五星岁轮与伏见轮之不同
顾观光
西法步五星土木火用岁轮金水用伏见轮梅勿庵谓五星皆有岁轮而伏见轮即岁轮上星行绕日之圆象婺源江氏从之着金水二星发微绘图立算缕析条分而征之等边等角之两三角形以着其理二家之说可谓详且明矣余尝细译历书而知岁轮与伏见轮之算其不可强同者有四试详言之土木火次引以初实行减太阳实行得之是次引大小一由于太阳之盈缩一由于本天之高卑而金水二星但以初均加减伏见平行不用太阳盈缩差其不同一也土木火以初实行减太阳实行则初均数为加者距日度反差而少初均数为减者距日度反差而多此缘上三星之行迟于太阳故如此立法若金水二星之行速于太阳初均数加则距日度亦加初均数减则距日度亦减而乃反用初均以加减伏见平行与上三星算同而理正相反其不同二也用岁轮则心在本道有升度差用伏见轮则心在黄道无升度差其不同三也土木火以正交行减初实行是用次轮心距正交度金水以正交行减初实行又加伏见实行而初实行与伏见实行相并之度即平行与伏见平行相并之度是从伏见轮言之为星距正交度从本天言之即本轮心距正交度矣其不同四也因此四事而知岁轮与伏见轮之用离之则双美合之则两伤矣然则梅氏江氏之说非乎曰未可非也所不同之四事历书均已言之曰伏见轮虽以太阳为心实以太阳本轮心为心也曰伏见轮最远点无定分其距平远点之度必与初均等也曰伏见轮最远点距伏见轮正交之度必与伏见轮心距本道正交之度等也之三者非征之实测未易决其是非惟谓伏见轮在黄道无升度差则即以伏见轮之理考之而知其必不可通何也伏见轮之心虽行于黄道而其面与黄道斜交半在南半在北惟正交中交二点与黄道合联此二点过心成一直此必与黄道平行而其距伏见轮远近之度时时不等设正交距最远九十度则伏见轮之上下一南一北成偃卧之势谓其无升度差理固然矣若正交与最远合则伏见轮之左右一南一北成侧立之势与土木火本道之斜交于黄道者其象正同又安得无升度差乎斯时黄道如句视纬如股伏见轮面如弦自黄极出抵黄道及星在伏见轮之右者其度必差而东在伏见轮之左者其度必差而西历书概置不论但以本道即黄道一语了之不思经度与纬度相待而成无升度差安得复有视纬此可以理决之不俟实测而后信也要之伏见轮之法本于岁轮自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回历五星并用太阳平行并无升度差岁轮与伏见轮通为一法西人于土木火三星屡改益精而金水二星仍同回历由泥于伏见轮在黄道之说而不复深思盖改法者已不知伏见轮为岁轮上星行绕日之圆象矣梅氏江氏之说颖悟绝伦表而出之以告天下后世之读古人书而死于句下者
几何原本六和六较解
顾观光
大分四正方十六 小分三四六四奇正方十二 两正方较积四其边二与大分有等 半小分一七三二奇正方三 大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三阔一
大小两分相并得七四六四奇为第一合名第二第三同
相减余五三五奇为第一断第二第三同
设有比例八与大分有等 以乘矩形之长得二十四其边四八九八奇以乘矩形之阔得八其边二八二八奇两数相并得七七六奇为合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形两数相减得二七奇为断自之得四二八五奇即第一断乘比例之矩形
设有比例六九二八奇与小分有等以乘矩形之长得二十七八奇其边四五五八奇以乘矩形之阔得六九二八奇其边二六三二奇 两数相并得七一九奇为第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形 两数相减得一九二六奇为第一中断自之得三七九奇即第二断乘比例之矩形
设有比例七与大分小分皆无等 以乘矩形之长得二十一其边四五八二奇以乘矩形之阔得七其边二六四五奇 两数相并得七二二七奇为第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形 两数相减得一九三七奇为第二中断自之得三七五二奇即第三断乘比例之矩形
大分四一二三奇正方十七 小分三六五奇正方十三 两正方较积四其边二与大分无等 半小分一八二奇正方三二五 大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三六一奇阔一六一奇
大小两分相并得七七二八奇为第四合名第五第六同
相减余五一八奇为第四断第五第六同
设有比例八二四六奇与大分有等 以乘矩形之长得二十五二四奇其边五二三奇以乘矩形之阔得八七四九奇其边二九五七奇 两数相并得七九八奇为太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形 两数相减得二六六为少自之得四二六八奇即第四断乘比例之矩形
设有比例七二一奇与小分有等 以乘矩形之长得二十二七其边四六九七奇以乘矩形之阔得七六五其边二七六五奇两数相并得七四六二奇为比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形 两数相减得一九三二奇为合比中方自之得三七三二奇即第五断乘比例之矩形
设有比例七与大分小分皆无等 以乘矩形之长得二十一四二七其边二七二三奇 两数相并得七三五一奇为两中面之自之得五四九奇即第六合名乘比例之矩形 两数相减得一九五奇为合中中方自之得三六二九奇即第六断乘比例之矩形
大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五两正方较积一百其边十与大分有等 大小两分相减余三八二奇为第一断 即以较积方边为比例圆半径以乘第一断得三十八二奇开得断六一八奇即圆内容十边形之一边
大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五两正方较积一百二十五其边十一一八与大分无等 大小两分相减余六九一奇为第四断 有比例二十圆径与大分有等以乘第四断得一百三十八奇开得少十一七五奇即圆内容五边形之一边
大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六两正方较积一百三十三三三其边十一五四奇与大分有等 大小两分相减余四四一奇为第一断 即以较积方边为比例球内容六面体之一边以乘第一断得五十八九奇开得断七一三奇即球内容十二面体之一边
大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五两正方较积一百其边十与大分无等 大小两分相减余六一八奇为第四断 有比例十七八八奇容二十面体上五边形之圆径与大分有等以乘第四断得一百十四九奇开得少十五一奇即球内容二十面体之一边
圆锥三曲记
顾观光
