曰尖锥变法释考西术之异同别用法之正变可以抉对数之藩篱而无余蕴矣曰级数回求为一切级数互求之准绳曰天算或问其杂纪其答问之词单文剩义剖晰入微曰考数根法数根者惟一可度而他数不能度之数也立法凡四可补几何之未备

新化邹叔绩汉勋与丁果臣同治算学尤研究天文推步之书着有颛顼宪考其弟季深汉池亦通算学丁氏之度里表多出其手

长沙李夫锡蕃着借根句股细草一卷括七十八题为二十五术大旨与李四香天元句股细草相仿而西法之借根即中法之天元也固可相附而行

湘阴左壬叟潜所著有割圜八缀术补草缀术释明缀术释戴等书一贯以天元寄分之法用以立式巧变莫测又有通分捷法一帙将分母分子析为极小数根而同者去之任以多项通分顷刻可得

湘乡曾栗諴纪鸿文正公之次子也着圆率通考据西士尤拉之法见代数术二十五卷而立新术推得圆率百位为从古所未有其它算稿尚未成书卒以用心过度呕血而卒

　算学至今日可谓极矣中华之天元四元即西人代数之理但不及代数之变化代数又不及微积之尽变量十年前项戴所造之法甚近微分此后积世积人积智更于代微积外别树一帜或有其人然不能必也余友崔君聘臣名朝庆者观理澄澈于算学尤深入奥窔尝与余论算曰算学自项戴诸君子出观止矣足征心得之语兹选辑二十余人之作虽不能尽如项戴然亦多近项戴者余固实领其著述之精非同便为钞录读是辑者即是文已足见一斑矣丁亥秋日湘乡葛道殷心水氏识于江南机器制造总局翻译馆中

上会典馆测绘舆图书

一曰定天度以定州县之部位地体浑圆其南北二点正当天空之南北两极其中腰大圈亦与天空赤道相当如人在北极下则以北极为天顶人渐向南行见北极渐底至赤道则北极与地平合南极亦然是地之南北不同则北极出地之高低异焉耳东地之日出入早于西地之日出入地周三百六十度与天周相应每度六十分都为二万一千六百分日历天周为昼夜分二十四小时时六十分都为一千四百四十四分故时之一分等于度之十五分四分等于一度此地在彼地之东一度则此地之日出入早于彼地之日出入四分时是地之东西不同则日出入之迟早异也而测天度者必先定午线如京师之有中线英吉利之格林回次法兰西之巴黎昔年西图所用之福岛皆是考工记曰匠人建国水地以县置槷以县以景为规识日出之景与日入之景昼参诸日中之景夜考之极星按此言匠人建国而于夏至日定其国之午线也水地言以水平地如西人之用水平县垂线也言平地者必使地与垂线成直角槷表臬也植表臬使正如垂线而其景也日出之景与日入之景必等长虑所识景端或不确乃任以一景之长为半径臬底为中心展规为平圆两景端均交圆边则为密合是为规识日出入之景也复中折两景端间圆边为点向臬底作直线即为午线之向郑注云度两交之间中屈之以指槷则南北正是也又日中之景为最短必与所作午线合故既画午线复以日中之景参之极近北极之勾陈星即尧典之璇玑璇玑段借机极也言勾陈为旋绕北极最近之星也其说详见尚书大传周髀算经等书星即尧典之玉衡星经之斗六星庄子之维斗尔雅之斗极晋以后天文志所名之黄道极者是也夜观勾陈与玉衡为直垂线则赤极与黄极相当又与所画午线方向合则午线准是夜考之极星也大司徒以土圭之法测土深正日景土深指南北日景指东西夏至昼漏中日南景短是地在南近日故土圭之景短也日北景长是地在北远日故土圭之景长也此定南北纬度之理也日东景夕是地在东日过其国之午线时东地之景已夕日西景朝是地在西日过其国之午线时西地之景方朝此定东西经度之理也西人定其国之午线亦用匠人之法而参以指南针除电气差安子午仪使极稳以窥日星之过午其随处测经纬度则自日晷将午至日晷过午用纪限仪或经纬仪屡测太阳高弧取其最高度为本处太阳过午线距地平高度亦即本处午正乃以太阳距地平高度减蒙气差加地半径差为实高度以减象限九十度得太阳距本处天顶度以与本日太阳赤纬度南加北减即得本处北极出地之度于是先以极准时表如太阳过其国午线之午正开准行与本处既测得午正以与时表较迟早差若干时分化度即知本处在其国之东西若干度分但一测午正而地之南北东西皆定古今中外若合符节其理至当其用至宏是作图者所宜先务也

