一、空间和时间的相互转变
虽然显示空间和时间在四维世界中的统一性的数学努力并没有完全消除距离与时间延续之间的差别，但的确揭示出这两个概念之间具有高度的相似性，其程度要比在爱因斯坦之前的物理学中大得多。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，现在只能认为是这些事件之间基本的四维距离在空间轴和时间轴上的投影，从而四维坐标系的旋转可以使距离在部分程度上转变为时间的延续，或者使时间的延续在部分程度上转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转是什么意思呢？
我们先来考虑图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系，并且假定有两个固定点相距为L。将这一距离投影在坐标轴上，我们发现这两个点沿第一个轴的方向相距a英尺，沿第二个轴的方向相距b英尺。若把该坐标系旋转一个角度（图34b），则同样的距离在两个新坐标轴上的投影将与之前不同，新的值为a′和b′。然而根据毕达哥拉斯定理，两个投影的平方和的平方根在两种情况下是一样的，因为它对应着那两个点的实际距离，不会因为坐标系的旋转而改变。因此，
。
所以说，虽然投影的特殊值是偶然的，取决于坐标系的选择，但其平方和的平方根不会随着坐标系的旋转而变化。
图34
现在我们再来考虑一个轴对应着距离、一个轴对应着时间延续的坐标系。此时之前例子中的两个固定点就成了两个固定的事件，而在两个轴上的投影则分别表示它们的空间距离和时间间隔。如果这两个事件就是上一章所讨论的银行遭劫和飞机失事，我们便可以画一张图（图35a），它非常类似于表示两个空间坐标的图34a。那么，怎样才能旋转坐标轴呢？答案非常出乎意料，甚至令人困惑：要想旋转时空坐标系，请上汽车。
假定我们真的在7月28日那个多事之晨坐上了一辆沿第五大道行驶的公共汽车。从自我中心的观点来看，此时我们最关心被劫的银行和飞机失事地点离我们的汽车有多远，倘若距离决定了我们能否看到这些事件。
图35
图35a画出了汽车世界线的相继位置以及银行遭劫、飞机失事这两个事件。你会立刻注意到，从汽车上观察到的距离不同于比如站在街角的交警所记录下来的距离。由于汽车正在沿大道行驶，比如说速度是每三分钟过一个街区（这在拥挤的纽约交通中并非罕见），所以从汽车上看，这两个事件的空间距离就变小了。事实上，由于上午9点21分汽车正在穿过五十二街，所以距离此时遭劫的银行有两个街区之远。而上午9点36分飞机失事时，汽车在四十七街，距离失事地点有14个街区之远。如此测量相对于汽车的距离，我们会断言，银行遭劫与飞机失事的空间距离为14-2=12个街区，而不是相对于城市建筑所测得的50-34=16个街区。再看看图35a，我们看到，从汽车上记录的距离不能像以前那样从纵轴（交警的世界线）来计算，而应从表示汽车世界线的那条斜线来计算。因此，现在起着新时间轴作用的是后一条线。
把方才讨论的“零七碎八”总结一下就是：要想绘制从运动物体上观察到的事件的时空图，必须把时间轴旋转一个角度（角度的大小取决于运动物体的速度），而空间轴保持不动。
虽然从经典物理学和所谓“常识”的观点来看，这种说法是无可置疑的真理，但它却和我们关于四维时空世界的新观念直接相左。事实上，既然时间被视为独立的第四个坐标，时间轴就必须总是垂直于三个空间轴，无论我们坐在公共汽车上、电车上还是人行道上！
在这一点上，我们只能两种思路选其一：要么保留我们习惯性的时间空间观念，不再对统一的时空几何学作任何进一步思考；要么就必须打破“常识”的旧观念，认为在我们的时空图中，空间轴必须和时间轴一起旋转，从而二者总是保持垂直（图35b）。