凡圆锥体横剖之成平圆斜剖之成椭圆平圆祗有一心其周之距心恒等椭圆则有二心自二心出抵圆周二之和必与长径等也命椭圆之长径为横轴短径为纵轴则任于圆周作纵为股所截长半径之横为句股幂乘长半径幂与句幂乘短半径幂之和恒与两半径幂相乘之数等其过心之倍股即长轴之通径以长径为连比例之首率短径为中率则通径为末率也股幂与所分长径二分相乘之幂若短径幂与长径幂于长径上作平圆则同句之平圆股与椭圆股若长径与短径矣任于圆周出二斜抵横轴之两端为正余二通弦则二通弦对角正切相乘之幂即长径幂约短径幂之数自圆周作二斜与二通弦平行则椭圆切也引横轴与切相交成句股形切为弦纵为股则其句为次切法以横幂与长半径幂相减为实横为法实如法而一即次切也自切点作抵横轴与切成直角是名法法为弦纵为股则其句为次法法以短半径幂乘横为实长半径幂为法实如法而一即次法也椭圆法平分切点距二心之交角故切与距二心之交角亦相等矣二切既与二通弦平行则自二属点过中点之斜径亦与二通弦平行命之曰相切径任于圆周作纵与一半径平行截其又一半径为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二幂和与长短径之二幂和恒相等也径端距二心相乘之幂与半径幂等相属径四端之四切成平行四边形亦与长短二径相乘之幂等若以二径之平圆面积为首末率而求其中率即椭圆面积也
凡圆锥体依一边之势自对边斜剖之至底成单曲形以此形横置之作过心横轴引长至顶点外如顶点距心度乃作垂与轴成直角即准也任于曲上作横直交于准必与距心等任于曲上作纵为股截轴之横为句以句为连比例之首率股为中率则通径为末率通径者过心之倍股也折取其半即心距准之度矣自纵上端作斜为曲之切引横轴与之相交亦与次切成句股形又作法直交于切亦与次法成句股形单曲之次切倍于横而次法恒为通径之半以纵约次法或以次切约纵皆切与轴交角之正切也切点距心交法之角恒等于法交轴之角故法之两端其距心亦相等切点距心交切之角恒等于切交轴之角故切之两端其距心亦相等自心作斜直交于切即切点顶点两距心之中率矣任作通弦与切平行又自切点作横径与轴平行必分通弦为两平分半通弦为纵截横径为横与横轴上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截单曲之面积也
凡圆锥体依立垂之势自一边直剖之至底成双曲形以此相等之二形横置之其二顶点之相距即为横径任于曲上出抵二心二之较必与横径等也自横径之中作直交于横径即为纵径中点距心为弦其距顶为句求得股为半纵径自横径之上下截之复作相等之二曲形为相属双曲引纵横二径为二轴皆过曲之二心以横径为连比例之首率纵径为中率则通径为末率即横轴上过心之倍股也任于曲上作纵为股截横径之引长为句股幂乘半横径幂与句幂乘半纵径幂之较恒与两半径幂相乘之数等股幂与句加横径乘句之幂若纵径幂与横径幂矣自纵上端作切法二亦与次切次法二成句股形其求切交轴之角与单曲同双曲之切平分切点距二心之交角故其法亦平分切点距二心之外角任于曲上出二斜抵横径之两端为正余二通弦二通弦对角正切相乘之幂即横径幂约纵径幂之数自横径之中又作二斜与二通弦平行四端皆抵曲命之曰相属径以此二径引而长之任于曲上作纵与一半径平行截其又一半径之引长为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二幂较与纵横径之二幂较恒相等也相属径四端之四切成平行四边形与纵横二径相乘之幂等纵横径四端之四切成长方形作对角二斜引而长之与四曲渐近而永不相合命之曰渐近以横径约纵径即渐近与横径交角之正切矣任与曲上作纵与一渐近平行截其又一渐近为横纵横二相乘之幂恒为中点距心幂四之一引长纵以四曲为界补成平行四边形恒为纵横二径相乘幂二之一任于曲上作切以二渐近为界必平分于切点故切点上之相属径亦与切相等若以股乘半横径与句乘半纵径二幂之和乘讷氏对数二七一八二八二以减句股相乘之幂即所截双曲之面积也
此三曲皆圆锥之分形其离切之率当以合吻圆度之任于曲上作诸圆形与曲同切于一点则圆周之离切半径小者较速半径大者较迟而诸圆形中必有一圆周与曲吻合无间即合吻圆也命圆半径为曲率半径则各点曲率半径之比同于法立方之比法立方为实半通径之平方为法实如法而一即曲率半径也椭圆二心相距之半之为两心差以长半径约之则为椭率置圆周率三一四一五九二六五以长径乘之为实椭率自之为屡乘数递取其四之一十六之三三十六之十五以减实即椭圆周也置圆周率以长短二径相乘之幂乘之为实椭率自之为屡乘数递取其六之一二十之三四十二之十五以减实即椭圆体之曲面积也法乘纵而以通径约之于上法加纵而半之以乘讷氏对数加入上位即单曲之长也以通径约圆周率四因三除以乘法次法两立方之较即单曲体之曲面积也椭圆体积等于外切圆柱三之二单曲体积等于外切圆柱二之一单曲面所容最大长方其横径恒为轴三之二圆锥所容最大单曲面其轴恒为斜距四之三引而伸之触类而长之曲之能事毕矣
静重学记
顾观光
重学之本始于权衡权与物均而衡平则左距与右距等若不均而衡平则左距乘左重与右距乘右重等比例之法由此起矣杆之异于衡者不惟其平而惟其定直杆或平或斜并与衡同曲杆则视力与杆之交角其角正得九十度比例同于直杆不正得九十度则左距乘左重与右角正弦若右距乘右重与左角正弦或有曲杆之折角而求左右两角则左距乘左重为实右距乘右重为法实如法而一内减折角余弦折角正弦除之即左角余切也求右角者仿此
二力之引重而行也二相合则用其和二相对则用其较若不相合而未至于相对者以二力补成平行四边形作对角为二力之合率三力以上其理一也
引重之器有七其助力各不同杆之助力为右距与左距之比轮轴之助力为轴径与轮径之比齿轮之助力为小轮齿数与大轮齿数之比单滑车之助力为一与二之比连滑车之助力为一与二依滑车数少一乘方积之比或为一与索数之比或为一与二依动滑车数乘方积少一之比斜面之助力为股与弦之比劈之助力为劈背与劈边之比螺旋之助力为两螺距与柄长为半径所成圆周之比七者或分或合或复或单皆能以小力运大重其力与重皆若重动速与力动速也
独体合体均有重心自重心作垂必与地平成直角凡三边形各于半边作对角三相交之点为重心其距角与距边若二与一也两两相等四边形于相等边之半作联两相交之点为重心其距两边恒相等四不等边以对角分为两三边形各以法求其重心两重心联为一则大形垂与小形垂若小形之重心距与大形之重心距也凡尖锥体先求底之重心自底心至尖作联其四之一为底心距重心若去其尖则以上下两重心作联全体之重心必在此上矣设诸面体之角各为质点而以联之又或断而不连或动而不定亦必有此重心引重之器以力与重联为一力降则重升而联上必有定点即重心也既有重心可明定理体之定于一点者自悬点作垂必过重心体之定于一面者自重心作垂必与定点相合体之定于一点及一面者自重心作垂为一边自面之定点作直交于面为又一边面之定点距重心为底则两定点相距为三角形之大分边体之定于两点者以此两点引而长之必交于重心所作之垂也体之定于两面者两定点之抵力各与其面成直角引而长之亦必交于重心之垂也