一曰测地面以定州县所辖之各地地面辽阔远近不一高低不齐无法以御之不能成图其法不外乎三角即九数之句股周髀算经卧矩知远偃矩望高二语足以尽之而西人测地亦分二端一测地面平形一测地面高形其测平形也所用之器最要者为经纬仪为测向罗盘均为圆周分三百六十度密者能辨分秒疏者亦半分度皆有指南针经纬仪有窥管测向盘仅安植表系丝于窥管与植表之视孔成十字交点视交点蔽所测之物方为指准任在何州县之城门植柱为起点用仪器测左右距城门之甲乙二物设甲物在偏东二十度乙物在偏西三十度则所成角为五十度记二物之向及角度于册于是量准测处至甲乙二点直远近为底边又从甲乙二点转测他处可见之物递测不已均记其向与度使大地成无数三角形又每三角之内或有可指之处仍一一记之使大三角容无数小三角又有道里河流之迂曲均测其迂曲之向而以记里车记其各迂曲之远近使容于各三角之内而测平形之事毕矣其测高形也所用之器最要者为纪限仪为瓶水地平仪纪限仪为六十度弧亦能辨分秒有活半径及回光际线等镜有窥管亦系十字以测高深之都数测法于测处置二定点与山顶成二点以二定点间相距数为底边用平测三角法已知三角一边求得测处至山顶斜之数再用立测三角法以斜线为已知之边测得三角求山顶高于测处之数既得山形之高数乃以测处至山顶斜线与高数为已知两边求得山顶垂与平地成直角至测处为平距数而山之斜度亦须测得大但可不计分秒用红铜版为象限仪九十分之悬垂于版心系锤使下坠自弧之一角依平边仰望高处相切视垂线所成角即为斜度行军之图斜度约分三等十五度以下车能行三十度以下马兵能行四十五度以下步兵仅能行过此须攀援矣故测斜度止于四十五瓶水地平仪以测逐层高低之数器为长铜管管之两端上安琉璃瓶刻度盛水瓶与管成直角管下承三足架当管中承处为活节置器于高低之间升降铜管视两端瓶水等平而止于器之上与下对管口植长尺自管窥上尺恰当何尺寸反窥下尺恰当何尺寸以两数较所余为上尺处高于下尺处之数高低悬远者屡测之而记其逐层之数山势磅者环测之而记其各点之向屡测者逐层之高须等以便命共距之数环测者各点之高亦须等以便成平剖面之形又山高与逐层之高之比如平距与各平剖面平距之比均求之以记于册而测高形之事毕矣

测事既毕于是始言绘绘者当首明分率分率者地与图之比例也地周三百六十度度二百里里一千八百尺是则一尺实为一万二千九百六十万分地周之一凡为图必先开方设为每方一寸十方一里是以图之一尺代地之一千八百尺也其分率为一千八百分之一然作总图者不必如是之大酌而用之每方一寸方五十里是以图之一寸代地之九十万寸分率为九十万分之一他如或大或小随人度其图之详而命之可也分率既定始布经纬度经度当赤道处每度相距二百里渐北则渐狭当用八线表以半径一千万为一率每度二百里为二率各地北极出地度之余弦为三率求得四率为其地经度相距里数按度推之列为成表以便检用而画经纬两亦不一法有经纬均作曲线者有经为曲而纬为直者有纬为曲而经为直者其经纬均曲与经曲纬直两种虽能得球形之理然不能无差一则差在东西两边一则差在于北皆由经纬相交不成直角对角线亦不相等故作图以纬曲经直者为无差其法法当求圆锥为公中心以规作各距等圈若作一省一府之分图去圆锥过远则以求零弧之法变通之又作分率微分尺如图为九十万分之一用四寸六十分之名曰度尺用四寸二百分之名曰里尺均画对角斜线表微分又作分度器密者以铜为圆弧玻璃为中心能辨六十度之分秒疏者以明角片为半周分百八十度度半分之若填州县城之经纬度可展规按度分量分率度尺纵横定点于图即得经度去赤道渐远者则按度求其相距里数以里尺量之亦得若填所测地面各三角点须用分度器之中心合甲乙之起点正其子午按左右甲乙二点之向作直线再依所测底边远近如分率量之以定甲乙二点于是转移分角器之中心合甲乙二点据所测各多点之向一一作直成无数三角形如所测地面凡两线之交即各物定点而图之平形成矣画高之法大要以山之各层平剖面平距数依分率入图如其远近方向作点以曲线联之成自天空俯视山顶及各层平剖面之形再于平剖面之间补作垂在线下交于两平剖面界必成直角其疏密定率两垂线相距等于两平剖面界相距四分之一垂线之方向即斜度之方向也粗视之斜度小者其线疏斜度大者其线密若辨其度之几何则必以共距明之共距者山之逐层高较也如共距为三十六尺图为一千八百分之一乃以一八除三六得十分寸之二为图之共距以与垂线相比而斜度得矣共距之长小于垂线三四倍则斜至十五六度小于垂线两倍则斜至三十度与垂线相等则斜至四十五度凡用共距者分率愈大则辨析愈明若日耳曼人补垂线之法不必以共距明之视黑白之多少定斜度之大小线为黑线间为白凡图中全黑者为四十五度八黑一白者四十度七黑二白者三十五度六黑三白者三十度五黑四白者二十五度四黑五白者二十度三黑六白者十五度二黑七白者十度一黑八白者五度线大则黑多线细则黑少以此辨度亦甚明确西人作垂线之法凡三英吉利之法能令图清日耳曼之法能令图准法兰西之法则清而准前所言疏密定率寔法兰西之法也苟明乎此而图之高形显矣

