Ⅰ
我在经过一番思索之后，决定把目前英国哲学的观点作为我的出发点。因为我相信，一位科学家或一位哲学家的职责是解决科学或哲学问题，而不是去谈论他或其他哲学家们正在做什么或可能做什么。任何解决科学或哲学问题的企图，如果它是诚实的而且是专心致志的，即使没有达到目的，在我看来，也要比讨论“科学是什么？”或“哲学是什么？”这类问题有意义得多。而且即使我们以较好的方式来提后一问题，即“哲学问题是什么性质？”拿我来说也不想多花功夫，我感到即使拿它和“每次讨论或评论是否总必须从不言而喻的‘假设’或‘假定’开始”这类次要的哲学问题相比，也是不重要的。(2)
当把“哲学问题是什么性质”作为“哲学是什么”的较好形式来描述时，我想暗示，当前关于哲学本质的无益争论的一个原因就是天真地认为有所谓“哲学”或者“哲学活动”这样一个东西，它具有一定的性质、实质或“本质”。认为物理学、生物学或者考古学这些“学科”因它们研究的题材而有所区别，这种信念我认为是已往时代遗留下来的，那时候人们都以为一种理论必须从它自身的题材出发。(3)但是我认为，题材或事物的种类，并不构成区分学科的基础。学科的区分，部分是由于历史的原因和便于行政管理（有如教学和职位的组织）的原因，部分是因为我们为了解决问题而建立的理论有一种发展为统一系统的趋势。(4)但是所有这些分类和区别都是比较不重要的和浮面的。我们不是某些题材的研究者，而是某些问题的研究者。而问题可能冲破任何题材或学科的界限。
这个事实在某些人看来是很明显的，但因为对我们现在的讨论太重要了，值得用一个例子来说明它。一个地质学的问题，像估计某一城市有没有石油层或铀层贮存的可能性，必须借助于通常分为数学的、物理的和化学的理论与技术来解决，这是不需要指出的。然而，连一门更“基础”的科学，如原子物理学，在解决它的最抽象和最基本的理论中的某一问题，如关于原子偶数序数或奇数序数的相对稳固性或不稳固性的试验预测问题时，可能要用到地质测量和地质理论与技术，那就不大明显了。
我完全准备承认，许多问题即使它们的解决包含着许多不同的学科，在某种意义上仍然“属于”这种或那种传统学科，如刚才提到的两个问题就显然各自属于地质学和物理学。这是因为它们的讨论都与它们所牵涉到的学科的传统特性有关。它产生于某些理论的讨论，或产生于有关某种理论的实验；而理论与主题相反，是可以构成一门学科的（学科可以描述为一个经历着挑战、变化和成长的有几分松散的理论群）。但这并不影响我关于学科分类比较不重要的论点，以及我们不是研究学科，而是研究问题的论点。
但是有哲学问题吗？我认为，现在英国哲学的观点——我的出发点——起源于已故的维特根斯坦教授的学说：他认为哲学问题是没有的；所有真正的问题都是科学问题；而所谓的哲学问题都是假问题；所谓哲学命题或理论都是假命题或假理论；它们并不是假的（假定它们是假的，它们的否定将是真命题或真理论），严格说来是一些词的无意义的组合，(5)不比一个还没有学会正常说话的小孩的不连贯的咿咿呀呀更有意义。(6)
因此，哲学不能包含任何理论。照维特根斯坦的说法，它的真正性质不是一种理论，而是一种活动。一切真正哲学的任务是揭露哲学的胡说八道，并教导人们如何谈论有意义的东西。(7)
我打算把维特根斯坦学说作为我的起点。我将试图解释它（第ii节），在某种程度上为它辩护，但又批评它（第iii节）。我将用科学思想史的某些例子来说明这一切（从第iv节到第xi节）。
在实行这个计划以前，我想重申我确信一个哲学家应当进行哲学研究：他应试图解决哲学问题，而不应谈论哲学。如果维特根斯坦的学说是正确的，那么照我的说法，就没有人可以研究哲学了。如果这是我的见解，我将放弃哲学。但是碰巧我不但对某些哲学问题深感兴趣（它是否“正确地”叫做“哲学问题”，不去管它），而且希望对它的解决有所贡献——即使只有一点点，即使要经过艰苦的工作。我在此谈论哲学而不是探讨哲学问题，这样做的惟一理由在于，我希望，当我照提纲演讲时，可能终究有机会做一点哲学探讨。
Ⅱ
自从黑格尔主义兴起以来，科学与哲学之间就存在着一条危险的鸿沟。哲学家被指摘为——我认为是正当的——“不掌握事实知识而进行哲学论述”；它们的哲学被描述为“只是幻想，甚至愚蠢的幻想”。(8)虽然黑格尔主义在英国和大陆起了主导的作用，但它的对立面，以及对它的自命不凡的轻蔑，都从未完全熄灭。它的垮台是由一位哲学家造成的；这位哲学家像他以前的莱布尼茨、贝克莱和康德一样，对科学特别是数学具有丰富知识。我讲的就是罗素。
维特根斯坦的哲学理论是以陈述分类为基础的，而罗素也是陈述分类家（与他著名的类型论密切有关），罗素把语言的表达分为（后面第443—446页作了批评）：
（1）真陈述；
（2）假陈述；
（3）无意义表述，其中有类似陈述的一串词语，可以叫做“伪陈述”。
罗素运用这种区分去解决他发现的逻辑悖论问题。为了解决他的问题，（2）与（3）的区别尤为重要。在通常说话中，我们可以说，一个假陈述命题诸如“3乘4等于173”或者“所有的猫都是母牛”是无意义的。然而罗素却保留了“无意义”这个术语，用于这样的表达，如“3乘4是母牛”或“所有的猫与173是等同的”，即是说用来指一种最好不要称为假陈述的表述。这些最好不称为假陈述，因为有意义可言的假陈述的否定往往是真的。但是伪陈述的初看有效的否定“所有的猫等同于173”是“有些猫不等同于173”，而这恰恰是和原来陈述同样不满意的伪陈述。伪陈述的否定仍是伪陈述，正如正常陈述的否定（真或假）是正常陈述（相应的，伪或真）一样。
这个区别使罗素能够消除多种悖论（他说这些悖论是无意义的伪陈述）。维特根斯坦更进一步。他或许由于有这样的感觉：哲学家，特别是黑格尔式的哲学家，他们说的话都类似于逻辑悖论，因此他就用罗素的区别来谴责所有的哲学严格说来都是无意义的。
结果没有真正的哲学问题了。一切所谓哲学问题都可以分为四类：(9)（1）那些纯逻辑或数学的问题，由逻辑或数学命题来回答，因而不是哲学的；（2）那些事实的问题，由属于经验科学的某些陈述来回答，因而也不是哲学的；（3）那些由（1）和（2）结合的问题，因而也仍不是哲学的；（4）无意义的假问题，如“所有的猫等于173吗？”或者“苏格拉底是同一的吗？”或者“一个看不见、摸不着的以及显然完全不能认识的苏格拉底存在吗？”
维特根斯坦借助于罗素的类型论而根除哲学（和神学）的思想是有其独创性的（甚至比孔德的实证主义更激烈，孔德的实证主义与之很相似）。(10)这个思想成了学术界颇有势力的现代语言分析学派的灵感泉源。他们继承了他关于没有真正哲学问题的信念，认为哲学家所能做的只是揭露和消除传统哲学所提出的语言之谜。
我自己对这个问题的看法是，只要我有真正的哲学问题要解决，我将继续对哲学感到兴趣。我不理解哲学没有问题还会有吸引力。当然，我知道许多人在胡说，而且应揭露这种胡说，因为它可能是很危险的胡说，这将是一种任务（不愉快的任务），这是可以想象到的。但是我相信有些人曾经讲过某些不大有意思的话，而且的确也不大合乎文法，但却相当有趣而令人兴奋，或许比别人很有意思的话更值得听取。我可以指出微分和积分，特别是它的早期形式，根据维特根斯坦的标准，无疑是完全自相矛盾的和胡说八道的；然而，经过几百年人们在数学上伟大努力的结果，终于把基础建立起来了；但它的基础理论直到现时现刻还需要继续澄清，而且正在澄清。(11)在这一点上，我们或许可以记起，给维特根斯坦的早期追随者以深刻印象的，就是数学的表面绝对精确性跟哲学语言的含糊性和不精确性之间的对比。但是如果当年有个维特根斯坦运用他们的武器来反对微积分的先驱者，而且成功地消除那些胡说，而这是他们当代的批评者（如贝克莱，他基本上是正确的）没能做到的，那么他当时就扼杀了思想史上最有魅力和哲学上最重要的一个发展。维特根斯坦曾经写道：“一个人不能说话，那就只好沉默。”如果我没有记错的话，埃尔温·薛定谔曾经回答道：“但是就是在这时说话才是有价值的。”(12)微积分的历史——或许还有薛定谔自己的理论(13)——都证实了他的说法。
毫无疑问，我们全都应该训练自己尽可能把话说得清楚、精确、简明、直接。然而我认为没有一本科学的或数学的名著，或一本的确值得阅读的书，经过语言分析技巧的巧妙应用，不能表明它含有许多无意义的假命题，有些也许可以把它叫做“同语反复”。
而且，我认为连维特根斯坦采用罗素的理论都是根据一种逻辑错误。从现代的逻辑看来，在普通自然发展语言（相对于人工演算）范围内，只要遵守习惯和文法的约定规律，就没有理由谈什么假陈述或类型错误或范畴错误。人们甚至可以说，实证主义者以发难者自居，说我们使用无意义的词，或者我们在胡说八道，事实上他不知所云——他只是简单地重复从本身也不知所云的人那里听来的东西。但这引起了一个技术问题，在这里无法论述了。（但在下面第十一到十四章，将讨论这个问题）。
Ⅲ
我曾答允为维特根斯坦的观点辩护几句。我想说的是，首先，有许多哲学著作（特别是黑格尔学派的著作）可以公正地作为无意义的冗辞来批判；其次，这类不负责任的文章，至少在一段时间内受到维特根斯坦和语言分析家的影响而有所收敛（在这方面，最有益的影响是罗素的例子，他通过自己文章的无比魅力和清晰，证明内容的微妙与风格的清新、质朴是可以一致的）。
但我准备再多讲一点。为了对维特根斯坦的部分见解辩护，我打算说明以下两个论题。
