能量学。经典力学所固有的困难导致某些心智提出一种新体系，他们称其为能量学。
能量学是作为能量守恒原理发现的结果而出现的。亥姆霍兹（Helmholtz）给它以最终形式。
能量学是通过定义在这个理论中起基本作用的两个量而开始的。它们是动能或活力以及势能。
自然界中的物体所能经历的一切变化遵从两条实验定律：
1°动能和势能之和是常数。这是能量守恒原理。
2°如果一个物体系在时间t0处于A，在时间t1处于B，那么它总是以这样的方式从第一种境况达到第二种境况，即在把这两个时间t0和t1分开的时间间隔内，两种能之差的平均值要尽可能地小。
这是哈密顿（Hamilton）原理，它是最小作用原理的形式之一。
与经典理论相比较，能量学理论具有下述优点：
1°它比较完备；也就是说，哈密顿原理和能量守恒原理告诉我们的东西比经典理论的基本原理为多，而且它排除了某些在自然界中无法实现的可以和经典理论相容的运动。
2°它使我们省去了原子假设，对于经典理论来说，这个假设几乎是不可避免的。
但是，它本身却引起了新的困难。
能量的两种定义可以引起一些困难，这些困难几乎像在第一个体系中的力和质量的定义所产生的困难那样大。不过，可以比较容易地克服它们，至少在最简单的个例中是这样。
设有一个由一定数目的质点形成的孤立系统；设这些质点受到只依赖于它们的相对位置和相互距离、而不依赖于它们的速度的力的作用。根据能量守恒原理，力函数必须存在。
在这个简单的个例中，能量守恒原理的阐述极其简单。实验可达到的某一量必须保持常数。这个量是两项之和；第一项只依赖于质点的位置，而不依赖于它们的速度；第二项与这些速度的平方成比例。这种分解只能以单一的方式进行。
我把第一项称为U，它是势能；我把第二项称为T，它是动能。
的确，若T+U是常数，则T+U的任何函数
ϕ（T+U）
也是这样。但是，这个函数将不是这样两项之和：一项不依赖于速度，另一项与这些速度的平方成比例。在这些保持为常数的函数中，只存在一种享有这个特性的函数，即T+U（或T+U的线性函数，这归根结底是一回事，因为这个线性函数总可以通过单位和原点变化而简化为T+U）。于是，这就是我们所谓的能量；我们将称第一项为势能，第二项为动能。因此，能量的这两种定义能够贯彻到底，没有任何模棱两可之处。 这与质量的定义相同。动能或活力可以十分简单地用所有质点的质量和相对于它们之一的相对速度来描述。这些相对速度是观察可以达到的，当我们知道作为这些相对速度函数的动能表示式时，那么这个表示式的系数将给我们以质量。
因此，在这种简单的个例中，可以毫无困难地定义基本观念。但是，在比较复杂的个例中，困难就出现了，例如，若力不是仅仅依赖于距离，而且也依赖于速度，则情况就是如此。比如，韦伯（Weber）设想两个电分子的相互作用不仅依赖于它们的距离，而且也依赖于它们的速度和加速度。如果质点按照类似的规律相互吸引，那么U便依赖于速度，而且必须包含与速度平方成比例的项。
在这些与速度平方成比例的项中，如何区分来自T的项和来自U的项呢？从而如何区分能量的两部分呢？
还有，如何定义能量本身呢？当表征T+U特点的性质，即其为一特殊形式的两项之和的性质消失时，我们不再有任何理由把T+U作为定义、而不把T+U的任何其他函数作为定义。
但是，这并非问题的全部；我们不仅必须考虑在严格意义上所谓的机械能，而且必须考虑其他形式的能：热、化学能、电能等等。能量守恒原理应该写成：
T+U+Q＝常数，
在这里，T表示可觉察的动能，U表示只取决于物体位置的位置势能，Q表示在热形式、化学形式或电形式下的分子内能。 如果这三项是完全清楚的，如果T与速度的平方成比例，U与这些速度和物体的状态无关，Q与速度和物体的位置无关而权仅与它们的内部状态有关，那么一切都会顺利地进行。
能量的表示式只能以唯一的方式分解为这一形式的三项。
但是，情况并不是这样；考虑一下带电体；归因于带电体的相互作用的静电能显然将取决于它们的电荷，也就是说，取决于它们的状态；可是，静电能同样也依赖于它们的位置。如果这些物体处于运动之中，那么从电动力学的角度来看它们将相互作用，电动力学能将不仅与它们的状态和位置有关，而且与它们的速度有关。
因此，我们没有任何办法把应该构成T、U和Q的部分的项分开，也没有任何办法把能的三部分分开。
