实验和概括的作用。实验是真理的唯一源泉。唯有它能够告诉我们一切新东西，唯有它能够给我们确定性。这是毋庸置疑的两点。
然而，假如实验即是一切，那么给数学物理学还会留下什么位置呢？实验物理学与这样一个似乎无用的、也许甚至有些危险的助手有什么关系呢？
可是数学物理学还是存在着，它做出了无可怀疑的贡献，在这里我们有一个必须说明的事实。
要说明的是，只有观察还是不够的。我们必须利用我们的观察资料，去做我们必需概括的工作。这正是人们一向所做的事情；只是由于记着过去的错误，才使他们越来越小心谨慎，他们越来越多地进行观察，却越来越少地从事概括。
每一个时代都嘲笑在它之前的时代，指责它概括得太快了、太天真了。笛卡儿（Descartes）曾为爱奥尼亚人感到遗憾；但是笛卡儿本人又使我们发笑。无疑地，我们的孩子某一天将会讥笑我们。
但是，我们接着不能直接抵达终点吗？这不是避免我们预见的嘲笑的方法吗？我们不能仅仅满足于赤裸裸的实验吗？
不，这是不可能的；这就完全误解了科学的真实本性。科学家必须按顺序配置。科学是用事实建立起来的，正如房子是用石块建筑起来的一样。但是，收集一堆事实并不是科学，正如一堆石块不是房子一样。
尤其是，科学家必须预见。卡莱尔（Carlyle） [1] 在某处曾经说过与此类似的话：“没有什么比事实更为重要了。让·桑·泰尔（Jean Sans Terre）曾经过这里。这里有一些值得赞美的东西。这里有一种实在，为此实在我愿献出世界上所有的理论。”卡莱尔是培根（Bacon）的同胞；但培根却不这样说。那是历史学家的语言。物理学家宁愿说：“让·桑·泰尔曾经过这里；这件事与我无关，因为他永远也不会再从这条道路经过。”
我们大家都知道，有好的实验，也有不好的实验。不好的实验再多也无用；尽管人们可能做了千百个实验，但是真正的大师——例如巴斯德（Pasteur）——的工作的一个片断就足以使人们忘却那些实验。培根也许完全理解这一点；正是他发明了判决性实验（Experimentum crucis）这个词。但是，卡莱尔却不能理解它。事实就是事实。一个小学生读了温度计上的某一数目；他毫不在意地记下了这个数目；不要紧，他读了它，如果这只是一个可以计及的事实，那么这里就有一个和国王让·桑·泰尔旅行具有同一等级的实在。为什么这位小学生做出的这个读数的事实没有什么趣味，而熟练的物理学家做出的另一读数的事实相反地就十分重要呢？这是因为从第一个读数中我们不能推论出任何东西。那么，什么是好的实验呢？好的实验就是除了一件孤立的事实外，还能告诉我们一些东西；好的实验能使我们预见，也就是说，能使我们概括。
因为没有概括，便不可能预知。人们工作过的环境从来也不会同时统统复现。从而，观察过的行为永远不会发生；能够确认的唯一事情就是，在类似的环境下将产生类似的行为。于是，为了预见，至少必须乞求类比，这就是说，此时已经概括了。
不管人们多么胆怯，还是有必要进行内插。实验只给我们一定数目的孤立的点。我们必须用一条连续的线把这些点连接起来。这就是名副其实的概括。但是，我们还要做得更多一些；我们所画的曲线将通过所观察的点之间，并邻近这些点；它不会通过这些点本身。这样一来，人们并未仅限于概括实验，而且还要矫正它们；如果物理学家企图逃避这些矫正，而真的以赤裸裸的实验为满足，那么他便会被迫说出一些十分离奇的定律来。
因而，赤裸裸的事实对我们来说总是不够的；这就是为什么我们必须拥有有序化的科学，或者宁可说必须拥有经过组织的科学。