既测天度又测地面申之以绘法而图犹不精妙者未之有也就其湖北测绘舆地图章程互相发明录之云一测天度周礼大司徒乃以土圭之法测土深正日景土深言南北即定纬度之理也日景言东西即定经度之理也盖地为圆体其南北二点正对天空之南北两极其中腰大圈亦与天空赤道相当人立地面目力极数十里耳数十里外即属茫然天虽无涯而地平以大可仰观得之故必分地为三百六十度与天体合藉天空诸曜高弧以求地面之度而地之圆形始得今会典馆开办舆图于经纬度再三言之自应遣精通算法善用仪器者经纬仪度时表往六十八州县治所测天求度而州县幅员大者至数百里又宜览其形势于四边之界南北东西不致平行之处择四定点测其经纬度分于是一州县之境有五经纬定点先以法求各经纬点相距之鸟道次以平三角联络其间互相榰柱虽广大之地不难御之入法矣而名山之大川之口以及古郡县旧治关隘险要前人纪载言在某县某向若干里迨名号已易部位转迷测地时能考确处定其经纬度分注之于册于考古者亦为有益而一县之区于五定点外又增各点即求各点相距为三角底线尤能密合　一测地面鸟道鄂省六十八州县北极郧西南极通城西极利川东极黄梅约其面积为方里者殆六十万非测三面不能定地面各物今于州县郭平地量成底线长或一里短或半瑞安测向仪于底线两端彼此互测记其向度始各测所编号竿而记其自某测某几百几十几度几十几分于册又移仪于已测三角之外边两端插竿于未测之地而测之东西南北渐移而前各记抵界而转而三角之定点必须联络互用展转成形然后地面之上皆成三角三角之外始无余壤凡村院镇集山山峡断崖水源水口埧堰桥梁津渡交衢关隘税口厘卡盐局电局电杆营汛驿站塘铺烟墩营垒故垒炮台塔庙古迹及山脉水道道路界线四者之转向处均须作为三角定线其定点密者三角亦密若旷野荒漠地惟尽目力所集作数大三角而已　一测地面人行道凡山脉水道道路界线四者之转向均经测出固已肖其真形但三角所得者鸟道也四者蜿蜒于三角之中其小曲之远近非直边所能得故必以人行道计之今以测向仪定方向记里轮量远近一人测向一人记里而书其自某处起程若干度分行若干尺至某处转若干度分行若干尺至某处所过之地有驿站塘铺镇集桥梁埧堰矿者均分别注之凡界为两县所共测定一县即可旁及他县自应详测不必求省惟路之支径纷歧水之溪涧错出若不择要必旷时日兹道路惟测其四至之道路有驿站塘铺者余则之

水道则分别大小考求利弊鄂境之水江汉为大江水西自巴东东至黄梅约行二千三百余里汉水北自郧西南至汉阳约行一千九百余里舟楫所济水利所关自必以人行道计其流向远近并及水涨水落之沙界遥堤内堤之定基他如入江入汉之水行五百里以上者测之若水口通舟楫利停泊者则不论所行远近俱宜详测江汉之濒湖泊甚多防水为田遂成泽国民生利病胥在于此均应循湖测岸并逐测纵横交错之堤皆得其方向远近高低厚薄以便依率入图水涨之时不能识水落之界水落之际可以察水涨之痕故测水宜水落从事淤河废渠有可考者亦测大至鄂境之山以郧阳宜昌施南为最多襄阳次之嘉庆教匪之乱贼迹出没其间致稽征讨盖磅万山丛杂西接川陕皆为密箐他如大江南北亦山势奔赴若必逐层环测求其高较以表斜峭则非数年所能惟先考旧图得知山脉大始择要测之欲知山之脉络当观水之源委水源分流之冈脊必为干山迤逦于二水之间遇二水合流而止者必为支山支干既明方有把握其人迹已到之区则以人行道绕测山麓盘互远近之址及山立距平距之数深山穷僻但以测向仪望测其山得其平距及脉络委曲之势而已论测量之道以山为最难湖堤水道次之言民生之计湖堤水道为最要而山又次之自宜酌其缓急先从事于湖堤水道除测三角应及于山者自不容缓专测山址与山脉之事甚费时日俟办有成效酌量期限缓促再渐次施行可也

