钦定四库全书
九章皆勾股
周礼保氏九数注曰方田御田畴界域曰粟布御交质变易曰差分御贵贱廪税曰少广御积?方圆曰商功御工程积实曰均输御远近劳费曰盈朒御隐杂互见曰方程御错糅正负曰勾股御高深广远周髀周之算经也陈子曰髀者股也正晷者勾也以勾为首以髀为股又曰髀者表也然周髀独明勾股不及九章何哉偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知远勾股之自为用也环矩以为圆合矩以为方方数为典以方出圆勾股之所生也数有可见者有隐而不得见者有互见者有旁见者其变无穷藏於圆方少广圆方所出也方田商功皆少广所出一方一圆其间不齐始出差分而均输对差分之数盈朒者借差求均又差分均输所出而以方程济其穷度也量也衡也原於黄锺粟布出焉黄锺出於方圆者也三分益一圆周变为方周四分用三圆积变自方积故勾股之容圆方不同方田少广生焉折半以平粟布均输生焉盈朒方程生于诸和商功差分生于诸较勾股岂非九数之原乎设为九章者便用耳田畴界域或见於勾股少广方田统之矣交质变易或见於差分均输粟布统之矣故九章以用而分不以数而分也泰西立十八法盈朒曰叠借互徵方程曰杂和较乘分少广为九而开方诸法有其七其二曰递加倍加勾股有其畧差分仍为差分粟布商功见于三率均输见於重凖测名异理同究无同异也加减乘除出於洛亦成于勾股和者勾股弦之相并也较者勾股弦之相较也并以成加较以成减勾股自之而为弦积则乘成弦积开方而为弦则除成有河即有洛有勾股即有加减乘除何往非图书引触哉
煦按天道左旋三奇数也奇为阳故以三乘而左旋之是谓参天如一三如三三三如九三九二十七三七二十一之类是也然洛书之数左右上下其对待者莫不皆十盖十也者数之大盈也故百千万亿至於无穷未有出此十数者此隂阳逆顺之机而加减乘除之妙所由寓也三与七合为一十三之乘也顺则七之乘也必逆如一七如七七七四十九七九六十三三七二十一之类是也然乘也者进数也加数也止此一十之数今以所乘为用数矣而所乘之外非乘之所及者则皆除也亦如以所除为用而所除之外非除之所能及者则皆乘也乘者少则除者必多乘者顺则除者必逆顺者乘则逆者必除皆自然之理也如三乘者既顺矣今复以三为除则必逆施以合之如三三除如九余一一三除如三余七三七除二十一余九三九除二十七余三之类是也如以七乘者既逆矣今复以七为除则必左旋以合之如一七除如七余三三七除二十一余九七九除六十三余七七七除四十九余一之类是也盖天道以左旋为顺右旋为逆顺进者日有所加逆退者日有所减加则乘之所由生减则除之所由起循环太极图中阳进一分则隂必减却一分隂进一分则阳必减却一分此即乘除加减之妙凡皆由洛书出也
煦按地道右转二耦数也耦属隂故以二乘而右旋之是谓两地如二二如四二四如八二八一十六二六一十二是也如以合十之八而乘之则二之乘也顺而八之乘也必逆如二八一十六六八四十八八八六十四四八三十二是也盖十为数之大盈而二与八相为进退则此二数必具逆顺之机如以二乘之矣今复以八数乘之则二右旋而八必左旋矣然既能以乘而进者加之又必能以除而退者减之如以二数逆旋加之而为乘则必能以二数顺转加之而为除如二二除如四余六二六除一十二余八二八除一十六余四二四除如八余二是也以八数顺转加之而为乘则必能以八数逆旋加之而为除如八八除六十四余六六八除四十八余二二八除一十六余四四八除三十二余八是也如以合十之数而皆以乘求之也则必一顺一逆然後可以相合如以合十之数而皆以除求之也则必一顺一逆然後可以相合如以合十之数而一乘一除也则顺必同顺逆必同逆如以一数而即兼乘除以求之则乘者顺而除者必逆除者顺而乘者必逆夫合十之数而可以迭为乘除者何也万物之理有进则必有退有逆则必有顺有乘则必有除有见则必有隐隂阳之理本如是也孔子曰万有一千五百二十以备万物之数则无有一物不可纪之以数者即无有一物不在数中即无有一物不在数外者此洛书之对待止此十数任意中分之而逆顺进退加减乘除无往不合者也