人们常说，必须毫无先入之见地做实验。这是不可能的。这不仅会使一切实验毫无结果，而且人们做过这种尝试，都一事无成。每一个人在他的心智中都有他自己的世界概念，他无法轻易地使自己摆脱它。例如，我们必须使用语言；我们的语言正是由先入之见构成的，而不可能是其他。不过这些只是无意识的先入之见，它们比别的先入之见还要危险一千倍。
如果我们引入了其他我们已经充分意识到的先入之见，那么我们只会更加不幸，我们可以这样说吗？我认为不能。我宁可相信它们将起到相互平衡的作用——我将要说它们是解毒剂；一般说来，它们将难以相互一致——它们将彼此冲突起来，因此我们不得不从各个方面考察事物。这足以使我们不受束缚。由于他能够选择他的主人，他不再是奴隶了。
于是，多亏概括，每一个观察到的事实都能使我们预见大量的其他事实；不过，我们务必不要忘记，只有第一个事实是确定的，其他的仅仅是可几的。一个预见在我们看来不管建立得可能多么牢固，如果我们着手证实它，我们从来也没有绝对保证实验不会与它矛盾。可是，这种概率常常如此之大，以至于我们实际上可以满意它。与其根本不去预见，还不如做即使不确定的预见。
因此，当机会来到时，我们永远也不要不屑于去证实。但是所有的实验都是长期的、困难的；勤勉的人没有几个；而我们需要预见的事实的数目是巨大的。与这么大的数目的直接证实相比，我们能够做的直接证实永远只不过是沧海之一粟而已。
我们必须最充分地利用我们能够直接得到的这几个结果；很有必要从每一个实验中获得尽可能多的预见，而且具有程度尽可能高的概率。可以说，这个问题就是增加科学机器的收益。
让我们把科学和应该不断扩充的图书馆比较一下。图书馆员没有供他采购的充裕资金。他应当尽量不浪费资金。
正是实验物理学被委托做采购工作。而且，唯有它才能使图书馆丰富起来。
至于数学物理学，其任务将是编制书目。即使书目编得再好，图书馆也不会更为丰富，但却有助于读者使用它的丰富藏书。
而且，由于它把藏书的脱漏告诉图书馆员，因而能使他明智地使用他的资金；这是更为重要的，因为资金严重匮乏。
于是，数学物理学的作用就是如此。它必须以这样的方式直接概括，以便增加我刚才所谓的科学的收益。它用什么方法能够达到这一点，它如何能够安全地去做，这就是留给我们去研究的问题。
自然界的统一。首先，让我们注意一下，每一种概括在某种程度上都隐含对自然界的统一性和简单性的信念。至于统一性，不会有什么困难。如果宇宙的各部分不像一物的各部件，它们就不会相互作用，它们就不会彼此了解；尤其是，我们只能知其一部分。因此，我们不去问自然是否是一体的，而要问它如何是一体的。
至于第二点，就不是那么容易的事了。不能确定自然界是简单的。我们能够假定它仿佛是这样而毫无危险地行动吗？
有一段时间，马略特定律的简单性成为被乞灵于证明其准确的论据。菲涅耳（Fresnel）在与拉普拉斯（Laplace）的谈话时曾经说过，自然界不关心解析上的困难，为了不过分强烈地触犯盛行的观点，他感到不得不加以说明。
今天，观念大大地改变了；可是，那些不相信自然规律是简单的人还往往不得不像他们相信似的去行动。他们无法完全摆脱这种必要性，除非使一切概括、从而使整个科学变得不可能。
很清楚，任何事实都能够以无限的方式概括，它是一个选择问题。选择只能够受简单性的考虑的引导。让我们举一个最平常的例子，即内插法的例子。我们在观察所给的点之间，画一条尽可能规则的连续线。我们为什么要避开那些造成角的点和太突然的转折呢？我们为什么不使我们的曲线描绘出最为变幻莫测的之字形呢？这是因为我们预先知道或我们自信知道，所表示的定律不会像那一切复杂。
