前一章，我们已经讨论了关于物理概念的问题，而在这个问题的讨论中，还没有完全解决关于观念的性质、职能和验证的问题。数学观念是物理研究中不可缺少的工具，而且如果不说明怎样把数学概念运用于自然存在，我们对于物理研究方法的解释就是不完全的。数学观念一直被视为纯粹概念的典型，是并不搀杂经验材料的纯思想的典型。在历来的哲学家们看来，数学在物理的分析和陈述中所起的作用，好像就证明了在物理存在物以内就呈现有一种恒常不变的理性因素，因而物理存在就不完全是物理的；概念所具有的这种作用，曾经阻碍了经验主义者想以经验为根据来说明科学的企图。
数学对哲学的重要意义，不限于物理世界这个似乎超物理的方面，不限于认识物理世界时的一种超经验的因素。表达纯粹思想的数学概念也似乎开辟了一条到达本质境界的通道，而这个本质境界是独立于物理的或心理的存在物以外的——是一个理想而永恒对象的自在境界，成为最高知识（即最可靠知识）的对象。前面曾经说过，欧几里得几何学无疑地是用来发展一种形式理性逻辑的模型；它也是导致柏拉图创立一个超感觉和超物理的理想对象世界的学说的显著因素。而且还有一些人断言，证明一切反省思考的有效性都有赖于一种不夹杂一点外来的推论因素而直接为人们所认知的理性真理。这些人的主要依靠，就是这种数学程序。因为据说数学就是建筑在第一性的真理或公理的基础上的，而这种真理或公理是自明之理，只需理性就能认识它们的实在。演绎曾经用来令人信服地证明，有一个在逻辑上彼此联系的纯本质的境界，即一个彼此内在联系的共相（universals）的境界。同样在数学演绎中，这些自明之理，这些公理和定义的功能，成为区分直觉推理和间接推理的根据。
所以，我们就需要参照数学观念来发展我们以操作后果来界说概念的这个理论。我们既要为了这个理论本身来参照这些数学观念，也要从这个理论对于作为理性主义逻辑基础的哲学问题和作为主张有本质、有共相或不变体的形而上学基础的哲学问题所发生的影响来参照这些数学观念。我们将从物理的意义来谈一谈数学概念，然后谈一谈这些数学概念脱离了存在应用以后的发展经过。虽然笛卡尔是以广袤来界说自然存在的，但古典传统认为，在心灵器官中，只有感觉和想象才涉及物理存在，这就使他感觉到势必要提出理由来证明自然现象能够从纯粹的数学推理上而无须诉诸实验方法来加以科学的陈述。他对上帝存在的证明，就被用来作为理由来证明我们也可以这样把数学概念应用于物理学。在斯宾诺莎看来，物理存在和观念是两相契合的，这一点不必用上帝来加以证实，因为这种契合就是上帝。对这种契合加以修改，使思想具有一种先验性以把存在包括在自身之内，这就成为后康德派唯心主义体系的主旨了。
牛顿与其说是一位哲学专家，毋宁说是一位科学家。他曾经提出一些他认为科学程序所必须而又已为科学结论所证实的假设。休谟的怀疑论（不过在这以前，就论及牛顿关于数学空间和时间的形而上学而言，贝克莱也曾这样提倡过）是导致康德把空间和时间当作一切知觉经验的先验形式的主要因素。这是尽人皆知的事情了。康德深信他的主张颠扑不破，其理由之一，就是他认为该主张是受牛顿的物理学所支持的，而且是为那个物理学奠定坚实的基础所必需的。
不过，从我们的特殊目的看来，值得我们重视的事实是牛顿在论及空间、时间和运动（包括在普遍的自然物理学中所涉及的一切事物的概念之中）的主张时，坦率地抛弃了他在论及最后固定实体的特性时所公开利用的那种经验方法。同时，他认为，物理的东西和数学的东西乃是固定形式的常住实有所具有的两组特性相互补充的概念。除了承认原子具有质量、惯性和广袤以外，他还假定存在着有空的非物质的空间和时间，而这些实体（即这些原子——译者）便生存于此，运动于此，而且因而具有它们本身的存在。这两种实有的特性既然是互相结合在一起的，因而从经验上所观察到的现象的特性和那些理性的和数学的特性也就结合起来了——这种结合既完备而又密切，使得牛顿的体系既坚实又博大，使人感觉到他的体系就其主要的架构而言，是自然科学独一无二的体系。
照牛顿看来，从空间、时间和运动“对感觉的关系”来界说空间、时间和运动，是“一种庸俗的偏见”。与任何同时代的物理学家一样，他知道，在感知形式之下的空间、时间和运动现象，总是相对于一个观察者而言的。为了避免物体的空时运动可观察的特征是相对的这种情况，牛顿假定了有一种固定的、内含物体的空的空间，同时也假定了有一种同样流动的、本身空的、而其中能发生变化的时间的存在。根据这个假定，他又认为，原子具有它们本身所固有的可以测量的运动，而是与任何观察者脱离联系的。因此，绝对的空间、时间和运动便构成了一个常住不变的架构，在此架构中发生着一切特殊的现象。
牛顿的根本的形而上学认为，实有一种固定的实体，而这些实体具有它们自己内在的质量、广袤和惯性等等不可变化的（或本质的）特性。而这种形而上学也要求假定有这一类理性的绝对体。要保证最后坚实而有质量的粒子是没有任何内在变化而持续存在着的，要保证一切变化都只是这些粒子外在的“分离与联合”，其唯一的根据就是要有一种空洞而固定的东西存在，在这种空洞而固定的东西以内发生着各种变化。没有这种居间的媒介，则彼此之间的交互作用就等于是原子中的内在变化了。有了空间，变化才会是外在的，与最后物理实体无关的。既然变化是和原子彼此的关系毫无直接关系的，则变化之间的时间顺序也就不是和原子本身有任何联系的了。所以就必须有一种均匀、永流不息的外在变化（其实是毫无变化），而且只有参照这种外在的变化，原子才有前后与同时的固定位置。所观察到的运动如果是相对于一个观察者的，与整个物理体系分裂的，其速度和加速度就会与绝对的地位和时日脱节，因而运动必然也是绝对的。
