在哲学中，自从毕达哥拉斯时代以来，一向存在着两派人的一个对立局面：一派人的思想主要是在数学的启发下产生的，另一派人受经验科学的影响比较深。柏拉图、托马斯·阿奎那、斯宾诺莎和康德属于不妨叫作数学派的那一派，德谟克里特、亚里士多德、以及洛克以降的近代经验主义者们属于相反一派。在现代兴起了一个哲学派别，着手消除数学原理中的毕达哥拉斯主义，并且开始把经验主义和注意人类知识中的演绎部分结合起来。这个学派的目标不及过去大多数哲学家的目标堂皇壮观，但是它的一些成就却像科学家的成就一样牢靠。
数学家们着手消除了自己学科里的种种谬误和粗率的推理，上述这派哲学的根源便在于数学家所取得的那些成绩。十七世纪的大数学家们都是很乐观的，急于求得速决的结果；因此，他们听任解析几何与无穷小算法①停留在不稳固的基础上。莱布尼兹相信有实际的无穷小，但是这个信念虽然适合他的形而上学，在数学上是没有确实根据的。十九世纪中叶以后不久，魏尔施特拉斯指明如何不借助无穷小而建立微积分学，因而终于使微积分学从逻辑上讲稳固了。随后又有盖奥尔克·康托，他发展了连续性和无穷数的理论。“连续性”在他下定义以前向来是个含混字眼，对于黑格尔之流想把形而上学的混浊想法弄进数学里去的哲学家们是很方便的。康托赋予这个词一个精确含义，并且说明了他所定义的那种连续性正是数学家和物理学家需要的概念。通过这种手段，使大量的神秘玄想，例如柏格森的神秘玄想，变得陈旧过时了。
①即微积分学；原文是它的旧名称“infinitesimalcalculus”。——译者
康托也克服了关于无穷数的那些长期存在的逻辑难题。拿从1起的整数系列来说，这些数有多少个呢？很明显，这个数目不是有穷的。到一千为止，有一千个数；到一百万为止，有一百万个数。无论你提出一个什么有穷的数，显然有比这更多的数，因为从1到该数为止，整整有那么多数目的数，然后又有别的更大的数。所以，有穷整数的数目必定是一个无穷数。可是现在出了一个奇妙事实：偶数的数目必定和全体整数的数目一般多。试看以下两排数：
1，2，3，4，5，6，……
2，4，6，8，10，12，……
上排中每有一项，下排中就有相应的一项；所以，两排中的项数必定一般多，固然下排只是由上排中各项的一半构成的。莱布尼兹注意到了这一点，认为这是一个矛盾，于是他断定，虽然无穷集团是有的，却没有无穷数。反之，盖奥尔克·康托大胆否定了这是矛盾。他做得对；这只是个奇特事罢了。
盖奥尔克·康托把“无穷”集团定义成这样的集团：它具有和整个集团包含着一般多的项的部分集团。他在这个基础上得以建立起一种极有意思的无穷数的数学理论，从而把以前委弃给神秘玄想和混乱状态的整个一个领域纳入了严密逻辑的范围。
下一个重要人物是弗雷格，他在1879年发表了他的第一部著作，在1884年发表了他的“数”的定义；但是，尽管他的各种发现有划时代的性质，直到1903年我引起大家对他的注意时为止，他始终完全没得到人的承认。值得注意的是，在弗雷格以前，大家所提出的一切数的定义都含有基本的逻辑错误。照惯例总是把“数”和“多元”当成一回事。但是，“数”的具体实例是一个特指的数，譬如说3，而3的具体实例则是一个特指的三元组。三元组是一个多元，但是一切三元组所成的类——弗雷格认为那就是3这个数本身——是由一些多元组成的一个多元，而以3为其一实例的一般的数，则是由一些多元组成的一些多元所组成的一个多元。由于把这个多元与一个已知的三元组的简单多元混淆起来，犯了这种基本的语法错误，结果弗雷格以前的全部数的哲学成了连篇废话，是最严格意义上的“废话”。