由木星卫星的运动，或由大行星的摄动，或由小行星的摄动，我们可以计算木星的质量。如果我们取这三种方法所获得的测定值的平均数，我们就得到三个十分接近、但又不同的数。我们可以假定引力系数在三种情况下不同，来诠释这一结果。观察结果可以肯定是比较好地表示出来了。我们为什么要拒绝这种诠释呢？这不是因为它是荒谬的，而是因为它不必要地复杂化了。我们只是在不得已的时候接受它，现在还不必这样。
总而言之，通常认为每一个定律都是简单的，直到相反的东西被证明为止。
我刚才说明的原因，把这种习惯强加给物理学家。但是，在每天向我们显示出更丰富、更复杂的新细节的发现面前，我们将如何证明这种习惯是正当的呢？我们进而如何使它与自然界的统一性的信念一致呢？这是因为，假如每一个事物都与其他一切事物有关，那么如此之多的不同因素参与的关系就不会是简单的。
倘若我们研究科学的历史，我们看到发生了两种可以说是相反的现象。有时简单性藏匿在复杂的外观下；有时简单性则是表观的，它隐蔽着极其复杂的实在。
有什么比行星摄动更复杂呢？有什么比牛顿定律更简单呢？正如菲涅耳所说，自然界在那里玩弄解析困难，同时又仅仅使用简单的手段，通过把这些手段结合起来，自然界就产生了我不知道的解不开的死结。藏匿的简单性正好在这里，我们必须发现它。
相反的例子也相当多。在气体运动论中，人们处理以极大速度运动的分子，它们的路径由于频繁的碰撞而发生变化，具有最为变幻莫测的形状，而且在每一个方向通过空间。可观察的结果则是马略特的简单定律。每一个个别的事实是复杂的。大数定律在平均中重建起简单性。在这里，简单性仅仅是表观的，只是我们感官的粗糙妨碍我们洞察复杂性。
许多现象都服从比例定律。但原因何在呢？因为在这些现象中，有一些东西是很小的。因此，观察到的简单定律只是普遍的解析法则——函数的无限小增量与变量的增量成比例——的结果。因为实际上我们的增量不是无限小，而是十分小，所以比例定律只是近似的，简单性只是表观的。我刚才说过适用于小运动的叠加法则，这个法则富有成效，它是光学的基础。
牛顿定律本身又如何呢？它的如此长久未被识破的简单性，也许只是表观的。谁知道它是否由于某种复杂的机制，由于受到不规则运动激励的难以捉摸的物质的影响呢，谁知道它是否只有通过平均作用和大数作用才变简单了呢？无论如何，不假定真实定律包含补余项是困难的，这些项在小距离的情况下是可以察觉的。假如在天文学中这些项作为牛顿定律的修正可以忽略，假如该定律因此恢复了它的简单性，那也许只是因为天体的距离极大的缘故。
毫无疑问，如果我们的研究方法变得越来越透彻，我们便会在复杂的东西之下发现简单的东西，然后在简单的东西之下发现复杂的东西，接着再在复杂的东西之下发现简单的东西，如此循环不已，我们不能预见最后的期限是什么。
我们必须停止在某个地方，要使科学是可能的，当我们找到简单性时，我们就必须停下来。这是唯一的基础，我们能够在这个基础上建立我们的概括的大厦。但是，这种简单性仅仅是表观的，该基础将足够牢固吗？这是必须研究的问题。
为此目的，让我们看看，关于简单性的信念在我们的概括中起什么作用。我们已在为数众多的特例中证实了简单的定律；我们拒不承认这种如此经常重复的一致只能是偶然性的结果，我们得出结论：该定律必须在普遍情况下为真。
开普勒注意到，第谷（Tycho）所观察的行星的位置都在一个椭圆上。他从来也没有片刻想到，由于机遇的奇怪作用，第谷每次观察天象，都是在行星的真实轨道正巧与这个椭圆相交之时。