因此，牛顿虽然公开承认经验主义，却获得了具有严密演绎必然性的理性主义体系的好处。不变的时间、空间和运动供给现象以一些可以进行数学推理的特性，而这种数学推理是可以揭示内在特性的。物体的位置可以当作许多几何点的聚集，而物体运动的时间特性则可以当作一些单纯的瞬点。在科学研究中，一切所观察的事物都要在数学上符合由空时数理所规定的特殊规格。这个体系继续得到科学家们至少是匹克威克式（Pickwickian）的默许，一直到今天，一直到爱因斯坦对于事故同时间性的测定提出了反对的意见为止。
测定两件同时发生于同一观察区域的事情，当然没有什么困难。牛顿由于假定了绝对时间的存在，认为对两件同时在同一区域发生的事情所作的测量对于不发生在同一观察领域以内的事情，也是具有明确意义的。爱因斯坦看出，这个假定是牛顿全部体系的唯一致命伤处。他要求用实验方法来测定同时性——没有这种实验方法，就不能确定事情彼此相关的时间。他并不是根据单纯一般性的原则而是因为由于有关光速的问题，才提出这个要求来的。因为光学上当时存在的状态发生了分歧，根据当时公认的思想体系不能得到解决。参照观察光向和测定光速的地位所观察到的光的常数，并不符合力学的根本原理；并不符合它所设定的——具有等速直移运动的坐标体系是各自有其参照架构的这个准则的。爱因斯坦既未维护旧的学说，也未否认迈克尔逊-莫勒实验的观察结果的有效性，他质问实验结果要求在概念上要有什么改变。他看出，以同时性这个概念为中心来测量时间关系，这是症结之所在。
所以他说：“我们要求有这样一个关于同时性的界说，这个界说提供给我们一个方法，以便物理学家在特殊的事例中能够用实验来决定两件事情是不是同时发生的。”[1]他建议过一个办法，即把不能包括在同一个观察区域内的两条闪光，反射到一面置于这两个光源中间的镜子上。如果这两条闪光包括在同一个观察动作之内，那么，它们便是同时的。在平常的人看来，这个建议似乎没有什么害处。但是，如果把它联系起来看，它意味着人们要用一种操作的后果来测定事情的时间关系，而这个操作的结果构成了一个单个的观察现象领域。如果把它和有关光速的常数联系起来看，它意味着说，两个不同时间发生的事情，按照放在两个光源点上、完全同时走动的两只表来判断，乃是同时发生的。从科学内容上讲来，这等于推翻了牛顿的绝对体，它是狭义相对论的来源。它意味着，局部的或个别的时间和物理学中一般的共同时间是不同的。简单地说，它意味着物理的时间是指事情之间的关系，而不是指对象所固有的一种特性而言的。
值得我们注意的是：就自然科学而论，这种想把对象当作独立存在于为人们所观察到的实验操作后果以外的东西而用指定给这些对象一些特性的办法来构成这些对象的科学概念的企图，已经走到了绝路。除了皮尔士的实用主义哲学以外，从前所有各派的哲学无不认为观念的价值或有效性取决于事先存在的特性，并以此为形成概念的正当的途径。所以，这个建议在逻辑和哲学上所引起的变化，比它在自然科学内容中所产生的非常发展的结果，尤为具有深远的意义。不管光的发现将有怎样的发展，甚或爱因斯坦的相对论的详细内容将失去人们的信仰，关于科学观念的起源、本性和验证的理论却已经发生了一个永不后退的真正革命。我们这样说法，想来不算太过分罢。
在关于数学物理概念的性质这个特别主题方面，其有关的结论是明显的。因为爱因斯坦的这个结论既然不承认绝对的空间、时间和运动是物理的存在物，于是它就排斥了物理学中所陈述的空间、时间和运动就是固有的特性的说法。起而代之的是把它们当作对事情关系表示的见解。空间、时间和运动既然是这一类关系，具有一般性，它们就有可能把对象（这些对象应看作在一般连锁与转换体系中的事情）联系起来。空间、时间和运动是把同一观察者或许多观察者在不同的时间和空间上所作的观察互相联系的手段，因而一件事情可以转换成另外一件事情。简言之，空间、时间和运动所做的事情，正是一切思维和思想对象所必须做的事情：它们通过适当的操作，把个别观察和个别经验不连续的情况联合起来，成为彼此连续的东西。它们的有效性就是在执行其功能时的效能，它们是由结果而不是由它与事先存在的特性的符合性来验证的。
我们可以把这个结论引申到一般的逻辑形式。推论是否有效，依赖于一定的形式上的条件。这一事实曾被用来最后证明有一个不变实有的领域。但是，当我们用有关数学概念的结论来对比的时候，就知道逻辑形式乃是一些陈述，人们发明它们来作为彼此最便利、最广泛和最稳妥地转换各种推论的手段。从根本上讲来，当特别事例彼此孤立分隔时，就没有当我们运用推论时那样充分地满足需要。
我们可以用一个事例来说明这个以概念为操作的概念与传统正统的概念的不同。[2]一个游历家新到一个国家，发现许多物品如地毡、篮子和长矛等等被用来达到各种不同的目的。他为这些物品上的设计的美丽、雅致和整齐所吸引，对它们采取了一种纯美术的态度，断言说：这些物品只是偶然地加以利用的。他甚至认为，它们用来作为工具是贬低了它们的内在品质，是对功利上的需要和便利所作的一种让步。一个“硬心肠”的观察家会深信，人们是有意地利用这些物品的，而且是为了那个目的才制造它们的。的确，他也会承认必须先有适合制造成为这些用品的原料。但是，他不会因而相信，这些事物是原来如此而不是制成的物品；他更不会认为，这些物品是原来的“实在”而原始的材料却只是一些模仿或不合适的现象样品。当他追溯到这些工具的发展历史并发现它们接近原料的形式，看到它们在经济和效能上逐渐改善的情况时，他就会断言：这个改善的过程和用以达到一定目的的过程是互相联系着的，是继续加以改变以弥补过去操作和结果的缺陷的。在另一方面，他的“软心肠”的朋友却又会推论说：继续向前发展就表明有一个原始的和超验的模型，一个安置在天堂上的原型，人们在经验上逐渐地接近它。