我的第一个论题是，每一种哲学，特别是每一哲学“学派”，都有可能这样堕落：使它的问题实际上与假问题无所区别，而它的术语实际上也就与无意义的胡言乱语无所区别。我将试图表明，这是哲学上近亲繁殖的结果。哲学学派的衰退又是起于一种错误的信念，即认为哲学的研究不需要哲学以外的问题的推动，例如数学、宇宙学、政治学、宗教或者社会生活中的问题的推动。换句话说，这就是我的第一个论题：真正的哲学问题总是植根于哲学以外的那些迫切问题，这些根烂了，哲学也随之死亡了。在解决这些问题的努力中，哲学家们常会追求一种看来像是哲学方法或技巧，或是解决哲学问题的金钥匙的东西。(14)但是这样的方法或技巧是不存在的；在哲学上，方法是不重要的；任何方法，只要导致能够合理讨论的结果，就是正当的方法。要紧的不是方法或者技巧，而是对问题的敏感性和对问题的一贯热情，或者，如希腊人说的，是惊奇的本性。
有些人感到解决问题的迫切要求，他们把问题看成是实在的东西，就像非得从他们的机体内排除掉的疾病一样。(15)即使他们把自己局限于研究一种特殊方法或特殊技巧，他们也可以作出贡献。但是另外一些人并不感到这种迫切要求，他们并没有什么重大的、迫切的问题要解决，然而照旧运用流行的方法作些练习，对于他们说来，哲学是应用（你所合意的见解和技能）而不是探索。他们把哲学引入假问题和语言谜语的泥沼；他们或者为我们提供假问题以代替真问题（维特根斯坦所见到的危险），或者说服我们集中力量去揭露他们正确地或者错误地认为的假问题或谜语；一种无休止的和不得要领的工作（维特根斯坦所陷入的陷阱）。
我的第二个论题是，讲授哲学的初看有效的方法常会产生那种符合维特根斯坦的描述的哲学。我所说讲授哲学的初看有效的方法，并且似乎是惟一的方法，就是给初学者（我们认为这些初学者并不懂得数学史、宇宙学史以及其他科学的思想和政治思想）阅读一些大哲学家的著作，譬如说柏拉图和亚里士多德，笛卡儿和莱布尼茨、洛克、贝克莱、休谟、康德和穆勒的著作。这样一个阅读课的效果是什么？在读者面前展现了一个惊人微妙而广大的抽象的新世界；一种极端高深而艰巨的抽象。这些哲学家的思想和论证在学生看来有时不仅难于理解，而且好像是不相干的，因为他发现不了有什么事情与它们有关系。然而学生知道这些人都是伟大的哲学家，而哲学就是这个样子。因此他就努力使自己的思想适应他认为是（我们将看到是错误地认为是）这些哲学家的思维方式。他将试图讲这些哲学家的奇怪语言，模仿他们的转弯抹角的螺旋论证，甚至把自己束缚在他们古怪的难题中。有的可能肤浅地学会这些手法，别的人则可能成为这些手法的真正醉心者。然而有些人经过努力最后可能达到如维特根斯坦所描述的结论：“我已经和任何人一样，学会了行话。这是很巧妙而且吸引人的。事实上，它的吸引人到了危险的地步；因为事情的简单真相是，它只是庸人自扰——只是一派胡言乱语。”我觉得我们应当尊重这种人。
现在我认为这样一个结论总体上是错误的；然而我敢说这几乎是这里所谓的讲授哲学的初看有效方法的不可避免的结果。（当然，我并不否认有些特殊天才的学生可能在大哲学家的著作中发现比这个故事所讲的更多的东西——而且并不自欺。）因为学生发现激起那些伟大哲学家的超哲学问题（数学的、科学的、道德的和政治的问题）的机会确是很小的。一般地说，这些问题只有通过研究科学思想史，特别是当时的数学和科学的问题状况才能发现；而这又要以研究者对数学和科学相当熟悉为前提。只有懂得当时科学中的问题状况，那些研究大哲学家的人才懂得哲学家试图解决什么迫切而具体的问题，他们认为不能避而不谈的那些问题。只有在懂得这一点以后，研究者才能发现关于伟大哲学家的一种不同图画——一张使表面上的胡说变得可以理解的图画。
我将试图借助于事例来建立我们的两个论题，但在转到这些事例以前，我要总结一下我的论题，而且把我跟维特根斯坦的账讲讲清楚。
我的两个论题总起来说是，哲学深深扎根于哲学之外的问题中，维特根斯坦的否定判断总的说来，就已经忘却其哲学以外根源的哲学而言是对的；这些根源很容易被“研究”哲学、而不是受非哲学问题的压力被迫钻入哲学的哲学家忘掉。
我对维特根斯坦学说的看法可以总结如下。总的说来，不存在“纯”哲学问题，这或许是真的；因为的确，哲学问题变得愈纯粹，就愈会丧失其原始意义，它的讨论就更易于堕落为空洞的文字游戏。另一方面，不仅存在着真正的科学问题，而且也存在着真正的哲学问题。即使经过分析，发现这些问题含有事实成分，也用不着归属于科学一类。而且即使他们应该用纯逻辑的手段来解决，也不需要列为纯逻辑的或同语反复的问题。物理学中就出现了类似的情形。例如，解释某些光谱名词（借助于关于原子结构的假说）最后可以用纯数学演算来解决。但这仍不意味着这个问题属于纯数学而不属于物理学。如果一个问题与物理学家传统讨论过的问题和理论有关（例如物质构造的问题），即使结果用来解决它的方法是纯数学的，我们完全有理由称它为“物理”的问题。正如我们刚才看到的，问题的解决可能打破许多科学的界限。同样，如果我们发现，一个问题虽然原来是由原子论引起的，但这个问题跟过去哲学家讨论的问题与理论的关系，比跟今天物理学家研究的那些理论的关系更加密切，那就可以正确地说这是一个“哲学”的问题。而且，这和我们解决这问题时所使用的方法一点没有关系。例如宇宙学常常具有巨大的哲学意义，虽然它在某些方法上也许已经变得同所谓“物理学”的关系更密切了。说它由于讨论的是事实问题，就必须属于科学，而不属于哲学，这不仅是学究气，而且显然是一种认识论教条，也就是一种哲学教条的结果。同样，用逻辑方法解决的问题也没有理由否认其“哲学的”性质。它可能是典型的哲学性质的，或物理学性质的，或生物学性质的。在爱因斯坦的狭义相对论里，逻辑分析起了一定的作用；使相对论在哲学上有意义并且引起一大堆和它有关的哲学问题，其部分原因就在这里。
维特根斯坦认为所有真正的陈述（因此所有真正的问题）可以被分为各自独立的两类：事实的陈述（后天的综合性的），这是经验科学所研究的；逻辑的陈述（先天的分析性的），这是纯形式逻辑或纯数学所研究的；维特根斯坦的学术发现就是这个论断的结果。这种简单的二分法，虽然对于泛泛的研究来说极有价值，但对许多探索的目的来说则过于简单了。(16)虽然它的意图特别着眼于排除哲学问题的存在，但它远远不能达到这个目的；因为即使我们承认这种二分法，我们仍然可以主张，事实的或逻辑的或混合的问题在某种情况下会成为哲学的问题。
Ⅳ
现在我转到我的第一个例子：柏拉图和早期希腊原子论的危机。
我在这里的论题是，柏拉图的中心哲学思想即所谓形式论或理念论，只有在一种哲学以外的形势下才能正确地理解；(17)特别是在希腊科学(18)（主要在物质理论）的要紧关头；其所以是要紧关头是因为发现二的平方根是无理数。如果我的论题是正确的，柏拉图的学说至今还没有为人完全理解。（当然，能否达到“完全”理解是非常成问题的。）但是，一个更重要的推论是，它决不能为根据前节所述的初看有效的方法训练出来的哲学家所理解——当然，除非他们特别掌握到有关的事实。（他们可能必须根据权威的说法接受这些事实——这意味着抛弃上述的讲授哲学的初看有效的方法。）
看来(19)柏拉图形式论的起源和内容与毕达哥拉斯万物的本质都是数的学说密切相关。这种关系的细节以及原子主义和毕达哥拉斯思想之间的关系也许不太为人知道。所以我将照我现在对它的了解，将其简单经过叙说一下。
看来，毕达哥拉斯集团或派别的创始人深深受到两个发现的影响。第一个是表面上纯属于质的现象，如音乐的和谐，实质上以纯数值比率1∶2；2∶3；3∶4为基础。第二个是“直角”或“平角”（例如把一张纸折叠两次，两个折痕交叉而成）与纯数值比率3∶4∶5或5∶12∶13（直角三角形的两边）有关。看来，这两个发现导致毕达哥拉斯得出一个异想天开的概括，即万物的本质都是数或数的比例；或者说数就是比例（逻各斯＝理性），事物的理性的本质，或者说事物的真正本质。
这个思想虽然奇特，它在许多方面都证明是富有成果的。它的最成功的应用之一是简单的几何图形如正方形、直角三角形和等腰三角形，而且还应用于某种简单的立体如棱锥体，这些几何问题的某些研究基于所谓磐折形。
这可以作如下的解释。如果我们用四点表明一个正方形
我们可以把它解释为对上左角的一点增加三点的结果。这三个点是第一磐折形；我们可以这样来表明它：
通过加上一个由另外五点组成的第二磐折形，我们得到
我们立刻看到，一系列奇数中的每个数1，3，5，7…，形成了一个正方形的磐折形，而这个总数1，1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，…是正方形数，如果n是一个正方形的边（这条边上的点数），它的面积（点的总数=n2）将等于最前面n个奇数的总和。
像正方形的研究那样，也研究了等边三角形。下面图形可视为代表一个增长的三角形——通过增加新的点的水平线而向下增长。
这里每个磐折形是一个点的水平线，而序列
1，2，3，4，…的每一要素是一个磐折形。“三角形数”是1＋2；1＋2＋3；1＋2＋3＋4，等等的总数，即最先的n个自然数的总数。把两个三角形放在一起，
我们就得到横边为n＋1、其他边为n的平行四边形，包含n（n＋1）点。由于它由两个等腰三角形组成，它的点数是2（1＋2＋…＋n），所以我们得出方程
（1）
于是
（2）
根据这个，就容易得出算术系列的总数的一般公式。
我们还得出长方形的数，那是长方形直角图形的数，其最简单的是
长方形数2＋4＋6…；一个长方形的磐折形是一个偶数，而长方形数是偶数的总和。
这些研究又被推广到立体；例如把开头的三角形数加起来，就得出棱锥体数。但是它主要应用于平面图形，或形状，或“形式”。这些形式的特征被认为表现在数的适当系列上，因而也表现在这个系列的连续数的比例上。换言之，“形式”就是数或数的比例。另一方面，不仅事物的形状，而且抽象的性质如和谐和“直”都是数。这样，就得到了数是一切事物的理性本质的理论。
