A. 假言推论之一
假言推论实即命题与命题的蕴涵关系，可是蕴涵关系复杂，现在暂不提出讨论。兹以“如果x是红的，x是有颜色的”为例。此命题的前一部分称为前件，后一部分称为后件。前件对于后件，我们可以称为充分的条件。何以称为充分的条件呢？以上所举这一命题，可以说是等于“只要x是红的，x就是有颜色的”。x是红的，它就不能不是有颜色的，红是有颜色的充分条件。可是红不是有颜色的必要条件，因为x是黄的，或绿的，或蓝的，或青的，等等，它也就是有颜色的。后件对于前件，我们可以称为必要条件。何以称为必要条件呢？x是有颜色的，x不必是红的，也不必是黄的或绿的等等；但如果x不是有颜色的，则x根本就不是红的、黄的或绿的、青的等等。有颜色是红的必要条件，而不是红的充分条件。普通的“如果……则”的命题是表示充分条件的命题，而寻常语言中“除非——不”表示必要条件的假言命题。起先本来用“除非——才”的公式，后来改成“除非——不”的公式。“除非——才”似乎表示前件为必要而同时又为充分的条件：例如“除非天晴我才打球”，似乎是说天晴我打球，天不晴我不打球。这解释对否不敢说，但“除非——不”似乎仅仅表示前件之为必要条件的命题。前一部分是传统逻辑所有的，后一部分是传统逻辑所无的。我们现在虽然还是讨论传统逻辑，我们不妨把后一部分也加入，因为以后我们的讨论推广到传统逻辑范围之外的时候，这种分别没有多大的意思。本节的A段提出充分条件的假言推论，B段提出必要条件的假言推论。
1. 表示充分条件的假言推论可以有好几式，兹以下列三式为例：
a. 如果甲是乙，则甲是丙；
甲是乙，
所以甲是丙。
或，如果甲是乙，则甲是丙；
甲不是丙，
所以甲不是乙。
b. 如果甲是乙，则丙是丁；
甲是乙，
所以丙是丁。
或，如果甲是乙，则丙是丁；
丙不是丁，
所以甲不是乙。
c. 如果甲是乙，则丙是乙；
甲是乙，
所以丙是乙。
或，如果甲是乙，则丙是乙；
丙不是乙，
所以甲不是乙。
2. 充分条件假言推论的规律。
a. 承认前件即承认后件（前件与后件的意义见本段的序言），否认前件不能否认后件。此条规律显而易见。前件是后件的充分条件；只要前件的条件成立，后件也就成立；但前件不是后件的必要条件，它不成立而后件的其他充分条件能成立的时候，后件仍然成立。所以前件成立，后件亦成立；前件不成立，后件不见得就不能成立。
b. 否认后件即否认前件，承认后件不能即承认前件。如明a条的规律，则知此条的规律为当然的情形。后件是前件的必要条件；后件不成立，则前件根本就不能成立；但后件不是前件的充分条件，它成立，而前件所需的旁的条件不成立，前件仍不能成立。所以后件不成立，前件亦不能成立；后件成立，前件不因此就成立。
c. 以上所举三式各表示这两条规律。第一式最简单，兹以为例：“如果x是红的，x是有颜色的”。承认x是红的，则不得不承认x是有颜色的；可是否认x是红的，x不必是没有颜色的，因为x可以是黄的黑的等等。否认x是有颜色的，则x根本就不能是红的，也不能有其他颜色；可是承认x是有颜色的，并不因此就承认x是红的，因为x可以是黄的黑的等等。
3. 以三段论证明以上规律。第1条所举三例中，a条最简单。设有“如果甲是乙，则甲是丙”的假言大前提，我们可以有：
a. 承认前件的办法：
如果甲是乙，则甲是丙；
甲是乙，
所以甲是丙。
此可以用三段论表示：
所有“是乙之甲”都是丙，
∴甲是丙。
而此三段论没有错处。
b. 否认前件的办法；
如果甲是乙，则甲是丙；
无结论。