然而，正如旋转时间轴在物理上意味着，两个事件的空间距离在从运动物体上观察时会有不同的值（在前面那个例子中分别为12个街区和16个街区），旋转空间轴也意味着，从运动物体上观察到的两个事件的时间间隔不同于从地面上某一固定点观察到的时间间隔。于是，如果市政厅的时钟显示银行遭劫与飞机失事相隔15分钟，那么公共汽车上的乘客的手表所记录的时间间隔将有所不同。这并非因为机械装置的不完美导致两块表走得快慢不一致，而是因为在以不同速度运动的物体上，时间本身的流逝快慢有所不同，记录时间的实际机械装置也相应地变慢了。不过对于公共汽车的低速而言，这种变慢微乎其微，几乎觉察不到。（本章会详细讨论这个现象。）
再举一个例子。设想一个人在一列行进的火车餐车上吃饭。在餐车的服务员看来，他在同一个地方（第三张桌子靠窗）吃餐前开胃品和餐后甜点。但在两个站在铁轨的固定点透过窗户朝车内张望的扳道工看来（一个正好看到他在吃餐前开胃品，另一个正好看到他在吃餐后甜点），这两个事件发生在数英里之遥。于是我们可以说：在一位观察者看来发生在同一地点和不同时间的两个事件，在处于不同运动状态的另一位观察者看来却发生在不同的地点。
从我们所期望的时空等价的观点出发，把上面这句话中的“地点”和“时间”这两个词互换，该句就成了：在一位观察者看来发生在同一时间和不同地点的两个事件，在处于不同运动状态的另一位观察者看来却发生在不同的时间。
如果将其用于我们餐车的例子中，我们会期待那位服务员言之凿凿地声称，坐在餐车两头的两位乘客餐后同时点烟，而在铁轨上透过窗户朝车内张望的扳道工却会坚持说，两人点烟的时间有先有后。
因此，在一位观察者看来同时发生的两个事件，在另一位观察者看来却相隔一段时间。
这些便是四维几何学的必然推论，在四维几何学中，时间和空间仅仅是一段固定不变的四维距离在相应轴上的投影。
二、以太风和天狼星之旅
现在我们要问，愿意使用这种四维几何学的语言，是否证明在我们旧的感觉良好的时空观念中引入这些革命性变化是正当的？
如果回答是肯定的，我们便质疑了整个经典物理学体系，经典物理学的基础是伟大的牛顿在两个半世纪以前对空间和时间的定义：“绝对空间就其本性而言与任何外界的事物无关，永远不变和不动”，“绝对的、真实的数学时间就其本性而言均匀地流逝着，与任何外界的事物无关。”在写这些话的时候，牛顿肯定不认为自己是在讲什么新的或引起争议的东西；他不过是在以精确的语言把人们常识中的空间和时间概念表达出来罢了。事实上，人们对这些经典时空概念的正确性是如此坚信，以至于它们常被哲学家们视为先验的。从来没有一个科学家（更不用说外行）认为它们有可能错误，从而需要重新考察和表述。那么，我们现在为什么要重新考虑这个问题呢？
回答是：之所以要抛弃经典的时空观念并把时间和空间统一在一幅四维图景中，并非出于爱因斯坦纯粹审美的愿望，亦非其无法遏止的数学冲动使然，而是因为实验研究中经常会出现一些难以对付的事实，与独立的时间和空间的经典图景不符。
经典物理学这座似乎永世长存的美丽城堡的基础受到的第一次冲击源于1887年美国物理学家迈克耳孙（Albert Abraham Michelson）所做的一个看起来朴实无华的实验，它几乎震撼了这精巧建筑物的每一块砖石，使其墙壁摇摇欲坠，就像耶利哥的城墙在约书亚的号角声中倒塌一样。迈克耳孙实验的想法非常简单，它基于这样一种物理图像：光在通过所谓“传递光的以太”（一种均匀充满宇宙空间以及所有物体原子之间的假想物质）时，会表现出某种波动性。
将一块石头丢进池塘，水波会沿四面八方传播。振动的音叉发出的声音以波的形式向四面传播，任何明亮物体发出的光也是如此。然而，水面上的波纹清楚地显示了水微粒的运动，声波也已知是声音所穿过的空气或其他物质的振动，但我们却找不到任何传递光波的物质媒介。事实上，（与声音相比）光能在空间中如此轻易地传播，空间似乎是完全空虚的！
然而，倘若没有什么东西在振动，又谈论某种振动的东西，这似乎太不合逻辑。于是，物理学家不得不引入“传递光的以太”这样一个新概念，以便在试图解释光的传播时为“振动”这个动词提供一个实体性的主词。从纯语法的角度来看，任何动词都必须有一个主词，“传递光的以太”的存在性不可能被否认。但——这个“但”要大声强调——语法规则并没有规定也不可能规定，这个为了正确造句而不得不引入的主词具有什么物理性质！