凡体已定而微动之或复原处或离其原处则固定与非固定之别也设小半球切于大半球之凸面其重心恒为球半径八之五自切点作与地平成直角重心在此内者为固定在此外者为非固定法以两半径相乘为实两半径相并为法实如法而一为固定率若切于大半球之凹面则两半径相乘为实两半径相减为法实如法而一为固定率
屋梁相定之理三梁相合成两等边三角形加重于顶自顶点作垂分为两句股形则句为梁平力之率倍股为梁垂力与加重之率三梁相属以次递降自下梁重心作直引中梁与之相遇复自相遇点至下梁下端作斜则与地平成句股形句为下梁平力之率弦为下梁垂力之率四梁相属长短轻重如一合地平成五不等边形自顶点作垂则与地平成大句股又自下梁上端作地平则与垂成小句股小股对角之正切与大股对角之正切若一与三也
桥环相定之理先令诸劈之大小形状左右俱等自桥顶作垂以诸劈之左右切面引而长之必与垂遇于一点此点即环心也各切面与垂之交角其切较为各劈重率割为各劈抵力率不合此率而又无面阻力桥必圯矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面为抵力引而长之与左右两垂相遇必在劈行之中若出劈外而又无胶固力桥必圯矣桥之下面为圆者自圆心作地平又以圆半径为股桥顶至圆心之垂为弦取其句于垂上自圆心截之复作一地平此自中至边渐与桥之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圆心作一斜乃取交点距桥顶之度于斜上自圆心截之即上曲所到也桥之上下面俱为地平者中间必为垂面各切面与垂之交角其切较为各劈重率即为各劈面积率抵力不出劈外与桥环同
凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面则祗有平面之阻力也任何面体行于平面其重即为抵力两面俱木而纹平行者取抵力二之一两面俱木而纹横直相交或两面俱金者取抵力四之一两面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力为面阻力斜面之阻力则置物于平面而以一边徐徐举起于物欲下未下之时测斜面与地平之交角其全数与角正切若抵力与面阻力也桥环诸劈之重不合于切较则抵力与切面斜交试于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即为斜交之大限切面在此二限之中环亦定矣
有小圆柱旋转于大圆柱中其相切处亦生面阻力两面俱木者取抵力十二之一两面一铜一铁者取抵力七之一各以乘抵力为面阻力轮轴滑车率皆准此
动重学记
顾观光
凡动无他力加之则方向必直迟速必平若加以他力而方向异于本动者以二方向补成平行四边形作对角为二速之合率力之加于物而生动也不论正加旁加其动力恒等于抵力故左重与右重若右速与左速二物相引则速之大者必减小者必增各以其重乘所增减之速其数亦相等也
凡球行于平面是生平力二球相击其体平而复凸是生凸力球之无凸力者或铅或瓦击时二速消尽二球必止而不行矣凸力有等于平力者谓之全凸力有小于平力者谓之朒凸力呢纱等球凸力为平力九之五象牙球为九之八玻璃球为十六之十五正相击后二球分行于二对面各生新速其击前速与击后速若平力与凸力也设二球皆全凸力正相击后小球之速必减而大球之速必增二重和与二重较为倍大重与减速之率又为倍小重与增速之率各以其重乘速而并之击前与击后亦等二球之凸力等而正相击后小球止而不行其大球与小球必若平力与凸力也若以动球击静球而二体相等又皆为全凸力者其动静必互相易动球小于静球则小者返行而大者前行必小于小者之前速动球大于静球则小者之速必大于大者之前速而大者随行其速小于前速三球在一上以次递小而大中二球之较大于中小二球之较者大球由中球传速于小球必大于直传速于小球若中球为大小球之中率则传速最大矣
自击点过二球心作交其合于球行之方向者为正相击不合者为斜相击二球方向一直一横则击后横者斜行以击前二方向引而长之补成平行四边形作对角即斜行之也二求俱斜则击后二方向与击前二方向互为平行自方向之端作直交于交前后各成两句股形其两句必自相等又以击前二方向引之相交则交角之对边即击时之两半径和也
二球相距必有重心至相击时重心即为击点二球相对而行则重心恒不动故左重与右重若右距与左距相随而行而后速大于前速则重心随而前行法以两重各乘速而并之为实并两重为法实如法而一即重心行也设二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交点截之为两腰作联为三角形之底则左速与右速若右分边与左分边乃自分边处至交点作直即重心行也
凡有凸力之球斜击于不动之面则击后必斜行自击点过球心作交又自方向之端作直交于交成前后两句股形凸力全者两句股形相等而方向与交之交角前后亦必相等凸力不全则后角与前角之正切为平力凸力之率后角与前角之正弦为前速后速之率无凸力者击后行于面边其前速与后速若全数与角正弦也
凡动有二一为平速一为渐加速平速动成长方形速为阔时为长则路为长方积渐加速动成堑堵形力为高时为长与阔则速为长方积路为堑堵形积物在空中为地力所引而下坠愈下愈速即渐加速也地形椭圆长径过赤道短径过两极径幂与地力为转比例故两极下地力与赤道下地力若百四十五与百四十四两极赤道之间地力适中于一秒中测物之下坠凡十六尺又万分尺之六百九十七倍之为一秒之地力依堑堵形求之速与路俱可得矣声之行为平速一秒中凡千十七尺设投石井中历几秒闻水声则以地力除二开平方为石过井率以声速除一为声过井率并之以比所历之时即井口距水之深也大小二重悬于定滑车者大重必随地力而下二重和与二重较若地力与长加力物自斜面下行两面皆为光面必相切而行非旋转而下斜面之弦为重率股为力率力乘地力即斜面之长加力以堑堵形之比例通之地力乘股以除二弦幂即时幂也二地力以乘股即速幂也故不论弦之长短但股等则速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大则重上行垂面之重小则重下行以垂重乘弦与斜重乘股之较乘地力为实并二重以乘弦为法实如法而一即长加力也设有圆面直交地平自顶点至圆界作诸通弦则物任行于何通弦自顶点至末点时刻俱等大小两圆面之顶合为一点直交地平自顶点至大圆界作诸大通弦中有诸小通弦则物行于两通弦之较自小圆界至大圆界时刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也