这个观点的发展可能受到点的图形与星座图形（如狮子座、天蝎座或室女座）相似的影响。如果一个狮子座是一种点的排列，它也一定有一个数。这样，毕达哥拉斯主义似乎与数或“形式”是事物的神圣形态的信仰联系起来了。
Ⅴ
这个早期理论的主要原理之一是基于奇数与偶数之间的基本区别的所谓“对立表”。它含有这样一些对立：
一 多
奇数 偶数
雄性 雌性
静止（存在） 变化（变化过程的形成）
决定的 非决定的
正方 长方
直的 弯的
右 左
光明 黑暗
好 坏
人们阅读这个古怪的表，对毕达哥拉斯的思想方式就有点懂了，以及为什么不仅“形式”或几何图形的形状被看作本质上是数，而且一些抽象概念如正义，当然还有和谐与健康，美丽与知识，都看作是数了。这个表所以有意思，还因为它被柏拉图接受了，而且几乎没有什么改变。柏拉图著名的“形式”或“理念”论，大致说来，的确可以形容为，对立表的“好”的一边构成一个（无形的）宇宙，一个高级实在的宇宙，一个万事万物的“形式”固定不变的宇宙；一切真的和确定的知识（epistēmē=scientia=science）只能是关于这个不变和真实宇宙的知识，而我们生生死死于其中的变化和流动的眼前世界，这个有生有灭的世界，这个经验的世界，则仅仅是那个真实世界的反映或摹本。这只是一个表象的世界，在这个世界里，是不能获得真实的和确定的知识的。在这里一切能获得的所谓知识只是容易犯错误的凡人的似乎有理的不确定见解和偏见。(20)柏拉图对对立表的理解是受到巴门尼德的影响的，而巴门尼德的挑战则导致了德谟克利特的原子论的发展。
Ⅵ
毕达哥拉斯的理论和它的点的图解，无疑含有最原始的原子论的启示。德谟克利特的原子论受到毕达哥拉斯主义的影响有多深，很难断定。看来这似乎是确定的：它主要是受埃利亚学派的影响；是受巴门尼德和芝诺的影响。这个学派和德谟克利特的基本问题是对变化的合理理解。（在这一点上我与康福斯和其他人理解不同。）我认为这个问题源自赫拉克利特，来自伊奥尼亚而不是来自毕达哥拉斯的思想，(21)它仍然是自然哲学的基本问题。
也许巴门尼德并不是一位物理学家（不像他那些伟大的伊奥尼亚先驱者），但我认为他可以说已经创立了理论物理学。他提出一种反物理的(22)（而不是像亚里士多德所说的非物理的）理论，然而这个理论却是第一个假设—演绎的体系。这是一系列物理理论体系的开端，每一种理论都是对前面的理论的改进。一般说来，这些改进都被认作是必要的，因为它发现早先的理论体系已经为某种经验的事实所证伪了。这一种根据经验反驳一个演绎体系的后果就导致重建体系的努力，而出现一种新的和改进了的理论；这种新的理论一般说来总带有其祖先的痕迹，带有旧的理论以及反驳经验的痕迹。
我们将看到，这些经验或观察最初是很粗糙的，但是当理论愈能说明这些粗糙的观察时，经验或观察就愈来愈精细了。就巴门尼德的事例来说，它与观察不相调和之处非常明显，把它形容为第一个物理学的假设—演绎理论体系，也许可以说有点想入非非。所以我们不妨把它说成是最后一个前物理演绎体系；是对它的反驳或证伪产生了第一个关于物质的物理学理论，即德谟克利特的原子论。
巴门尼德的理论是简单的。他认为合理地理解变化或运动是不可能的，因而得出结论说，没有真正的变化——或者说变化只是表面的。但在面对着这种不可救药地不实在的理论时，先不要自以为了不起；我们应该首先体会到这里存在着一个要认真对待的问题。如果事物X变化了，那么很清楚它不再是同样事物X了。另一方面，我们不能说X变化而不含有X在变化时仍在持续的意思；即同一事物X在贯彻变化的始终。这一来我们好像得出一个矛盾，好像一个事物变化的概念，亦即变化的概念是不可能的。
所有这些听起来都很有哲学味，很抽象，而且确是这样。但是，在物理学的发展中始终存在着这种困难，这是事实。(23)而一种决定论的体系如爱因斯坦的场论，就不妨形容为巴门尼德的不变的三维宇宙的四维翻版。因为在一定意义上，爱因斯坦的四维大块宇宙（block-universe）中是不存在变化的。在它的四维轨迹里，每一事物是什么就是什么；变化成为一种“表面的”变化，变化“仅仅”是观察者沿着他的世界线滑行，并沿着这条世界线连续地意识到不同轨迹；那就是说，意识其时空环境……
从这个新巴门尼德回溯到理论物理学较早的创始人，我们可以把他的演绎理论大致释义如下：
（1）只有在者，才存在。（2）不在者，就不存在。（3）非存在，即虚空，是不存在的。（4）世界是满的。（5）世界没有部分；它是一个巨大的整块（因为它是满的）。（6）运动是不可能的（因为没有能让事物移动的虚空）。
结论（5）与（6）显然是与事实矛盾的。因此德谟克利特从结论是错的推到其前提是错的：
（6′）运动是有的（因此运动是可能的）。
（5′）世界是分为部分的；它不是一个，而是许多个。
（4′）因此世界不可能是满的。(24)
（3′）虚空（或非存在）是存在的。
至此这个理论必须改变。关于存在，或许多存在的事物（相对于虚空而言），德谟克利特采取了巴门尼德所谓没有部分的理论。它们是不可分割的（原子），因为它们是满的，因为在它们内部不存在虚空。
这个理论的要点是它对变化作了合理的说明。世界由虚空组成，其中有原子。原子不变；它们是巴门尼德不可分割的整块宇宙的缩景。(25)一切变化归因于空间里的原子的排列。因此一切变化都是运动。根据这个见解，既然惟一的新奇事物都是排列上的新奇，(26)从原则上说，只要我们有法子预测一切原子（或者用现代说法，一切质点）的运动，我们就能预测世界上一切的变化。
德谟克利特的变化理论对于物理科学的发展具有非常重要的意义。它部分地为柏拉图所接受；柏拉图保留了原子论的许多论点，然而他不仅用不变然而运动的原子来解释变化，并且用既不变化也不运动的其他“形式”来解释变化。但是亚里士多德驳斥了柏拉图的学说；(27)他认为一切变化是本质上不变的实体的固有潜在倾向的展现。亚里士多德关于实体即变化主体的理论占了优势；但他的理论没有取得成果；(28)而德谟克利特的一切变化必须用运动来解释的形而上学理论，却成为直到我们现代的物理学中默认的研究纲领。它仍然是物理学哲学的一部分，尽管物理学本身已经超出这种理论（更不用讲生物科学和社会科学）。因为在牛顿手里，除去运动的质点外，强度（和方向）在变化的力在舞台上出现了。诚然，牛顿的力的变化可以解释为由于或依赖于运动，即依赖于粒子的位置变化，但它与粒子位置的变化并不是一回事；由于平方反比律，这个依存关系甚至不是一种线性的关系。在法拉第和麦克斯韦看来，力的场的变化与物质的原子粒同样重要。我们现代的原子被证明是一个合成的东西还在其次；在德谟克利特看来，并不是我们的原子而是我们的基本粒子是真正的原子——只是这些粒子被发现也会起变化。所以我们就碰上一个最有意思的情境。一种变化的哲学，旨在合理解决理解变化的困难。为科学服务了几千年，但最终还是被科学本身的发展所取代了；而这个事实却没有被忙于否认哲学问题的存在的哲学家们注意到。
德谟克利特的理论是一个了不起的成就。它为解释大多数经验到的已知物质特性（伊奥尼亚派已经讨论过）提供了一个理论框架，诸如压缩性，硬度和回弹度，稀化和凝聚，同调，蜕变，燃烧以及其他许多特性。但是，这个理论所以重要，不仅仅是作为经验现象的一种解释。首先，它建立了一种方法论的原则，即一种演绎理论或解释必须“说明现象”，那就是说，必须与经验相一致。第二，它表明一个理论可以是思辨的，并且基于这个基本原理（巴门尼德的）：即作为必须为理论思维所理解的世界，不同于表面有效经验的世界，不同于看到、听到、闻到、尝到和触到的世界；(29)这样一种思辨的理论仍然可以接受经验论者的“标准”，即由可见的决定对不可见的(30)（例如原子）理论的承认或否决。这种哲学在整个物理的发展中仍然是根本的，而且一直和一切“相对主义的”(31)和“实证主义的”(32)趋势发生冲突。
而且，德谟克利特的理论导致穷举方法的首次成功（积分演算的先导），因为阿基米德本人已承认德谟克利特是第一个阐明锥体和棱锥体体积理论的。(33)但是在德谟克利特的理论中最迷人的东西或许是空间和时间量子化的学说。我想到的是，关于有一个最短距离和一个最小的时间间隔的学说，现在为人们广泛地讨论着；(34)那就是说，在空间和时间距离（时间和长度的原素，德谟克利特的Amerēs(35)与他的原子成对照）中再没有更小的了。
Ⅶ
德谟克利特的原子论是作为对巴门尼德和他的学生芝诺——他的埃利亚先驱者的详细论证的逐条答复(36)而发挥和阐述出来的。特别是德谟克利特关于原子距离和时间间隔的理论是芝诺的论证的直接结果，或者更确切地说，是否认芝诺的结论的直接结果。但我们哪儿也找不到芝诺提到过无理数的发现，而对我们的叙述却有着决定性的重要意义。
我们不知道证明2的平方根是无理数的年代，也不知道这个发现公诸于众的年代。虽然有个传统说法，把它归之于毕达哥拉斯（公元前6世纪），而且有些作者(37)把它叫做“毕达哥拉斯原理”，但可以肯定在公元前450年之前，而且可能在公元前420年之前，还没有这个发现，并且肯定没有为众所周知。德谟克利特是否知道这个发现，不能确定。我现在倾向于认为他不知道；德谟克利特的两本佚书题目Peri alogōn grammōn kai nastōn应译为“论不合理的线和完整物体（原子）”，(38)而这两本书并没有提到无理数的发现。(39)
我认为德谟克利特不知道无理数的问题是以这个事实为根据的：即没有任何迹象表明德谟克利特为他的理论遭到无理数的发现的打击作过辩护。然而这个打击对原子论来说，正像对毕达哥拉斯主义一样，确是致命的打击。这两个理论都是以这个学说为根据的，即一切测量归根到底都是自然单位的计算，因而每一测量必定能还原为纯数字。因此，在任何两个原子点之间的距离必定是由一定数字的原子距离所组成，因此一切距离必定是可通约的。但是这个情况，甚至在正方形两对角之间距离的简单事例里都证明是不可能的，因为它的对角线d和它的边a是不可通约的。