不管简单性是真实的，还是它掩盖着复杂的实在，这是什么关系呢？或者它是由于降低个体差异的大数的影响，或者它是由于容许我们忽略某些项的一些量或大或小的作用，它绝不是由于机遇。这种简单性不管是真实的还是表观的，总是有原因的。这样一来，我们始终能够遵循同一推理过程，如果在几个特例中观察到简单性，我们便能够合理地假定，它在类似的案例中还是真实的。否认这一点也就是赋予机遇一种不能允许的作用。
可是，其中仍有区别。如果简单性是实在的和基本的，那么即使我们测量手段的精度提高了，这种简单性依然如故。因此，如果我们相信自然界本质上是简单的，我们必然能从近似的简单性推论出严格的简单性。这是以前所做过的东西；这是我们不再有权利去做的东西。
例如，开普勒定律的简单性仅仅是表观的。这并不妨碍它们十分近似地应用于类似于太阳系的一切系统；但是，这却使它们不是严格精确的。
假设的作用。一切概括都是假设。因此，假设有着必不可少的作用，这永远是谁也无法辩驳的。不过，它应当总是尽可能早地、尽可能经常地受到证实。当然，如果它经不起这种检验，人们就应该毫无保留地抛弃它。这正是我们通常所做的工作，但是有时人们却有点儿病态情绪。
好了，甚至这种病态情绪也不是正当的。真正抛弃了他的假设之一的物理学家反而应当十分高兴；因为他找到了一个未曾料到的发现机会。我想，他的假设并不是毫无考虑地采纳的；这个假设考虑了一切似乎能够参与现象的已知因素。如果检验不支持它，那正是因为存在着某些未曾预期的、异乎寻常的东西；因为在那里存在着将要去寻找的未知的新颖的东西。
可是，被抛弃的假设是毫无成效的吗？远非如此，可以说，它比真实的假设贡献更大。它不仅是决定性实验（ decisive experiment）的诱因，而且若不做这个假设，该实验即使碰巧做成功，也不会从中推出什么东西。人们不会看到异常的东西；人们只不过多编入了一个事实，而不能从中演绎出最小的结果。
现在要问，在什么条件下利用假设而毫无危险呢？
服从实验的坚定决心是不够的；还有危险的假设；首先，尤为重要的是不言而喻的和无意识的假设。由于我们是在不了解实验的情况下做假设的，因此我们无力抛弃这些假设。可是在这里，数学物理学再次能够帮助我们。因为数学物理学是以精确为特征的，所以它迫使我们制定一切假设，我们在没有它时也可以做假设，但却是无意识地做出的。
此外，我们要注意，重要的是不要过分地增加假设，只能一个接一个地做假设。如果我们在若干假设的基础上构造理论，如果实验否证它，我们前提中的哪一个必须改变呢？这将是不可能知道的。相反地，如果实验成功了，我们可以认为我们一举证明了所有假设吗？我们会相信只用一个方程就能决定几个未知数吗？
同样，我们务必仔细区分各类假设。其中一类假设是极其自然的，人们几乎不能避免它。人们难得不假定，十分遥远的物体的影响完全可以忽略，小移动遵循线性定律，结果是其原因的连续函数。我同样将要讲对称性给予的条件。事实上，这一切假设形成了数学物理学所有理论的公共基础。它们是最后应该被舍弃的东西。
还有第二类假设，我将称其为中性假设。在大多数问题中，解析家在计算之初就假定，或者物质是连续的，或者相反，物质是由原子构成的。他可以做相反的假定，而不改变他的结果。他只可能比较费神地得到这些结果；这就是一切。因此，譬如实验确认（confirmation）了他的结论，他可以认为他证明了原子的真实存在吗？