阳统隂隂奉阳者也隂所至之分阳皆有以至之者大明终始之义也阳所至之分隂不必皆有以至之者地道无成而代有终也世有温泉而无寒火则阳之可以统隂隂之不能踰阳明矣故二八之偶数不能与一三七九之奇数相为乘除者隂固不可以干阳所以谓为常乏也三七之奇数能与二四六八之偶数相为乘除者阳之所以统隂天之所以包地所以谓为常饶也今就洛书之偶数亦以三之奇数乘之而求其进数是隂从乎阳故必左转而始有以相合如二三如六三六一十八三八二十四三四一十二是也如以三之奇数除之而求其退数则必逆转始有以奉阳如二三除如六余四三四除一十二余八三八除二十四余六三六除一十八余二是也如更以七之奇数乘之则生数顺而乘数必逆如二七一十四四七二十八七八五十六六七四十二是也如更以七之奇数除之则乘逆而除者必顺如二七除一十四余六六七除四十二余八七八除五十六余四四七除二十八余二是也奇偶互为乘除进退互为消长逆顺相为盈缩每一乘除兼有四法四四该一十六法而兹止于十二者邵子所以有四分用三之说是半隐半见之机凡皆隂阳自然之妙也如必以二八之偶数乘除一三七九之奇数则止能生四隅之偶数而不能生四正之奇数如一八如八而生东北之八三八二十四而生东南之四八九七十二而生西南之二七八五十六而生西北之六是也又如二三如六而余四二九一十八而余二二七一十四而余六一二如二而余八是也则是偶数之所乘除亦止能乘除偶数而不能乘除奇数也此地道无成之故也
煦按隂阳之理互相为用故阳用用於隂隂用用于阳原未有相离者也其数为阳而又用少阳之成数七转之故必右转而循隂之道以济其阳右而逆者以从地也其数为阳今又左转而从阳则必用少隂之生数三以济其阳除与乘进退加减既异其数故逆顺亦异其理也其数为隂而又用少隂之成数八转之故必左转而循阳之道以济其隂左而顺者以从天也其数为隂今复右转以从隂则必用少阳之生数四以济其隂除与乘进与退异则逆与顺亦异也至以偶数而用三七之奇数乘除之其逆与顺亦莫不然耳
煦按其乘除之数皆不离于十数之中而此之乘则彼之除者何也今试看二与八合为一十如以二乘八除或八乘二除则其数无不相合如二二除如四则二八乘得一十六矣是二十之中四为除而十六则为乘矣如四四除一十六则二二如四又为乘矣然必在二十之中者以二为乘除故也如以三七乘除之三乘则必七除三除则必七乘矣如三七除二十一则必三三乘之而得九如三三除九则必三七乘之而得二十一然必在三十之中者以三为乘除故也如以四六乘除之则必在四十之内矣如四六除得二十四则必四四乘得十六如四四除得十六则必四六乘得二十四凡皆不离一十之中少者乘则多者必除生者乘则成者必除此皆隂阳微盛进退之妙也
河图有十而洛书无十以其散处於四方故对待取之莫非十也乘除同此十数而半见半隐用不用分耳河图静而洛书动河图体而洛书用乘除进退之妙都在动用时见出故洛书无十者是半见半隐之妙以乘之外有除除之外有乘也无穷之数极於千百万亿皆无能出此十数之外者今以十数任意分之除两五居中者不论其余所得必有一生一成如以成数乘而得之则以生数除之而得其数矣如以生数乘而得之则以成数除之而得其数矣故八与二同为一十三与七同为一十四与六同为一十一与九同为一十唯一无乘则亦无除适得其本数而止如前参天两地二图引而伸之亦可以得其槩矣凡皆隂阳相须奇偶相依进退同原生成合德顺逆相循之妙旨也
以除代乘之法
此法不用因乘而以除法代之数亦天然符合其术须变法数如一位法者作单数于十内减去所乘之数而以所余之单数除之亦得所乘之数也盖所除之单数与同乘之单数同为一十故也今以所乘之数为用数则所余之数自应除去如以十数论所乘既用三数则七数自应除去矣此所由因除数而得成数也二位法者作几十几数于百内减去所乘之数而以所余之几十几数除之而即得所乘之数也三位法者作几百几十几数于千内减去所乘之数而以所余之几百几十几数除之即得所乘之数也法实既变乃将变法与实呼除之呼实则自右向左呼法则自左向右逐位呼除除毕余实即为所求之乘数也