“不可通约”这个英文名词不太恰当。它的意思，不如说是指不存在一个自然数的比率；例如，在单位正方形的对角线这个例子里，可以证明不存在两个自然数，n和m，其比率n/m等于单位正方形的对角线。这样，“不可通约”并不意味着用几何方法或用测量不可比较，而是用计算的算术方法不可比较，或者说用自然数不可比较，包括特有的毕达哥拉斯比较自然数比率的方法，当然也包括长度单位（或测量）的计算。
让我们回顾一下自然数及其比率的方法的特点。毕达哥拉斯强调数，从科学思想的发展的观点看来是富有成果的。但是我们往往不太确切地说毕达哥拉斯派创立了数的科学的测量。现在，我要着重指出的是，所有这些对毕达哥拉斯派来说是计数而不是测量。这是计算数，是计算看不出的本质或“本性”即那些小点点的数目。应该说，我们不能直接计算这些小点点，因为它们小得看不出。我们实际所做的并不是计算数或自然单位，而是测量，即计算任意的可见单位。但测量的意义则被理解为间接地揭示真正的自然单位的比率或自然数的比率。
于是欧几里得证明所谓“毕达哥拉斯原理”的方法，与毕达哥拉斯数学的精神无关。根据这个方法，如果a是相对于b和c之间直角的三角形的边，
（1）
a2＝b2＋c2
现在好像公认巴比伦人已知道这个原理并在几何上作了证明。然而不论是毕达哥拉斯或柏拉图好像都不知道有欧几里得的几何证明（用同底同高的不同三角形来证）；因为他们提供解答的这个问题，即找出直角三角形的边的整数解的算术解法，如果（1）是已知的，可以很容易地用公式（2）解出（m和n是自然数，而且m＞n）
（2）
a＝m2＋n2；b＝2mn；c＝m2－n2
而公式（2）显然是毕达哥拉斯所不知道的，甚至柏拉图也不知道。这是从传说(40)看出的，按照传说，毕达哥拉斯提出了公式[设m＝n＋1，从公式（2）得出]
（3）
a＝2n（n＋1）＋1；b＝2n（n＋1）；c＝2n＋1
这个公式可以不读成平方数的磐折形，但它不如（2）普遍，因为它不适用例如17∶8∶15。另一公式属于柏拉图，据说(41)他曾改进毕达哥拉斯的公式（3），但这个公式仍没有达到公式（2）的普遍程度。
为了表明毕达哥拉斯的或算术的方法与几何方法之间的区别，可以提一下柏拉图所作的一个证明：以单位正方形（那就是边为1，面积量度为1的正方形）的对角线为边长的正方形具有两倍于单位正方形的面积（那就是说面积量度为2），它是这样构成的：画一个有对角线的正方形
然后我们可以扩展这个图形，从而
通过计算，得出结果。但这些图形从第一图形转为第二图形，用点的算术，甚至用比率的方法来说明都不可能是有效的。
这的确是不可能的，确立这一点的是关于对角线的无理性的著名证明、关于2的平方根的著名证明，大家都知道是柏拉图和亚里士多德所假定过的。它在于表明这个假定
（1）
即等于任何两个自然数n和m的比率，导致荒谬的结果。
我们首先看出我们可以假定
（2）
n和m两个数中只有一个是偶数。
如果两个都是偶数，那么我们总可以约去公因数2，而得出另外两个自然数n′和m′，而n/m＝n′/m′，因而n′和m′两个数至多只有一个是偶数。现在把（1）平方，我们得到
（3）
2＝n2/m2
而由此
（4）
2m2＝n2
于是
（5）
n是偶数。
这样一定有一个自然数a，使
（6）
n＝2a
从（3）和（6）我们得出
（7）
2m2＝n2＝4a2
于是
（8）
m2＝2a2
但这等于说
（9）
m是偶数。
显然，（5）和（9）是与（2）矛盾的。于是，有两个自然数n和m，它的比率等于，这个假定导致一个荒谬的结论。因此，不是一个比率，它是无理的。
这个证明只用了自然数的算术方法。因此它应用的是纯毕达哥拉斯的方法，所以传统所说它是在毕达哥拉斯学派以内发现的，这是无庸怀疑的。但是说毕达哥拉斯发现它，或者很早时期被人发现的，则不大可能：芝诺似乎不知道它，德谟克利特也不知道它。而且，因为它破坏了毕达哥拉斯主义的基础，我们有理由假定在这个学派的影响达到高峰之前，远远没有被人发现，至少在这个学派很好地建立起来之前还没有发现，因为这个发现促成了这个学派的衰落。传说认为是在这个学派的范围内但在保密的情况下发现的，看来似乎是很可能的。为了支持这一论点，也许只要看一下“无理的”这个词的旧的说法——arrhētos，“难以形容的”或“说不出口的”——就已暗示一种说不出口的秘密。传说这个学派的一个成员泄露了这个秘密，就因为他的背叛而被杀了。(42)尽管如此，有一点是无可怀疑的，即认识到有不合理的量存在（当然，它们没有被作为是数），而且它们的存在削弱了毕达哥拉斯学派的信念，并打破了从自然数导出宇宙论甚至几何学的希望。
Ⅷ
是柏拉图认识到这个事实，并在他的《法律篇》中用最强烈的语言强调它的重要意义，谴责他的国人没有能估计到它的含义。我认为他的全部哲学，特别是他的“形式”或“理念”理论，是受着这个信仰的影响的。
柏拉图很接近毕达哥拉斯学派，也接近埃利亚学派；虽然他表面上对德谟克利特有反感，但他自己却多少是一个原子论者。（原子论的教学始终是他的“学院”的传统。(43)）鉴于毕达哥拉斯派与原子论的思想的密切关系，这并不奇怪。但是这一切都受到无理数发现的威胁。我认为柏拉图对科学的主要贡献是由于他认识到无理数的问题，以及他为挽救科学的危机对毕达哥拉斯主义和原子论所作的修正。
他认识到关于自然的纯算术理论是失败了，现在需要一种描述和解释世界的新的数学方法。因此他提倡发展一种独立的几何方法。这个方法在柏拉图主义者欧几里得的《纲要》中得到了实现。
这些事实是什么呢？我将试图简要地把它们罗列如下：
（1）在德谟克利特的形式中，毕达哥拉斯主义与原子论基本上都是以算术为基础的，就是说以计数为基础的。
（2）柏拉图强调了无理数的发现是灾难性的。
（3）他在学院的大门上写着“未经几何训练的人不得入内”。但是，按照柏拉图的最接近的学生亚里士多德(44)和欧几里得，都典型地把几何用来研究不可通约的数或无理数，而与论述“奇数与偶数”（即论述整数及其关系）的算术大相径庭。
（4）在柏拉图死后不久，他的学派在欧几里得的《纲要》中提出一个见解，其要点之一是使数学从“算术”的可通约性或有理数的假定中解放出来。
（5）柏拉图自己对这个发展作出了贡献，特别是对立体几何学的发展作出了贡献。
（6）尤其是他在《蒂迈欧篇》中对以前的纯算术的原子论给予一种明确的几何学论述；这是用体现了无理数2的平方根和3的平方根的三角形来创立的基本粒子（著名的柏拉图的物体）的说明。（参见以下说明。）除此以外，他在其他方面大都保留了毕达哥拉斯的观点以及德谟克利特的某些重要观点。(45)同时，他试图去除德谟克利特的虚空；因为他认识到(46)即使在一个“满”的世界里仍可能有运动，如果把液体中的旋涡看作是运动性质的话。这样，他又保留了巴门尼德的某些最重要的观点。(47)
（7）柏拉图鼓励制造世界的几何模型，特别是解释行星运动的模型。我认为欧几里得的几何学并非（如现在通常所假定的）作为一种纯几何学的运用，而是作为一种世界理论的研究原则。按照这个观点，《纲要》并不是一部几何学教科书，而是试图系统地解决柏拉图的宇宙论的主要问题。这样做获得了很大成就，因而许多问题解决之后就不复存在，而且几乎都被忘却了；虽然在普罗克勒斯的著作中仍然留有痕迹，他写道：“有些人认为欧几里得各种著作的主题是关于宇宙的，它们的主旨是帮助我们对宇宙的思考并建立宇宙理论”（本书注(39)所引书，第71页）。然而，甚至普罗克勒斯在这个地方也并未提到这个主要问题——无理数问题（虽然他在别处提到）；不过他正确地指出，《纲要》以“宇宙”的构造或“柏拉图的”正多面体结束。自从(48)柏拉图和欧几里得以后，而不是以前，几何（而不是算术）方才在物质理论和宇宙论中，表现为一切物理解释和描述的基本工具。(49)
Ⅸ
这些都是历史事实。我认为它们大有助于确立我的主要论点：我所谓讲授哲学的初看有效的方法不能导致对柏拉图所关心的问题的理解，也不能使人正确地评价他的世界几何理论，而这可以公正地说成是他最伟大的哲学成就。文艺复兴时期的伟大物理学家——哥白尼、伽利略、开普勒、吉尔伯特，他们离开亚里士多德转向柏拉图，企图用宇宙论的几何方法来代替亚里士多德的质的实体或潜能。的确，这就是文艺复兴（在科学上）的基本意义：几何方法的复兴，它成为欧几里得、亚里斯塔克斯、阿基米德、哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦著作的基础。
但是，说这个成就是哲学的成就，这合适吗？它不是更应属于物理学——一种事实科学；或者纯数学——如维特根斯坦学派所主张的，即重言式逻辑的一个分支吗？
我认为在这个阶段，我们可以非常清楚地看到为什么柏拉图的成就（尽管它无疑有着物理学的、逻辑的、混合的以及不能感知的成分）是一种哲学的成就；为什么至少他的自然哲学和物理学的哲学部分经久不衰，而且我认为将是永不衰竭的。
我们在柏拉图以及他的先驱者们中间所发现的是有意识的构造和发明对于世界和世界知识的一种新的研究方法。这个研究方法把一种原始的神学观念（即用一种假设的无形世界来解释有形世界），(50)改变为理论科学的一个基本工具。这个观念被阿那克萨哥拉和德谟克利特(51)作为研究物质或物体本性的原则而明确地阐述出来；用关于无形的、小得看不见的物质结构的假设来解释可见的物质。在柏拉图的学说里这个观点是自觉地被接受了，并普遍推广了；变化的可见世界最后是以具有各种不变“形式”（或实体，或本质，或本性；即我将试图详细表明的几何形状或图形）的看不见的世界来解释的。