如果我们把“光以太”定义为传播光波的东西，那么说光波在光以太中传播倒是千真万确的，但这是一句完全无谓的重言式。查明这种光以太究竟是什么以及具有什么样的物理性质，乃是完全不同的问题。这里，任何语法都帮不了我们，答案只能来自物理学。
在接下来的讨论中我们会看到，19世纪物理学所犯的最大错误在于假定这种光以太具有类似于我们所熟知的日常物体的那些性质。人们习惯于谈论光以太的流动性、刚性、各种弹性甚至是内摩擦。一方面，光以太在传递光波时表现得像一种振动的固体；28另一方面，它又显示出完全的流动性，对天体的运动毫无阻碍。这样一来，光以太就被类比于封蜡一样的物质：人们知道，封蜡等物质非常坚硬，在迅速的机械撞击之下很容易碎裂；但若静置足够长的时间，又会在自身重量的作用下像蜂蜜一样流动。根据这种类比，旧物理学设想光以太充满了整个宇宙空间，对于与光的传播有关的高速扰动来说表现得像坚硬的固体；而对于在其中穿行、速度比光慢几千倍的行星和恒星来说，却又表现得像液体。
这样一种或可称为拟人化的观点试图把我们所熟知的普通物质的性质归于一种除名称以外一无所有的物质，它从一开始就遭遇了巨大的失败。人们虽然作了许多努力，但仍然无法对光波的这种神秘传递者给出合理的力学解释。
根据我们目前拥有的知识，很容易看出这种努力错在何处。事实上我们知道，普通物质的所有机械性质都可以追溯到构成物质的原子之间的相互作用。例如，水的高度流动性是由于水分子之间可以作摩擦很小的滑动；橡胶的弹性是由于橡胶分子很容易变形；金刚石的坚硬则是由于构成金刚石晶体的碳原子被紧紧地束缚在一种刚性点阵结构中。因此，各种物质所共有的一切机械性质都是缘于它们的原子结构，但这条规则在运用于像光以太这样被认为绝对连续的物质上时是毫无意义的。
光以太是一种特殊类型的物质，它与我们熟知的原子嵌镶结构或通常所说的物质毫无相似性。我们可以把光以太称为一种“物质”（这仅仅因为它充当着“振动”这个动词在语法上的主词），但也可以称之为“空间”。不过要记住，正如我们之前已经看到，之后还会看到的，空间可能具有某种形态特征或结构特征，它比欧几里得几何学中的空间观念复杂得多。事实上在现代物理学中，“光以太”（除去它那些据称的力学性质）和“物理空间”被认为是同义词。
不过我们已经偏离得太远，竟然开始对“光以太”一词进行哲学分析了。现在我们还是回到迈克耳孙实验的话题上来吧。如前所述，这个实验的想法是非常简单的：如果光是在以太中穿行的波，那么地面上的仪器所记录的光速将因为地球在空间中运动而受到影响。站在沿轨道绕日运行的地球上，我们会经验到一股“以太风”，就像即使天晴无风，人站在快速行驶的船的甲板上也会感到有风扑面而来一样。当然，我们是感觉不到“以太风”的，因为它已被假定能够毫无困难地穿透到我们的身体原子之间。但是通过测量沿不同方向相对于我们运动的光速，就应该能够探测到它的存在。众所周知，顺风传播的声音速度比逆风传播的大，因此，顺着以太风传播的光的速度似乎也应当大于逆着以太风传播的光的速度。
做过如此推理之后，迈克耳孙着手设计了一套仪器，能够记录沿各个方向传播的光速的差别。当然，要想做到这一点，最简单的办法是采用前面提到的斐索的仪器（图31c），把它转到不同的方向进行一系列测量。但这样做并不很现实，因为这要求每次测量都有很高的精度。事实上，由于我们所预期的速度差（等于地球的速度）只有光速的万分之一左右，所以必须以极高的准确度来进行每一次测量。
如果你有两根长度大致相同的棒，并想知道其长度究竟相差多少，那么最简单的办法就是把两根棒的一端对齐，在另一端量出差异。这就是所谓的“零点法”。
迈克耳孙的仪器草图如图36所示，它便是利用零点法来比较光沿两个相互垂直的方向的速度差的。
图36