此亦可以用三段论表示不能有结论：
所有“是乙之甲”都是丙，
无结论。
此处两前件不能得结论，因为如得“甲不是丙”的命题，则有大词周延之错误。同时此为第一格，第一格之小前提须肯定，此为否定，所以无结论。
c. 否认后件的办法：
如果甲是乙，则甲是丙；
甲不是丙，
所以甲不是乙。
用三段论表示如下：
所有“是乙之甲”都是丙；
甲不是丙；
∴甲不是“是乙之甲”，即“甲不是乙”。
为第二格三段论，无毛病。
d. 承认后件的办法：
如果甲是乙，则甲是丙；
甲是丙，
无结论。
三段论如下：
所有“是乙之甲”都是丙，
无结论。
此亦为第二格，两前提中无一否定命题，根本不能得结论。此是用以表示承认后件不因此就承认前件。
以上都是用三段论表示对于充分条件的假言推论，承认前件即承认后件，否认前件不能否认后件；否认后件即否认前件，而承认后件不能承认前件。
B. 假言推论之二
表示必要条件的假言命题，在传统逻辑之中没有明文的承认，而在日用语言中反有现成的形式。我们可以把这一部分的假言推论加入传统逻辑。日用语言中的“除非——不”是表示必要条件的假言命题。这种假言命题可以说是把一部分的“如果——则”的命题翻转过来的命题。例如“如果x是红的，x是有颜色的”，可以变成“除非x是有颜色的，x不能是红的”。普通语言中的“如果——则”的意义颇含糊，有些“如果——则”，至少在习惯上，不会把它翻转过来成“除非——不”的命题；例如“如果天晴，我打球”不会翻过来变成“除非我打球，天不晴”。充分条件的假言推论的各式，必要条件的假言推论亦有，不过规律相反而已。
1. 必要条件的假言推论也可以有好些式，兹以下列为例：
a. 除非甲是乙，甲不是丙；
甲不是乙，
所以甲不是丙。
或，除非甲是乙，甲不是丙；
甲是丙，
所以甲是乙。
b. 除非甲是乙，丙不是丁；
甲不是乙。
所以丙不是丁。
或，除非甲是乙，丙不是丁；
丙是丁，
所以甲是乙。
c. 除非甲是乙，丙不是乙；
甲不是乙，
所以丙不是乙。或，除非甲是乙，丙不是乙；
丙是乙，
所以甲是乙。
2. 必要条件的假言推论的规律。表示必要条件的假言命题，也有前件与后件的分别。前件是后件的必要条件，后件是前件的充分条件。既然如此，对于此种假言命题的规律与以上的甲种的规律相反。
a. 否认前件即否认后件，而承认前件不能就承认后件。如果我说“除非天晴，我不打球”。这句话所要表示的是天下雨或不晴我绝对不会打球，但晴天后我打球与否可没有肯定的表示。这就是说天下雨或不晴，我不打球，天晴我打球与否不定。所以否认前件就否认后件，而承认前件不必就承认后件。
b. 承认后件即承认前件，而否认后件不能就否认前件。此处仍从前例。如果天晴而我身体不好，或有病，或没有朋友，或以其他种种理由，我不打球，所以我不打球或者是旁的条件不充足，不能就说是天不晴。但是如果我打球，旁的理由固然满足，而必要的条件一定满足。所以我打球表示天晴，我不打球不表示天不晴。所以承认后件即承认前件，而否认后件不因此就否认前件。
3. 以三段论证明以上规律。我们仍以最简单的式为例。我们可以利用其他的式，用同样的方法证明以上的规律，但其他的式比较复杂，与其就繁不如从简。
a. 否认前件：
除非甲是乙，甲不是丙；
甲不是乙，
所以甲不是丙。
此可以用三段论表示：
所有的丙都是乙，
甲不是乙；
所以甲不是丙。
b. 承认前件：
除非甲是乙，甲不是丙；
甲是乙，
不能得结论。不能得结论之理由，也可以用三段论表示：
所有的丙都是乙，
甲是乙；