由弗雷格的工作可以推断，算术以及一般纯数学无非是演绎逻辑的延长。这证明了康德主张的算术命题是“综合的”、包含着时间关系的理论是错误的。怀特海和我合著的《数学原理》（Princi－piaMathematica）中详细讲述了如何从逻辑开展纯数学。
有一点已经逐渐明白了：哲学中有一大部分能化成某种可称作“句法”的东西，不过句法这个词得按照比迄今习用的意义稍广的意义来使用。有些人，特别是卡尔纳普，①曾提出一个理论，认为一切哲学问题实际都是句法问题，只要避开句法上的错误，一个哲学问题不是因此便解决了，就是证明是无法解决的。我认为这话言过其实，卡尔纳普现在也同意我的看法，但是毫无疑问哲学句法在传统问题方面的效用是非常大的。
①卡尔纳普（RudolfCarnap，1891—1970），美国哲学家，逻辑学家。——译者
我想简单解释一下所谓摹述理论，来说明哲学句法的效用。我所说的“摹述”是指像“美国的现任总统”一类的短语，不用名字来指明一个人或一件东西，而用某种据假定或已知他或它特有的性质。这样的短语曾造成很多麻烦。假定我说“金山不存在”，再假定你问“不存在的是什么？”如果我说“是金山”，那么就仿佛我把某种存在归给了金山。很明显，我说这话和说“圆正方形不存在”不是一样的陈述。这似乎意味着金山是一种东西，圆正方形另是一种东西，固然两者都是不存在的。摹述理论就是打算应付这种困难以及其他困难的。
根据这个理论，一个含有“如此这般者”（theso－and－so）形式的短语的陈述，若加以正确分析，短语“如此这般者”便没有了。例如，拿“司各脱是《威弗利》的作者”这个陈述来说。摹述理论把这个陈述解释成是说：
“有一个人、而且只有一个人写了《威弗利》，那个人是司各脱。”或者，说得更完全一些就是：
“有一个实体c，使得若x是c，‘x写了《威弗利》’这个陈述便是真的，否则它是假的；而且c是司各脱。”
这句话的前一部分，即“而且”二字以前的部分，定义成指“《威弗利》的作者存在（或者曾存在，或者将存在）的意思。”因而，“金山不存在”的意思是：
“没有一个实体c，使得当x是c时，‘x是金的而且是山’是真的，否则它就不是真的。”
有了这个定义，关于说“金山不存在”是指什么意思的难题就没有了。
根据这个理论，“存在”只能用来给摹述下断言。我们能够说“《威弗利》的作者存在”，但是说“司各脱存在”却不合语法，更确切地讲，不合句法。这澄清了从柏拉图的《泰阿泰德篇》开始的、两千年来关于“存在”的思想混乱。
以上所谈的工作的一个结果是，剥夺了自从毕达哥拉斯和柏拉图以来数学一直占据的崇高地位，并且打破了从数学得来的那种反对经验主义的臆断根据。的确，数学知识不是靠由经验进行归纳获得的；我们相信2加2等于4，其理由并不在于我们凭观察极经常发现到两件东西跟另外两件东西合在一起是四件东西。在这个意义上，数学知识依然不是经验的知识。但也不是关于世界的先验知识。其实，这种知识仅仅是词句上的知识。“3”的意思是“2＋1”，“4”的意思是“3＋1”。由此可见（固然证明起来很长）“4”和“2＋2”指一个意思。因而数学知识不再神秘。它和一码有三呎这个“天经地义”完全属同样的性质。
不仅纯数学，而且物理学也为逻辑分析哲学供给了材料；尤其是通过相对论和量子力学供给了材料。
