举例说明
四个成人练习一位数加法，每天练习五分钟，共练习30天，练习结果如图16—1所示（图16—1代表四个被试的平均数）。由图16—1可见，练习曲线呈抛物线形，大体上表现出负加速度（negative acceleration），即前半部分增长速度显著高于后半部分。23名女学生根据规定的“密码”翻译英文文本，即将文本中的字母转换成其他字母，图16—2是她们的平均练习曲线。与图16—1相比，图16—2中曲线的速率变化为零或表现出微小的正加速度，即后半部分与前半部分的速度增加几乎相等，或稍微大些。
图16—3是一人接收英文电报的练习曲线，纵坐标代表每分钟他从发电报键发出的嘀嗒声中读取的字母数，横坐标代表星期，实验共进行36个星期。在刚开始的12个星期，被试的进步速度很快，中间的12个星期，进步很慢，即进入了所谓的“高原期”，最后的12个星期又进步很快。
最后，我们再来看看图16—4。这个图总体呈现出如图16—1中所看到的负加速度，在前20小时练习阶段，进步速度很快，在20小时至45小时之间，进步速度缓慢，在45小时至55小时的练习阶段，进步速度再次加快，这是一个“长期的波动”。此外，曲线上又表现出很多忽上忽下的变化，这些是“短期的波动”。如果图16—1、图16—2和图16—3的曲线不是所有被试的平均练习曲线，而是分别画出每个被试的曲线，这些曲线也会表现出同样的短期的变动。例如，图16—5中最高的四条曲线分别代表四个被试，而图16—1是他们的平均数曲线。
图16—1 一位数加法练习的进步曲线
图16—2 23名女学生字母转换练习的平均进步曲线
图16—3 接收电报的大概平均练习曲线
图16—4 某人矫正视力后打字练习的进步曲线
资料来源：引自Book，1908，第21页的插图。
图16—5 五位成年女性一位数加法练习的进步曲线
资料来源：引自Wells，1912，第8页的插图2。
由上述实验结果可见，进步速度时常改变，随着练习的不断深入，进步的增速减小。此外，练习曲线中既呈现出诸如“高原期”的长期的波动，又随每天或每星期出现短期的波动。在一些有关心理功能发展的实验研究中也发现了相同的结果，在学校学习、商业和职业训练中也可能出现相同的结果。
导致进步速度变化，即练习曲线形式变化的原因是：（1）在心理功能进步时形成或毁损的联结数量不同；（2）联结的形成或毁损难度不同；（3）联结的形成顺序不同；（4）各联结对测验分数的影响有大有小；（5）不同时期的练习对促进个体心理功能进步的作用不同；（6）一个已经形成的联结对其他联结形成的影响不同；（7）因失用致联结减弱；（8）联结的过度练习。下面将列举几个具体的精心组织的学习例子，以帮助我们理解这些原因。
进步速度改变的原因
例1
假设：（1）一种功能从功效x进步到最高功效，其原因是形成了固定数量（n）的联结；（2）各联结形成的难度相同，被试以最高的能力形成联结所需时间为t；（3）各联结对测验分数增长的影响作用相同（k），并且假设（1）与（2）不受联结形成顺序的影响；（4）同一练习时间内只能形成一个联结；（5）一个联结只有在完全形成时才会影响测验分数；（6）个体总以“最高的能力”进行工作，并且最高能力保持不变。
根据以上六个假设所形成的练习曲线是一条标准的“梯级形”曲线，每个梯级相等。如果每个梯级的高为k，梯级数为n，总的进步则为nk，所需要的总时间为nt。假如n=8，刚开始时的功效x=4k，就会得到如图16—6所示的练习曲线。
图16—6 练习曲线一（例1）
例1a
例1a的假设与例1基本相同，除假设（5）改为：将建立联结所需时间分为相等的若干份，被试时刻以最大的能力练习每个联结，直至联结全部建立，那么，每份时间对成绩的影响相同。根据例1a的假设，形成的练习曲线应当是一条有斜率的直线，最后会达到最高值，如图16—7所示。