不能得结论；因为中词不周延。
c. 承认后件：
除非甲是乙，甲不是丙；
甲是丙，
所以甲是乙。
此可以用三段论表示：
所有的丙都是乙，
甲是丙；
所以甲是乙。
d. 否认后件：
除非甲是乙，甲不是丙；
甲不是丙，
不能得结论。
用三段论表示如下：
所有的丙都是乙，
甲不是丙；
无结论；如得“甲不是乙”一命题，则有大词周延之错。
以上均表示对于必要条件的假言推论，否认前件即否认后件，承认前件不因此就承认后件；承认后件即承认前件，否认后件不因此就否认前件。
C. 析取推论
析取推论是由一以析取命题为大前提，以肯定或否定或析取命题为小前提，而得一否定或肯定或析取命题为结论的推论。
1. 析取推论以下列各式为例：
a. 结论为肯定命题的析取推论，这一种的小前提为否定命题，例如：
甲是乙或是丙；
甲不是丙，
所以甲是乙。
b. 结论为否定命题的析取推论，这一种的小前提为肯定命题，例如：
甲是乙或是丙；
甲是乙，
所以甲不是丙。
c. 以上不过表示甲有是乙或是丙的两可能，在析取推论中，可能不限于两可能。如有三可能，我们可以有以下的各式：
甲是乙，或是丙，或是丁；
甲不是乙，
所以甲是丙或是丁。
在此小前提为否定命题，结论为析取命题。但我们也可以有析取命题为小前提，而得一否定命题的结论，例如：
甲是乙，或是丙，或是丁；
甲是丙或是丁，
所以甲不是乙。
总而言之，可能不必有两个，可能愈多，情形当然也就愈复杂。
d. 但以上都可以说是名词与名词之间有析取情形关系。析取不限于名词，例如：
甲是乙或丙是丁；
甲是乙，
所以丙不是丁。
2. 所列的可能必须彼此不相容而又彼此穷尽。不相容与穷尽有四可能：a. 不不相容而不穷尽，b. 不不相容而穷尽，c. 不相容而不穷尽，d. 不相容而穷尽。兹特分别讨论之。
a. 不不相容而不穷尽。兹以“甲是乙或是丙”为例。乙与丙既不不相容。则
（一）甲是乙，或是丙；
乙与丙既又不穷尽，则
（二）甲是乙，或是丙；
肯定与否定的小前提均说不通。
b. 不不相容而穷尽。乙与丙既不不相容，小前提为肯定，仍无结论，与以上a（一）一样。但乙与丙既穷尽，则
（一）甲是乙，或是丙；
甲不是乙，
所以甲是丙。
两可能彼此不不相容，不能有肯定的小前提；但两可能既彼此穷尽，可以有否定的小前提。
c. 不相容而不穷尽。乙与丙既不相容，则
（一）甲是乙或丙；
甲是乙，
所以甲不是丙。
甲或者同时不是丁等等，但无论如何甲不是丙。乙与丙既不穷尽，则小前提为否定，仍无结论，与a（二）的情形一样。在此情形下，只能有肯定的小前提，不能有否定的小前提。
d. 不相容而穷尽。乙与丙两可能既不相容，则
（一）甲是乙或是丙；
甲是乙，
所以甲不是丙。
同时乙丙两可能既又穷尽，则
（二）甲是乙或是丙；
甲不是乙，
所以甲是丙。
在此情形之下，小前提才既可以肯定，也可以否定。
3. 析取推论可以用假言推论式表示。兹以最简单的析取推论为例：甲是乙，或是丙，甲不是乙，所以甲是丙，甲是乙，所以甲不是丙。
a. 甲是乙或是丙； a. 如果甲不是乙，则甲是丙；
甲不是乙， 甲不是乙，
所以甲是丙。 所以甲是丙。
此为承认前件的式。
b. 甲是乙或是丙； b. 如果甲不是乙，则甲是丙；
甲不是丙， 甲不是丙，
所以甲是乙。 所以甲是乙。
此为否认后件的式。
c. 甲是乙或是丙； c. 如果甲是乙，则甲不是丙；
甲是乙， 甲是乙，
所以甲不是丙。 所以甲不是丙。
此为承认前件的式。
d. 甲是乙或是丙； d. 如果甲是乙，则甲不是丙；