这套仪器的中心部件是一个玻璃片B，上面镀着一层薄薄的半透明的银，可以使入射光的一半发生反射，并让其余的一半透过。于是，光源A发出的光束被B分成两个相互垂直的部分，这两束光分别被与中心玻璃片等距的镜子C和D反射回B。从D返回的光有一部分会穿过银膜，从C返回的光有一部分会被银膜反射，在仪器入口处被分开的这两束光在进入观察者眼睛时会重新结合起来。根据大家所熟知的一条光学定律，这两束光会彼此干涉，形成一套肉眼可见的明暗条纹。如果距离BD与BC相等，两束光将会同时返回中心部件，亮条纹会位于图像中心。如果稍微改变距离，使一束光有所延迟，则条纹就会向左或向右移动。
由于该仪器位于地球表面，而地球正快速穿过空间，所以我们必然会预期，以太风正以地球运动的速度吹过地球。例如，假定这股风沿着从C到B的方向刮去（如图36所示），我们来看看它会给赶往相会地点的两束光的速度造成什么差别。请记住，其中一束光是先逆风后顺风，另一束光则是在风中来回横穿。那么哪一束光先回来呢？
设想河上有一艘汽船逆流而上从1号码头行驶到2号码头，然后再顺流驶回1号码头。水流在前一半航程起阻碍作用，在归程则起辅助作用。你也许认为这两种作用会彼此抵消吧？但事实并非如此。为了理解这一点，设想这艘汽船以水流的速度行驶。在这种情况下，它永远到不了2号码头！不难看到，在所有情况下，水流的存在将使整个航行的时间增加一个因子：
，
其中V是船速，v是水流速度。29例如，倘若船速是水流速度的10倍，则整个航行的时间为：
，
也就是说，比在静水中的时间长百分之一。
同样，我们也能计算出在河水中来回横渡所耽搁的时间。这里的耽搁是因为要想从1号码头驶到3号码头，船的行驶方向须稍稍倾斜，以补偿在水流中的漂移。在这种情况下，耽搁的时间要少一些，其因子为：
对于上面那个例子来说，时间只增加了0.5%。这个公式很容易证明，有兴趣的读者可以自行验证。现在，将河流替换成流动的以太，将船替换成在其中传播的光波，便可得到迈克耳孙的实验方案。现在，光束从B到C再返回B的时间增加的因子为：
，
其中c是光在以太中的传播速度。而光束从B到D再返回B的时间增加的因子则为：
。
由于以太风的速度等于地球运动的速度，为每秒30公里，光的速度为每秒30万公里，因此这两束光将分别延迟0.01%和0.005%。因此，借助于迈克耳孙的仪器，光束逆着以太风行进和顺着以太风行进的速度差异是很容易观察到的。
然而，在作这项实验时，迈克耳孙竟然未看到干涉条纹有丝毫移动，可以想见他当时是何等惊讶！
显然，无论光是沿着以太风传播，还是横穿以太风，以太风对光速都没有影响。
这个事实太让人惊讶，迈克耳孙起初还不敢相信，但一次次地精心重复实验无可置疑地表明，他最初得到的结果虽然令人惊讶，却是正确的。
对这个出乎意料的结果，唯一可能的解释似乎就是大胆假设，迈克耳孙那张安装镜子的巨大石桌沿着地球穿过空间的方向有轻微的收缩（所谓的菲茨杰拉德收缩30）。事实上，如果距离BC收缩了一个因子
而距离BD保持不变，那么两束光的耽搁时间就变得相同了，因此便不会出现所预期的干涉条纹移动。
然而，迈克耳孙那张桌子有可能收缩，这话说起来容易，理解起来难。的确，我们会预料在有阻滞介质中运动的物体会有某种收缩，比如由于船尾螺旋桨的驱动力和船头水的阻力，在湖上行驶的汽船会有些微的压缩。不过，这种机械压缩的程度依赖于造船材料的抗拉强度，钢制船体的压缩程度会比木制船体小一些。然而，导致迈克耳孙实验中否定结果的收缩只依赖于运动速度，而丝毫不依赖于所涉材料的抗拉强度。倘若安装镜子的那张桌子并非由石头制成，而是由铸铁、木头或其他任何材料制成的，收缩的量也将完全一样。因此很显然，我们这里讨论的是一种普遍效应，它使所有运动物体都以完全相同的程度发生收缩。或者按照爱因斯坦教授1904年对这种现象的描述，我们这里讨论的是空间本身的收缩。所有以相同速度运动的物体都会以相同的方式收缩，这仅仅是因为它们都被嵌在同一个收缩的空间中。