例1b
例1b的假设与例1a基本相同，不同之处是：同时可形成两个或多个联结，以前在t时间内形成一个联结的能力，现在在t时间内可形成两个二分之一个联结，四个四分之一个联结，或十个十分之一个联结，以此类推。根据例1b的假设形成的曲线仍如图16—7所示。
图16—7 练习曲线一（例1a与例1b）
例1c
假设与例1a或例1b基本相同，但n无穷大，则会得到图16—8的直线。直线的速度变化为零，延长至无穷大。
图16—8 练习曲线一（例1c）
注：问题的真正曲线以相同斜率无限延长。
例2
例2与例1的假设基本相同，除假设（2）改为：一半联结的形成难度是另一半联结形成难度的两倍，也就是说，在最大能力下，难度低的每个联结的形成的时间为t，而难度高的每个联结的形成时间为2t。那么，练习曲线的形式取决于联结形成的顺序。假设联结的形成顺序有很多种，每种顺序会形成特定的曲线形式。[1]如果容易的联结都在前面形成，最后会得到如图16—9所示的曲线。如果难的联结都在前面形成，曲线应如图16—10。如果容易的联结一半形成在前，一半形成在后，曲线应如图16—11。
图16—9 练习曲线一（例2）
注：容易的联结形成在前。
图16—10 练习曲线二（例2）
注：容易的联结形成在后。
图16—11 练习曲线三（例2）
注：容易的联结一半形成在前，一半形成在后。
例1与例2均假设所有联结对测验分数的影响是相同的，并且被试在学习时间内总保持相同的最大的能力，练习曲线的形式由联结的数量、形成难度与形成顺序决定。联结的数量限定了最大功效，联结形成的难度和顺序则限定曲线所能达到的最高值。在上文所使用的各个例子中，均以“最高”能力代替“平等的”、“稳定的”或“平均的”能力，评估其对功能进步的影响。不好联结的毁损可以部分或全部等同于好的联结的形成，不会产生影响。此外，所谓在区分联结形成的难度时，只简单地说明在时间t内可以同时形成2个或4个联结，而没有明确指出一个联结形成所需要的时间为或。在本章后面的内容中，也存在此类问题。
目前的研究结果表明，两个联结形成难度相同，它们对分数的影响可能不同，同理，两个联结对分数的影响相同，它们在形成时难易程度可能不同。如果联结形成的难易程度相等，它们对分数的影响不同，那么，得到的练习曲线的形式应当取决于联结形成的顺序。如果影响力大的联结先形成，那么进步的速度应当表现为负加速度，相反，如果影响力小的联结形成在前，那么进步的速度应当是正加速度。如果出现其他情况的形成顺序，速度的变化以此类推。如果联结形成既有难易之分，它们对分数的影响又不相等，我们只需要评估每个联结在单位时间对分数的净效应，然后根据联结形成的顺序推测曲线的形式。
例如，假如有8个联结，a、b、c、d等，形成时间分别是1t、2t、3t、4t、6t、8t、12t、16t，它们对分数的影响作用是40、20、10、8、2、4、6、24。那么，对于联结a，时间t内对分数的影响为40，b为10，c为，d为2，e为，f为，g为，h为。在练习进行过程中，如果知道联结的形成顺序，就可以计算出时间t的影响作用。
促进某种功能进步的能力存在个体差异，因此，他们在形成联结的时间上也不同。如果同一个被试，保持状态不变，他形成各个联结需要的时间可能相同。无论何时，个人学习能力下降将导致该时间段内练习曲线的下降。例如，随着时间的流逝，人对某事的兴趣会逐渐减弱，而学习能力也会递减，从10降为9、8、7、6、5、4、3，将例1中的假设（6）改为一般学习能力随时间而降低，图16—6就会变成图16—12。相反，如果随着时间的进行，个人的健康状况越来越好或兴趣逐渐增加，那么，他的学习能力就会不断提高，自1.0增加至1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7，在其他假设不变的情况下，应得到图16—13所示的曲线。