甲是丙， 甲是丙，
所以甲不是乙。 所以甲不是乙。
此为否认后件的式。
析取推论既能用充分条件的假言推论表示，当然也能用必要条件的假言推论表示。读者自己可以写出来，作为练习。
4. 析取推论既可以用假言推论表示，也可以用三段论表示：
a. 甲是乙或是丙； a. 所有非乙之甲都是丙，
甲不是乙， 甲是“非乙之甲”即“甲不是乙”；
所以甲是丙。 所以甲是丙。
b. 甲是乙或是丙； b. 无一是乙之甲是丙，
甲是乙， 甲是“是乙之甲”即“甲是乙”；
所以甲不是丙。 所以甲不是丙。
c. 甲是乙或是丙， c. 所有非乙之甲都是丙；
甲不是丙， 甲不是丙；
所以甲是乙。 所以甲不是“非乙之甲”，即“甲是乙”。
d. 甲是乙或是丙； d. 无一是乙之甲是丙，
甲是丙， 甲是丙；
所以甲不是乙。 所以甲不是“是乙之甲”，即“甲不是乙”。（批评见后）
D. 二难推论
二难推论是一种假言推论与析取推论联合起来的推论。二难中之“二”根据于析取命题的两可能，二难中之“难”根据于结论之不容易承受或不便承受。可能似不必限于二，而结论亦不必有所难；但传统逻辑不仅是逻辑而且也是辩论的工具，所以这一部分的推论限制于二难推论。
1. 二难推论有以下四格：
a. 简单的承认前件的二难推论，例如：
如果甲是乙，则丙是丁，如果甲不是乙，则丙是丁；
或者甲是乙，或者甲不是乙；
所以丙是丁。
如果一件事是你能做的，你用不着多说，如果一件事不是你能做的，你也用不着多说；
一件事或者是你能做的或者不是你能做的；
所以你用不着多说。
此例的大前提为两个假言命题联合起来的命题，有两个不同的前件，一个同样的后件。这两个不同的前件联合起来，又为一代表两不相容而又彼此穷尽的析取命题。小前提承认这两个可能，当然也就承认大前提的前件。结论是承认一简单的肯定的后件。
b. 简单的否认后件的二难推论，例如：
如果甲是乙，则丙是丁，或是戊；
丙既不是丁，又不是戊；
所以甲不是乙。
以下是教科书所常举的例：
如果一件东西能动，它或者在它所在的地点动，或者在它所不在的地点动；
一件东西既不能在它所在的地点动，也不能在它所不在的地点动；
所以一件东西不能动。
此例中的大前提实在是有同样前件与不同样后件的假言命题。此不同样的后件代表两可能，而小前提否认此两可能，所以也就否认假言命题的前件。结论是一简单的否定命题（批评见第二部）。
c. 复杂的承认前件的二难推论，例如：
如果甲是乙，则丙是丁，如果甲是戊，则丙是己；
甲或者是乙，或者是戊；
所以丙或者是丁，或者是己。
以下亦是常举的例：
如果这些书与《可兰经》的意旨相同，它们是用不着的书，如果这些书与《可兰经》的意旨不相同，它们是要不得的书；
这些书或者与《可兰经》的意旨相同，或者与《可兰经》的意旨不相同；所以这些书或者是用不着的书或者是要不得的书。
此例中的大前提是一个有两个不同的前件，两个不同的后件的假言命题。小前提为一析取命题，承认这两个不同的前件；结论也是一析取命题，承认两个不同的后件。以前两例的结论，或为一简单的肯定命题，或为一简单的否定命题，所以称为简单的二难推论。现在的例与以下的例，其结论均为析取命题，名之为复杂的二难推论。
d. 复杂的否认后件的二难推论，例如：
如果甲是乙，则丙是丁，如果甲是戊，则丙是己；
或者丙不是丁，或者丙不是己；
所以甲或者不是乙，或者不是戊。
如果一个人聪明，他知道他的错误，如果他诚实，他承认他的错误；
他或者不知道他的错误，或者不承认他的错误；