这种关于物质的看不见的结构的观念，是一个物理的观念还是一个哲学的观念呢？如果一个物理学家，仅仅根据这个理论行事，如果他接受这个理论（或许是不自觉地），通过把他的学科的传统问题作为他所碰到的问题状况提供的问题来接受，如果他这样做，并提出一个新的特殊的物质结构的理论，那么我是不能把他叫做哲学家的。但如果他考虑它，并且比如驳斥它（就像贝克莱或马赫），不赞成这种理论的并有点像神学的研究方法，而赞成一种现象学的或实证主义的物理学，那么他就可以称得上一个哲学家。同样，那些自觉地探寻理论的方法，建立这种方法，并明白地加以陈述，从而把这种假设的和演绎的方法从神学改为物理学，他就是哲学家，尽管就他们根据自己的规则行事并试图拿出关于看不见的物质结构的真实理论而言，他们又是物理学家。
但是，我对这种正确使用“哲学”标签的问题不准备再讲下去了，因为这个问题即维特根斯坦的问题，显然本来是一种语言用法的问题；它的确是一个假问题，必然会很快地使我的听众感到厌烦。然而，我愿意对柏拉图的形式或理念论再说几句，或者说得更确切一点，对上面指出的历史事实的第六点再说几句。
柏拉图的物质结构的理论可以在《蒂迈欧篇》中找到。它和现代用晶体论解释固体的理论至少有表面上的相似。他的物体是由不同形状的看不见的基本粒子所组成，可见物质的可见性质就是根据这些形状来的。基本粒子的形状又是为形成它们各边的平面图形的形状所决定的。这些平面图形最后又是由两个基本三角形所组成：相当于半个正方形的（或等腰直角的）三角形，和相当于半个等边三角形的直角三角形，前者具体表现了2的平方根，后者具体表现了3的平方根，两者都是无理数。
这些三角形又被说成是不变的“形式”或“理念”的摹本；(52)这意味着属于几何的“形式”获准进入毕达哥拉斯的“算术”的形式数的天门。
可以肯定，这种结构的用意是试图把无理数和构成世界的最基本元素结合起来，以解决原子论的危机。一旦解决了这个问题，由于无理距离的存在而引起的困难就克服了。
但是，柏拉图为什么仅仅选择了这两个三角形呢？作为一种猜测，我曾在别处(53)说明了这个观点，即柏拉图认为所有其他无理数可以通过有理数加上2和3的方根的倍数而获得。(54)我现在更加感到自信，《蒂迈欧篇》中的关键性段落确实意味着这个理论（欧几里得后来指出它是错误的）。因为在我们提到的这段文字里，柏拉图清楚地说到，“所有三角形都是从两个三角形合成的，这两个三角形各有一个直角”，他继续把这两个三角形详细说成是半个正方形和半个等边三角形。但是从上下文看来，这只能意味着所有三角形都可以由这两者合成，而这个观点等于下述错误理论：所有无理数跟有理数与2和3的方根之和具有相对可通约性。(55)
但是，柏拉图并没有自命对这讨论的理论找到证明。相反，他说他假定这两个三角形为本原，“是同一种把猜测与必然性联系在一起的说明相符合的”。不久以后，他以半个等边三角形作为他的第二个本原来解释时，他说：“这个理由是很复杂的，但是如果任何人竟然探索这个问题，并证明它具有这个性质（我假定所有其他三角形都可以由这两个所组成），那么，我们都愿意他是得奖者”。(56)这句话有点含糊，大概柏拉图意识到他关于这两个三角形的（错误）猜测还缺少证明，他感到应由别人来加以补充。
看来，这段文字的含糊不清产生了一个奇怪效果，就是柏拉图明明说选择三角形是把无理数引入他的形式世界，但是他的读者和评论者都没有注意到，尽管柏拉图在其他地方也强调了无理性问题。而这反过来或许可以说明为什么柏拉图的形式论在亚里士多德看来与毕达哥拉斯的形式—数的理论(57)基本上是一样的，以及为什么柏拉图的原子论在亚里士多德看来仅仅是德谟克利特原子论的一个比较次要的改变。(58)亚里士多德尽管把奇数和偶数与算术的联系，以及无理数与几何的联系，都认为是理所当然的，但并没有认真对待无理数的问题。《蒂迈欧篇》中柏拉图的空间和物质是等同的；从亚里士多德对《蒂迈欧篇》的这个解释来看，他似乎已认为柏拉图对几何学的改革方案是理所当然的；这在亚里士多德进入学园以前已由欧多塞斯部分地实现了，亚里士多德只是表面上对数学感到兴趣。他从未提到过学园大门上的题词。
总括起来，大约柏拉图的形式论和物质论都是他的先驱者即毕达哥拉斯和德谟克利特各自的理论的重述，因为柏拉图认识到无理数要求把几何学放在算术之前。为了促进这种解放，柏拉图对欧几里得体系的发展作了贡献，建立了最重要的和最有影响的演绎理论。由于他采用几何学作为世界的理论，他就为阿里斯塔克斯、牛顿和爱因斯坦装备了智慧的工具箱。这样，希腊原子论的一场灾难就转变为一个重大的成就。但是，柏拉图的科学兴趣却部分地被人遗忘了。科学上的问题状况引起柏拉图的哲学问题，这很少为人理解。而柏拉图的最伟大的成就，关于世界的几何理论，对我们的世界图景的影响是这样大，以致我们不假思索就认为是理所当然的了。
Ⅹ
一个例子是决不够的。我从许多有趣的可能性中选择了康德作为第二个例子。他的《纯粹理性批判》是一本最难读的书。康德非常匆忙地写了这本书；(59)他讨论的问题，我将试图表明，不仅是不能解决的，而且也是被误解了的。不过它不是一个假问题，而是当时科学现状所引起的一个无法避免的问题。
他的书是为那些懂得点关于牛顿星球动力学以及至少对牛顿的前辈——哥白尼、第谷·布拉埃、开普勒和伽利略的某些思想有所了解的人而写的。
对我们今天的知识分子来说，像我们这样被科学的胜利景象所宠坏而感到厌倦的人，或许难以认识到牛顿理论不仅对康德、而且对任何一个18世纪思想家具有怎样的涵义。古人以无比的勇气试行解决宇宙之谜，中间经过长期的衰落和复苏，然后取得了惊人的成就。牛顿发现了这个长期探寻的秘密。他的几何理论以欧几里得为基础和模型，开头是引起人们极大疑虑的，连它的创始人也感到担心。(60)原因是万有引力被认为是“神秘的”，至少是需要解释的一种东西。虽然没有找到言之有理的解释（牛顿也不屑于求助于特定的假设），但远在康德对牛顿的理论作出他自己的重要贡献以前，即在《原理》发表78年后，所有的疑虑都早已消失了。(61)任何有资格的科学现状的判断者(62)都不再怀疑牛顿的理论是真实的了。这个理论已为许多精确的测量检验过，证明总是对的。它导致预言开普勒定律的细微偏差，并导致新的发现。在我们这样一个时代，许多理论就像皮卡迪利大街上的公共汽车一样来来往往，而且每个学生都听到牛顿早已为爱因斯坦所代替的时候，人们很难重新获得牛顿理论所引起的那种确信不移的感觉，那种欢欣鼓舞的感觉和解放的感觉。在思想史上出现了一个永远不会重复的独一无二的事件：关于宇宙的绝对真理的最初的和最终的发现。一个古老的梦想成为事实了。人类获得了知识，真正的、确实的、无可怀疑的和可证明的知识——神圣的科学或认识，而不只是人们的意见。
这样，对于康德来说，牛顿的理论完全是正确的，在康德死后一个世纪内，人们对牛顿学说的真理性的信念始终没有动摇过。康德最后承认他和所有其他人曾误以为事实上科学或认识已完成。起初，他毫不怀疑地承认这个事实。他把这种状态叫做“独断论的沉睡”。休谟把他从睡梦中唤醒了。
休谟曾经教导说，关于宇宙规律的确实知识或认识这样的东西是没有的，我们知道的一切事物都是靠观察获得的，而观察只能是单独的（或特殊的）事例，因此一切理论知识都是不确定的。他的论证是可信服的（并且他当然是正确的）。然而有一个事实，或者说一个表面的事实——牛顿对认识的完成。
休谟唤醒了康德，使他认识到他从不怀疑是事实的东西是近乎荒谬的。这里有一个不能排除的问题。一个人怎能掌握这样的知识？这种知识是普遍的、精确的、数学的、可证明的和无可怀疑的，像欧几里得几何学那样，而且还能解释观察事实的原因。
这样就引起了《纯粹理性批判》的中心问题：纯自然科学怎样才可能呢？所谓纯自然科学——科学，认识——康德认为就是牛顿的理论。不幸的是，他并没有这样说；我不知道阅读他的第一部《批判》（1781和1787年版）的学生怎么可能发现它。但是康德考虑到牛顿的理论是很清楚的，在1786年的《自然科学的形而上学基础》中，他给予牛顿理论一个先验的演绎；特别参见第二大部分的八个原理，以及附录，尤其是附录2，注①，第二段。在最后的“现象学漫笔”第十五段里，康德把牛顿的理论和“星空”联系起来。从1788年的《实践理性批判》的结论看也是很清楚的，在第二段的末了，用新天文学的先验性解释了他诉诸“星空”的原因。(63)
虽然《批判》写得很不好，而且充满语法错误，但是问题并不是一个语言问题。这里是知识。牛顿是如何取得的？这个问题是避免不了的。(64)但它也是无法解决的。因为认识的取得这件表面事实并不是事实。正如我们现在知道的，或者相信我们知道的，牛顿的理论不过是一个奇妙的猜测，一个好得惊人的近似计算；它的确是绝无仅有的，但不是作为神圣的真理，而只是作为人类天才的一个独特的发明，不是认识，而是属于意见的范围。这一来康德的问题，即“纯自然科学如何成为可能”的问题就解体了，他的最令人困惑不解的那些问题就不复存在了。
康德把他对他的不能解决的问题所提出的解决办法得意地叫做知识问题的“哥白尼革命”。知识——认识——之所以是可能的，因为我们不是感觉资料的被动接受者，而是感觉资料的主动的整理者。通过对感觉资料的整理和吸收，我们把它们形成和组织成一个宇宙，即自然界。在这一过程中，我们把提供给我们感官的材料加上数学规律，而这些规律就是我们进行整理和组织的一部分技巧。就是这样，我们的理智并没有在自然界里发现普遍规律，而是它规定自己的规律并把它们强加于自然界。