有人也许辩论说，虽然设计的发展是一个有时间性的过程，但这种设计完全决定于整齐、和谐和均匀的模型，而后者是独立潜存的；而且可以辩论说，历史的运动只是零零星星地向永恒的模型接近。他还可以发展成一个理论，主张在关系之间具有一种形式上的融贯性，而特殊的对象除了这种关系的表现以外，与这种关系是毫无关系的。他的“硬心肠”的朋友可以反驳说，任何用以达到一定目的的对象必有它本身明确的结构，要求彼此联系着的各个部分具有内在的一致性；他还可以说，人造的机器就是一些典型的例子；虽然我们除了利用事先存在的条件和关系以外，是不能造出这些机器来的，但这些机器和用具的功能是否适当，则要看这些机器和用具对事先事物的安排能否更好地满足有关的需要。如果他是一个倾向于玄想的人，也许就会怀疑我们所具有的关于内在整齐与和谐的理想本身是否就是在经常重新处置事物，使其成为达到后果的一种手段的压力之下所形成的。如果他的心肠是不太硬的，他也许情愿承认，在要求成为有效工具的直接压力之下进行了一定程度的内部调整和组织之后，人们会对内在和谐本身有所欣赏；并且会承认，对形式关系的研究可以启示许多方法改进内部设计本身而无需涉及任何其他特殊的用处。
除了比喻以外，美术品、制造美术品的兴趣以及对美术品的欣赏的存在便足以证明：存在着这样一种对象，它们既完全是“实在”的，又是人造的；制造这种对象必须遵循或注意先在的条件，而这种对象本身却又是对先在存在所加以重新处置的结果；偶然呈现出来的事物暗示着它们尚未完全实现的目的和享受；这些暗示愈具有观念的形式，愈指出为了达到所向往的事后的重新安排所要实行的操作，便愈明确。这些对象一经存在之后，便具有它们自己的特征和关系而且暗示着如何进一步创造美术品的标准和目的，而无需再诉诸原有的“自然”对象；它们就似乎变成了一个具有独特目的和管理原则的领域。同样，如果一种艺术的内部发展过于孤立分隔，这个“领域”的对象就变得过于形式化、定型化和“学院气”，因而便重新需要注意到原有的“自然”对象，以便开创一个新的有意义的运动。
有一种想法认为，数学对象只能构成一个独立的本质的领域；或者只能是某种事先存在的物理结构（即所谓的空间与时间）中所固有的关系；或者只是心理的、“精神的”事物，除此而外，另无其他出路。这种想法是没有事实根据的。这种认为另无其他出路可走的假定，只是传统认为思想与观念乃是纯粹心理的动作、存在于心灵以内的那种见解的残余。有意的操作所产生的结果在客观上是实在的，而且如果符合它们之所以被有意构成的条件，便是有效的。但是，在这些成品的生产中，人类的交互作用是一个有贡献的因素，而且其价值即在于人类去利用它们。
不过，以上的讨论还没有直接触及“纯”数学，即数学观念本身的问题。牛顿的数学公开承认是研究虽非物质的但为物理的存在的数学，是研究存在的绝对空间、时间和运动的数学。然而，数学家们则时常认为，他们所特有的概念从任何意义上讲来，都是非存在的。后来发展的整个倾向（这个发展倾向以我们当前的目的而论，是无需加以详细说明的；不过，其中n维空间的学说却是一个典型）就是把纯数学和纯逻辑等同起来了。所以，有些哲学家采用了纯数学中的那些实有（entities），因而恢复了柏拉图关于与所有一切存在完全无关的本质领域的见解。
当我们把从操作和实验经验方面理解概念性质的主张应用到“纯”数学对象上时，这种学说是否就崩溃了呢？这个答案的关键在于，显然采取行动（或在想象中采取行动）的操作和从符号上去执行的操作之间的差别。当我们在外表上采取行动时，就产生了后果；即使我们并不喜欢这些后果，然而这些后果却已然存在在那儿。我们为我们行动的后果所纠缠苦恼；我们得忍受我们行动的后果。我们将提出一个问题，这个问题看来似乎是可笑的，但却是一个基本的问题。我们如何可能有一个预见中的结局（an end in view），而事实上却并没有一个结局，并没有一个存在上的结果？与这个问题的答案联系着的是如何有意地调节事情发生的整个问题。因为除非我们能够有一些预见中的结局而在具体事实上却又还没有经验到它们，否则，就不可能管理行动。这个问题还可以换一个方式来问：我们怎样能够不采取行动，不做任何事情而仍有行动？
如果人们在已经发现怎样去解决这个问题以前就能根据这种用词上的矛盾去思考这个问题，他们就会认为，这个问题是一个不可能解决的问题因而不去解决它。人类怎样如此预先设想出一个活动的后果，用来指导动作以获得或避免那个结果呢？解决的办法原来是作为一种副产品偶然获得的，然后才有意地被人们运用着。人们自然要假定解答是由于社会生活通过沟通而产生的：例如，喊叫曾经在无意中有用地指导着活动，以后便明显地采用此法。但是不管来源何在，当有了符号的时候，便发现了解答的办法。我们借助符号，无论是姿态、文字或更精巧的构造，我们便不动作而动作了。这就是说，我们在借助符号而进行实验，而这样实验的结果本身也仅仅是一种符号，所以便不为实际的或存在的后果所累。如果一个人放一把火或侮辱一个仇人，则效果立见，无法挽回。但是，如果他私自用符号来把这种动作演习一遍，他便可以预见和体会到这种动作的结果。然后，他就可以根据所预见而尚未成为事实的东西，外在地采取行动或不采取行动。符号的发现或发明，无疑地是人类历史上最伟大的一件事情了。没有符号，就不可能有理智上的进步；有了符号，除非天生愚笨，在理智上发展是没有限量的。