所以他或者不聪明或者不诚实。
此例中的大前提也是一有两个不同前件，两个不同后件的假言命题。小前提是一析取命题，否认两后件，而结论也是一析取命题，否认两前件，所以是复杂的否认后件的二难推论。（此等推论颇不易举例，所举的例总难免有毛病。）
2. 二难推论的规律。二难推论既是假言推论与析取推论联合起来的推论，它一方面当然要守假言推论的规律，另一方面似乎又要守析取推论的规律。假言推论的规律有二：一为承认前件因而承认后件，一为否认后件因而否认前件。否认前件不能得结论，承认后件亦不能得结论。析取推论的条件是：所有它所列的可能，一方面要彼此不相容，相容则不能得结论；另一方面要彼此穷尽，不穷尽亦不能得结论。
3. 破除二难的方法。破除二难推论的方法有三：a. 否认析取可能的穷尽；b.否认假言命题中前件与后件的关联；c. 以一能得完全相反的结论的二难推论去破除原来的二难推论。
a. 否认析取命题中的可能是穷尽的可能。例如：
如果天热人难受，如果天冷人难受；
天或者热或者冷，
所以人总是难受。
此中“天或者热或者冷”这一命题我们可以否认；我们可以说“天可以不热不冷”，那就是说热与冷不是彼此穷尽的可能。既然如此，我们不能得“人总是难受”的结论，而原来的二难推论不能成立。
b. 否认假言推论中前件与后件的关联。例如：
如果一件东西能动，它一定或在它所在的地方动或在它所不在的地方动；
一件东西既不能在它所在的地方动，也不能在它所不在的地方动；
所以一件东西不能动。
此例的大前提我们可以说有毛病。我们可以说前件不是后件的充分条件，后件不是前件的必要条件。如果一件东西既不在它所“在”的地方动，也不在它所不“在”的地方动，而在它所动的地方动，则此例中的后件不是前件的必要条件。既然如此，则否认后件不因此就否认前件。结论既不能得，则此例根本就说不通。
c. 以一能得与原来结论完全相反结论的二难推论去破坏原来的二难推论。这差不多是以其人之道还治其人之身。最出名的例就是Protagoras与Enathlas的官司。他们有一合同，其中的条件如下：（一）Protagoras教Enathlas法律的书；（二）毕业时Enathlas须付束修之一半；（三）其余一半须于Enathlas头一次官司打胜的时候完全付清。但毕业后Enathlas并不执行律师事务。Protagoras等得不耐烦就在法庭告了Enathlas，并提出以下的二难推论：
如果Enathlas的官司打败了，则遵照法庭的判断，他一定付债，如果Enathlas的官司打胜了，则遵照合同的条件，他一定要付债；Enathlas的官司或者打败或者打胜。
所以无论如何他一定要付债。
Enathlas提出与以上完全相反的二难推论：
如果我打胜，则照法庭的判断，我不应付债，如果我打败，则照合同的条件，我不应付债；
我官司或者打败或者打胜，
所以无论如何我不应付债。
以上所表示的就是：如果一二难推论有一与它完全相反的二难推论，则原来的二难推论不能成立。上面Protagoras所举的二难推论中最显而易见的毛病，就是引用两种不同的标准，一为法庭的判断，一为合同的条件。这两种不同的标准各有其利于Protagoras的可能，也各有其不利于Protagoras的可能；Protagoras取其前，而Enathlas取其后。如一致地引用两种标准中的任何一种，则不至于有以上的毛病。
传统的演绎部分至二难推论而止。普通教科书大都当有一章专门讨论错误问题，兹于以下附录提出讨论。