若（T+U+Q）是常数，则任何函数ϕ（T+U+Q）也是常数。
如果T+U+Q是我上面所考虑的特殊形式，结果便不会有模棱两可之处；在依然是常数的函数ϕ（T+U+Q）中，只可能有一种函数具有这种特殊形式，我愿称其为能量。
但是，正如我已经说过的，严格讲来情况并非如此；在依然是常数的函数中，没有一个函数能够严格地放在这种特殊形式之下；因此，怎样在它们中间选择可以称之为能量的函数呢？我们没有任何办法指导我们做出抉择。
对我们来说，能量守恒原理只剩下一种阐述：存在着依然是常数的某种东西。在这种形式下，它本身也超出了实验所及的范围，划归为一种同义反复。很清楚，如果世界受规律支配，那么将存在依然是常数的量。像牛顿定律一样，由于类似的理由，实验不再能够使建立在实验基础之上的能量守恒原理失效。
这一讨论表明，在从经典体系到能量学体系的过渡中，人们获得了进步；可是，与此同时，这一讨论也表明，这种进步是不充分的。
另一种反对意见在我看来似乎更为严重：最小作用原理能应用于可逆现象；但是，当涉及到不可逆现象时，它根本不满足；亥姆霍兹企图把它推广到这类现象，但没有取得成功，而且他也不可能取得成功；在这方面，一切事情还有待去做。最小作用原理的陈述本身也与心智有些不相容。不受力的作用而要求在一面上运动的物质分子在从一点到另一点时，将取道短程线，也就是说，取道最短的路径。
这个分子似乎知道它必须被引到那一点，并且似乎预见到它沿这样一条路线到达该点所需要的时间，然后选择最适宜的路径。在我们看来，这种陈述可以说把分子描述成一种活生生的和自由的生物。显然，最好用一个不怎么使人讨厌的阐述来代替它。在那里，正如哲学家可能说的，目的因似乎不会代替动力因。
热力学。 [3] 在自然哲学的各个分支中，热力学两个基本原理的作用日益变得重要了。在放弃40年前用分子假设阐明的雄心勃勃的理论时，我们今天正在力图把整个数学物理学大厦仅仅建立在热力学之上。迈尔（Mayer）和克劳修斯（Clausius）的两个原理能保证其基础牢固得足以持续一段时间吗？无人怀疑这一点；但是，这种确信从何而来呢？
某一天，一位著名的物理学家向我谈到误差律时中肯地说过：“全体世人之所以坚定地相信它，是因为数学家设想它是观察事实，而观察家则设想它是数学定理。”就能量守恒原理而言，长期以来就是如此。它今天不再是这样了；没有一个人不知道这是实验事实。
然而，我们有什么权利认为该原理比用来证明它的实验更普遍、更精确呢？这也就是询问，正如人们每天所做的那样概括经验材料是否合法，在如此之多的哲学家为解决它而枉费心机之后，我不想冒昧地讨论这个问题。有一件事情是确定的；假如我们不具备这种能力，科学便不会存在，或者至少变成一种存货清单，变成孤立事实的断言，这样科学对于我们来说就会毫无价值，由于它不可能满足我们对秩序与和谐的渴望，同时也由于它不能作出预见。因为在任何事实之先的境况大概从来也不会同时复现，所以第一次概括已经是必要的，以便预见在这些境况有一点点变化之后，这个事实是否将再次产生。
但是，每一个命题都可以用无限的方式概括。在所有可能的概括中，我们必须选择，我们只能选择最简单的。因此，我们被诱使如此行动，仿佛简单定律——其他事情都相同——比复杂定律更概然（probable）一样。
半个世纪之前，人们坦白地表明了这一信仰，并且宣布自然界喜欢简单性；从此以后，自然界十分经常地指责我们说谎。今天，我们不再承认这种意向，我们仅保留必不可少的那么多的意向，以使科学不致变得不可能。
因此，在相对少量的、表现出某些偏差的实验的基础上形成普遍的、简单的和精确的定律时，我们只不过是服从了一种需要，人的心智不能使自己摆脱这种需要。
可是，还有更多的东西，这就是我为什么要详细讲述该论点的原因。
没有人怀疑从一切特殊定律得到的迈尔原理注定比这些定律的寿命要长，正如牛顿定律比它从中产生的开普勒定律寿命要长一样，如果考虑到摄动，开普勒定律仅仅是近似的。
为什么这个原理在所有的物理学定律中占据着如此优越的地位呢？就此而言有许多琐碎理由。
首先人们认为，在不承认永恒运动可能性的情况下，我们不能排斥它，甚或不能怀疑它的绝对严格性；当然，我们对这样的前景保持着警惕，我们自己认为肯定迈尔原理比否定迈尔原理要稳妥一些。