关于空间的性质，我们在前面两章已经谈了不少，以使上述陈述听起来显得合理。为把情况说得更清楚一些，可以设想空间具有弹性胶冻的某些性质，其中留有不同物体边界的痕迹；当空间由于受到挤压、拉伸或扭转而变形时，所有嵌在其中的物体的形状会自动以同一种方式发生改变。这些因空间变形而导致的变形不同于各种外力所导致的个体变形，外力在变形的物体内部产生了应力和应变。图37显示的二维情况也许有助于解释这种重要的区别。
图37
空间收缩效应虽然对于理解物理学的基本原理非常重要，但在日常生活中却几乎未受注意，这是因为与光速相比，我们在日常经验中遇到的最高速度仍然微不足道。例如，一辆以每小时50英里的速度行驶的汽车，其长度只减小到原来的
倍，这相当于汽车从头到尾只减少了一个原子核的直径那么长！一架时速超过600英里的喷气式飞机，其长度只减少了一个原子直径那么长。就连时速超过25000英里的100米长的星际火箭，其长度也只是减少了百分之一毫米。
不过，如果设想物体以光速的50％、90%和99%运动，其长度将分别缩短为静止长度的86%、45%和14%。
所有高速运动物体的这种相对论收缩效应可见于一位不知名作者所写的一首打油诗：
菲斯克小伙剑术精，
出剑迅速如流星，
由于菲茨杰拉德收缩性，
长剑变成小铁钉。
当然，这位菲斯克先生出剑必须快如闪电才行！
根据四维几何学的观点，很容易把所有运动物体的这种普遍收缩解释为时空坐标系的旋转使物体不变的四维长度的空间投影发生了改变。事实上，根据上一节讨论的内容，你一定还记得，从运动系统所作的观察必须通过空间轴和时间轴都旋转某个角度（角度的大小取决于速度）的坐标来描述。因此，如果在静止系统中，四维距离百分之百地投影在空间轴上（图38a），那么在新的坐标轴中，它的空间投影总会更短（图38b）。
图38
请务必记住，所预期的长度缩短只和两个系统的相对运动有关。如果所考虑的物体相对于第二个系统静止，因此表示为一条与新空间轴平行的长度不变的线，那么它在原空间轴上的投影将缩短同样的倍数。
因此，指明两个坐标系中哪一个“真正”在运动不仅没必要，而且没有物理意义。重要的仅仅是它们在作相对运动。于是，假定未来某个“星际交通公司”的两艘高速行驶的载人飞船在地球与土星之间的某地相遇，每艘飞船上的乘客透过舷窗都能看到另一艘飞船显著变短了，而自己乘坐的这艘飞船却注意不到有什么收缩。争论哪艘飞船“真正”缩短了是没有意义的，因为无论哪艘飞船，在另一艘飞船上的乘客看来都缩短了，而在它自己的乘客看来却没有缩短。31
四维时空理论也使我们明白，为什么运动物体速度接近光速时，才会有明显的相对论收缩。事实上，时空坐标轴旋转的角度取决于运动系统走过的距离与所需时间之比。如果用米来测量距离，用秒来测量时间，那么这个比值就是用米/秒表示的常用速度。然而，四维世界中的时间间隔是用普通的时间间隔乘以光速表示的，而决定旋转角度的比值又是用米/秒表示的运动速度除以用同样的单位表示的光速，因此只有当两个运动系统的相对速度接近光速时，旋转角度及其对距离测量的影响才会变得显著。
时空坐标系的旋转既影响了长度测量，影响了对时间间隔的测量。但可以表明，由于第四个坐标具有特殊的虚数性，32空间距离缩短时，时间间隔会膨胀。如果把一只钟安置于一辆高速行驶的汽车中，它将比安置在地面上的钟走得慢些，相继两次嘀嗒声的时间间隔会加长。和长度的缩短一样，运动时钟的变慢也是一种普遍效应，只取决于运动速度。因此，无论是最现代的手表，还是你祖父的旧式摆钟，抑或是计时沙漏，只要运动速度相同，变慢的程度就会相同。当然，这种效应并不限于被我们称为“钟”和“表”的特殊机械；事实上，所有物理过程、化学过程或生理过程都将以相同的程度变慢。因此，如果你在疾驰的飞船上煮鸡蛋做早餐，你不必担心因手表走得太慢而把鸡蛋煮老了，因为鸡蛋内部的过程也会相应地变慢。如果你看着表把鸡蛋煮上五分钟，你仍然能吃上平日里吃的“五分钟蛋”。这里我们之所以用飞船而不是火车餐车作例子，是因为时间膨胀也和长度的收缩一样，只有在速度接近光速时才变得比较明显。时间膨胀的因子也和空间收缩一样是。区别在于，这里不是把它用作乘数，而是用作除数。如果一个物体运动得非常快，以至于长度减少了一半，那么时间间隔会变成两倍长。