很久以来，人们只是在一些特别的事情上无疑地利用符号来指导活动；他们偶然为了某种十分直接的目的运用过符号。而且当初所使用的符号，并未曾按照它们所行使的职能来加以检验或抉择。它们是从手头方便的东西中偶然拣来的。它们带来了各种不相干的联想，以致阻碍了有效地完成它们的特殊工作。这些符号既未曾加以精减以完成一个单纯的功能，又不具有一种特征，足以适应各种不同的情境——它们既不明确，又不包容。如果人们不发明正确的符号，就不会有有效力的界说和概括。通俗思想之所以是散漫而狭隘的，其原因就在于此；通俗文字的含义模糊游移，阻碍了思想的进步。因此，进一步采取了第二个步骤，设计了专门的符号，避免了由文字所带来的一些不相干的联想，因为这种文字是为了社会的目的而不是为了学术的目的而发展出来的，而这种文字的意义是借助它们直接当前的背景联系而使人们明白的。由于这样避免了一些由偶然联想所增添的东西，笨拙模糊的思想工具便变成了锋利明确的用具。尤其重要的是：符号已不是适应当地直接的情境，而是离开了直接外表的用处而组成的；这些符号本身是彼此参照的。我们只要略一涉猎数学上的符号，就可以看出：这些数学符号所指示的操作不同于操作本身；这种操作是符号上而不是实际的操作。专门符号的发明，标志着思维已经有了可能从常识的水平前进到科学的水平。
希腊人发明几何学的过程，大概从历史上最能说明这种过渡的情况。在希腊发明几何学以前，计算与测量是为着“实际的”目的而采用的，这就是说，它们的用处是直接限于切近的情境的。它们是限于特殊目的的。然而，当这种计算与测量一经发明并以明确的符号表达出来时，便形成了一种可以独立研究的题材。在它们身上，可以从事新的操作。对它们本身可以从事游戏，这样说并没有什么不尊重的意思；我们可以从美术的观点去对待它们，而不是从直接有用的经济技术观点去对待它们。其主导的兴趣在美术方面的希腊人便做到了这一步。关于希腊人发明几何学的情况，据说，其动因就是“要在从美术上应用对称图形的指导之下如何进行设计的艺术。研究这些图形，从实验中构成砖瓦图案、装饰镶边、传统雕刻、嵌模等等，使早期的希腊人不仅谙习各种各样整齐的几何图形，而且具有把这些图形加以结构、组合和分解的技术。后期的希腊人则不像他们的祖先，尽弃其祖先所为，而侧重于理智方面”。当他们在尝试与错误中发现了图形的许多互相关联的特性时，又进一步把这些特性联系起来，并把它们和一些新的特性联系起来。他们进行这个工作的方式，“就是把一切臆断、一切偶然的经验如实际绘图和测量中的错误，以及除了那些绝对本质的观念以外的一切观念，逐渐从他们对图形的思想中排除出去。因此，他们的科学就变成一种纯观念的科学了”[3]。
一般人都认识到在理智上从具体过渡到抽象的重要性。但是，人们时常误解这种过渡。他们经常认为，这种过渡就是简单地通过一种有鉴别性的注意，把某一种性质或关系从当前已经感觉到的整个对象中或从记忆所呈现出来的对象中选择出来。事实上，这标志着一种在次度上的变化。事物愈成为我们所直接利用的手段，或愈成为我们所直接占有和享受的目的，它们在我们看来便愈为具体。当数学观念完全用来建造谷仓或测量土地、买卖货物或帮助舵手驾驶航船时，这种数学观念便是“具体的”。当它们不对于存在的事物作特殊的应用和利用时，就变成抽象的了。当一些运用符号的操作完全用来促进和指导其他也具有符号性的操作时，也发生这种情况。为了便于测量一块土地而去测量一个三角形的面积，这是一回事情，这是一件具体的事情；而只是为了测量其他为一定的符号所指示的面积而去测量这个三角形的面积，这是另一回事，这是一件抽象的事情。后一种类型的操作，使我们构成一个概念的体系；把这些概念以概念的资格互相关联起来，因此为形式逻辑铺平了道路。
从特别的和直接的情境中加以利用的情境下抽象出来，同时也就形成了一种关于观念或意义的科学，而思想的目标是把这些观念或意义彼此关联起来，而不是把它们和事物彼此关联起来。然而，这个过程有一个谬误的解释。人们很容易把不作任何特定的用处当作就是没有任何应用；当专家们只从事改善工具而不关心这些工具的用处，只专心注意改善工具的操作过程以致其结果超出任何现有用处的可能性的时候，似乎这些专家们在辩论说，他们所涉及的乃是一个与工具和利用无关的独立的领域。在学术界的专家们，特别容易陷入这种谬误。这种谬误在产生先验的理性主义中起着作用。它是在思想史上一再发生的那种崇拜共相的态度的根源。通过符号把观念当作事物那样处理（因为观念是思想的对象）并就一切错杂迷离的关系来追溯这些观念之间互相关系的人们，很容易把这些对象当作与事物、与存在丝毫无关的。
其实，这种区别只是实际所从事的操作和可能的（仅仅是可能的）操作本身之间的一种区别。把反省转向对各种可能的操作彼此的逻辑关系加以发展，就会开拓许多机会提示出不会直接提示出来的操作。但是，它的根源和后来的意义却在于涉及具体情境的动作。至于起源于外表操作的这种情况，是没有疑义的。在工作和游戏中，可以见到有记筹和记分的操作。如果没有这种动作以及它们所特有的符号，工作和游戏也不会有复杂的发展。这些动作是数字和一切数字发展的来源。在许多的艺术中，公开地利用这种为计算筹码所特有的计算操作来进行测量。木工和石工，如果没有即使是粗糙的估计大小轻重的办法，就会得不到多大的发展。如果我们把发生在这些事例中的情况概括起来，就会发现：使得一种作为手段、作为资源的事物去适应于另一种作为目的的事物，是必不可少的需要。