图16—12 练习曲线二（例1）
到目前为止，我们的假设只考虑联结的形成难易及其对于分数的影响，并没有探讨联结的形成顺序。例1中的假设（3）在后面的例子中仍保持不变。
在实际练习中，形成一个联结所需要的时间及其对分数的影响，可能取决于前面已经形成的联结。因此，练习曲线很复杂，但人们可以计算以前已完全形成或部分形成的一个或一组联结对测验的所有作用。当然，这很复杂。
图16—13 练习曲线三（例1）
到目前为止，我们的假设是任何联结一旦形成，它对分数的影响立即完全显现（或者在例1a的几个例子中，部分联结形成，该部分效应就显现）。但在实际练习中，只有后面的联结完全形成后，前面某个联结对分数的影响才能完全显示出来。正如前面形成的联结可促使后面形成的联结产生更大的效应一样，后面形成的联结也可使前面已形成的联结对分数产生更大的影响。从表面上看，我们不可能从总成绩中区分出联结b对前面已形成的联结a的影响，原因是已形成的联结a也提高了联结b的影响力。但是，如果联结b一直是独立的，失去了联结a的增强作用，联结a也失去了联结b的增强作用，这两种关系的差别就可以表现出来。
一言以蔽之，我们的假设是一个联结形成之后，其影响力在练习中保持不变，以后重现时，无须花费时间恢复其影响力。但在实际中，学习者往往须利用一部分时间，重新学习联结，保持其影响作用。有些学习者可能花费更多的时间，使联结保持以前的水平，超过了重新学习需要的时间就是过度学习（over-learning）。保持联结的时间是必需的，而过度学习则浪费时间，我们用两个简单的例子来讨论上述两种情况。
现在假设：（1）所有任务都需要相同的一般学习能力；（2）功能从x进步到最大值需要20个联结的作用；（3）20个联结的形成难度相等，各需时间为t；（4）每个联结对分数的影响相等，各使分数增加k；（5）假设（3）和（4）不受联结形成顺序的影响；（6）同一时间内只能形成一个联结；（7）每个联结形成之后，需以保持其作用；（8）每天练习时间共为4t，在实际中，为保持已形成联结的全部作用，花费时间温习是必要的；（9）无论是用在形成联结上的时间还是保持联结上的时间，对成绩都有相应的作用。
为方便计算，现假设在4t练习阶段，已形成的联结不会出现毁损，即假设毁损只发生在一个练习阶段结束到下一个练习阶段开始之前这段时间，那么结果如下。
阶段1：学习者形成a、b、c、d四个联结，成绩从x+0上升到x+4k。
阶段2：他需花费2t保持联结a、b、c、d，需要2t形成联结e和f，成绩从x+4k上升到x+6k。
阶段3：他需用3t保持联结a、b、c、d、e、f，用1t形成联结g，成绩从x+6k上升到x+7k。
阶段4：他需用以保持a至g七个联结，用形成联结，成绩从x+7k进步到。
阶段5：他需用以保持联结a至g和。如果假设一个联结没有完全形成时，不会出现毁损，那么仍需用保持联结a至g。现在有两种选择[2]，如果他用余下的以形成联结，成绩从上升到。
阶段6：他可能利用以保持联结a至g以及，用形成联结，成绩从上升到。以此类推，最高成绩接近x+8k，如图16—14所示。
图16—14 练习曲线
由例1a可见，练习曲线是一条标准斜线，由0上升到最大值，现由于要保持已经形成的联结，消耗了时间，练习曲线则由斜线变为带有负加速度的曲线。一般说来，不管失用导致联结如何慢慢减弱，在保持旧联结与形成新联结中个体如何分配时间，只要有联结需要部分重学，就会影响曲线形式，表现出负加速度。同样，如果一个心理功能中包含足够的联结，它就一定趋向于达到最高的成绩。[3]