这个理论是荒谬和真理的一个奇异混合物。它同它试图解决的错误的问题一样荒谬；因为它证明的太多了，它想要证明的太多了。根据康德的理论，“纯自然科学”不仅是可能的；尽管他并不总是意识到这一点，而且与他的愿望相反，它成了我们心理素质的必然结果。因为如果我们取得知识的事实居然可以用我们的理智为自然立法并把规律强加于自然界这一事实来解释的话，那么这两个事实中的第一个就不能比第二个更可能发生。(65)因此问题就不再是牛顿如何能作出他的发现，而是其他的人为何不能作出发现。为什么我们进行整理的技巧没有更早地发挥作用？
这是康德观点的一个显然荒谬的推论。但随便把它排除掉，并且把它作为一个假问题而排除，是不够好的。因为我们把他的问题缩小到它的适当范围之后，就可以在他的思想中发现一点真理因素（休谟的某些观点很需要这点改正）。我们现在知道，或者认为我们知道，他的问题应该是：“成功的猜测是怎样可能的？”而我们的回答，根据他的哥白尼革命的精神，依我看不妨是这样：因为，正如你说的，我们不是感觉资料的被动接受者，而是主动的机体。因为我们对环境的反应并不总是本能的，有时是有意识的和自由的。因为我们能够发明神话、故事、理论；因为我们有求解释的渴望，有一种满足不了的好奇心和求知的愿望。因为我们不仅创造故事和理论，而且要试用它们，看看它们是否起作用和怎样起作用。因为通过巨大的努力，通过艰苦尝试并犯了许多错误，如果幸运的话，我们有时也许成功地发明一个故事，一种解释，“说明了事物现象”；也许通过编造一个关于“看不见的物”的神话，如原子或万有引力，而解释了看得见的事物。因为知识是思想的探险。这些思想诚然是我们提供的，而不是我们周围的世界提供的；它们不仅仅是重复的感觉或刺激等等的痕迹；这一点你是对的。但是我们甚至比你所认为的更主动、更自由；因为正如你的理论意味着的，相同的观察或同样的环境状况在不同的人中并不产生同样的解释。还有，我们创造自己的理论并试图把它强加于世界这件事实，诚如你所认为的，并不说明它们的成功。(66)因为我们的绝大多数的理论和自由创造的观念都是不成功的；它们经不起仔细的检验，并且被经验证明是错的而被抛弃掉。只有极少数在生存竞争中取得一个时期的成功。(67)
Ⅺ
看来康德的继承者很少清楚地懂得导致康德著作产生的当时的问题状况。对康德来说，有两个这样的问题：牛顿的天体动力学和法国革命者所诉诸的人类兄弟关系和正义的绝对标准；或者，正如康德提出的，“在我头上的星空和我心内的道德规律”。但是很少有人懂得，康德的星空是引的牛顿的话。(68)从费希特以来，(69)许多人抄袭了康德的“方法”以及他的《批判》的难解的文体。但是，多数的模仿者并未觉察到康德的原来的兴趣和问题，总是忙于收紧或开脱康德（并非由于他自己的过失）束缚自己的难解的结。
我们必须小心不要把模仿者的几乎无意义的和不得要领的繁琐论证，错误地当作先驱者的迫切的真正的问题。我们应当记住，康德的问题，在通常的意义上虽然不是一个经验的问题，然而出乎人的意料，在某种意义上，却是一个事实问题（康德称这些事实为“超验”的），原因是它是从科学或认识的一个表面的、但是不存在的事例产生的。我认为，我们应该认真考虑这样一个建议：康德的回答尽管有一部分是荒谬的，但却包含着真正科学哲学的核心。
* * *
(1) 英国科学史学会科学哲学组（今英国科学哲学学会）1952年4月28日的会议上，主席的致词；最初发表于《英国科学哲学杂志》，1952年第3期。
(2) 我把它称为次要的问题，是因为我相信，只要反驳引起这问题的那个（“相对主义的”）学说，就可以容易地把它解决。（因此，对这问题的回答是否定的。见我的《开放社会》1962年第4版所增添的该书第2卷的《补遗》。）
(3) 这个观点是我所称的“本质主义”的一部分。例如参见我的《开放社会》第2和11章，或《历史决定论的贫困》第10节。
(4) 这种趋势可以用这个原理来解释：理论解释越是令人满意，它们就越能得到独立证据的支持。因为，为了得到各个相互独立的证据的支持，一个理论必须是包罗很广的。
(5) “一切动物都一样，但有些比另一些更加一样”，是罗素和维特根斯坦专门意义上的“无意义”表述的一个绝好例示，虽然在奥威尔的《畜牧场》（Animal Farm）里，它显然远不是无意义（在不得要领的意义上）的。令人感兴趣的是，后来奥威尔考虑是否可能引入一种语言，强制大家使用它，这样，“一切人都一样”就将成为维特根斯坦专门意义上的无意义表述。
(6) 维特根斯坦把他自己的《逻辑哲学论》说成是无意义的（亦见下面一个脚注），因此他至少隐含地区分了明显的或重要的无意义和无价值的或不重要的无意义。但是，这并不影响我正在讨论的他的主要学说即哲学问题之不存在。（对维特根斯坦其他学说的讨论，可见我的《开放社会》中的注解，尤其是第11章的注和。）
(7) 几乎一下子就可以发觉这个学说有个毛病：可以说，这学说本身就是一个哲学理论，而它声称是真实的，并且不是无意义的。然而，这种批判也许不大有力。它至少可能遇到两种反诘。（1）人们可能说，实际上，这学说不是作为活动，而是作为学说才无意义的。（这正是维特根斯坦的观点，他在《逻辑哲学论》的结尾说，凡是读懂这本书的人，最终必定认识到，它本身是无意义的，因此必定对它来个过河拆桥。）（2）人们可能说，这个学说不是哲学学说，而是经验学说；它道出了这个历史事实：哲学家提出的一切表面的“理论”实际上都不合文法；事实上，这些理论都不符合看上去对它们进行了表述的那些语言所固有的规则；这个缺陷最后证明是不可能修补的；企图适当地表达它们的任何尝试，都导致它们失去哲学性质（并且暴露出它们是经验的自明之理或者是假陈述）。我认为，这两个反论据的确拯救了这个学说的受到威胁的一致性，这样一来，在本注解所提到的这种批判面前，它实际上成为“无懈可击的”了（用维特根斯坦的话来说）。（亦见第97页的注。）
(8) 这两句引文不是一个科学批评家的话。令人啼笑皆非的是，它们却是黑格尔自己对它的前驱、一度的朋友谢林的自然哲学的刻画。参见我的《开放社会》第12章的注④（和正文）。
(9) 我最后一次见到维特根斯坦的时候（在1946年，那时他在主持剑桥道德科学俱乐部的一次颇多风波的会议，我在会上宣读了一篇关于“有没有哲学问题？”的论文），他仍以这里所论述的那种形式坚持不存在哲学问题的学说。我从未读到过他未发表的手稿，它们在他的一些学生中间私下流传，因此，我怀疑，他有否修改过我在这里所称的他的“学说”；但是，就此也即就他的学说的最基本最有影响的部分而言，我觉得他的观点没有改变。
(10) 参见我的《开放社会》第11章的注的（2）。
(11) 我这里隐指G·克赖塞尔最近构造（《符号逻辑杂志》（Journal of Symbolic Logic），1952年，第17期）的一个单调有界有理序列，它的每个项均可实际计算，但没有可计算的极限——同波尔察诺和维尔斯特拉斯对这古典定理作的似乎有效的解释相矛盾，但似乎同布劳威尔对这定理的怀疑一致。
(12) 在本文初次发表以后，薛定谔告诉我，他记不得这样说过，他不相信自己会这样说；但是他喜欢这个话。（1964年补充：我后来发现，它的真正作者是我的老朋友弗朗兹·乌尔巴赫。）
(13) 有人可能会说，在马克斯·玻恩提出他的著名的几率诠释之前，薛定谔的波动方程是无意义的。（然而，这不是我的看法。）
(14) 有趣的是，模仿者总是倾向于相信，“大师”用一种秘诀进行工作。据说在J·S·巴赫时代，有些音乐家以为，巴赫有一个创作赋格曲主旋律的秘密公式。
同样有趣的是可以注意到，凡是已经流行开来的哲学（就我所知），都给它们的信徒一种产生哲学成果的方法。黑格尔的本质主义就是这样，它教导其追随者怎样撰写关于万物——灵魂、宇宙或共相——的本质、本性或理念的文章；胡塞尔的现象学、存在主义以及语言分析哲学也都如此。
(15) 我这里是指吉尔伯特·赖尔教授的一句话，见于他的《心的概念》（Concept of Mind）第9页：“我首先试图排除我自己身体中的疾病。”
(16) 在我的1934年的《科学发现的逻辑》中，我已经指出，类似牛顿的那样的理论，可以解释为事实的，也可以解释为由隐含定义（在彭加勒和爱丁顿的意义上）所组成，一个物理学家所采取的解释体现在他对待反对他的理论的那些检验的态度上，而不是体现在他的言论之中。我还指出，存在非分析的理论，它们是不可检验的（因此不是后验的），但对科学有很大影响。（例如早期的原子论或者早期的接触作用理论。）我把这种不可检验的理论称为“形而上学的”，并断定它们不是无意义的。简单二分法的教义最近受到F·H·海因曼（《第十届国际哲学大会文集》（Proc. of the Xth Intern. Congress of Philosophy），第2分册，第629页，阿姆斯特丹，1949年）、W·V·蒯因和M·G·怀特等人从迥然不同的路线进行的攻击。还可以从另一种观点来说：这种二分法在精确的意义上只适用于形式化的语言，因此对于我们在形式化之前所必须说的那些语言，亦即用以构思一切传统问题的那些语言，它很可能失效。
(17) 在我的《开放社会及其敌人》中，我试图比较详细地解释这种学说的另一个超哲学根源——它的政治根源。在那里（在1962年的第4版修订本的第6章注⑨中）我还讨论了我在这一节中研究的这个问题，但是出发的角度有些不同。这个注解与本节稍有重复；但它们基本上是相互补充的。这里略去的有关参考文献（尤其是关于柏拉图的），可在那里找到。