抛物空中上行极则弯环而下其两端恒相等是名抛抛与地平之交角适足四十五度者抛界最大其左右皆渐小而两两相等至九十度则无抛界矣若抛物于斜面则视斜面与九十度之交角抛中分此角者抛界最大其左右亦渐小而两两相等至九十度则无抛界矣以抛之切为弦则垂为股地平为句切生于平速之抛力故时速相乘而得弦垂生于渐加速之地力故半地力乘时幂而得股以平三角之比例通之抛交地平之倍角正弦乘速幂为实地力为法实如法而一即平面抛界也抛交地平角与抛交斜面角相并为和相减为较和角较角两正弦之较乘速幂为实较角余弦幂乘地力为法实如法而一即斜面抛界也九十度之抛即为抛高倍之为平面之最大抛界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大抛界故平面之抛界视斜面为大矣自抛高上端作横为规规距抛顶之度与抛顶距心之度等自心作横直交于心距规两端皆抵抛此必倍于心距规即末率也心距规以二抛高为最大故末率以四抛高为最大抛与平之交角自地平上以渐而小至抛顶则与平合而为一无交角矣垂所截之地平为实抛交地平角之余弦幂乘二抛高为法实如法而一以减抛交地平角之正切即交角正切也若以同速抛各物而同在一平面者历若干秒各物所到之点联之成平圆形若不在一平面成立圆形其抛点距圆心之度即若干秒中地力下行所过之路矣
悬物空中左右限以曲令物一往一来则与曲乍合乍离而其行又成曲是名摆倍圆径为摆长又倍之为摆周则圆周为摆之界即横径也于横径之中作垂必抵摆之底点以此垂为圆径作平圆形则任于垂上作横其所截平圆之弧必等于平圆外之横而所截之摆周必倍于平圆内之通弦物自摆下行为地力所引其速与垂等以测各处地力之大小至易见也一秒之地力为实圆周率三一四一五九二六五三自之为法实如法而一为秒摆长秒摆者一秒摆动一次也设地力为定数则摆长之平方根与时刻成正比例摆长为定数则地力之平方根与时刻成转比例故以秒摆长除摆长或以地力除原地力平方开之皆为摆动一次之时刻也若以较数求之则摆长者动迟摆短者动速以摆长与秒摆长之较乘一昼夜八万六千四百秒为实倍秒摆长为法实如法而一即一昼夜摆动加减次数地形高下处处不同高则摆动迟下则摆动速一昼夜加减次数为两处高下差之率倍之为两处地力差之率摆之用尽于此矣
有诸质点各以联于平面力加一点则诸点随之而动此与独动不同因诸质点各有抵力环轴时必互相感召或生动或阻动也距轴愈远用力愈少力距相乘积等则速亦等自轴心作地平为句自诸点各作垂为股诸点之距轴为弦各以质重乘弦幂而并之即诸点之质阻率力乘距幂为实质阻率为法实如法而一即实生力也诸质点为地力所引亦各有长加力自轴心作直则分诸点为左右两边各以质重乘句视诸点在直之一边者相加在两边者相减用乘地力又以所求点之距轴乘之为实质率为阻法实如法而一即所求点之长加力也诸质相距必有重心其距轴为弦垂为股所截之地平为句合各质重以乘重心之句与质重各乘距轴之句以相并者其数正等引重心距轴而长之即为摆心重心摆心两距轴相乘即环轴半径幂也自重心作直与距轴成直角亦分诸质点为左右两边而诸点之距重心为弦直为股所截之距轴为句各以质重乘句其在重心之两边亦相等也合各质重以乘重心距轴幂又以质重各乘弦幂而并之亦与质阻率等重心距轴与距摆心相乘即环重心之半径幂合各质重乘之与质重各乘弦幂以相并者其数亦等重心为心轴心为界作平圆形任于圆上取一点为悬点摆次并同若以摆心为界其理亦同故悬点与摆心点可互易也
二重一加于轮一加于轴而在轮周者下行在轴周者上行轮轴之长加力各如其半径之比三轮相属或联以索或衔以齿而二重一加于第一轮一加于第三轴轮轴之长加力如三轮半径连乘与三轴半径连乘之比不等二重加于杆之两端者二重之长加力各如距重心之反比矣凡圆体有转动有过面动此二动常相因也以索之一端缠于圆体一端过定滑车而以重悬之设等质之实圆柱则柱重乘地力以加悬重为实三因悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力悬重乘柱径又乘地力为实三因悬重加柱重以乘柱径幂八之一为法除之即转动之长加力若圆柱空而极薄则柱重乘地力为实倍悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力倍悬重以乘地力为实倍悬重加柱重以乘柱半径为法除之即转动之长加力设索之一端缠于圆体一端着于定点则过面动之长加力实圆柱为地力三之二空圆柱为二之一球为七之五也圆体由斜面而下两面皆为糙面令圆体不为直动而为转动则不用地力而用直动之长加力其比例并与此同不等二重加于静滑车者令大重下行之长加力即令小重上行之长加力若加于二滑车而一静一动者动滑车之长加力为静滑车二之一因速减半故也若加于连滑车而一静数动者第一动滑车之长加力为静滑车二之一第二动滑车为四之一第三动滑车为八之一既得诸器之长加力用和分法推之即可知诸器之动矣
凡二体相切相磨皆能生面阻力而动速渐减使牵力与面阻力等则物之行恒为平速矣车行于石路之牵力小者为物重千分之十六大者为二千分之三十九路极不平处至千分之二十四火石路为千分之六十四铁轨路牵力或为物重二百四十分之一或为三百分之一平石路为七十分之一石子路为十五分之一若车行于斜而其所加之牵力等于股为实弦为法设斜面二丈最高一尺则比平面牵力加物重二十分之一也陆路不论速之大小阻力恒同水路则速幂渐大阻力亦渐大故车或五小时行十里或一小时行十里牵力并同而舟则一小时行十里较五小时行十里者牵力当加二十五倍也惟一小时十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生动之力有六曰定质重曰流质重曰定质凸力曰流质动力曰流质涨力曰人畜能力皆以力乘路为当程功定质重之动力斜面与垂面不同设自行车路高一百尺长四千尺轻车一千斤以重车四千斤下行之力引之上行面阻力为二百分重之一法以重较三千斤乘高一百尺得三十万为当程功以二百除一千得五斤为上行阻力以二百除三千得十五斤为下行阻力并之以乘长四千尺得八万为实程功是当程之功比实程为四倍弱也用于垂面则以重乘路当程之功即为实程之功矣流质重之动力以水言之其当程功与定质同而水中又有横流之水互相推荡不能用以程功故水激上半轮当程功与实程功若五与四水激下半轮当程功与实程功若十与三也捕鸟鼠之巧机能生暂动巧偶钟表之发条能生长动皆凸力也发条动时抵力恒有改变故以绕轴渐卸时所过微路乘各秒中所加抵力之路为所程功风气之力有二风枪用涨力风帆用动力水气亦有涨力与动力其动力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以静体为最大人力二十八斤又五分斤之四马力一百四十四斤行则力必减小行至极速则力不能程功而一小时中极速之限人行六里马行十二里故求人所程功者以一小时里数与六里相减余数自之四因五除为人力求马所程功者以一小时里数与十二里相减余数自之为马力各以里数乘之为所程功也
车以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石类而车体甚坚阻物与轮周仅遇于一点过此点时车必减速加力则速不减矣车过阻物上行时所加之力为重阻力车行忽改方向震动时所加之力为震阻力法以轮半径除阻物高为第一数轮半径幂倍之以除阻物高幂为第二数以此两数之较乘平速幂为震阻力率地力乘阻物高为重阻力率并两率以乘车重即车过阻物之加力也若阻物高小于轮半径则平速幂为震阻力率轮半径乘地力为重阻力率或以薄铁片附于轴下取其凸力令轮心渐离直而不震动阻力可减大半也