一用人不明算学者不足以尽测绘之能仅明算学者多未亲测绘之事故用人以施诸实事为准其精通算学能用仪器测天度地依率绘图者为上仅守成法测地面依率绘图者次之但鄂省幅员之广欲求实测必非数人所能今招聪俊生童能耐劳苦者二十人教以测绘成法习之三月始出从事学成之后即分派局中所有成材十二人及学生二十人为四大路计八人共测一州县每八人中又分四小路二人任测天度为一路测州县治所及各定点外仍应测地面三角管记里轮者一人同学生一人为一路测人行道里外亦应测地面三角余学生四人分为两路专测地面三角惟测地面甚为繁重虽能辨向分角而插竿满目屡测不已或至迷识当预编竿号属插竿之人详查竿号次第不可颠倒插置测向者按号记之庶不至乱凡两路分段相交之处尤宜留心交点南路必交测北路之原点北路必交测南路之原点不可增亦不可漏方能合其要在先察旧图预约每日所测地度方有依据约计之每八人所测一州县期阅月毕之逐各州县测去以四大路测六十八州县风雨及甚寒暑不计外约历二年当毕测事再以一年为绘事故期限止于三年　一用器古人测量莫不用器土圭所以测天短度所以测地缅怀旧制必称精密仿而为之虑不逮古近日西人之器尚属可用如经纬仪纪限仪测向仪夺材仪度时表记里轮纲练带尺分角器规笔平行尺曲线版等物均测绘家所必需其则天多用纪限仪测地多用经纬仪如测向仪夺林仪则行军人用之测平三角及高深者究之纪限仪亦可测地经纬仪亦可测天二者俱备自称完美惟是费钱既多购置亦不甚易不如酌购一种为便纪限仪便于行海及测天空天两曜相距之弧若用之陆地测午正不如经纬仪之易于从事但必如西人用经纬仪测地虽称最密而用人既多需器亦多所费殊不赀且经纬仪之大者能辨一秒小者能辨一分若测地面三角必求分秒则地圆之弧角差天空之蒙气差均应推算除清然后能得真角又非数年所能收功今酌用经纬仪能办十秒者度时表测天测向仪夺林仪测地测向仪虽不如经纬之仪密然分三百六十度又半分之能辨三十分为七十二向矣较之吾华旧法其密为十倍过之且弧角差蒙气差在地面人目所及断无多至三十分者故用测向仪均可不计　一绘法绘者当首明分率会典馆所颁格式原就书式大小而设外间测绘原本务必放大以便详测密填迨图成之后始照馆颁格式缩成定本送馆仍将外间原本副送一分以备采择今酌定外间原本分率省府总图定为九十万分之一以图之一寸代地之五十里五十里为九十万寸州县分图定为十八万分之一以图之一寸代地之十里十里为十八万寸随测随绘之草图定为一万八千分之一以图之一寸代地之一里一里为一万八千寸用圆锥通径法作纬曲经直之式使经纬相交皆成直角各如率布算定其南广北狭之式用分角器微分尺填绘各点凡测向仪所成子午仪必与图之经线平行以求各点角度则能得各处距等圈真形不至展阔而生向差矣图中作识之法送馆之图自应照馆颁格式所言外间原本所收既详名目亦多识别不嫌其繁后另为表识图附　此图未刊　一图说禹贡一书为千古志地者之祖于九州岛之后即继以导山导水师其意有作者有班固之汉书地理志伯益夷坚之山经曹魏时之水经盖地志取法乎九州岛山经取法乎导山水经取法乎导水也踵地志而作者历史之郡国州郡地形诸志皆是而自唐讫明所存元和郡县图志太平寰宇记元丰九域志诸书纪载虽有详之殊其体例固本之孟坚也仿水经作者则有而黄洲之今水经齐次风之水道提纲仿山经而作者则有水道记黄岩戴东原之李诚之万山纲目皆为名作今会典馆所发表格其叙沿革疆域乡镇盖仿班志诸书之例叙山则拟山经叙水则拟水经又详天度道里而山之矿产要隘水之圩堰桥津均叙于当处之下简而明要而详自应遵之无庸别生异议也