如有一百二十人每人二两一钱问共若干曰二百五十二两术此二位法也将法二两一钱作二十一于百内减之余七十九即七十九为二十一之变法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十後除一十八止存四十二也故丑位空寅存四卯存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十後除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅之四上为五卯仍存二逐位除毕即丑余之二寅余之五卯余之二为所求二百五十二两也盖所除之数皆乘数中不用之数今既以所余之数悉除之故遂因除数而得乘数也总缘十数之中有所用之正数即有所不用之余数正数用则余数除矣由其不用徵其所用此即周易体阳用隂体隂用阳之妙此即八卦小图纯阳之体由隂终隂始而见纯隂之体由阳终阳始而成之妙也蓍之揲也本以分揲挂仂为所用之策而或以所余不用之数即以分老少隂阳凡皆隐显互徵体用一原之妙耳故前参天两地之图如以十中之成数生数分别用之无不相合特逆顺不同耳
九九图
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
六十四子顺逆安置用横行八位为一阵首行数居北之中八行数居北之右七行数居西三行数居东五行数居南四行数居南之左六行数居南之右其求积法如前八八图每阵得二百六十每阵各取半面四子积一百三十合而俱成一阵数无不同如截坎东四子艮西四子共得二百六十截乾南四子兑北四子亦得二百六十 煦曰盖必如此顺逆列之然後左右对取各得六十五知一对得六十五则两对必得一百三十四对必得二百六十矣前四四等图左右上下其数无不相合皆用此图对取之法也
用七十二子为图并一与七十二得七十三以七十二乘之得五千二百五十六折半得二千六百二十八为实以九为法除之得每环八子为一阵各二百九十二以九阵化为十三阵也
煦按此亦上下顺逆列之然後左右对取各得七十二数者也左右对取即以多配少如一便配七十二是也
自洛书以三三积数为数之原而自四以下皆以为法焉何则三者天数也故其象圆如前图居四方与居四隅者或动或静【居中者一定不易】而各成纵横皆十五之数矣四者地数也故其象方如後图居中居四隅与居四方者或动或静亦各成纵横皆三十四之数矣自五五以下皆以三三图为根自六六以下皆以四四图为根而四四图又实以三三图为根故洛书为数之原不易之论也今附四四图于左以相证明其余具数学中不悉载
四八十二十六 四九五十六 十三八十二一三七十一十五 十四七十一二 三十六十五二六十十四 十五六十三 二十一七十四一五九十三 一十二八十三 十六五九四
此以十六数自左而右自上而下列之【第一图】其居中与居四隅者不易而居四方者交易则成纵横皆三十四之数【第二图】若居四方者不易而居中与居四隅者交易亦成纵横皆三十四之数【第三图】
十三九五一 十三八十二一 四九五十六十四十六二 三十六十五 十四七十一二十五十一七三 二十一七十四 十五六十三十六十二八四 十六五九四 一十二八十三
此以十六数自右而左自下而上列之【第一图】用前法变为两图【第二图第三图】并得纵横皆三十四之数但其不易者即前之交易者而其交易者即前之不易者【此第二图同前第三图此第三图同前第二图】盖亦隂阳互为动静之理云
【一 用中两率三七相加为十以一减之得九三 以九减之得一七 若用一九相加亦为十以三减之得七以七九 减之得三二 用中两率四六相加为十以二减之得八以四 八减得二六 若用二八相加亦为十以四减之得六以六八 减之得四】
【一 用中两率三九相乘为二十七以一除之得二三 十七以二十七除之得一九 若用一与二十七相乘以三除之得九以九除七 之得三二 用中两率四八相乘为三十二以二除之得十四 六以十六除之得二八 若用二与十六相乘以四除之得八以八除之六 得四】