以物击物其受击物之抵力由两物相遇而生故铁锤之力大于纱球铁墩所抵之能大于软枕而锤之能力消于墩之抵力其所历之时刻又有不同时刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者时刻亦愈小也钢铁凸力率九百万尺如以铁锤击铁墩则锤高加墩高以乘锤高又以锤下行数乘而倍之为实凸力率为法实如法而一平方开之即锤墩共凹之路锤高乘凸力率又以锤下行数乘而倍之为实锤高加墩高为法实如法而一平方开之即铁墩之抵力也若以锤击钉入木则力为平力而钉能动抵力必小钉长加锤高以乘木径倍凸力率除之即钉入木之路锤高乘平行数木径除之内减钉入木路即锤钉共凹之路也
流质重学记
顾观光
物各有质木石之类为定质风水之类为流质而流质又有轻重之分轻如风气重如水液其体皆得热而大得寒而小而水之质独异当寒暑表之四十度为极小之限更寒则反增大至三十二度而成冰矣成冰之时其体增大最速故瓶盆贮水每因冰而迸裂也流质在器为地力所引必皆平于地平地球旋转生离心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面当赤道则曲于球形当二极则平于球形月过处有引力又合地力而生并力必令水面改变即潮汐之理也水之小者同于平面故测两地高卑以水为准若二处流质相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水载大重而上升或不用水而用风气理亦同也定质抵力惟在引力所加之方向流质抵力处处皆同设水在器中于其四周开相等之四xiao穴以短柱塞之令可进退一柱渐进则余柱必渐退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向对边而倾以一边无抵力也流质愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘体积即水抵力之重矣流质抵力必有重心设上下不等正方体水满其中重心必近于大方令大方在下则重心低而抵力大大方在上则重心高而抵力小若有两器同底同高不论方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下设为平行四边形则抵力心之高为三分高之一设为两等边三角形角尖在上则为四分中垂之一角尖在下则为二分中垂之一凡水闸当抵力心处必多加能力以阻水也
定质为流质所载重者必变而轻故竹木入水必升铁入水银亦升因等体积之流质重于定质故也定质重为向下之力流质重为向上之力二力同在一垂相等则物必定由此可得体积相等轻重不等之率如金重三十五分入水中则重三十一分所少四分即等于金体之水重是知水与金之重率为一与八七五矣若不合相定之理则物在水中或升或降令物升降之力即等体积之水重与物重之较也人入水中身重小于等体积之水重又胸中空处能大能小首昂则胸大而两重较更大且以两手入水必不沉也若手出水则身重大于等体积之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之体积愈小而不能复升矣人于桅端下坠入水必深以身重大于等体积之水重也殁则体涨大而复升以身重小于等体积之水重也气球上升亦同此理其上升之力即球重于等体风气重之较矣风气又有冷热之分而热轻于冷又热则体必加大而等体之冷风气愈重二重之较即令热风气上升之力聚火处开烟囟令烟速出于上即此理也烟囟高则热风气向上直升恒高于顶数尺外风不能敌之低则热风气亦低或不能敌外风而回入室中矣
凡空处皆有风气风气涨力四面散行直至遇物拦阻而止设冷热等则涨力大小与空体大小有转比例如有长空圆柱两端一通一塞以通之一端入水则柱中空体为水所逼渐下渐小而令柱下行之力必渐加大此即风气之涨力以涨力与抵力恒相等也水热至寒暑表之二百十二度其涨力与风气等每方一尺抵力二千一百二十斤更热则涨力极大虽至坚之物不能当之矣
地球外之风气层层包裹近地最厚渐高渐薄至一百五十里则无风气矣用玻璃管长三十二寸内径极小不过八分寸之一两端一通一塞满贮水银倒植水银器中则管中水银必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者为风气之所抵而风气厚薄时时不等故升降亦时时不等也海面水银高二十九寸九分二厘二毫在高山则必降风气薄而轻也在深壑则必升风气厚而重也大率高九百尺水银降下一寸是又为测高之简法矣水在器中或倒悬而水不出以口有风气抵力也虹吸内两边倒悬之水俱欲下行在顶点有两分之意而顶点无空势不能分两边一短一长必令短者逆流而上所以无空者风气抵之也若顶点高过三十二尺即有空矣极大虹吸高不得过三十二尺
风气冷热处处不同赤道之下日光正射而热入必多斜射则热少愈斜则愈少故一年热气中率赤道之下寒暑表八十四度两极之下仅得四度然则赤道下之风气较他处热而轻故必上升而其下南北之冷风气入之复受热气上升而其下之冷风气又入之如水之流终古不断遂生上下二潮上自赤道流向两极下自两极流向赤道而名之曰风风气恒随地球而行地球右转之势近赤道者较速近两极者较迟故上潮速恒而下潮迟及其降至地面迟则与地转相逆而北半球为东北风南半球为东南风速则与地转相顺而北半球为西南风南半球为西北风其势正相反也赤道下有飓风亦由于此盖上下方向相对遂成回旋之风矣摆用流质与定质同其动之比同于长平方根之比水自器中出口其速之比同于口离水面平方根之比设于器旁开二口一离水面一尺一离水面一百尺则一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力为之也口在器底则水向下直行口在器旁则水依抛物行设为径寸平圆之口则近口处径一寸渐远渐小小至八分寸之五谓之截面此面距口有一定之度过此则形不变故测流质出口多少不用口面积而用截面积也
舟行水中阻力之比同于速幂之比而阻力又有大小之不同全在水中则大半在水中则小行于阔处则大行于狭处则小若于狭处一小时行十余里舟行愈速出水愈高其阻力必大减矣水行川中上面速于下面中流速于两边因底与两岸有面阻力且多曲处故也曲处凹边之流速于凸边因各点有离心力能令水积于凹边也上下行速不同方向或异甚至有对面者如海口潮来咸水从下入淡水从上出以重者下而轻者上也浪乃略高之水行于水面与水行方向不同如桅上旗因风而生绮浪亦与旗行方向不同故水浮水面浪虽拥击而水不行也浪每因风而生水阔二三百尺深三四尺浪高不过三寸深二三十尺浪高约尺半故可以浪之高低测水之深浅矣潮汐高卑由于日月摄力朔望时用其和两弦时用其较而二摄力之大小时时不等因日月距地时时不等而摄力与距地之立方有转比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高与最卑若两大数和与两小数较即若十与三之比也各地早晚不同当考者有五事一为月过中差潮涨在月过中后若干时刻日日不同大率当以朔望为准二为半月差月过中又因距日而生差当于日月赤道纬度及地心差为中数时测之此差半月而复故名半月差三为潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望后之三潮上潮距月过中之平数即潮距朔望也四为日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高当于各地测之五则日月地心差不同赤道纬度不同潮之高卑时刻亦因之而变测之既久乃知变者皆其常也有诸海港合而复分水道屡变有时成环绕之行水道变则迟速亦变是又当兼测水道矣