在光学理论中，引入了两种矢量，其一被看做速度，其二被视为涡旋。这里还是一个中性假设，因为采取正好相反的假设，也能得到同样的结论。因此，实验成功也不能证明第一个矢量实际上是速度；实验只能证明一件事，即它是矢量。这是在前提中实际引入的唯一假设。为了把我们软弱的心智所要求的具体外观给予它，那就必须或者视其为速度，或者视其为涡旋，按同样的方式，或者必须用字母x表示它，或者必须用字母y表示它。然而，不管结果如何，正像这不证明把它称为x而不称为y是对还是错一样，这也不证明把它看做速度是对还是错。
只要这些中性假设的特征不被误解，它们就永无危险。这些假设可能是有用的，它们或者作为计算的技巧，或者有助于我们理解具体的图像，或者如人们所说的那样坚定我们的观念。从而没有排除它们的场合。
第三类假设是真正的概括。它们是实验必须确认或否证的假设。不管确认或宣告不适用，它们将总是富有成效的。但是，由于我已经提出的理由，它们将只有在它们为数不太多的情况下才是富有成效的。
数学物理学的起源。让我们进一步深究一下，比较仔细地研究一下容许数学物理学发展的条件。我们立即看到，科学家的努力总是为了把实验直接给出的复杂现象分解为为数众多的基本现象。
这可以用三种不同的方式来做：首先，在时间里分解。其目的仅仅是把每一时刻与紧挨它的前一时刻联系起来，而不是把现象的渐次发展包容在它的整体中。人们承认，世界的实际状态只依赖于紧挨着的过去，也可以说，它不受遥远的过去的记忆的直接影响。由于这个公设，我们不去直接研究现象的整个接续，可以把我们自己局限于它的“微分方程”。我们用牛顿定律代替开普勒定律。
其次，我们尝试在空间中分析现象。实验给予我们的是一堆混乱的事实，这些事实在相当大的舞台上演出。我们必须试图发现基元现象，这些现象反而将定域在很小的空间区域。
举几个例子也许可以更充分地理解我的思想。假如我们希望研究正在冷却的固体的温度分布，我们永远也不会成功。如果我们想到固体的一点不能直接把它的热传给遥远的点，那么一切就变得简单了；该点将把它的热仅仅传给紧邻接的点，然后热流逐渐地到达固体的其他部分。基元现象是两个相邻点之间的热交换。只要我们承认——这是很自然的——它不受其距离是易觉察的分子的温度的影响，那么问题就被严格定域了，也就比较简单了。
我折弯一根棒。它将呈现出十分复杂的形状，直接研究这种形变是不可能的。但是，不管怎样，我能够着手处理它，只要我注意到棒的弯曲是棒的很少的要素形变的结果，而且这些要素每一个的形变只与直接施加在它上面的力有关，而与可能作用在其他要素上的力根本无关。
我可以毫不费力地举出许多例子，在所有这些例子中，我们承认不存在超距作用，或者至少认为不存在大距离的作用。这是一种假设。它并非总是为真，引力定律向我们表明了这一点。因此，它必须受到证实。如果它被确认了，即使是近似地确认了，那也是宝贵的，因为它能使我们至少用逐次逼近法来建造数学物理学。
如果这个假设经不起检验，那我们就必须寻找其他类似的东西；因为还有其他手段达到基元现象。如果几个物体同时作用，那么可能发生这样的情况：它们的作用可以是独立的，而且或者作为矢量，或者作为标量，彼此简单地相加。基元现象因而是孤立物体的作用。或者，我们不得不再次处理小运动，或更普遍地处理小变分（variations），这服从众所周知的叠加律。于是，所观察到的运动将被分解为简单的运动，例如声被分解为谐音，白光被分解为单色光。
当我们发现在什么方向对于寻找基元现象来说是可取的时候，我们用什么办法才能达到目的呢？
首先，常常会发生这种情况：为了检测它，或者更恰当地讲为了检测它对我们有用的部分，没有必要深入到机制之内；大数定律就足够了。
