九章録要卷六

欽定四庫全書

九章録要卷六

松江屠文漪撰

少廣法

古九章四曰少廣以御積冪方員

開平方法　平方開除先列實視實有幾位〈凡實之大數從千起者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚位一定不可易也〉即知須幾開而盡〈凡經再開者開得平方大數從十起三開者百四開者千或實尾一開虚擬而未經開者即開得數終於十而無以下小數也〉率實兩位而一開逆從實尾向左數之〈尾在右也〉至實首則一位亦一開也其開之法有三曰方曰亷曰隅〈方法亦謂之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初開視實首位以起方法實首一位開者〈一位之實多不過九〉取三及以下數自乗兩位開者〈兩位之實少不下十一〉取三及以上數自乗所取以自乗之數初商也列實首之左〈亦有不列於左而即借實首位列之者説詳於後〉自乗所得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右即以次商為隅法自乗得數用減實訖〈於亷法下一位減之觀後假例自明〉是為再開自三開以後俱倣此

〈或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各如前方之數則二亷相㑹之一角猶缺一小平方其四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以足之也〉

假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去一此初開也再開倍前方一得二〈前方是一百倍之為二百而此且勿論也但謂之一謂之二可耳〉為亷法以二除乙之五〈乙丙兩位為再開之位而亷法當於乙位除隅法當於丙位除也〉則於乙減四存一於甲空位列二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得二十四〈前方一下復有二則且謂之一十二矣不計其為一百二十也雖更多亦然〉為亷法先以二除丙之七〈丁戊兩位為三開之位則亷法當於丁位除而亷法有二十四即二當於丙位除四乃於丁位除也〉則於丙減六存一於乙空位列三為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減之〈亷之四當於丁位除而與商乗得一十二即一又當於丙位除矣隅法亦然〉則並去丙之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡得方一百二十三

又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲乙數四十五〈甲四乙五并而計之則曰四十五而不必問其為四十五萬也〉且取六為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七存二於甲空位列七為次商〈不用　者以八開之則實不足也〉次以二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一〈戊己兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又減乙九為八為三商而加丙一為二〈乙之一丙之十也試列十於丙而以亷一除之與此同則除乙猶之除丙耳〉次以三與八相乗得二十四於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位減之適盡得方六百七十八

又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六為次商〈此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合觀二例其義益明〉乃以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得方二十六

開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值空位矣〈丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一當於乙位除而除得次商當在甲位今若去乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而甲位空矣可知無次商宜便接三開也〉三開倍八十得一百六十〈前方八下有空位則謂之八十也若更有空位亦遞進之〉為亷法仍先以一除乙之一〈戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙其説已詳前二例矣　三商自當在乙位也〉則改乙一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方八百零九

開方初商列位法　凡初商列於實首位之左者為多而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若實首既以兩位開而初商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當在乙位而初商當列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而以後俱任其自然之數可耳

又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此弊矣

開方餘實命分法　開方餘實僅及所開方數一倍以下則命分命分者倍方加一數以命之〈倍方者亷法加一數者隅法〉假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五分之六并整為七零一十五分之六也

開方求零分密法　開方餘實欲除令盡即所得方數必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母得八十一〈此原實一之方積也葢一實而縱横俱分為九則其中應有方積八十一矣〉子得一千六百〈此總方積也〉以母積除子積歸整得實一十九又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當更有法以開之其法倍九之四十〈倍之為亷法也〉為九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十則其法已密矣

又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更有法以開之其法倍二之九為一之九〈本欲倍其子而半其母則子自倍矣不須更用約法〉以除盈四之一得三十六之一與前方二之九相減〈此與前法正同而盈朒并減有辨葢前方朒於原實則以亷法除所朒之數而與之相并前方盈於原實則以亷法除所盈之數而與之相減也〉得七十二之三百二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與前法同〈按二法所得數其歸正同葢偶同耳他處則往往小異也〉

右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依法再開

又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百之一也或增二開三開者倣此

零分開方法　原實係整數而開之帶零分者前法已詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四化為九之四十〈此只依命分之數聊示其法耳未及密率也〉此當用整除零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分篇中於開方法未詳兹乃盡其變云

長方以積與長廣較求長廣　法以四乗積并較實開方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣

長方以積與長廣和求長廣　法以四乗積減和實開方得長廣較　按四乗積者以四長方兩縱兩横列四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較實也〈二法亦見句股章彼以八乗積者句股之積半長方積也〉右二法可該下文縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用出焉固非右二法所能及矣具詳於左

帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其商以帶縱并之為方法〈常法以方與商為一此以方與商為二〉乃以乗商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實得次商其隅法如常