大传曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天地之数皆自少而多多而复还於少此加减之原也又曰参天两地而?数天数以三行地数以二行此乘除之原也是故河图以一二为数之体之始洛书以三二为数之用之始然洛书之用始於参两者以参两为根也实则诸数循环互为其根莫不寓乘除之法焉而又皆以加减之法为之本今推得洛书加减之法四乘除之法十四积方之法五勾股之法四各为图表以明之於左
洛书加减四法【俱论下一字】
一用奇数左旋相加得相连之耦数【此生四隅之数也一加三为四 三加九为十二九加七为十六 七加一为八】
若用奇数减左旋相连之耦数得右旋相连之奇数【三减四为一 九减十二为三七减十六为九 一减八为七】
一用耦数左旋相加得相连之耦数【此亦生四隅之数也二加六为八 六加八为十四八加四为十二 四加二为六】
若用耦数减左旋相连之耦数得右旋相连之耦数【此亦生四隅之数也】
【六减八为二 八减十四为六四减十二为八 二减六为四】
一用奇数右旋加耦数得相连之奇数
【一加六为七九加四为十三】
若用奇数减相连之奇数得相连之耦数【此两奇生在申之耦数也】
【一减七为六九减十三为四】
一用耦数右旋加奇数得相对之奇数
【二加九为十一 四加三为七八加一为九 六加七为十三】
若用奇数减相对之奇数得相连之耦数
【九减十一为二 三减七为四一减九为八 七减十三为六】
洛书乘除十四法
一用三左旋乘奇数得相连之奇数
【三三如九 三九二十七三七二十一 一三如三】
一用八左旋乘耦数得相连之耦数
【八八六十四 四八三十二八二一十六 八六四十八】
一用三左旋乘耦数得相连之耦数
【三四一十二 三二如六三六一十八 三八二十四】
一用八左旋乘奇数得相连之耦数
【八三二十四 八九七十二八七五十六 八一如八】
一用二右旋乘耦数得相连之耦数
【二二如四 二四如八二八一十六 二六一十二】
一用七右旋乘奇数得相连之奇数
【七七四十九 七九六十三七三二十一 七一如一】
一用二右旋乘奇数得隔二位之耦数
【二九一十八 二三如六二一如二 二七一十四】
一用七右旋乘耦数得相连之耦数
【七二一十四 七四二十八七八五十六 七六四十二】
一用六乘偶数得本位之偶数
【六六三十六 六八四十八六四二十四 六二一十二】
一用六乘奇数得相连之偶数【此由四正而生四隅也】
【六七四十二 六九五十四六三一十八 六一如六】
一用四乘偶数得相对之偶数
【四四一十六 四六二十四四二如八 四八三十二】
一用九乘奇数得相对之奇数
【九九八十一 九一如九九三二十七 九七六十三】
一用四乘奇数得隔二位之偶数
【四九三十六 四七二十八四一如四 四三一十二】
一用九乘偶数得相对之偶数
【九二一十八 九八七十二九四三十六 九六五十四】
凡除法除其所得之数得其所乘之数
洛书乘除十四法可约为八法何则五者河洛之中数自此以上由五以生五加一为六六减五为一是六与一同根也五加二为七七减五为二是七与二同根也三八四九其理如之今用三与八左旋乘奇偶而皆得相连之奇偶可以知八即三矣用二与七右旋乘奇偶而皆得相连之奇偶可以知七即二矣内惟二乘奇数得隔二位之偶数者其所得即相连奇位同根之数犹之乎相连也【如二九一十八八与三同根得八犹之乎得相连之三也余仿此】用一与六乘而皆得本位之奇偶可以知六即一矣内惟六乘奇数得相连之偶数者其所得即本位同根之数犹之乎本位也【如六七四十二七与二同根得二犹之得本位之七也余仿此】用四与九乘而皆得对位之奇偶可以知九即四矣内惟四乘奇数得隔二位之偶数者其所得即对位同根之数犹之乎对位也【如四九三十六六与一同根得六犹之得对位之一也余仿此】其但得同根之数者何凡奇乘偶偶乘偶所得皆偶数而同【如三四一十二八四亦三十二】奇乘奇其得数为奇若偶乘奇不能得奇数而同故但得其同根之偶数也【如三三为九八三二十四九与四同根得四犹之得九也】所以一六二七三八四九在河图则四方之相配在洛书则正隅之相连以其数之生於中五而同根也数有合数有对数合数生於五对数成於十一六二七三八四九此合数也皆相减而为五者也一九二八三七四六此对数也皆相并而为十者也在河图则合数同方而对数相连在洛书则合数相连而对数相