(18) 有些历史学家否认可以正确地把“科学”这个词应用于16甚至17世纪之前的发展。但是我认为，除掉围绕标签进行争论的论据，今天就不能再怀疑例如伽利略和阿基米德、哥白尼和柏拉图或者开普勒和阿利斯塔克（“古代哥白尼”）在目标、兴趣、活动、论据和方法等方面惊人地相似，如果不说相同的话。对于科学观察和根据观察进行细致计算的久远年代的怀疑，已经为古代天文学史的新证据的发现消释殆尽。我们今天不仅能够对第谷和希帕克，而且甚至还能对汉森（1857）和迦勒底的西德纳斯（公元前314）进行比较，他们对“太阳和月球运动常数”的计算，在精度上毫无例外地可以同最出色的19世纪天文学家相比拟。J·K·福瑟林厄姆于1928年在他的精彩文章《希腊受迦勒底天文学的助益》（The Indebtedness of Greek to Chaldean Astronomy），载《天文台》（The Observatory）1928年，第51期中写道：“西德纳斯得出的太阳从交点运动的值（0″5·太大），至少比应用极广的现代值中的一个要好，尽管它不如布朗的值。”我关于测量天文学年代的论点，正是以福瑟林厄姆的这篇文章为根据的。
(19) 如果我可以相信亚里士多德在他的《形而上学》（Metaphysics）中所作的著名说明的话。
(20) 柏拉图的区分（知识对意见）是从色诺芬（真理对猜想或外表）经过巴门尼德传来的。柏拉图明白，可见世界、变化着的表象世界的一切知识均由意见组成；它为不确定性所玷污，即使它充分利用知识即不变“形式”和纯粹数学的知识，甚至借助于无形世界的理论来解释可见世界。参见《克里底鲁篇》（Cratylus），439b及以后，《理想国》（Republic），476d及以后；尤其是《蒂迈欧篇》（Timaeus），29b及以后。在这篇著作中，这区别适用于柏拉图自己理论中的、我们今天应称之为“物理学”或“宇宙学”，或者更一般地说，称之为“自然科学”的那些部分。柏拉图说，它们属于意见的范围（尽管事实上科学=scientia=知识；参见下面第二十章里我关于这个问题的议论）。关于柏拉图同巴门尼德的关系，还有一种不同的观点，可见戴维·罗斯爵士：《柏拉图的理念论》（Plato's Theory of Ideas）牛津1951年版，第164页。
(21) 卡尔·莱因哈特在他的《巴门尼德》（1916年；第2版，1959年，第220页）十分有力地说：“哲学史是哲学问题的历史。如果你想解释赫拉克利特，那么你就首先要告诉我们他的问题是什么。”我完全同意这种见解；但是同莱因哈特相反，我认为，赫拉克利特的问题是变化的问题，更确切地说，是变化着的事物在变化过程中自我同一（和不同一）的问题。（亦见我的《开放社会》第2章。）如果我们接受莱因哈特提出的关于赫拉克利特和巴门尼德间的密切联系的证据，那么这种关于赫拉克利特的问题的看法就使巴门尼德的体系成为解决变化悖论问题的一种尝试，那就是使变化成为非实在的。与此相反，康福斯及其门生赞同伯内特的学说：巴门尼德是一个（持异议的）毕达哥拉斯主义者。这很可能是正确的，但是支持这一点的证据并未否定，他也有一个伊奥尼亚派教师。（亦见以下第5章。）
(22) 比较柏拉图的《泰阿泰德篇》（Theaetetus）181a和塞克斯都·恩披里柯：《反对科学家》（Adv. Mathem.）（贝克尔），X.46，第485页25行。
(23) 这可以从关于物理理论的发展的最令人感兴趣的哲学研究论著之一、埃米尔·迈耶森的《同一和实在》（Identity and Reality）看出。黑格尔（遵循赫拉克利特，或者说亚里士多德对赫拉克利特的说明）用变化的事实（他认为它是自相矛盾的）来证明世界上存在矛盾，因而也否证“矛盾律”，也即这样一条原则：我们的理论必须不惜一切代价地避免矛盾。黑格尔及其追随者（尤其是恩格斯、列宁和其他马克思主义者）开始认为矛盾在世界上无所不在，他们把凡是主张矛盾律的哲学家一概斥之为“形而上学的”，这个词被他们用来指漠视世界变化这个事实的那些哲学家。见下面第十五章。
(24) 从运动的存在推出虚空的存在的推理是不正确的，因为巴门尼德从世界的满推出运动之不可能性的推理是不正确的。柏拉图似乎最早看出（即使是模糊地看出），在一个满的世界中，圆周或涡旋式的运动是可能的，假如这世界中有类似液体的媒质的话。（茶叶在杯子中能随茶的涡旋运动。）这个思想最初在《蒂迈欧篇》（那里空间是“填满的”，52e）中提出时并不太认真，但却成了笛卡儿主义和“发光以大”学说的基础，后者一直延续到1905年。
(25) 德谟克利特的理论也承认大块原子，但他的原子绝大多数都小得看不见。
(26) 比较《历史决定论的贫困》第3节。
(27) 由柏拉图的《蒂迈欧篇》，55所引起。那里用相应固体的几何性质（因而还用它们的实体形式）来解释元素的潜在倾向。
(28) “本质主义的”（参见第94页注②）实体理论的毫无成果是同它的拟人主义相联系的；因为实体（如洛克所认为的那样）是从一个自我同一的然而变化着、展开着的自我的经验获取其貌似的可能性。但是，尽管我们可能对亚里士多德的实体从物理学中消失这一事实表示欢迎，但如海克教授所说，拟人化地思考人时，是一点也不错的；也没有什么哲学的或先验的理由，要求实体从心理学中消失。
(29) 参见德谟克利特，第尔斯，残篇11（参见阿那克萨哥拉，第尔斯，残篇21；亦见残篇7）。
(30) 参见塞克斯都·恩披里柯：《反对科学家》（贝克尔），vii，140，第221页，23B。
(31) 哲学相对主义意义上的“相对主义的”，例如，普罗塔哥拉的“人的测度”的学说。不幸的是，现在仍得强调一下，爱因斯坦的理论同这种哲学相对主义毫无共同之处。
(32) “实证主义”是培根的倾向；也是早期皇家学会的理论（但所幸不是实践）倾向；还是当代的马赫（他反对原子论）以及感觉材料理论家的倾向。
(33) 参见第尔斯，残篇155，它必须按照阿基米德（海伯格编），Ⅱ2，第428和429页。参见S·卢里安的极为重要的论文《古代原子论者的无穷小法》（Die Infinitesimalmethode der antiken Atomisten），《数学史资料和论文》（Quellen & Studien zur Gesch. d. Math. Abt. B.）1932年第2期，第142页。
(34) 参见A·马尔希：《自然和认识》（Natur und Erkenntnis），维也纳1948年版第193和194页。
(35) 参见S·卢里安上引著作，尤见第148页以后、172页以后。A·T·尼科尔斯小姐在《看不见的线》（Indivisible Lines）[《经典季刊》（Class. Quarterly），xxx，1936年，第120和121页]中证明了，有两段引文，一段是普罗塔克的，另一段是辛普里休斯的，表明为什么德谟克利特“无法相信看不见的线”；然而，她没有谈到卢里安1932年的反对意见。我觉得后者远为令人信服，尤其如果我们记得德谟克利特曾试图回答芝诺（见下一个注）。但是，不管德谟克利特关于看不见的或原子的距离的观点究竟怎样，柏拉图看来是认为，德谟克利特的原子论需要按照无理数的发现加以修正。然而，希思[《希腊数学》（Greek Mathematics）第1卷，1921年，第181页，提到辛普里休斯和亚里士多德]也认为，德谟克利特没有说过存在看不见的线。
(36) 这个针锋相对的回答保留在亚里士多德的《论发生和腐坏》（On Generation and Corruption）之中，第14页以下。I·哈默·詹森在1910年最初认为这段非常重要的话是德谟克利特的，卢里安仔细讨论过这段话，他说（上引著作，135）它是巴门尼德和芝诺的：“德谟克利特借用了他们的演绎论证，但他得出相反的结论。”
(37) 参见G·H·哈迪和E·M·赖特：《数论导论》（Introduction to the Theory of Numbers）（1938年，第39、42页），其中有柏拉图的《泰阿泰德篇》记载的关于西奥多勒斯证明的一段十分有趣的历史论述。亦可见A·瓦塞施泰因的论文《〈泰阿泰德篇〉与数论历史》（Theaetetus and the History of the Theory of Numbers），《经典季刊》1958年，第8期，第165—179页。这是我所知道的关于这个问题的最出色的讨论。
(38) 而不是我在《开放社会》（第2版）第6章注⑨中所译的《论无理的线和原子》（On Irrational Lines and Atoms）。我认为，为了表达这个题目（考虑到下一个注中所提到的柏拉图的话）的可能含义，最好是译成《论古怪的线和原子》。参见H·沃格特：《数学文献》（Bibl. Math.），1910年第10期（希思反对他，《希腊数学》第156和157页，但我认为希思并不十分成功）；以及S·卢里安：上页注①引著作第168页以后令人信服地提出，（亚里士多德的）《论不可分线》（De insec. lin.）（968 b 17）和普罗塔克的《论普通概念》（De comm. notit.38，2）包含德谟克利特工作的线索。按照这两个资料，德谟克利特的论证是这样的。如果线无限可分，那么，它们乃由无限多的终极单元所组成，因此全都像∞∶∞地相关，这就是说，它们全都是“不可比的”（没有比例）。实际上，如果把线看成点的类，那么按照现代的观点，一条线的点的基“数”（势）对于一切线都相等，不管这些线是有限的还是无限的。这个事实被说成是“悖论”（例如波尔察诺），而德谟克利特则很可能说它是“古怪的”。可以指出，按照布劳威尔的意见，甚至一个连续统的勒贝格测度的古典理论也导致基本上相同的结果；因为布劳威尔断言，所有的古典连续统都有零的测度，因此比率的不存在在这里表达为0∶0。德谟克利特的结果（和他的Amerēs理论）看来是不可能的，只要几何是基于毕达哥拉斯的算术方法，即点的计数。