天重学记
顾观光
日居中而不动地球环之其旋转于本心而一日一周者昼夜之故也其循行于本道而一岁一周者寒暑之故也旋转之势依赤道循行之势依黄道二道交角今为二十三度二十八分交点每岁西行五十秒一故地行黄道一周三百六十五日五小时四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而后复于恒星即岁差也黄道椭圆而日不正当椭圆之中两心差一六七八三六最高每岁东行十一秒八故地绕太阳一周三百六十五日六小时九分九秒六再加四分三十九秒七而后复于最高即历周也最高差与岁差共一分一秒九积二万九百八十四年而最高周于黄道则复其初矣地行于椭圆周每日五十九分八秒三三所历之时刻等所过之面积亦等而最高半周角度小于积度则实行差而迟最卑半周角度大于积度则实行差而疾故日距地之平方与速率有反比例日距地之面积与时分有正比例也中距日视径三十二分三秒三高则变小卑则变大大小之比同于日距地之反比矣黄道椭圆而地形亦为椭圆长径过赤道短径过两极二径之比若二百九十九与二百九十八地之旋转近赤道则渐疾而下引之力减近两极则渐迟而下引之力增故物在两极较赤道重一百九十四之一各度加重之比同于纬度正弦幂之比也地径与日径比若一与一百十一五地径与黄道径比若一与二万三千九百八十四故日之地平视差为八秒六各度视差之比同于视距天顶正弦之比也赤极环绕黄极二万五千八百六十八年一周为诸星所摄动而黄赤大距古大今小约百年差四十八秒其最大差为一度二十一分赤极又为月所摄动而成小椭圆之行长径十八秒五短径十三秒七四凡十九年一周长径恒向黄极故大距又有微差矣地以二十四小时旋转一周而考之钟表亦有微差一为椭圆迟疾差近最高则行迟而自转有减分近最卑则行疾而自转有加分一为黄赤升度差近二分则黄道一度当赤道不足一度故自转有加分近二至则黄道一度当赤道一度有余故自转有减分合二差以加减平时即真时也光行之速一秒凡五十五万五千里而地行黄道一秒仅五十五里故光速率与地速率若半径与二十秒五之正切是为光行差近地恒有蒙气能令七政升卑为高地平视差三十三分地平以上渐小而其差又随时随地不同此必征诸实测非算术所能御矣
月绕地而又绕日其旋转于本心与环绕乎地球皆二十七日七小时四十三分十一秒五而一周故月向地之面终古不易也月行白道与黄道斜交其角五度八分四十八秒交点退行于黄道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交终也白道椭圆而地不正当椭圆之中两心差最大最小之比若三与二其中数为五四八四四二最高每日顺行六分四十一秒八故月行迟疾二十七日五五四五而一周即转终也月行于椭圆周每日十三度一七六四亦以面积为平行角度为实行与太阳同中距月视径三十一分七秒大小之比亦为月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九七五积二十九日十二小时四十四分二秒八七而复合是为一月地径与月径比若一与二七二九地径与白道径比若一与五十九九六四三五故月之地平视差其中数为五十七分六秒也日月二半径和加月地平视差其最大者一度三十四分二十七秒日月两心距小于此数则地面必有见食之处故日食限之距交为十六度五十八分法自日体之两边各作与月体相切引长之成尖圆其尖或过地或不及地若以两交互切月引长至地界内即生淡影人在淡影中则见食在尖圆中则见食既也月与内虚二心距等于月外虚二半径和即月入外虚之时等于月内虚二半径和即月入内虚之时故月食限之距交为十一度二十一分法自日体之两边各作与地球相切引长之成尖圆即内虚也若以两交互切地引长之过月体即外虚也日光透过蒙气则折而下其交外虚之角即倍地平蒙气差其交内虚之角即倍蒙气差与日视径之较月八外虚为昏黄色入内虚则浅者为蓝绿色深者为红紫色也凡摄力之大小与相距之平方有反比例月距地心约地半径之六十倍故地摄月力为地面摄力三千六百之一日之摄力甚大于地而日地距大于月地距约四百倍故日摄月力仅得地摄月力一百七十九之一也白道长径与地之行每日差五十二分二十七秒二五积二百五日八九四而复合此一合中两心差有增减长径亦有进退而增减进退之差在最高者较大在最卑者较小大小之比若二十八与二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增则长径变长朔望后二象限切力令恒速率减减则长径变短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小两弦前后各三十五度十六分法力向内令曲率略大其最大差为一度四分一月而复名二均差也月受日之摄力朔时距日近而略大望时距日远而略小故日心斜交地月之令月增减于椭圆行其最大差为二分名月角差也地行于椭圆周最高后距日渐近则日摄月力渐大最卑后距日渐远则日摄月力渐小其最大差为十一分一岁而复名年差也二千年间地道两心差恒变而小约百年差二万五千分之一则年差亦微有不同而月之平速恒变而大约百年差十一秒九其一终之时甚久未能征诸实测也二体相距必有重心其距二体心远近之比若二体轻重之比联日地为一直其公重心在日体中联月地为一直其公重心在地球中故月地之公重心绕日地之公重心而自人视之一若月绕地而地又绕日焉然因此而日之经度亦有微差一月而复因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平视差也白极环绕黄极十八年六而一周而赤道既退行于黄道又退行于白道则赤极所行方向恒正交赤白二极距故不成正圆而为次摆其速率亦时大时小二道所生二差之比若二与五矣