假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三十二〈須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦然〉為方法乃以方法乗商以三乗二得六〈此處只作二與三且勿論其為二十與三十可也〉於甲位減之〈依常法商二自乗當於甲位減今與方法三相乗亦同也〉則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之〈六於甲位減則四當於乙位減故初開而減及次開之亷位也〉則減乙六為二此初開也再開倍前商二得四并縱得五十二〈倍商是四十也　倍商不倍縱〉為亷法先以五除甲之二〈倍商之四當於乙位除因帶縱首之一而成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位也此五只作五若倍商四縱首六并成一十乃當進一位耳〉則改甲二為四為次商次以二乗四得八於丙位減之〈五於乙位除則二當於丙位除故亷法而減及隅位也〉則減乙二為一加丙四為六又以隅四自乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四〈并較得長三十六〉

又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己為虚位〉帶縱七百二十初商得二〈若商三則并縱首之七為一十又與商乗得三十而實首只二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者帶縱故也〉而以縱并商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千一百二十為亷法先以一除乙之四〈倍商之四當於丙位除因并縱首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也〉則去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十〈并較得長九百六十〉又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開值空位矣〈倍商之二當於乙位除除得次商當在甲位今若去乙之二而列一於甲為次商即丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三開倍前商一十得二十〈此一與二皆百也謂之十者依常法〉并縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二〈倍商之二十當於丙位除乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙二為九加丙二為四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八〈并較得長一百八十〉

又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之〈若初商一則并縱得一百七十二而乙丙兩位無七與二可除也〉初商得九〈此當借列實首甲位〉而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商以一乗九得九於乙位減之〈初商之九當於丙位減因并縱首之七而成一十六則此一當進而於乙位減〉則去甲之一加乙六為七次以六乗九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙之一〈倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六〈并較得長一百六十八〉

又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千零八十八初商得一〈初商是百而縱乃至千故只可用一〉列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之〈方一百之一當於乙位減此是縱首一千之一故進一位〉則去甲之一次一仍得一於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以一除乙之四〈倍商之二當於丙位減此是縱首之一故進一位也下三開倣此〉則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡得廣一百三十六〈并較得長一千二百二十四〉

帶縱減積開平方法　長方積較求廣或於實内減長積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅法如常

假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於甲位減之〈此縱之一商之二皆十也依常法商二自乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此〉則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約計次商當得四〈約計減積之餘尚有商亷相乗及隅自乗之數也〉亦先以縱乗商以一乗四得四於乙位減之〈次商即再開之隅隅本位在丙然隅四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比再開又退一位矣〉則減甲二為一加乙二為八次以二乗四得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十四

又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商不足除知再開值空位〈乙位實二試擬一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足除未暇論其他矣故知再開值空位也〉三開倍前商一十得二十為亷法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八　按積較求廣雖有二法只如一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用不容廢云

負縱減方亷開平方法　長方以積與較求長者其廣之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減之為亷法以除實得次商其隅法如常　假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六〈減較得廣二十四〉

又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位減之〈商係百而乗方之十故退一位也〉則減乙九為七次八仍得八於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一百八十〈減較得廣一百零八〉

負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法如常

假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得三〈此當列甲左第二位因有益積故也初開畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方諸例其商位每不可拘善算者自了然於心手之間耳〉而先以負縱乗商以一乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位負縱一千零八十八此當增一開〈負縱至千而依實位初商只是百數無是理也〉初商得一列甲左第二位而先以負縱乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之〈甲左空位是商千應除之本位也商千乗縱千當於本位加〉則列一於甲左次八仍得八於乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己實並盡得長一千二百二十四　按積較求長二法不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃宜用益積也别擬取㨗之術凡負縱減商而商不足則以所負商數為負方〈亦可稱餘負縱也〉以負方乗商益積即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳

帶縱負隅益積開平方法　長方以積與和求廣者用和為帶縱〈此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直以縱乗商減實耳然且患縱多積少而須益積及減縱二法矣〉則已兼長廣而積有長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅〈一為負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自見〉為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗商〈隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦可耳〉益實乃以帶縱除實合次商

假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和六十求廣者初商得二〈此當列甲左第二位〉而以乗負隅仍得二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱六除甲之二〈以縱除與以亷除其位同此縱之六與亷之四皆十也以十隨十當於亷本位乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則甲乙同除也　至此宜將初商仍移入甲左矣〉則改甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙之六於甲加一為四為次商得廣二十四

帶縱負隅減縱開平方法　長方積和求廣或減負隅於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃以餘縱除實合次商

假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡得廣二十四

又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣一百三十六　按積和求廣二法以減縱法為優葢初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參用下文翻法耳

帶縱負隅減縱翻法開平方法　長方以積與和求長者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負隅減縱翻法開平方

假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求長者初商得七〈此雖列甲左而除得次商乃在乙位則又當借列甲位也〉而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長七十二