运动系统中时间速度的变慢会对星际旅行产生一个有趣的影响。假设你决定造访距离太阳系9光年的天狼星的一颗行星，并且乘坐了一艘几乎能以光速行驶的飞船。你自然会以为，天狼星的往返之旅至少需要18年，因此准备随身携带大量食物。不过，如果你乘坐的飞船真能以接近光速的速度行驶，这种担心就是完全没有必要的。事实上，如果你以光速的99.999 999 99%移动，你的手表、心脏、呼吸、消化和心理过程都将减慢70 000倍，因此从地球到天狼星再返回地球（在留在地球上的人看来）所花的18年在你看来将只有几个小时。事实上，如果你吃过早饭就从地球出发，那么当你的飞船降落在天狼星的一颗行星表面上时，你正好可以吃中饭。如果你时间很紧，吃过午饭就马上返航，那么你很可能赶得上在地球上吃晚饭。不过，如果你忘了相对论定律，你到家时定会大吃一惊，因为亲友们会认为你已在太空中不知所踪，因此已经自行吃过6570顿晚饭了！由于你正以近乎光速的速度旅行，地球上的18年对你而言只是一天而已。
那么，运动得比光还快会怎么样呢？对这个问题的回答亦可见于一首相对论打油诗：
年轻女孩名伯蕾，
健步如飞光难追；
爱因斯坦来指点，
今日出行昨夜归。
的确，如果速度接近光速可以使运动系统中的时间变慢，那么超过光速不就能把时间倒转了吗！此外，由于毕达哥拉斯根式下面代数符号的改变，时间坐标会变成实数，从而成为空间距离；一如超光速系统中的所有长度都经过零而变成虚数，从而成为时间间隔。
如果所有这一切是可能的，图33中那个爱因斯坦变尺为钟的戏法就会成为现实了，只要在此过程中他能设法超过光速。
不过，物理世界虽然荒唐，但并非那么疯狂。这种魔术式的操作显然是不可能实现的，这可以简单地总结为：任何物体都不能以光速或超光速运动。
这条基本自然定律的物理学基础在于一个已被无数实验直接证明的事实，即在运动速度接近光速时，运动物体所谓的惯性质量（反映了物体对进一步加速的机械反抗）会无限增大。于是，如果一颗子弹以光速的99.999 999 99%运动，它对进一步加速的反抗就相当于一枚12英寸的炮弹；如果以光速的99.999 999 999 999 99%运动，这颗小子弹的惯性反抗将会相当于一辆满载的卡车。无论给这颗子弹施加多大努力，我们也无法征服最后一位小数，使其速度正好等于宇宙中所有运动的速度上限即光速！
三、弯曲空间和重力之谜
看完前面这几十页关于四维坐标系的讨论，读者们必定感到头晕脑胀，对此我深表歉意。现在，我邀请读者到弯曲空间中散个步。人人都知道曲线和曲面是什么，但“弯曲空间”又是什么意思呢？这种现象之所以难以想象，与其说在于这个概念的不同寻常，不如说在于我们能从外部观察曲线和曲面，却只能从内部来观察三维空间的曲率，因为我们本身就在三维空间之中。为了理解一个三维的人如何来构想他所处的空间的曲率，我们先来考虑生活在表面上的假想的二维影子生物的状况。图39a和39b中有一些影子科学家，他们在“平面世界”和“曲面（球面）世界”上研究自己二维空间的几何学。可供研究的最简单的几何图形当然是三角形，即由连接三个几何点的三条直线所组成的图形。大家在中学几何学里都学过，平面上画的任何平面三角形的三个内角之和都是180°。但很容易看到，上述定理并不适用于在球面上画的三角形。的确，由两条经线和一条纬线所形成的球面三角形就有两个直角的底角，顶角的值则可介于0°与360°之间。以图39b中那两个影子科学家所研究的三角形为例，三个角之和等于210°。于是我们看到，通过测量其二维世界中的几何图形，影子科学家们无须从外面观察便可发现那个世界的曲率。
将上述观察运用于又多了一维的世界，我们自然能够得出结论说，生活在三维空间中的人类科学家无须跃入第四维，只要测量连接其空间中三点的三条直线之间的夹角便可确定那个空间的曲率。如果三个角之和等于180°，那么空间就是平坦的，否则就是弯曲的。