计算与测量的发生，就是要使这种适应既经济又有效。计算与测量的结果开始时，是用刻痕、画线、结绳等物理的手段表达出来的，后来便用图表了。我们容易看到，实际需要使手段适应目的的情境至少有三种类型：材料的派定和分配；储备材料以应来日之需；以盈余的事物交换不足的事物。在处理这些情境的操作中已经隐含许多基本的数学概念，如等于、系列、总和与单位、同位与换质等等；不过，只有当人们从符号上把这些操作彼此参照起来进行时，这些概念才变得明显和概括了。
经验主义之所以不能解释数学观念，是因为它不能把这些数学观念和所从事的动作联系起来。就其感觉主义的特征而言，传统的经验主义是在感觉印象中，或至多是在从事先存在于物理事物中的特性中所抽象出来的东西去寻溯这些数学观念的根源的。实验经验主义便没有休谟和穆勒在解释数学真理的起源时所遭到的那种困难。实验经验主义认为，经验，即人类实际的经验，就是采取动作、从事操作，就是切割、区分、分隔、扩大、堆垒、接合、聚集与混合、积累与分派；总之，就是选择和调整事物，使之成为达到后果的手段。只因为一心从事知识工作乃使得思想家们处于一种特别的麻醉状态，乃至把经验和感觉受纳等同起来了，而一个小孩子只需用五分钟的观察就会发现，这种感觉只是在造成事物中从事运动性的活动的刺激和记录。
要想把数学发展成为一种科学，要想促进观念逻辑的成长，即要想促进操作本身的蕴含关系的成长，就需要有这样一班人；他们为了操作本身，把操作当作一种操作而不是达到特定的某些特殊用处的手段而注意这些操作。当我们把操作与具体应用割裂开来而为它们设计一套符号时（如在希腊人的美感兴趣的影响之下所发生的情况那样），其余的事情就自然跟着发生了。物理的工具如直线尺、圆规和计数器还继续保留着，物理的图表也继续保留下来了。但是，这些物理的图表只是一些“图形”了，只是一些在柏拉图式的解释之下的影像。这些图表所象征的操作，才能使它们具有理智上的力量，而直尺和圆规只是把一系列为符号所代表的操作彼此联系起来的一些工具。图表等等是特殊的和变化的，但操作在它们的理智力量上，即在它们与其他操作的关系上，却是前后一致和普遍的。
当这种不管实际行动、运用可能性的操作进行思维的方法一经取得时，除了为人类的才资限制以外，是发展无限的。一般讲来，这种发展是沿着两条路线前进的。一方面，为了执行物理研究的任务，需要有特别的理智上的工具，而这种需要导致人们去发明新的操作和符号体系。笛卡尔的解析几何和莱布尼茨与牛顿的微积分都是有关这种情况的事例。这一类的发展已经创造了一套明确的题材，从历史上讲来，这一套题材和例如纺织机的历史后果一样，是具有经验性质的。这一套的材料需要就其本身来加以检验。它要求我们审慎地检查它本身内容以内所发现的各种关系。肤浅操作的征兆被排除了；含糊的地方加以查明和经过分析了；混杂的操作被分解为一些明确的组成部分了；并且引入了一些联系性的操作来弥补缺陷和解释不了的空白。总之，发展了一些关于如何把操作互相密切联系起来的规则，而旧有的材料也就相应地被修改和扩充了。
这个工作也不仅仅是从分析上去进行修改的。例如由于我们查出欧几里得关于平行线的公理在逻辑上是不严密的，因而暗示给我们一些前所未曾想到的操作，开辟了一些新的领域——如超几何学（hypergeometries）。而且由于我们有可能把各种现存的几何学的部门结合起来，作为一些包容更为广泛的操作的一些特殊事例（这是可以用同一事例来说明的），我们就会创造一个具有更为高度普遍性的几何学。
我的目的不在追溯数学的历史。我只想指出：在我们一经发现了为符号所表示并仅仅借助符号而进行的关于具有可能性操作的观念以后，就开辟了道路，使我们能够从事日益明确和广泛的操作。任何一些符号的操作，都暗示着一些可以进一步从事的操作。专门的符号就是由于在思想上抱有这样一个目的而构成的。这种符号不同于意义不明的名词与观点，因为这种符号有三个特点。选出这些符号，是为了毫不含糊地指明一种而且仅仅一种交互作用的方式。这些符号和其他操作的符号连接起来，构成了一个体系，可以尽可能节省精力地使这些符号互相转换。而且，其目的在于使这些转换尽可能地向着任何方向进行。1.例如“水”暗示给我们可以采取无数的动作；看、尝、饮、洗，而并不特定地指出其中之一。它只是模糊地标志出它与其他无色液体的不同。2.同时，“水”是有限制的，它并没有把这种液体和固体与气体的形式结合起来，它更没有指出如何把水的产生和其他含有氧和氢两种成分的事物结合起来的操作。“水”是一个孤立的概念，而不是一个可以转换的概念。3.在化学上用H2O这个符号所代表的概念，不仅符合“水”所未曾符合的这两个要求，而且氧和氢又转过来系统地与化学元素以及元素间的特殊结合的整个体系联系起来了。比方说，一个人从这些元素以及由H2O所界说的关系出发，就可以徜徉于这个错综复杂而变化多端的整个现象领域之内。因此，科学的概念使我们离开在直接知觉和用处中所发现的最后性质，把我们导致一种生产这类性质的方式，而它完成这个任务的方法是把这种生产方式和许多其他“有效的”原因条件最经济和最有效地联系起来。