相对论里面对哲学家重要的事情是以空时来代替空间和时间。据常识，认为物理世界是由一些在某一段时间内持续、而且在空间中运动的“东西”组成的。哲学和物理学把“东西”概念发展成“物质实体”概念，而把物质实体看成是由一些粒子构成的，每个粒子都非常小，并且都永久存留。爱因斯坦以事素代替了粒子；各事素和其他各事素之间有一种叫“间隔”的关系，可以按不同方式把这种关系分解成一个时间因素和一个空间因素。这些不同方式的选择是任意的，其中哪一种方式在理论上也不比其他任何方式更为可取。设在不同的区域内已知两个事素A和B，那么满可能是这种情况：按照一种约定，两者是同时的，按照另一种约定，A比B早，再按照另外一种约定，B比A早。并没有任何物理事实和这些不同的约定相当。
从这一切似乎可以推断，事素应当是物理学的“素材”，而粒子不是。向来认为的粒子，总得认为是一系列事素。代替粒子的这种事素系列具有某些重要的物理性质，因此要求我们予以注意；但是它并不比我们可能任意选出的其他任何事素系列具有更多的实体性。因而“物质”不是世界的基本材料的一部分，只是把种种事素集合成束的一个便利方式。
量子论也补证了这个结论，但是量子论在哲学上的重要意义主要在于把物理现象看成可能是不连续的。量子论指出，在一个（如上解释的）原子内，某种事态持续一段时间，然后突然换成一种有限不同的事态。已往一贯假定的运动连续性，似乎自来不过是一种偏见。可是，量子论特有的哲学还没有充分发展起来。我想量子论恐怕比相对论会要求更根本地背离传统的空间时间学说。
物理学一直在使物质的物质性减弱，而心理学则一直在使精神的精神性减弱。在前面一章中，我们曾有机会把观念联合与条件反射作了比较。后者的生理学色彩显然重得多，它已经代替了前者。（这只是一个例证；我不想夸大条件反射的范围。）因此物理学和心理学一直在从两端彼此靠拢，使得威廉·詹姆士对“意识”的批判中所暗示的“中性一元论”之说更有可能成立了。精神与物质的区别是从宗教转到哲学中来的，尽管在过去一段长时间内这种区别似乎还有确实的理由。我以为精神和物质都仅是给事素分组的便当方式。我应当承认，有些单独的事素只属于物质组，但是另外一些事素属于两种组，因此既是精神的，又是物质的。这个学说使我们对于世界构造的描绘有了重大简化。
近代物理学和生理学提出了有助于说明知觉这个古老问题的新事实。假若要有什么可以称作“知觉”的东西，知觉在某种程度上总要是所知觉的对象的效果，而且知觉假若要可能是关于对象的知识的来源，总要或多或少跟对象相似。只有存在着与世界其余部分多少有些无关的因果连环，头一个必要条件才能得到满足。根据物理学，这种连环是存在的。光波从太阳走到地球上，这件事遵守光波自己的定律。这话只是大体上正确。爱因斯坦已证明光线受重力的影响。当光线到达我们的大气层时要遭受折射，有些光线比其他光线分散得厉害。当光线到达人眼时，发生了在别的地方不会发生的各种各样的事情，结局就是我们所说的“看见太阳”。但是，我们视觉经验中的太阳虽然和天文学家的太阳大不一样，却仍然是关于后者的一个知识来源，因为“看见太阳”与“看见月亮”的不同点，和天文学家的太阳与天文学家的月亮的不同有因果关联。可是，关于物理对象我们这样所能认识的，不过是某些抽象的结构性质。我们能够知道太阳按某种意义讲是圆的，固然不完全是按我们所看见的情况是圆的这种意义来讲；但是我们没有理由假定太阳是亮的或暖的，因为不假定它如此，物理学也能说明为什么它似乎如此。所以，我们关于物理世界的知识只是抽象的数学性知识。