五星绕日而行轨道并为椭圆与地球同其两心差各以长半径准之水星二五五一四九金星六八六七火星九三三七木星四八一六二一土星五六一五五距日中数以地道半径准之水星三八七九八一金星七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二二七七六土星九五三八七八六一地与五星周时平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一万七百五十九日二一九八一七其交黄道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交点与最高点行皆甚迟故联两交点为一恒平分黄道焉外星之摄动内星也于内道上取距外星等于日距外星之两点内星自等距点至交点者交点退而后自交点至等距点者交点进而前内星之摄动外星也二道相距小于内道距日者于内道上取距日与外星相等之两点其交点之进退与外星摄内星同二道相距大于内道距日者二星在交之两边交点退而后在交之一边交点进而前若二星中有一星正当交点则交点不动矣二道渐相近而摄力又引之近二道渐相远而摄力又推之远则交角变大二道渐相近而摄力反推之远二道渐相远而摄力反引之近则交角变小引之近者交点退推之远者交点进故交角之大小与交点之进退不相应也法力能变曲率向内则曲率增向外则曲率减切力能变速率顺则速率增逆则速率减故法力向内而星近高点则长径退近卑点则长径进自高至卑则两心差增自卑至高则两心差减法力向外者反是切力顺而星近高点则两心差减近卑点则两心差增自高至卑则长径退自卑至高则长径进切力逆者反是是两心差与最高行互为消长而切法二力亦互为消长故五星之椭圆周古今不甚相远也人视五星见其忽顺忽逆忽留若无法者因地不在星道之心而又绕日环行故也若自太阳视之则有迟疾而无留退故求地心经纬度当以日心经纬度为根先用弧三角形直角为一角星道交黄道角为一角最卑交点二经度较为两角所夹之弧求得对直角之弧以加减星距最卑度即星距交度仍以直角为一角星道交黄道角为一角星距交度为两角所夹之弧求得对交角之弧即日心纬度又求对直角之弧以加减交点距春分度即日心经度也次用平三角形直角为一角日心纬度为一角星距日为对直角之边求得纬度角之对边为星距黄道又求得两角所夹之边为星对边又以星对边为一边地距日为一边星地二日心经度较为两边所夹之角求得对角之边为日对边又求地距日之对角以加二日心经度较再加地之日心经度即星之地心经度又以日对边与星距黄道为夹直角之两边而求星距黄道之对角即地心纬度也土木二星之互相摄动也二星一合为七千二百五十三日四积至三合则土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日数乘之得三十二万二千三百七十三日约八百八十三年然其差因积久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周时变短则一星速率减而周时变长其最大差土星四十九分木星二十一分二星经度之比若二星体积各乘长径平方根之反比也金星之摄动地球也一合为五百八十三日九二积至五合则地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日数乘之得八万七千五百八十八日约二百四十年而一周此一周中地速率减则日地中距变大地速率增则日地中距变小其差甚微然因此而月之速率亦有增减其最大差为二十三秒金星摄力又有直加于月者地转三终则金转五终而多二十七日十三小时七分三十五秒六较月转终少十分五十六秒七约为三千六百二十五分月转终之一凡二百七十三年而一周其最大差为二十七秒四是又在日地二摄力之外矣五星地半径差并小于月测之甚难而联日星与地为三角形则星距日与地距日若星距日度正弦与地道半径差之正弦此差一年而周与光行差相似若以光行星与地道差为夹直角之两边而求地道差之对角即星所在之度也
彗星行法与五纬同而椭圆之长径甚长两心差甚大故或数十年而一见其差甚多不能尽知其根数也因格彗半长径二二一六四两心差八四七四三六交黄道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半长径三九九四六两心差六一七二五六交黄道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陆孙彗半长径三一五二一两心差七九三六二九交黄道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半长径三五一八二两心差七五五四七一交黄道角十二度三十四分十四秒凡六年二二而一周飞彗半长径三八一一七九两心差五五五九六二交黄道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周达唳彗半长径六三二六六两心差七五六七二交黄道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半长径一七九八七九六两心差九六七三九一交黄道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一六而一周又有干隆三十五年之彗两心差七八五八交黄道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日五五八交黄道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有顺治十八年之彗约一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗约二百九十二年而一周康熙十九年之彗约五百七十五年而一周上考往古有当见而不见者必近日而昼见有虽见而先后一二年则为他星所摄动也干隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周减百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增减之故未得而详彗之头如星气渐近中心渐厚尾恒背日盖太虚中之薄气故借日光而明有时隔彗能见恒星知其为薄气而非实体矣
代微积拾级序
李善兰
几何之学自欧几里得至今专门名家代不乏人粤在古昔希腊最究心此学尔时以圜锥诸曲之理为最精深亚奇默德而后其学日进至法兰西代加德立纵横二轴推曲内诸点距轴远近自有此法而凡曲无不可推故曲之数多至无穷而以直为限一例用曲之法驭之既得诸曲依代数理推之可得诸平面诸曲面诸体其已推定之曲略举其目曰平圜椭圜双抛物半立方抛物薜荔叶蚌摆余摆和音次摆弦切诸指数对数亚奇默德螺对数螺等角螺交互螺两端悬葛西尼诸椭圜平行动而圜锥诸曲与他曲统归一例无或少异此代数几何学也自有代数几何而微分学之用益大微分学非一时一国一人所作其源流远矣数学有数求数代数无数求数然所推皆常数微分能推一切变数创法者不一家理同而术异求本之者日尔曼人也立界说曰以小至无穷之点积至无穷多推其几何名为推无穷小点法难者曰无穷小之点虽积之至无穷不能成几何解之曰但易无穷小为任何小即有积可推矣故其说虽若难解而其理未始不合也而英国奈端造首末比例法不用无穷小之长数乃用有穷最小长数之比例而推其渐损之限其几何变大则为末限变小则为首限此法便于几何而不便于代数后造流数术弃不用而谓万物皆自变其变皆有速率凡几何俱可用直显之故速率之增损可用直之界显之此说学者皆宗之嘉庆末法兰西特浪勃造限法自云不过用柰端首末比例耳而兰顿别创新法凡微分一凭代数不云任近限而云已得限名曰賸理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略与兰顿同总论之微分不过求变几何最小变率之较耳家数虽多理实一焉奈端来本之同时各精思造法未尝相谋相师也奈端于元上加点以显流数如申为甲之流数是也用以推算觉不便故用来氏之彳号以显之积分者合无数微分之积也亦用来氏之禾号以显之微分积分为中土算书所未有然观当代天算家如董方立氏项梅侣氏徐君青氏戴鄂士氏顾尚之氏暨李君秋纫所着各书其理有甚近微分者因不用代数式故或言之甚繁推之甚难今特偕李君译此书为微分积分入门之助异时中国算学日上未必非此书实基之也