数学上的概念借助于操作的符号而不管实际的行动，促使抽象工作前进了一步；我们只要把从物理上附着在H（氢）上的2和纯粹的“2”这个数字作一比较，就够了。纯粹的“2”这个数字是指明一种操作关系，它可以应用到一切对象但又尚未实际上应用到某一特定的对象上去。当然，它和其他一切数字具有明确的关系，而且通过一系列的相似之处，和连续的数量也是明确关联着的。数字是不问一切性质上的差别的，这是人们都熟悉的事实。这样不顾一切性质上的差别的情况，乃是人们把可能的操作从行动的实际中抽象出来，创制出符号来对付这种可能的操作的后果。如果时间和知识允许的话，我们能够指出，当我们不把数字当作存在事物的本质或特性而把它们视为进行潜在操作的标记时，伴随着数字的逻辑所发现的困难和悖论就会消失无遗。数学上的空间，并不是不同于所谓物理空间和经验空间的另一种空间，而只是赋予一类操作的一个名称；这类操作在理想上或形式上可能用以处理具有空间性质的事物：它并不是“实有”的一种形态，而只是思考事物的一种方式，通过这种思考的方式，可以使这些事物之间的联系从经验上的固定状态中解放出来，并有可能求得它们彼此含义之间的关系。
如果我们能注意到“可能的”操作一词中所包含的一个含混模糊之处，就可以分清物理概念和数学概念的区别。“可能的”操作一词的基本意义是指实际上，在存在上可能。任何观念本身都是指我们可以从事的一种操作而言的，而不是指一种实际存在中的事物。例如，糖的甜味这个观念就是表示采取尝试这种可能的操作的一些后果；它不是一种直接经验到的性质。数学上的观念乃是指另一种具有第二性意义的可能的操作而言的，此即前面所说的各符号操作间相互关系的可能性。这种可能性的意义是指操作本身之间的一种复合的可能性（com-possibility），而不是指相对于存在而言的行动上的可能性。它是以非彼此不相容为验证的。如果我们用一致性来作为检验的标准，它还很难表达全部的意义。因为一致性很容易被解释为此一意义与另一些已有的意义符合一致，因而具有一定的局限性。“非彼此不相容”是指明：一切的发展都是受欢迎的，只要这些发展彼此并不冲突，或者说，只要对于一种操作的重述避免了实际的冲突。它是一个自由解放的准则，而不是一个局限束缚的准则。这个准则可以与自然淘汰相比较，后者是一种消极排除的原则而非积极地控制发展的原则。
因此，数学与形式逻辑乃是学术事业上高度专门的部分，其作业原则非常类似美术作品的作业原则。它们最突出的特点是自由与严格相结合——它们在新的操作和观念的发展方面是自由的，而在形式上复合可能性方面是严格的。这两种性质的结合，也是伟大艺术作品的特征，使得这种题材具有巨大的魔力，吸引着一些人们的心灵。但是，认为这些特征使数学对象脱离了与存在的任何联系的这种信仰，都不是一种科学发现而只是表达了一种宗教的情调。[4]
重要的差别在于，这是两种不同类型的（物质的和符号的）可能性之间的差别。当这种区别凝固成为两种不同等级的实有（存在和本质）的武断教条时，便产生了一种见解；认为有两种类型的逻辑和两种不同的真理标准，一种是形式上的，一种是物质上的，而前者是较高级和比较根本的。其实，形式上的发展只是物质思维上一个专门化的分支。它最后起源于人们所做的动作，而且以互相一致为根据，利用符号，使得有扩充这种动作的可能。结果，形式逻辑就是完全从事于符号操作的一种分析；从它内包的意义而不是外在的意义讲来，它就是符号逻辑。除非从神秘的观点来看，否则，这种对数学观念和（形式）逻辑观念的解释并不是轻视它们。我们前面已经注意到，符号是使我们避免陷入存在的唯一途径。由于自由的数学符号使我们获得的解放时常帮助我们最后回到从事存在性的操作，而这种操作具有非如此不能得到的广度和深度。科学史上充满了说明的事例，证明数学观念虽无物理上的应用，但有时也暗示出不少新的存在关系。
把符号操作所满足的条件和传统所赋予本质（共相、不变量等）的属性相比较，便可以检验此前所倡导的关于本质的学说。这些属性是理想性、普遍性、常住性、形式性，以及使演绎成为可能的蕴含关系的潜存性。这些属性和那些用互相有复合可能性的操作来界说的思想对象所具有的特征之间，有着一一对应的关系。
一架机器是用它所满足的功能来标志它的结构的，因而我们可以从指出一架机器的特征来研究这种对应的关系。显然，我们不能用感觉而只能用思考机器各部分互相牵掣的关系以及整个机器的作业情况（它所产生的结果）的办法来了解机器的这种结构。在感觉方面，一个人在机器面前，只是为许多噪音和形体所淹没。当我们从操作的关系上并从它所完成的工作的关系上来判断这些形体时，这些所感知的对象便开始明晰了和有条理了。我们可以孤立地看见许多运动，而且可以孤立地知觉结果，以及它所产生的成品。只有当我们把这些运动和结果彼此联系起来思考的时候，才认识了这架机器。在这种思想中，我们把运动（motions）和部分（parts）都判断成为手段；它们在理智上关系到某些其他的东西；把某一个东西当作手段，就是从一种关系中去领会一个对象。从相互的关系上讲来，物理的效果断定都是一些后果——都是与某些事物有关系的。因此，我们便可以公平地把手段与后果之间的关系称之为理想的（ideal），意即具有观念性的（ideational）。
