A. 解释弁言

这里的解释分以下两条:1.关于符号;2.关于推论。

1. 关于符号。

以下的符号不必有以下的意义,可是事实上我们给它们以以下的意义。“p,q,r…”解释成未解析的命题。在本书我们不说它们是最初级的命题。“最初级的命题”这一名称似乎有困难。如果命题要解释,如果我们免不了要用解析的方法以研究命题的意义,则是否有“最初级的命题”,颇发生疑问。即有这样的命题,我们也不容易举例。我们手指一物说“这是红的”。“这是红的”是否最初级的命题颇不易说;但只要我们不解析它,它总是未解析的命题。

“├”表示断定。每一命题都有断定的成分在内。假如我向窗外一望说“今天天晴”,“今天天晴”是一命题,有断定成分夹在里面;假如我讨论命题,说“即以‘今天天晴’”为例,严格地说,“今天天晴”不是命题,因为它没有断定的成分。“├”既表示断定,有此符号的命题,均为此系统断定为真的命题。

“~”表示“非”“负”“假”。它可以视为运算(operation),也可以视为真假两值中的假值。有时运算与值一样,有时不一样。有此符号的命题有时此符号表示此命题之为假,有时无此表示。即以本系统的矛盾律而论,“├:~(p·~p)”,括弧外面那个“~”表示括弧里面的命题是假的;可是括弧里面那个“~”,严格地说,只能视为运算;因为假设p代表一真命题,则括弧里的“~”不过表示p的反面而已。但系统的推行既没有因此发生什么困难,我们也不必多所计较。

”表示“或者”, 表示“p是真的或者q是真的”。这里的“或者”是相容的或者,所以p、q皆真也是一可能,所排除的不过是二者皆假而已。 也可以读成“p、q之中至少有一为真”。负p或负q的情形同样,“~p ~q”可以读成“~p、~q之中至少有一为真”。~ 即“‘p、q之中至少有一为真’是假的”,那就是说“p是假的,q也是假的”。

“=……Df ”表示定义,例如 。定义不是本系统的命题,它不过表示符号的用法而已。等号之后,加上“Df ”,即表示定义;那就是说,左边符号的意义就是右边符号的意义。定义既是以比较简单的符号代替比较复杂的符号,所以严格地说来,系统无定义也可以推行,不过不甚方便而已。

表示“蕴涵”或“如果——则”, 表示“如果p是真的,则q是真的”。照定义,这句话的意义就是“p是假的或者q是真的”,或者“‘p是真的而q是假的’是假的”。这样的“如果——则”很受了些批评。它是否普通的“如果——则”,颇发生问题;普通的“如果——则”,究竟是怎样的“如果——则”也不见得容易认清楚。但普通的“如果——则”的诸意义中有这里的“如果——则”的意义,同时这里的“如果——则”,在本系统范围之内,似乎没有不清楚的地方。

“·”表示“与”或“和”,或“而且”,或“既——又”;“p·q”表示“p与q都是真的”。这命题所要求的是p与q无一是假。基本定义说“p·q”的意义就是 的意义。点尚有另外用法,详见下述。

“≡”表示命题的真假值相等,“p≡q”表示“p与q或者同真,或者同假”。它的定义是 。这就是说“p·q”或者“~p·~q”,因为 取消“p·~q”,而 取消“~p·q”。在P. M.( Principia Mathematica之简称)中 “·”“≡”是分开来的,本书把它们的推演集为一部。

点除表示“与”“和”……之外,尚有以之为括弧的用法,点的数目表示括弧的大小,数目愈大,则所包括的愈多;而断定符号“├”后之点表示断定的范围。兹以下式为例:

断定符号后之两点表示所断定者为整个公式所表示的命题;命题中左右俱有一点的“ 为命题中的主要蕴涵关系。表示“与”的点例如“p·q”力量最小;在 两旁虽仅有一点,与表示“与”的点的数目相等,然因其力量大, 仍为此命题中之主要符号。

每一命题均有号数表示,而证明所根据的命题仅写其号数。假如证明中有[1.1·1.2]这样的符号,此符号表示所引用以为证明的根据的命题为“1.1”与“1.2”两基本命题。

表示以“~p”代替“p”,例如 ,此符号表示“1.2”

那一基本命题—— ——以“~p”代替“p”,成所要引用的命题 。

2. 关于推论。

P. M. 中基本命题共有十个,本书仅抄六个。其余四个一方面在本书不甚重要,另一方面它们所应付的问题,本节不预备提出,所以根本没有抄写的必要。

此处所谓“推论”是英文里的inference,推论原则即principle of inference。推论原则是非常之麻烦的原则,我们在第四部讨论它一方面的困难问题,此处不谈到。