代微积拾级序
伟烈亚力
中法之四元即西法之代数也诸元诸乘方诸互乘积四元别以位次代数别以记号法虽殊理无异也我 朝康熙时西国来本之奈端二家又创立微分积分二术其法亦借径于代数其理实发千古未有之奇秘代数以甲乙丙丁诸元代已知数以天地人物诸元代未知数微分积分以甲乙丙丁诸元代常数以天地人物诸元代变数其理之大要凡线面体皆设为由小渐大一刹那中所增之积即微分也其全积即积分也故积分逐层分之为无数微分合无数微分仍为积分其法之大要恒设纵横二以天代横以地代纵以彳天代横之微分以彳地代纵之微分凡代数式皆以法求其微系数系于彳天或彳地之左为一切面体之微分故一切面体之微分与纵横之微分皆有比例而叠求微系数可得面体之级数曲之诸异点是谓微分术既有面体之微分可反求其积分而最神妙者凡同类诸题皆有一公式而每题又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天与彳天之同数或地与彳地之同数以代之乃求其积分即得本题之全积是谓积分术由是一切曲曲所函面曲面曲面所函体昔之所谓无法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真数求对数对数求真数昔之视为至难者今皆至易呜呼算术至此观止矣蔑以加矣罗君密士合众之天算名家也取代数微分积分三术合为一书分款设题较若列眉嘉惠后学之功甚大伟烈君亚力闻而善之亟购求其书请余共事译行中国伟烈君之功岂在罗君下哉是书先代数次微分次积分由易而难若阶级之渐升译既竣即名之曰代微积拾级时几何原本刊行之后一年也
谈天序
李善兰
西士言天者曰恒星与日不动地与五星俱绕日而行故一岁者地球绕日一周也一昼夜者地球自转一周也议者曰以天为静以地为动动静倒置违经畔道不可信也西士又曰地与五星及月之道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等议者曰此假象也以本轮均轮推之而合则设其象为本轮均轮以椭圆面积推之而合则设其象为椭圆面积其实不过假以推步非真有此象也窃谓议者未尝精心考察而拘牵经义妄生议论甚无谓也古今谈天者莫善于子舆氏苟求其故之一语西士盖善求其故者也旧法火木土皆有岁轮而金水二星则有伏见轮同为行星何以行法不同歌白尼求其故则知地球与五星皆绕日火木土之岁轮因地绕日而生金水之伏见轮则其本道也由是五星之行皆归一例然其绕日非平行古人加一本轮推之不合则又加一均轮推之其推月且加至三轮四轮然犹不能尽合刻白尔求其故则知五星与月之道皆为椭圜其行法面积与时恒有比例也然俱仅知其当然而未知其所以然奈端求其故则以为皆重学之理也凡二球环行空中则必共绕其重心而日之质积甚大五星与地俱甚微其重心与日心甚近故绕重心即绕日也凡物直行空中有他力旁加之则物即绕力之心而行而物直行之迟速与旁力之大小适合平圜率则绕行之道为平圜稍不合则恒为椭圜惟历时等所过面积亦等与平圜同也今地与五星本直行空中日之摄力加之其行与力不能适合平圜故皆行椭圜也由是定论如山不可移矣又证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以煤坑之坠石而地之自转益信证以彗星之轨道双星之相绕多合椭圜而地与五星及日之行椭圜益信余与伟烈君所译谈天一书皆主地动及椭圜立说此二者之故不明则此书不能读故先详论之
谈天序
伟烈亚力
天文之学其源远矣太古之世既知稼穑每观天星以定农时而近赤道诸牧国地炎热多夜放羊因以观天间尝上考诸文字之国肇有书契即记及天文如旧约中屡言天星希腊古史亦然而中国尧典亦言中星历家据以定岁差焉其后积测累推至汉太初三统而立七政统母诸数从此代精一代至郭太史授时术法已美备惟测器未精得数不密此其缺陷也中国言天者三家曰浑天曰盖天曰宣夜然其推历但言数不言象而西国则自古及今恒依象立法昔多禄某谓地居中心外包诸天层层硬壳传其学者又创立本轮均轮诸象法綦繁矣后代测天之器益精得数益密往往与多氏说不合歌白尼乃更创新法谓太阳居中心地与诸行星绕之第谷虽讥其非然恒得确证人多信之至刻白尔推得三例而歌氏之说始为定论然刻氏仅言其当然至奈端更推求其所以然而其说益不可摇矣夫地球大矣统四大洲计之能尽历其面者无几人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者计绕太阳有小行星五十余大行星八其最大者体中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也设以五百地球平列土星之光环能覆之而诸行星又或有月绕之总计诸月共二十余设尽并诸行星及诸月之积不及太阳积五百分之一太阳体中能容太阴六千万倍可谓大之至矣而恒星天视之亦只一点耳设人能飞行空中如最速子亦须四百万年方能至最近之恒星故目能见之恒星最小者可比太阳其大者或且过太阳数十万倍也夫恒星多至不可数计秋冬清朗之夕昂首九霄目能见者约三千设一恒星为一日各有行星绕之其行星当不下十五万况恒星又有双星及三合四合诸星则行星之数当更不止于此矣然此仅论目所能见之恒星耳古人论天河皆云是气近代远镜出知为无数小星远镜界内所已测见之星较普天空目所能见者多二万倍天河一带设皆如远镜所测之一界其数当有二千零十九万一千设一星为一日各有五十行星绕之则行星之数当有十亿零九百五十五万意必俱有动植诸物如我地球伟哉造物其力之神能之钜真不可思议矣而测以更精之远镜知天河亦有尽界非布满虚空也而其界外别有无数星气意天河亦为一星气无数星气实即无数天河我所居之地球在本天河中近故觉其大在别星气外远故觉其小耳星气已测得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星气为未成星之质至罗斯伯之大远镜成始知亦为无数小星聚而成而更别见无数星气则亦但觉如气不能辨为星之聚设异日远镜更精今所见者俱能辨恐更见无数远星气仍不能辨也如是累推不可思议动法亦然月绕行星行星绕太阳近代或言太阳率诸行星更绕他恒星与双星同然则安知诸双星不又同绕一星而所绕之星不又绕别星耶如是累推亦不可思议伟哉造物神妙至此荡荡乎民无能名矣
割圜八缀术序
缺