操作本身，即有联系性的交互作用，乃是齐一的。在物理上和感觉上，一架机器通过摩擦，暴露在空气之下而起着变化，同时产品的性质也变化着。过程是局部的和有时间性的、特殊的，但是，手段和后果的关系作为一种操作，在这些变化中却是始终如一的。它是一个共相。一架机器不断地制造出一连串的钢珠，如滚珠轴承。这些钢珠都是极类似的，因为它们都是类似过程的产品。但是，这些钢珠并不绝对一样。每一过程都是个别的，并不是和其他过程完全相同的。但是，设计这架机器时所要求它具有的功能却并不是随着这些变化而变化的：一种操作乃是一种关系，而不是一种过程。一种操作决定着许多各不相同的过程和产品；但作为一架电话机或一架切割机，却是一个自我同一的共相，而不管表现这种功能的特殊对象有多少。
因此，关系是不变化的。关系是永恒的，这不是说它是历万世而永垂不朽的，也不是说它像亚里士多德的“类”和牛顿的“实体”一样，是万古长青的；而只是说，作为在思想中所掌握的一种关系的操作，是脱离它所具体表现的事例而独立的。不过，这种操作的意义只有在有可能实现这些事例时，才能为我们所发现。
我们把一架机器说成是在作为手段的事物和作为后果的事物之间的一种关系；这种关系在另一种意义之下，也被我们称为是理想的。它是用以估计存在过程之价值的标准。一架具体机器的用处在退化或在改进，以及一种发明是否有价值，当视其完成一种功能时的效能而定。如果一位工程师愈能较为适当地在抽象中领会这种功能上的关系，他就愈能更好地检查出这架现存的机器的缺点并设法加以改进。因此，对于这种功能关系的思想，便具有一种模型的作用；相对于特殊的机器而言，这种思想具有一种范型的作用。
所以，把对象当作一个理想的思想，就规定了一种特有的内在结构或形式。这种形式上的结构只能为现存的事物逐渐所接近。人们可以设想一架具有百分之百的效能的蒸汽机，但是这个理想在实际上是难于接近的。或者说，人们可以像赫尔姆荷兹（Helmholtz）一样，设想一种毫无现存人类肉眼缺点的、理想的光学仪器。手段与目的在理想上的关系上是当作一种形式上的可能性而存在的，而这种可能性是由一种从未想到过、更不必说在事实上实现过的事例的性质所决定的。它是作为一种可能性而潜存着的，而且作为一种可能性，从它在形式上的结构讲来，它是必要的。这就是说，在一架具有百分之百效能的机器的观念中所必须满足的条件，乃是由这种事例的必然性所规定的；这种条件并不随着我们理解这些条件时所发生的缺点而变化着。所以，我们可以把本质当作独立于我们对它们的思维之外和在逻辑上先在于我们对它们的思想以前而实有的东西。然而在此一事实中，却丝毫没有我们时常所联想到的那种神秘的或超验的特色。这个事实意味着：如果一个人要想达到一个特定的结果，他就必须符合一些条件，而这些条件乃是获得这个结果的手段；如果一个人要想以最高限度的效能来达到这个结果，他就必须符合与这个意向有必然关系的条件。
形式上的关系标志着一种结构上的必然性；这种形式上的关系是符合用来作为手段以达到一个目的的条件的。这种结构的必然性说明了促使演绎成为可能的蕴含关系。一个人走进一所工厂，譬如说这所工厂正在制造大量标准相同的皮鞋，这套完成这个目的的操作被划分成为许多过程，每一过程与前一过程相配合，直到最后所达到的一个过程为止。在这里，虽然每一架机器和每一过程在物理上是分开的，但却又是互相配合的。他不会认为，这一事实有何神奇奥妙之处。因为他知道，它们是设计好，把作业加以“合理化”以求达到这一目的的。
认知的动作也是非常复杂的。经验表明，认知动作，若经分析为许多明确的过程，互相关联起来，也可以获得最好的效果。名词和命题乃是关于控制这些过程的可能操作的符号化，而人们是这样设计这些名词和命题的，能以最高限度的确切性、伸缩性和丰富性从一个名词和命题导致另一名词和命题。换言之，这些名词和命题是参照着蕴含关系的功能来构成的。演绎法或辩证法就是发展这一类蕴含关系的操作；这种操作可以是新奇的或意外的，正如一种用具在新的条件之下往往会产生意外的结果一样。我们有权利奇怪，我们用以设计符号的这种具有建设性的力量竟有如此深远而丰富的蕴含关系。但是，当我们把这种惊奇作为根据把思想的对象加以实体化，变成一个超验实有的领域时，便走入迷途了。
我们还要明显地注意到：一切一般性的概念（观念、理论、思想）都是假设性的，否则在这一方面的讨论便是不完备的。构成假设的本领，就是人类所借以从他四周和在物理上与感觉上影响着他的存在物的沦陷中解放出来的手段。它是抽象的积极一面。但是，假设是有条件的；它们必须用它们所界说和指导的操作所产生的后果来加以检验的。当我们把假设的观念用来暗示和指导具体过程时，发现了这种假设所具有的价值；而且，我们也知道，这种操作在近代科学史上已经有了广泛的扩充。这两件事情标志着人类在理智上的控制力有了巨大的解放和相应的增加。但是，它们的最后价值并不是受它们内在的精密性和连贯性所决定的，而是受它们对感知上所经验到的存在物所产生的后果所决定的。科学的概念并不是对独立先在的实在的揭示。它们是一个假设体系；这个假设体系是人们在具有确切验证的条件之下所形成的；人们借助于这个假设的体系，可以在理智和实际上更加自由、更加可靠和更加有意义地与自然界沟通起来。