又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一〈若初商九百或八百商愈少則負積且愈多故知當為一千也〉列甲左第二位而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之〈商千之位在甲左商千乗縱百則退一位故當於甲位減〉以六乗一仍得六於乙位減之而積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負縱六除甲之一〈倍商之二是千也依常法當於甲位除除得次商當在甲左此負縱之六是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱數朒故耳〉則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於乙減六存七於甲加一為二為次商〈此當於再開畢後移列甲左葢三開則負縱亦盈至千與常法倍商數等矣〉次以四乗二得八於丙位減之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊己負積並盡得長一千二百二十四　按積和求廣初開後必有餘積〈若遇負積即初商是長非廣也此亦指一為負隅者而言〉求長則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開所負之積不妨於再開所益積内減之〈再開所負於三開所益減〉但欲約次商患其茫然無緒可尋故只倣減縱法葢減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於左

一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱〈若積餘縱負乃是商數過盈非所求之長當改商就朒〉且如實一萬九千四百四十和二百八十八初商得一百〈求廣求長同〉而餘積六百四十再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一百八十葢只用減縱法而廣長皆得可不須翻法也又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十約餘積一千九百〈其下小數且置不算也〉為四十與五十相乗之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若求廣則取盈數〈宜有餘積也〉以三十為次商〈廣不合有一百六十故不用六〉以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒數〈宜負積也〉以五十為次商〈長不合止一百四十故不用四〉以再減餘縱得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以得長非可執一云〈右一條及下四條所舉假例皆以一為負隅故例中不言負隅之乗取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正取參觀以相發明耳〉

一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得次商以乗負隅為隅法以乗商減負積〈既無負縱則獨用隅法減負積也或以負隅除負積以常法平方開之亦可〉如實八百六十四初商三十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五〈負積六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也〉

一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次商若干以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱除負積合次商〈負縱與隅法皆所用以除負積者也無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅法相減〉如實一千六百六十六和八十三初商四十而負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四十九也

一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適盡者此為有商無除〈隅與縱相減並盡既無負縱即無餘隅矣無可用以除負積者也〉而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再開以亷減縱餘八十即以八十為次商〈若以九十為次商則減縱而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十當有負積九百乃足除耳今只四百二十五是負積又負於法不得行也〉以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘縱乗商益負積〈餘縱以減積負縱以減負積然則餘縱當以益負積矣〉而續商以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六十四即以六十為次商〈不以七十為次商者猶前例不可以九十為次商也〉以再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八自乗得六十四減負積盡為長一百六十八

右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法所以御平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶縱葢隅有正負猶縱有正負也〈若以一為隅算則與無隅算同商亷固即是隅算之一也〉以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣隅算法前未有例於後見之云

平方以斜徑求方　法以斜徑自乗為實以二為隅算開方　假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也　按斜徑自乗之實倍方積故以二為隅算開之〈或不用隅算以斜徑實半之開方亦得〉舊説率方五斜徑七然方五則斜七而强斜七則方五而弱未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也

平方以方求斜徑　法倍方積開方

大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方　法倍兩方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之〈言并方亷而或用減積可知不待言也他倣此〉得小方或以較為負縱用負縱減方亷開之得大方

又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按此葢以句股法通之大方股也小方句也共積弦實也兩方互乗數句股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并减而開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較以見大小方不用縱方之法亦可耳〉

大小兩方以共積及兩方較求大小方　法以較實減共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方　假如大小兩方田共積七千五百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方七十四〈此以隅算負縱益積法為例餘可類推〉

大小兩方以共積及兩方和求大小方　法以和實減共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方〈按右二條但倍共積以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也〉

大小三方以共積及三方之兩較求各方　法以兩較實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之較〈可知中方近小方也〉則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之大與中之較朒於中與小之較〈中方近大方也〉則倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之較中與小之較等則直用隅算開之得中方

大小三方以共積及三方之兩和求各方　法以兩和實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得大方〈按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉大與中與小之兩和往往只用負隅減縱法即得大方不須翻法也惟大方與中小二方盈朒迥殊者乃間用翻法耳〉

右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲方者用負縱〈若四較皆以甲方為主即先求甲方也　甲大戊小〉並如右法至於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣〈乙下於甲一等似近大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也并三較與一較之數等者但用隅算開之〉丙丁倣此其以和求者只如

右法云

三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣　法以中廣與長之較為帶縱〈必以中廣為主此算三廣之定法　既稱長廣則中廣必朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳〉以中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱〈長既有縱廣不當又稱縱而廣之有較亦縱也故謂之旁縱〉而中廣朒則為旁帶縱中廣盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方亷兼減積開之〈帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬長廣兩邊則初開未可皆并入方故兼用減積法至再開或減積或并亷者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也〉旁負縱者用帶縱并方亷兼負縱益積減亷開之〈帶縱既用并方亷法而兩縱分屬長亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并且減也〉得中廣　假如三廣田積二千四百六十五步中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四減積盡得中廣一十八〈各加較得南廣二十六北廣五十四長八十五〉或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡捷

又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五〈各加減較得南廣二十北廣二十六長八十五〉或再開以旁負縱減亷法得一百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減積盡尤便〈按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下文各條例中其法更加隅算及負隅者縱與旁縱斷不可移易也〉

方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣　法以一邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三廣田法　假如偏斜田積四千一百四十八步東長盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七并旁帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得東長六十四〈各加減較得南廣五十四北廣六十八西長七十二〉

又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百〈此因負縱多而初商少兼用益積法〉先以負縱乗旁帶縱得一千二百益積〈凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱方也商也帶縱也皆正也兩正相乗宜減積一正一負相乗宜益積也〉次以商乗旁帶縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百減積盡得東長一百八十〈南廣五十北廣七十西長二百〉

又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百先以負縱乗旁負縱得九百六十減積〈凡負縱皆用之益積此旁負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也〉次以商乗旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗得四千九百減積盡得東長一百七十〈南廣四十五北廣五十五西長一百五十四〉　按右三例第一例以負縱減方亷兼帶縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而㨗徑自出也

三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣　法以四乗積為實以和為帶縱一為隅算〈凡三廣必倍中廣并邊兩廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱隅算固所求之中廣也〉以中廣與長之較為旁帶縱〈如中廣反盈於長則為負也〉用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣〈以加長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可以次第推也　按此以長廣較為旁縱者和不得為旁縱也凡和為帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅勢不得在旁也此隅算只一猶與無隅算同縱與旁縱可以互換非負隅之比負隅雖只一其縱亦不可移耳〉

方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅〈以三邊和為帶縱非有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以求長因以減縱中之長〉以長較或廣較半之為旁縱〈求長則取長較求廣則取廣較〉其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣　假如偏斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實〈在負隅法中方亷隅皆負也旁帶縱以正而與負乗故宜益實也〉而以餘縱減實二百四十八合次商得東長六十四〈以減和更以廣較推之得南廣五十四北廣六十八以長較見西長七十二〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得四〈凡縱不與隅算及負隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固已先乗負隅矣〉以減縱餘五十八〈帶縱而乗負隅故以減縱〉而以除實二百三十二合次商亦便

又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六步此須用帶縱負隅減縱翻法〈倍積為實則除實宜有餘實一長二廣為縱則減縱宜有餘縱而或須用翻法者必其田狹長之甚也〉而兼旁縱開之以二乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百〈若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故定商一百〉以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六減負實盡得東長一百二十四〈南廣二十二北廣二十八西長一百三十六〉或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而以隅法減負實盡尤便　按算術固不能盡言即如偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明之法隨問變豈可限也兹因偏斜田而引伸其説凡諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉

長方以重長重廣共步及積求長廣　法以共步為帶縱而求長則以長數〈重幾長則為幾數也下廣數同〉為負隅以廣數乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實用帶縱負隅減縱及翻法開之〈不論求長求廣但負隅數少乗積數多者積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹長之甚者則不然臨算當自知之不可預定耳〉　假如長方積八百六十四步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得四千三百二十為實〈五乗積則得長乗廣之數五而可以五廣為帶縱也〉以二為負隅〈實中無長自乗之數而帶縱有二長故以二為負隅不益實即減縱也〉用帶縱負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十四　更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此則不可求長但可求廣〈原積無長乗較之數故不可求長原積有廣自乗及廣乗較之數各一故可求廣〉且如積八百六十四步一和六較三長四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八千六百四十為實以一為隅算〈十乗積則得廣自乗及廣乗較之數各十而帶縱少一廣故以一為隅算并縱也〉以共步為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得廣二十四

長方以長廣母子分數之共步及積求長廣　法以長母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前重長重廣例求之　假如長方積八百四十步五分長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以八為負隅用翻法開之得長三十五

長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重長重廣積步及較求長廣　法以乗積為實并長廣數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千

九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷　右法更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗較為帶縱〈九廣十較也〉廣乗求長則以一乗較為帶縱又以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以較為旁帶縱依例開之

長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重長重廣積步及和求長廣　此與前一條相似而不同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣〈隅算及負隅無旁加者勢不能也故長乗不便於求廣廣乗不便於求長矣〉法亦以乗積為實而長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算〈六長三廣相減長餘三以為隅算之數葢并三長於帶縱得六長三廣也〉廣乗求廣則以六乗和為帶縱以三為負隅〈六長三廣相減廣不足三以為負隅之數葢減三廣於帶縱亦得六長三廣也〉開之是也　右法長廣所乗若更兼重和重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一乗和為負縱以十一為隅算〈減一長一廣於隅算得九長一較也〉廣乗求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅〈減十一廣於帶縱亦得九長一較也〉依例開之

九章録要卷六