对相合之相从者六从一也七从二也八从三也九从四也【如前乘除十四法】相对之相从者九从一也八从二也七从三也六从四也【如後积方五法】凡以合数共成一数所得之数必同【乘偶既同数乘奇则同根】若各自乘焉则又必合矣【如三三得九八八六十四】以对数共乘一数所得之数必对【如三三得九七三二十一】若各自乘焉则又必同矣【如一一得一九九亦八十一二二得四八八亦六十四】是以自乘之数相合之相从者此得自数则彼亦得自数也【如一得一六得六】此得对数则彼亦得对数也【如四得六九得一】此得连数则彼亦得连数也【如三得九七亦得九二得四八亦得四】要皆会於一六四九而齐焉故开平方之自乘数止於一六四九而洛书之位一六四九居上下以为经二七三八居左右以为纬者此也
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
<经部,易类,周易函书约存,卷十二
以上诸图本同一根虽积数若异而其为九六之变则一也九六可分为内外中之三重亦可分为上中下之三层就每重每层论之则九为天而包地六为地而涵於天心为人而主乎天地统三重而论之则外为天内为地而中为人也统三层而论之则上为天下为地而中为人也又合而论之则九六者在天为隂阳在地为刚柔在人为隂阳刚柔之会而其心则天地人之极也以上下分者其心有三所谓三极之道三才各具一太极也以内外分者其心惟一所谓人者天地之心三才统体一太极也此图之中浑具理象数之妙者如此故分而为图则应乎隂阳刚柔之义根於极而迭运不穷圣人则之易有太极是生两仪阳九隂六命爻衍策者此也分而为书则应乎三才之义主於人而成位其中圣人则之皇极既建彜伦攸叙参天贰地垂范作畴者此也或曰河图洛书出於两时分为两象今以一图括之可乎曰十中涵九故数终於十而位止於九此天地自然之纪而图书所以相经纬而未尝相离也非有十者以为之经则九之体无以立非有九者以为之纬则十之用无以行不知图书之本为一者则亦不知其所以二矣或曰河图洛书有定位矣今以为有未变者何欤曰易大传之言河图也曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十顺而数之此其未变者也又曰天数五地数五五位相得而各有合分而置之此其定位者也如易卦一每生二以至六十有四则其未变者也乾南坤北离东坎西则其定位者也不知未变之根则亦不足以识定位之妙矣【煦按此论图书不分?有至理其论九六亦佳煦於参互错综注中已详言之】
此图左方注者本数也自一至九而用数全矣中列注者加数也一加二为三二加三为五至於八加九而为十七皆以本数递加而每层之羃积如之右方注者乘数也一自乘一其羃积一二自乘四其羃积合一三两层而为四至於九自乘八十一则其羃积亦合自一至十七九层之数而为八十一皆以本数自乘而每形之羃积如之得加乘之法则减除在其中矣自此而衍之至於无穷其数无不合焉推之九章之术其理无不贯
焉今考洛书纵横逆顺无往不得加减乘除之法开方勾股之算乃自其未变之先而诸法浑具至洛书而始尽其参伍错综之致云尔
大衍圆方之原
蓍策之数必以七为用者盖方圆之形唯以径七为率则能得周围之整数勾股之形亦惟以三四为率则能得斜弦之整数径七固七也勾三股四之合亦七也是故论方圆周围之合数则五十论勾股弦之合积亦五十此大衍之体也因而开方则不尽一数而止於四十九此大衍之用也开方而不尽一数则蓍策之虚一者是已方面之中函八勾股而又不尽一数则蓍策之挂一者是已唯老阳老隂之数与此密合故作图以明之
勾股名义
勾【横也】股【直也】弦【斜也】勾股较【勾股相减也】勾弦较【勾弦相减也】股弦较【股弦相减也】勾股和【勾与股并也】勾弦和【勾与弦并也】股弦和【股与弦并也】弦较和【弦与勾股较并也】弦和和【弦与勾股和并也】弦和较【弦与勾股和相减也】弦较较【弦与勾股较相减也】
勾股求弦 勾自乘股自乘并之为弦实用开平方法
除之得弦
勾弦求股 用勾自乘弦自乘相减所得之数平方开
之得股
股弦求勾 用股自乘弦自乘相减所得之数平方开
之得勾
周易函书约存卷十二