(39) 这将符合于引自《开放社会》的那个注中所指出的事实：“alogos”似乎只是很久以后才用来表示“无理的”，提到德谟克利特的书名的柏拉图，在那里（《理想国》534d）是在“古怪的”意义上使用“alogos”这个词的；就我所知，柏拉图从未把它用作“arrhētos”的同义词。
(40) G·弗里德莱因编：《普罗克勒斯对欧几里得〈原本〉第1编的评述》（Procli Diadochi in Primum Euclidis Elementorum Librum Commentarii），莱比锡，1873年，第487页，第7—21页。
(41) 普罗克勒斯的上引著作第428页，第21—429页，第8页。
(42) 这说的是一个名叫希帕索斯的人，这个人的情况不太清楚；据说他死在海上（参见第尔斯，4）。亦见本书第117页注①中提到的A·瓦塞施泰因的文章。
(43) 见S·卢里安，前面第116页注①所引著作，尤其是论述普罗塔克的部分。
(44) 《后分析篇》76b9；《形而上学》983a20，1061 b1。亦见《厄庇诺米斯篇》（Epinomis）990d。
(45) 具体地说，柏拉图接过了德谟克利特的涡旋理论（第尔斯，残篇167，164；参见阿那克萨哥拉，第尔斯，9和12，13；亦见下面两个脚注）和他的我们今天将称之为引力现象的理论（第尔斯，164；阿那克萨哥拉12，13，15和2）——这个理论曾被亚里士多德略加修改，最终为伽利略所抛弃。
(46) 最清楚的段落是《蒂迈欧篇》80 c，它说，无论是在（摩擦过的）琥珀还是“赫拉克利特的石头”（磁石）的例子里，都没有真实的吸引；“没有虚空，这些东西是自己推着转、彼此靠近的”。另一方面，柏拉图不大明白这一点，因为他的基本粒子（不同于立方体和棱锥）不可能满得不留些（空的？）间隙，如亚里士多德在《论天》（De Caelo）306b5中所发现的。亦可见本书第113页注①（和《蒂迈欧篇》52e）。
(47) 柏拉图对原子论和充实理论（“自然厌恶空虚”）的调和，对于至今的物理学史具有极为重要的意义。因为它强烈地影响了笛卡儿，成为以太和光的理论的基础，最后又经过惠更斯和麦克斯韦而成为德布罗意的理论与薛定谔的波动力学的基础。见我载于《国际哲学会议（1958）文选》（Atti d. Congr. Intern. di Filosofia，1958），第367页以后的报告。
(48) 一个例外是算术方法在量子论中重新出现，例如基于泡利不相容原理的周期系电子壳层理论；这是对柏拉图把算术几何化的倾向（见下面）的颠倒。
关于有时称为“几何算术化”的现代倾向（它决不表征现代关于几何学的全部工作）或者说分析的倾向，应当指出，它同毕达哥拉斯的方式没什么相似，因为它的主要工具是自然数的集合或无限序列，而不是自然数本身。
只有那些局限于“构造的”、“有穷论的”或“直觉主义的”数论方法——同集合论方法相反——的人可能声称，他们像毕达哥拉斯或前柏拉图的算术思想那样，也试图把几何学还原为数论。沿着这个方向的重大一步，似乎是最近由德国数学家E·德·韦特完成的。
(49) 关于柏拉图和欧几里得的影响的一种类似观点，见G·F·海明斯：《第十届国际哲学大会文集》（阿姆斯特丹，1949年），第2分册，第847页。
(50) 参见荷马借助于奥林匹斯山的无形世界对特洛伊城周围的有形世界的解释。到了德谟克利特的手里，这个思想的神学性质有所减弱（它在巴门尼德那里仍很强，尽管在阿那克萨哥拉那里没有那么强），但到了柏拉图手里便又恢复，只是不久便又丧失了。
(51) 见本书第115页注①以及阿那克萨哥拉残篇B4和17，第尔斯-克兰茨。
(52) 关于三角形被理念（“父亲”）从空间（“母亲”）那里逐出的过程，参见我的《开放社会》第3章注和那里列出的参考文献以及第6章注⑨。在允许无理的三角形进入他的神圣形式的天门时，柏拉图承认了某种在毕达哥拉斯意义上“不可确定的”东西亦即属于对立表中坏的一边的东西。这种“坏”东西可能是必须予以接纳的，而这一点最早见于柏拉图的《巴门尼德》130b-e；这种接纳被加诸巴门尼德本人之口。
(53) 在上面所引的我的《开放社会》中的后一个注。
(54) 这意味着，一切几何距离（长度）都可以同成关系的三个“测度”之一（或者两个之和，或者三个之和）通约。看来亚里士多德甚至可能相信，一切几何长度都可同两个测度即1和2之一通约。因为他写道（《形而上学》1053a17）：“一个正方形的对角线与边和一切（几何）长度可用两个（测度）来量度。”（比较罗斯对这段话的说明。）
(55) 在我上面提到的《开放社会》第6章的注⑨中，我还猜测，是之近似于π这一点促使柏拉图采取他的错误理论。
(56) 这两段引文取自《蒂迈欧篇》53c/d和54a/b。
(57) 我相信，我们的考虑可能对柏拉图的著名的两个“本原”——“一”和“不确定的二”的问题有所启示。下述的说明阐明了一个见解，这个见解是范·德·维伦[《论柏拉图的理念》（De Ideegetallen van Plato），1941年，第132和133页]提出的，罗斯（《柏拉图的理念论》第201页）针对范·德·维伦自己对之作的批判而替它作了精彩的辩护。我们假设，“不确定的二”是一条直线或距离，不把它解释为单位距离或者已经量度过。我们假设，把一个点（极限、“一”）逐次放到按比率1∶n（对于任何自然数n）分割二的那些位置上。于是，我们可以把数的“生成”描述如下。对于n＝1，二分为成1∶1的两部分。这可解释为2从一（1∶1＝1）和二生成，因为我们已把二分成二等份。如此“生成”了数2，我们便按比率1∶2分割二（所产生的较大部分像前面一样再按比率1∶1分割），这样便生成三等份和数3；一般地说，一个数n的“生成”引起按比率1∶n分割二，由此导致“生成”数n＋1。[在每个阶段，“一”都重新干预，作为点把极限、形式或测度引入在其他方面“不确定的”二，以产生这新的数；这段话能增强罗斯驳斥范·德·维伦的力量。也请比较特普利茨、施滕第尔、贝克尔等人的论文（《数学史资料和论文》，1931年，第1卷）。然而，他们都没有暗示算术的几何化——尽管在第476和477页上有图形。]
应当注意到，尽管这个程序仅仅“生成”（至少在第一个例子中）自然数序列，但它包含一个几何因素——把一条直线先分割成二等份，再按某个比例1∶n分割成两部分。这两种分割都需要用几何方法，尤其第二种分割更需要像欧多塞斯的比例理论那样的一种方法。我认为，柏拉图开始问自己：为什么他不也该按和1∶的比例来分割二。他一定已经感到，这偏离了自然数得以生成的方法；这不再是“算术的”方法，它需要另外的属于“几何的”方法。但是，这样“生成”的不是自然数，而是比例为和的线元，它们可以看成是原子三角形所由构成的“原子线”（《形而上学》，992a19）。同时，从毕达哥拉斯派对待无理数的态度（参见菲罗劳斯、第尔斯，残篇2和3）来看，把二表征为“不确定的”，便是十分恰当的了。（当在有理比例之外又产生无理比例时，“大和小”这个名称也许开始被“不确定的二”所取代。）
假定这个看法是正确的，那么，我们可以揣测，柏拉图缓慢地接近（始于《大希皮亚斯》（Hippias Major），因此比《理想国》早得多——同罗斯在上引著作第56页上所说的相反）这样的观点：无理数是数，这是因为（1）它们可同数相比较（《形而上学》，1021a4和1021a5），（2）自然数和无理数都由类似的、本质上是几何的过程所生成。而一旦达到这种观点（看来最初是在《厄庇诺米斯篇》990d-e中达到的，不管这篇著作是否为柏拉图所作；不过我倾向于认为系柏拉图所作），那么，甚至《蒂迈欧篇》中的无理三角形也成为“数”（即若为无理的，便用数的比例来表征）。但是，在这里，柏拉图的特殊贡献以及他的理论与毕达哥拉斯理论间的差别可能就变得难以察觉了；这也许可以说明，为什么甚至亚里士多德（他对“几何化”和“算术化”都有怀疑）也忽视了这一点。
(58) 卢里安在本书第116页注①所引著作中已指出，这是亚里士多德的观点。
(59) 他担心自己没有写完就先死了。
(60) 见牛顿1693年致本特利的信。
(61) 康德在1755年发表的所谓康德—拉普拉斯假说。
(62) 有些批判是非常中肯的（尤其是莱布尼茨和贝克莱所作的），但由于这理论的成功，所以令人——我认为是正确地——感到，批评者有点不得这理论的要领。我们切不可忘记，甚至在今天，这理论仍是极佳的一级近似（或者考虑到开普勒，可能是二级近似），只需作少许修正。
(63) 这里康德谈的是牛顿的成就：“洞悉亘古不变的宇宙结构，可以期待这认识随着观察的积累而增长，而无需害怕受到挫折。”
(64) 彭加勒在1909年还在为此大伤脑筋。
(65) 任何恰当的知识理论所必须予以满足的一个关键性要求是，它不必解释太多的东西。任何非历史的理论要解释某个发现所以必须作出的原因，肯定遭到失败。因为它不可能解释这发现为什么不早一些时候作出。
(66) 根据本书第134页注①，任何理论都无法解释为什么我们对解释理论的探索是成功的。任何正确理论所作的成功解释，必定保持几率为零，如果我们近似地用“成功的”解释性假说同人们可能作出的一切假说之比来量度这概率的话。
(67) 这个“回答”的思想是在我的《科学发现的逻辑》（1935年，1959年和以后各版）中阐明的。
(68) 见本书第133页注①和正文。
(69) 参见我的《开放社会》第12章注。