以上我谈的是现代分析经验主义的梗概；这种经验主义与洛克、贝克莱和休谟的经验主义的不同在于它结合数学，并且发展了一种有力的逻辑技术。从而对某些问题便能得出明确的答案，这种答案与其说有哲学的性质，不如说有科学的性质。现代分析经验主义和体系缔造者们的各派哲学比起来，有利条件是能够一次一个地处理问题，而不必一举就创造关于全宇宙的一整套理论。在这点上，它的方法和科学的方法相似。我毫不怀疑，只要可能有哲学知识，哲学知识非靠这样的方法来探求不可；我也毫不怀疑，借这种方法，许多古来的问题是完全可以解决的。
不过，仍旧有一个传统上包括在哲学内的广阔领域，在那里科学方法是不够的。这个领域包括关于价值的种种根本问题；例如，单凭科学不能证明以对人残忍为乐是坏事。凡是能够知道的事，通过科学都能够知道；但是那些理当算是感情问题的事情却是在科学的范围以外。
哲学在其全部历史中一直是由两个不调和地混杂在一起的部分构成的：一方面是关于世界本性的理论，另一方面是关于最佳生活方式的伦理学说或政治学说。这两部分未能充分划分清楚，自来是大量混乱想法的一个根源。从柏拉图到威廉·詹姆士，哲学家们都让自己的关于宇宙构成的见解受到了希求道德教化的心思的影响：他们自以为知道哪些信念会使人有道德，于是编造了一些往往非常诡辩性的理由，证明这些信念是真的。至于我，我根据道德上的理由和理智上的理由都斥责这类偏见。从道德上讲，一个哲学家除了大公无私地探求真理而外若利用他的专业能力做其他任何事情，便算是犯了一种变节罪。如果他在进行研究以前先假定某些信念不拘真假总归是那种促进良好行为的信念，他就是限制了哲学思辨的范围，从而使哲学成为琐碎无聊的东西；真正的哲学家准备审查一切先入之见。假如有意识或无意识地给追求真理这件事加上什么限制，哲学便由于恐惧而瘫痪，为政府惩罚吐露“危险思想”的人的检查制度铺平道路——事实上，哲学家已经对自己的研究工作加上了这样的检查制度。
从理智上讲，错误的道德考虑对哲学的影响自来就是大大地妨碍了进步。我个人不相信哲学能够证明宗教教条是真理或不是真理，但是自从柏拉图以来，大多数哲学家都把提出关于永生和神存在的“证明”看成了自己的一部分任务。他们指责了前人的证明——圣托马斯否定圣安瑟勒姆的证明，康德否定笛卡尔的证明——但是他们都提出了自己的新证明。为了使自己的证明显得有根据，他们曾不得不曲解逻辑、使数学神秘化、冒称一些根深蒂固的偏见是天赐的直觉。
这一切都被那些把逻辑分析当作哲学的主要任务的哲学家否定了。他们坦率地承认，人的理智无法给许多对人类极为重要的问题找出最后的答案，但是他们不肯相信有某种“高级的”认识方法，使我们能够发现科学和理智所见不到的真理。他们因为否认这一点而得到的报偿是，已发现有许多从前被形而上学迷雾所蒙蔽的问题可以精确地解答，而且是靠除求知欲而外丝毫不牵涉哲学家个人气质的客观方法来解答。拿这样一些问题来说：数是什么？空间和时间是什么？精神是什么，物质又是什么？我并不说我们在此时此地能够给所有这些古来的问题提出确定的答案，但是我确实说已经发现了一个像在科学里那样能够逐步逼近真理的方法，其中每一个新阶段都是由改良以前的阶段产生的，而不是由否定以前的阶段产生的。
在混乱纷纭的各种对立的狂热见解当中，少数起协调统一作用的力量中有一个就是科学的实事求是；我所说的科学的实事求是，是指把我们的信念建立在人所可能做到的不带个人色彩、免除地域性及气质性偏见的观察和推论之上的习惯。我隶属的哲学派别一向坚持把这种美德引入哲学，创始了一种能使哲学富于成果的有力方法，这些乃是此派的主要功绩。在实践这种哲学方法当中所养成的细心求实的习惯，可以推广到人的全部活动范围，结果在凡是有这种习惯存在的地方都使狂热减弱，而同情与相互了解的能力则随之增强。哲学放弃了一部分武断的浮夸奢求，却仍继续提示启发一种生活方式。