假设无论在任何条件下，练习曲线总是一条直的斜线，现在我们再来讨论过度学习对练习曲线的影响。
假设一般的学习能力保持不变，联结的形成难易相等（每个需要1t），不论联结的形成顺序如何，各联结对分数的影响均为1k，并且，同一时间只能形成一个联结，但是每个联结形成之后，需要耗费联结形成时所需时间的一半进行无用[4]的练习，部分练习时间对分数有作用。假设与例1a相同，再加上过度学习假设。每个阶段练习时间为4t，联结数量至少为8个，我们可得到如下的结果。
阶段1：学习者形成联结a、b、c、d，分数从x+0上升到x+4k。
阶段2：他花费2t进行过度学习或无效果地温习联结a、b、c、d，形成联结e和f。分数从x+4k上升到x+6k。
阶段3：他用3t进行过度学习和形成联结g。
在后面的练习中，一半时间要用于建立联结，这样才能保证分数。一般而言，过度学习其实是无效的温习，常常导致曲线呈现负增长，并且接近一个不可再进步的限度。
在实际练习中，重新学习与过度学习二者之间的关系很有趣，也很重要。就如同我们前面假设的，想找个明显的例子，其中的联结练习无用，几乎是找不到的。在实际练习时，超出一个联结形成所需要的练习就是过度练习，超出一个特定限度的练习就是重新学习（或者是不必要的学习）。这些学习是为了保持联结的完整功效（或保持它的功效不会下降）。联结的练习在时间分配上有比较经济合理的方法，一旦联结完全形成，任何时间内的过度练习都是浪费，在练习产生的优势出现之前，失用就会抵消这些优势。如果练习太少，相互联系的联结又不易完全建立。读者可在过度练习与过少练习之间寻找平衡点，每个联结每天都可能出现毁损，如果进行适当的重学，恰巧能在单位时间内把所毁损的联结恢复原状（或保证不会出现毁损），这就是最佳的温习时间。在实际练习时，重新学习与过度学习的作用相同，至少在前面所举例子中人为假定的条件下是这样。
综上所述，以下八种因素都足以导致进步发生改变：（1）联结的数量；（2）联结形成的难度；（3）各联结对分数影响的差异；（4）联结的形成顺序；（5）在不同练习时间内推动某种心理功能进步的个体一般能力的差异；（6）已经形成的联结，或即将形成的联结与一个给定联结的关系已经减弱，或者对分数的影响作用已经减弱；（7）联结因失用而被削弱；（8）对已形成的联结进行无用的过度练习。以上八种因素均可能改变进步的速度，一种因素会带来哪种改变，均可以通过推算得出。
这八个因素中的每一个几乎都可以在人类的实际学习中找到例证。考察对各段练习曲线的解释，不论是对最初练习成绩的加速提升、负加速、进步速度接近于零、“高原期”的解释，还是对长期的和短期的上下波动的解释，实际上都是用这八个因素中的这个或那个因素，或者其中的两个或几个因素，根据不同的目的进行解释的。
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注释：
[1]不同的顺序当然也可以形成相同的曲线形式。
[2]如果选择第二种，则需用以形成其余的，成绩从上升至x+8k。
在阶段6，他需用4t保持已形成的联结，那么成绩永远达不到x+8k，如果联结有20个，他可以一边保持形成的联结一边形成剩下的联结，那么他可能达到的最高成绩是x+20k。
[3]随着练习的进展，如果新联结对分数都具有同等的影响作用，但它们的形成越来越容易，那么有这种倾向的人可能一生中很占优势。
[4]除非为保持联结的全部作用，否则这种做法一般说来是无效的。只有在有思考的特别练习中，过度练习对某种特定功能的进步才有作用。