以上我们主要是根据“理性主义的”传统对于概念的解释来进行讨论的，所以这种讨论是片面的。我们侧重这一方面的理由十分明显，毋庸申述。但是，在我们离开这个题目以前，还应该注意到：传统的经验主义也曾误解了概念或一般观念的重要意义。传统的经验主义曾经坚决反对概念具有先验性的主张，它把概念和实际世界的经验联系起来了。但是比它所反对的理性主义要更加明显一些，经验主义把一般观念的根源、内容，衡量其有效性的标准都和先在的存在物联系在一起了。按照经验主义的看法，概念的形成是由于把已经感知的对象彼此加以比较，然后排除其不同的因素，保持其共同的因素。因此，概念仅仅是已经感知的对象中相同因素的记录而已；概念只是一种方便之计，把分散在具体经验中各色各样的事物加以汇合而已。但是，必须用它们是否和特殊的先在经验的内容相符合这一点来证明这些概念；它们的价值和功能本质上是属于回顾性质的。这种观念是死板的，不能在新的情境中发挥调节作用。这种观念是“经验的”，即反科学的——这就是说，这种观念仅是一些多少由于偶然条件所获得的结果的概述而已。
下一章，我们将专门明显地讨论历史上的经验主义和理性主义关于认识的性质的哲学。在转入这个主题之前，我想将本章讨论中所得到的一些比较重要的结果作一概括的总结。首先，观念、思想所具有的主动的和富于创造性的特性是很明显的。唯心主义的哲学体系的动机是有道理的。但是，思想具有建设性的职能却是在经验方面的——即在实验方面的。“思想”不是某种脱离自然的、所谓理智或理性的东西所具有的特性。它是有指导的外表行动的一种方式。观念是一些有预示性的计划和设计，其结果将使事先存在的条件得到具体的改造。观念不是相应于实有之先验的最后特性的心灵先天所具有的特性；它们也不是笼统和一劳永逸地赋加在感觉上的一种先在于经验而使经验成为可能的先验范畴。观念的主动力量是实在的，但是观念和唯心主义必须在具体经验的情境中才具有操作上的力量；观念和唯心主义的价值是要用对它们进行操作后所产生的特定后果来加以验证的。唯心主义是具有实验性质的，而不是在抽象上是理性的；唯心主义和经验的需要关联着的，而它所关心的是如何设计一些操作来改造经验对象的实际内容。
其次，观念和唯心主义本身并不是最后的结论，而只是一些假设。因为它们是与我们所从事的操作联系在一起的，所以是受这种操作的后果而不是受存在于它们之先的事物所验证的。先在的经验为引起观念提供条件，是思想所必须加以说明和考虑的。先在的经验既为我们达成意愿造成障碍，又为我们达成意愿提供所必需的资源。只要那些已经为我们所利用的概念与概念系统等一经显示出它们的弱点、缺陷和正面价值时，我们就经常形成新的概念和改造旧的概念与概念系统、意图与计划。它们是没有预先注定的途径可循的。在观念的有意指导之下的人类经验，便不断地使它自己的标准和尺度演进着，而且借助这种观念所构成的每一次新的经验，为新的观念和理想造成新的机会。
第三，行动处于观念的核心。当我们把认知活动的实验实践当作哲学上关于心灵及其器官的主张的一种模式时，便避免了长期以来理论与实践分隔的现象。它揭示出认知本身就是一种行动；它是不断前进和稳妥可靠地使自然存在具有明白意义的唯一的行动。因为由于界说思想的操作在经验对象上所产生的结果，这些经验对象便把它们和那些为思维所揭示出来的其他事物的关系吸收进去，当作它自己所含蓄的意义的一部分。世界上没有本身固定不变的感觉对象或知觉对象。经验的进程是思维影响下所产生的结果，而在这种经验的进程中，我们所知觉、所利用和所享有的对象也把思维的结果当作它们自己的意义；于是，它们的意义便愈来愈丰富。这一点便构成了实验唯心主义哲学的最后意义。观念指导着操作，而在操作所产生的结果中，观念不再是抽象的、单纯的观念，而成为规定感觉对象的东西了。可感知的经验是盲目的、晦暗的、零散的、意义贫乏的，而感觉的对象则是满足、酬答和供养智慧的对象，而从前者过渡到后者则需要经过具有实验性质和操作性质的观念。
我们的结论是依据我们对自然科学的实验探究的内容所作的分析。当然，有关人类所特有的条件和目的的更为广泛范围的人类经验，按照其当前存在的情况看来，和考察自然科学时所产生的结果，并不是一致的。我们所达到的这个结论的真正哲学力量（不同于一种专门性质的力量），就正在这种不一致之处。最严格的经验类型已经获得了惊人数量的起作用的观念，用以控制对象。这一事实表明，在比较广泛的经验形式中，我们也有获得这种结果的可能，不过目前尚未达到罢了。就消极方面而言，这个结果表明，我们需要彻底修改我们在实验探究兴起以前所形成的关于心灵和思想以及其对自然事物之联系的那些观念。这是当代思想应该担负的关键工作。就积极方面而言，科学中的成就结果激起了哲学去考虑把这种具有操作性的智慧方法推广到其他领域去指导生活的可能性。
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[1] 爱因斯坦：《相对论》（Relativity ），1926年，纽约版，第26页。楷体不是原有的。
[2] “关于概念的概念”一词，是用来暗示解释是自我运用的——这就是说，所提出的概念，也是指明所追求的方法。一个人可以牵马到水边去，但不能强迫它饮水。如果一个人不能执行或不想执行一个所指定的操作，他当然就不能领会这个操作的意义。
[3] 巴里：《思想之科学习惯》（The Scientific Habit of Thought ），1927年，纽约版，第212—213页。
[4] “人们长久继续和不常间断地研究绝对不变的存在体的这种情况，在人们心灵上产生了一种强有力的麻醉影响。……这种研究把这个世界和经验的其余部分分隔开来，而构成一个实有的整体；这个世界是一个不在变化和显然具有永恒秩序的世界，是冷静的理智所不必拒绝的唯一绝对体。因此便产生了一种信念，认为在这种经验中，人们最后已经发现了永恒和最后的真理，而这种信念最后影响着人们整个清醒的思想。”巴里：《心灵之科学习惯》，第182—183页。