不过在作进一步讨论之前，我们先要弄清楚“直线”一词是什么意思。看到图39a和图39b所示的两个三角形，读者们也许会说，平面三角形（图39a）的各边是真正的直线，而球面上的各边（图39b）则是球面上大圆33的弧，其实是弯曲的。
图39 “平面世界”和“曲面世界”上的二维科学家们正在检查关于三角形内角和的欧几里得定理
这种基于我们常识几何学观念的说法会使影子科学家们根本不可能发展出他们二维空间的几何学。直线概念需要一种更一般的数学定义，使它不仅能在欧几里得几何中获得一席之地，还能把表面和空间中更复杂的线包括进来。要想作这样一种推广，可以把直线定义为某个表面或空间中描绘两点之间最短距离的线。在平面几何中，上述定义当然符合我们常见的直线概念；而在更复杂的曲面的情况下，它会引出一族定义明确的线，在这里所起的作用就如同普通“直线”在欧几里得几何中所起的作用。为了避免误解，我们常常把描绘曲面上最短距离的线称为测地线，因为这种观念最早是在测地学——即测量地球表面的科学——中被引入的。事实上，当我们谈起纽约与旧金山的直线距离时，我们是指“笔直地”沿着地球表面的曲线走，而不是像一台巨型钻机那样笔直地钻透地球。
这种把“广义直线”或“测地线”看成两点之间最短距离的定义暗示，作这种线有一种简单的物理方法，那就是在两点之间拉紧一根绳子。如果在平面上做，你会得到一条普通的直线；如果在球面上做，你会发现这根绳子沿着一个大圆的弧张紧，它对应于球面上的测地线。
通过类似的办法，我们也可以查明我们所身处的三维空间是平坦的还是弯曲的。我们只需在空间中的三个点之间拉紧绳子，看看由此形成的三个角之和是否等于180°。不过，在设计这样一个实验时必须记住两点：一是实验必须在非常大的尺度上进行，因为曲面或弯曲空间的一个微小部分对我们来说可能显得很平坦，我们显然不能通过在后院里测量出来的结果来确定地球表面的曲率；二是此表面或空间也许在某些区域是平坦的，而在另一些区域是弯曲的，因此可能需要作完整的测量。
爱因斯坦在创立关于弯曲空间的广义理论时包含了一个了不起的想法，那就是假定物理空间在巨大的质量附近会变弯曲；质量越大，曲率就越大。为了用实验来验证这个假说，我们可以环绕一座大山钉三个木桩，在木桩之间拉紧绳子（图40a），然后测量绳子在三个木桩处形成的夹角。即使选择了最大的山，哪怕是喜马拉雅山，你也会发现，考虑到可能的测量误差，三个角之和将正好等于180°。但这个结果并不必然意味着爱因斯坦是错的，并不表明大质量的存在不会使其周围的空间发生弯曲，因为即使是喜马拉雅山，可能也不会使周围的空间弯曲到能用我们最精密的测量仪器记录下来。大家还记得伽利略试图用遮光灯测量光速时的惨败吧！（图31）
图40
因此不要灰心，找个更大的质量再试一次，比如太阳。
如果你在地球上某个点拴根绳子扯到一颗恒星上去，再从这颗恒星扯到另一颗恒星上，然后再回到地球上原来那个点，并让太阳围在绳子组成的三角形内。你瞧，这下要成功了！你会看到，这三个角之和将与180°有显著不同。如果你没有足够长的绳子来作这项实验，可以把绳子换成一束光线，因为光学告诉我们，光总是走所有可能路线中最短的。
图40b是这项测量光线夹角的实验的示意图。位于太阳两侧的恒星SI和SII发出的光线会聚到经纬仪中，这样便测出了它们的夹角。然后等太阳离开时再重复进行实验，并把两个角度加以比较。如果有所不同，就证明太阳的质量改变了其周围空间的曲率，使光线偏离了原路。这个实验最初是爱因斯坦为了检验自己的理论而提出来的。将它与图41所示的二维类比相比较，读者们可以获得更好的理解。
图41
在通常条件下做爱因斯坦的这项实验显然有一个实际障碍：耀眼的太阳光使我们看不到它周围的星星。不过在日全食期间，星星在白天也是清晰可见的。1919 年，一支英国天文远征队前往西非的普林西比群岛进行实际检验，那里是当年日全食的最佳观测地点。结果发现，两颗恒星的角距离在有太阳和没有太阳介于其间的情况下相差1.61"±0.30"。而爱因斯坦的理论预言这个值为1.75"。后来所做的各种远征也得到了类似的观测结果。