本节的推论约有以下诸点我们应注意。

以下系统是现在所称为自足系统的系统,它有它本身所备的推论原则。既然如此,它的基本命题不仅是前提,而且是推论的方式。命题虽只有一套,而用法不只一样。有些前提只是前提,不能以之为推论方式,例如:

所有的人都是有理性的动物,

孔子是人,

所以孔子是有理性的动物。

这里的前提均不是推论的方式,前提的真假与推论的对不对不相干。设有下例,则情形不同:

所有真命题所蕴涵的命题都是真命题,

“q”是真命题所蕴涵的命题,

所以“q”是真命题。这里的推论方式与以前的一样,其不同之处即此推论方式亦同时为其本身之一例。在此处我们承认大小前提为真命题,也承认大小前提蕴涵结论,也承认结论是真命题;可是,我们没有明白地说这里的结论就是小前提所说的“q”那样的命题。我们可以换一方法表示此意:设以此种推论方式为“A”方式,这里由大小两前提而达到结论的推论方式也是“A”方式;可是,我们虽知此方式为“A”方式,而没有明文表示它是“A”方式。所有的推论都有这里所说的情形,这情形不是推论原则的问题,是引用推论原则的问题。推论原则可以明文表示,而推论原则的引用,严格地说,不能以明文表示;因为推论原则的引用总是特殊的,而承认此引用为普遍方式之一例,也是特殊的。我们虽欲以明文表示推论方式的引用,每次所表示的虽在明文范围之内,而那一次的表示不在明文范围之内。换句话说,总有一次的引用是直接的;既然如此,我们不如干干脆脆、一刀两断,承认推论原则的引用是直接的。在第四部我们对于此困难问题,稍加讨论,此处不再提及。

照以上所说的看来,头一例中的前提仅是前提,后一例中的前提不仅是前提,而且也是推论的方式。本系统中的基本命题不仅是前提,而且是推论原则;这不过是说,它们有两种用法。以它们为前提是把它们当作结论的根据,由它们所能得到的结论是本系统所能承认为真的命题;以它们为推论原则是把它们当作推论的根据;合乎此原则的推论是本系统所承认为对的推论。

在解释符号的时候,我们曾举 ,说这符号表示 ,这一基本命题,以“~p”代替“p”之后,即为 。这里就有以基本命题为原则,直接断定后一命题即为前一命题的例。本系统中的“p,q,r…”既均为任何未解析的命题,则“~p”亦可为“p”之一例,(“~p”也是未解析的命题,这一点本书没有明文表示),所以我们能以“~p”代替“p”;所要求的是,如果在一处以“~p”代替“p”,则一公式中所有的“p”,均须以“~p”代替之。

本系统的基本命题之中,我们写上了:“真命题所蕴涵的命题是真命题”这一命题。原书中有两个类似的基本命题,一引用于未解析的命题,一引用于命题函量。但如果本书所抄的系统仅用以下的“1.1”已经尽职(是否如此颇有问题),我们不必有两个类似的基本命题。

B. 基本概念与基本命题

1. 基本概念:

a.“ p,q,r…”表示未解析的命题;

b. 表示“或”; 表示p、q中至少有一为真;

c.“ ~”表示“非”或“假”;“~p”表示“非p”,或“p是假的”。

2. 基本定义:

3. 基本命题:

l.1,真命题所蕴涵的命题是真命题。

C. 命题的推演

(这命题说:如果一命题p是真的蕴涵它自己是假的,则它是假的。右角的号数是原书中此命题的号数。)

(这命题说:任何命题蕴涵一真命题。请注意此处的蕴涵是所谓真值蕴涵。此点在第四部会提出讨论。)

(这命题说:如果P是真的蕴涵q是假的,则q是真的蕴涵P是假的。前一部分为一假言命题,如果P真则q假;后一部分亦为一假言命题,但对于前一部分等于说否认前一部分的后件,亦即否认前一部分的前件。)

(这命题说:如果在P真条件之下,q蕴涵r;则在q真条件之下,P蕴涵r。在真值蕴涵的情形之下,前后两部分的p、q可以更换位置。参见G. Moore,Philosophical Studies一书中关于外在关系的讨论。)

(此处最后一行括弧内的数目表示(1)(2)皆真,(2)既为(1)之前件,则根据(1.1)(1)之后件亦真,而(1)之后件即为所欲证明之命题。以上2.05,2.06,在P. M. 称为三段论原则。以后的“Bardara”三段论即由它们推出。)

(此为同一原则。在P. M. 中同一原则与同一律不同。本书不讨论这一点。)