让我们再举一个热传播的例子。每一个分子都向每一个邻近的分子发出辐射线。我们并不需要知道按照什么定律。如果我们就此做出任何假定，那么它可能是中性假设，从而它是无用的、不能证实的。事实上，由于平均作用和媒质的对称性，所有差别都被拉平了，而且不管可能做什么假设，结果总是相同的。
在电理论和毛细现象理论中，也出现同样的情况。邻近的分子相互吸引和排斥。我们不需要知道按照什么定律；在我们看来，只要这种引力仅在小距离内才可察觉，只要分子是极多的，只要媒质是对称的就足够了，我们只要让大数定律起作用就行了。
在这里，基元现象的简单性再次藏匿在可观察现象的复杂性下面；但是，这种简单性本身只是表观的，它隐蔽着极其复杂的机制。
达到基元现象的最好手段显然是实验了。我们应当用实验设法解开自然界供给我们研究的一捆复杂的乱丝，仔细地研究尽可能多的孤立的要素。例如，自然界的白光可以借助棱镜分解为单色光，可以借助起偏振镜分解为偏振光。
不幸的是，这既非总是可能的，亦非总是充分的，有时心智要超过实验。我将只引证一个例子，这个例子经常强烈地震撼着我。
如果我分解白光，我将能够把光谱的一小部分孤立起来，但是这部分无论可能多么小，它总会保持一定的宽度。同样地，所谓单色光的自然光给我们一条十分窄的线，但是不管怎样，它并不是无限窄。可以设想，在用实验研究这些自然光的特性时，用越来越精细的光谱线做试验，最后便通过一个极限，于是可以说，我们成功地获悉了严格的单色光的性质。
这不可能是准确的。设从同一光源发出两束光线，我们先使它们在两个垂直平面上偏振，然后使它们返回到同一偏振面，再试图使它们发生干涉。如果光严格地是单色的，那么它们就会干涉。用我们的接近单色的光做实验，就没有干涉现象，无论谱线多么窄也不行。为了发生干涉，就必须使谱线比已知的最精细的谱线还要窄几百万倍。
可是在这里，我们被通过极限欺骗了。心智必须超过实验，如果能成功地做到这一点，那正是因为心智容许自己受简单性本能的指导。
知道基本事实能使我们用方程表达问题。此外只要通过组合，从这个方程演绎出能够观察和能够确认的复杂事实就行了。这就是所谓的积分，它是数学家的事务。
人们可能要问，在物理科学中，概括为什么如此迅速地采取数学形式呢？现在，理由是很容易看到的。这不仅因为我们具有用数字表示的定律；还因为可观察的现象是由大量的完全相似的基元现象叠加而成的。从而很自然地引入了微分方程。
每一个基元现象服从简单的定律还是不够的；所有这些组合在一起的现象必须服从相同的定律。唯有这样，数学的介入才会有用处；数学实际上教导我们把同类的东西与同类的东西组合起来，数学的目的在于了解组合的结果，不需要重新一个一个地组合。如果我们不得不数次重复同一运算，那么由于它通过一种归纳法预先告诉我们运算的结果，从而能使我们避免这种重复。在上面的关于数学推理的那一章中，我已经说明了这一点。
但是，就这一点而言，所有的运算必须是相似的。在相反的个例中，显然必须在实际上一个接一个地顺从做运算，而数学也就变得无用了。
可是，多亏物理学家所研究的物质的近似的均匀性，数学物理学才可能诞生。
在自然科学中，我们再也找不到这些条件：均匀性、远离部分的相对独立性、基本事实的简单性；这就是为什么博物学家被迫诉诸其他概括方法。
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[1] 托马斯·卡莱尔（Thomas Carlyle，1795~1881）是苏格兰散文作家和历史学家。主要著作有《法国革命》、《论英雄、英雄崇拜和历史上的英雄事迹》等。——译者注