当然，1.5角秒并不大，但已足以证明，太阳的质量的确迫使它周围的空间发生了弯曲。
如果能用其他某个大得多的星体来代替太阳，关于三角形内角和的欧几里得定理就会出现若干分甚至若干度的误差。
一个内部的观察者需要一定的时间和丰富的想象力，才能习惯于弯曲三维空间的观念，不过一旦被正确理解，它就会和我们所熟知的其他任何古典几何学概念一样清晰明确。
我们还需要再前进一步，才能完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个基本问题的关系。我们不要忘了，刚才一直在讨论的三维空间只是充当着所有物理现象背景的四维时空世界的一部分。因此，空间的弯曲本身仅仅反映了更一般的四维时空世界的弯曲，而表示这个世界中光线运动和物体运动的四维世界线必须被看成超空间中的曲线。
从这种观点来考察问题，爱因斯坦得出了一个著名结论：重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应。事实上，太阳施加某个力直接作用于行星，使之围绕太阳沿圆形轨道运动，这种旧的说法现在可以被视为不当而加以抛弃。更准确的说法则是：太阳的质量使它周围的时空世界发生了弯曲，图30中行星的世界线之所以是那个样子，仅仅因为它们是穿过弯曲空间的测地线。
这样一来，作为一种独立的力的重力概念就从我们的思想中彻底消失了。取而代之的则是纯粹的空间几何学概念，在这个空间中，所有物体都按照其他大质量所造成的弯曲沿着“最直的线”或测地线运动。
四、封闭空间和开放空间
在结束本章之前，还须简要讨论一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问题，那就是宇宙是否有限。
迄今为止，我们一直在讨论空间在大质量附近的局域弯曲，这就好像宇宙这张巨大的脸上散布着各种“空间粉刺”。但撇开这些局域偏差不谈，宇宙的脸是平坦的还是弯曲的？如果是弯曲的，又是以何种方式弯曲的呢？图42对长有“粉刺”的平坦空间和两种可能的弯曲空间做出了二维描绘。所谓的“正曲率”空间对应于球面或其他任何封闭的几何形体的表面，无论朝着什么方向，它都以“同样的方式”弯曲。与之相反的“负曲率”空间则在一个方向上向上弯，在另一个方向上向下弯，很像一个马鞍面。这两种弯曲的区别很容易弄清楚：你可以从足球和马鞍上分别割下一块皮子，试着把它们在桌面上摊平。你会注意到，如果既不伸展又不收缩，那么两者都摊不成平面。足球皮的边缘必须伸展，马鞍皮的边缘必须收缩；足球皮的中心周围没有足够的材料将它摊平，而马鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑总会折叠起来。
图42
对于这一点还能作另一种表述。假如我们（沿着表面）从某一点开始数距离它1英寸、2英寸、3英寸等范围内“粉刺”的个数，我们会发现：在平坦的表面上，“粉刺”个数是像距离的平方即1，4，9…那样增长的；在球面上，“粉刺”数目的增长会比平面上慢一些；而在“马鞍”面上则比平面上快一些。于是，生活在表面上的二维影子科学家虽然无法从外面打量该表面的形状，但仍然能通过计算落在不同半径的圆内的粉刺数来觉察它的弯曲状况。这里我们还会注意到，正曲率与负曲率之间的差别显示于对相应三角形角度的测量。正如我们在上一节看到的，画在球面上的三角形的内角和总是大于180°。如果你在马鞍面上画一个三角形，会发现它的内角和总是小于180°。
上述由曲面得到的结果可以推广到弯曲的三维空间，并得到下表：
空间类型
远距离状况
三角形内角和
体积增长情况
正曲率（类似球面）
自行封闭
＞180°
慢于半径立方
平 直（类似平面）
无穷伸展
= 180°
等于半径立方
负曲率（类似马鞍面）
无穷伸展
＜180°
快于半径立方
这张表可以用来回答我们生活的这个空间究竟是有限的还是无限的。我们将在讨论宇宙大小的第十章来探讨这个问题。