(在此证明中请注意以下诸点:设以 为p1 ,以 为 为p3 , 为p4 ;以上(3)行表示p1 蕴涵p2 ,(4)行表示p2 蕴涵p3 ,(6)行表示p3 蕴涵p4 。最后证明的命题为p1 蕴涵p4 。为使推论的层次严谨起见,此证明利用2.05所表示的三段论原则,证明p1 既蕴涵p2 ,p2 既蕴涵p3 ,(8)行表示p1 蕴涵p2 蕴涵p1 蕴涵p3 ,(9)行的结论是p1 蕴涵p3 ,(10)行的推论是P3 蕴涵P4 蕴涵P1 蕴涵P3 蕴涵P1 蕴涵P4 ,而此最后即为所要证明的命题。

此证明中有连锁推论;若从简便,由(3)(4)(6)已可以得P1 蕴涵P4 的结论。

同时如果利用“ ”的定义,则第四基本命题即为此处所要证明的命题。)

(以上2.14、2.15、2.16与2.03那一命题相似,属于一类。它们都是表示否认后件亦即否认前件。至于前件与后件单独地究竟为真为假与它们当然无关。在P. M. 中这四个命题称为principles of transportation。)

(2.17与2.01成一对。2.01说:如果P是真的蕴涵P是假的,则P是假的;2.17说:如果P是假的蕴涵P是真的,则P是真的。这里前后两部分仅说是“真”或是“假”,但“则”字后之“真”,可以有必然的意义,“则”字后之“假”,同时也可以有不可能的意义。)

(此命题与2.02成对,均为真值蕴涵的特别情形。2.02说:任何一真命题被任何命题蕴涵;2.19说:一假命题蕴涵任何命题;这一点在第四部还要提及。)

(此证与原书中的证明不同。因为我们抛开了好些命题,我们不能用原来的证明。可是,一个证明用不着这样长,读者可想方法求短的简单的证明。此后有好些证明都不是原书中的证明,但本书没有特别表示它们不是。)

(此命题说:如果p不蕴涵q,则q蕴涵p。如果所谓独立的命题是彼此没有蕴涵关系的命题,则本系统的命题没有独立的。)

(这命题说:如果p是真的,则q是真的蕴涵p与q都是真的。这命题可以是一种推论的方式,至少在本系统范围之内,我们可以利用它把两个分别断定的真命题,合起来断定其为真。例如2.28与2.29可以使我们得“├:p·q·≡·~(~p ~q)”的结论。)

[(2)·(6)·1.1]├:~(p·~ p)

(此为“矛盾律”:“P是真的又是假的是假的。”我们以“与”的思想表示矛盾律,以“或”的思想表示排中律;“或”的思想出现在前,所以排中律先矛盾律而出现。这不过是说在本系统的成文秩序中,排中律在前,矛盾律在后,这与它们彼此的重要问题没有关系。

在此证明中,我们利用排中律去证明矛盾律,这当然纯是根据于成文的先后;设成文的先后反转过来,我们也可以利用矛盾律去证明排中律。)

(此两命题均为三段论原则之另两种表示,以后亦利用之以为推论。这两个命题与传统的三段论比之2.05、2.06更为切近,2.40使人想到“barbara”。情形当然不同,因为这里的p、q、r、 、 、 ,不必是传统三段论中的A、E、I、O那样的命题。)

(此命题说:如果p是真的,而p蕴涵q也是真的,则q是真的。

请注意在此证明中,由(5)(6)而得(7)的结论,其推论与2.41这一命题相似;我们可以把它写成:

不同之点如下:

(一)在证明中的推论,(5)与(6)两前件本系统均断定其为真,而在2.41这一命题中,p与p q两前件,我们仅假设其为真,究竟为真与否,无从说起;2.41所断定的是整个的命题,而不是前面那一部分。

(二)在证明中的是推论,是inference。而在这命题中的是蕴涵,是implication。推论说得通的时候,定有蕴涵关系;但有蕴涵关系的时候,不必有推论。在证明中,我们可以说(5)是真的,(6)是真的,“所以”(7)是真的;2.41这一命题虽是真的,而我们既不能说前件是真的,我们也不能说“所以”后件是真的。

(三)证明中的推论的根据是1.1那一基本命题,由此可以知道1.1与2.41为不同的命题。)

(此命题所表示的可以用所谓anti-syllogism为例。设有以下甲乙两组的命题,以普通的三段论的形式表示之,2.42说甲组蕴涵乙组。

请注意以上的例有很不妥当的地方;2.42这一命题没有断定p、q、r之为真为假;用普通语言表示,它不过是说如果甲组是对的,乙组也是对的。)

(此命题与第六基本命题成对,第六基本命题表示“或”方面的关系,而此命题表示“与”方面的关系。)

(以上2.54、2.55、2.56,三命题表示命题的真假值相等有自反质(self-reflexive)、对称质(symmetrical)、传递质(transitive)。蕴涵仅有自反与传递质。)