给人以深刻印象的迈尔原理的简单性同样有助于增强我们的信仰。在直接从实验推演的定律中，例如在马略特（Mariotte）定律中，简单性在我们看来似乎反倒成为怀疑的理由。但是，在这里情况不再如此；我们发现，乍看起来毫无联系的元素，它们本身以出乎意外的顺序排列起来，形成一个和谐的整体；我们绝不相信，未曾预见的和谐只是偶然性的结果。这就好像我们花费的力气越大，我们赢得的胜利也就越发可贵，或者说自然界愈是小心翼翼地向我们隐藏她的秘密，我们愈加确信从她那里能夺取真正的秘密。
然而，这些不过是微不足道的理由；为了把迈尔定律作为一个绝对的原理确立起来，必须进行比较深入的讨论。但是，如果人们试图这样做，那么他们就会发现，这个绝对的原理甚至不容易陈述。
在每一个特例中都可以清楚地看到能量是什么，至少能够给它一个暂定性的定义；但是，要为它找到一个普遍的定义，则是不可能的。
如果我们力图把这个原理加以十分普遍地阐述，并把它应用到宇宙，那么我们就会看到它化为乌有，也可以说，除了存在着某种依然是常数的东西之外，它什么也没有留下。
但是，连这句话也有什么意义吗？按照决定论的假设，宇宙的状态是由数目极大的n个参数决定的，我们将称其为x1，x2，…xn。只要已知这n个参数在任一时刻的值，那么同样也就知道了它们对于时间的导数，从而能够计算出这些参数在此之前或之后的时刻的值。换句话说，这n个参数满足n个一阶微分方程。
这些方程容许有n-1个积分，从而存在x1，x2，…xn的n-1个函数，它们依然是常数。假如我们说存在着某种依然是常数的东西，我们所说的只不过是同义反复而已。我们甚至很难说出，在所有这些积分中，哪一个应该保留能量的名称。
此外，当把迈尔原理应用到有限系统时，就不能在这种涵义上来理解它。于是人们假定，我们的参数中有p个是独立地变化的，以至于在n个参数和它们的导数之间，我们只有n-p个关系，它们一般是线性的。
为了简化阐述，假定外力作功之和是零，散发到外界的热量也是零。这样一来，我们的原理的意义将是：
在这n-p个关系中存在一种组合，其第一个元是恰当微分；然后，根据n-p个关系，这个微分变为零，它的积分便是常数，这个积分被称之为能量。
但是，有几个参数的变化是独立的，这怎么能够是可能的呢？这种情况只有在外力的影响下才能发生（为简单起见，虽然我们已假定这些力的结果的代数和是零）。事实上，假使这个系统完全与所有外部作用隔离，那么我们的n个参数在给定时刻的值就足以决定该系统在任一后继时刻的状态，倘若我们总是保留决定论的假设的话；因此，我们又回到与上面一样的困难。
如果该系统未来的状态完全不由它的现在的状态来决定，那么这是因为它还依赖于该系统之外的物体的状态。可是，在确定该系统状态的参数x之间，有可能存在独立于外部物体的这一状态的方程吗？另外，如果我们在某些个例中相信我们能够找到这样的方程，那么这是否不仅仅由于我们无知，而且还因为这些物体的影响太微弱，以致我们用实验检测不到它吗？
如果这个系统不能被看做是完全孤立的，那么很可能，它的内能的严格精确的表示式将取决于外部物体的状态。再者，我在上面已经假定外功之和为零，如果我们力图使自己摆脱这个有点人为的限制，那么阐述就变得更加困难。
要在绝对的涵义上阐述迈尔原理，从而必须把它推广到整个宇宙，于是我们发现我们企图避免的困难又呈现在面前了。
总之，利用日常语言，能量守恒定律只能有一种涵义，这就是存在着一种对一切可能性都是共同的特性；可是，按照决定论的假设，只有一种可能性，从而这个定律不再有任何意义。
相反地，按照非决定论的假设，它却有意义，即使在绝对的涵义上理解它；它也许是强加在自由上的一种限制。
但是，自由这个词使我想到，我正在离开主题，正要跑到数学和物理学领域之外的地方。因此，我要自我克制，并在这一整个讨论中将只强调一个印象，即迈尔原理具有足够灵活的形式，足以使我们把我们所希望的几乎任何东西都放入其中。由此看来，我没有意指它对应于非客观实在的东西，也没有意指它仅仅划归为同义反复，因为在每一个特例中，只要人们不企图把它推向绝对，它就具有十分清楚的意义。
这种灵活性是人们相信它的持久性的理由，另一方面，因为它只有融入更高级的和谐中才会消失，所以我们可以满怀信心地依靠它去工作，可以预先肯定，我们的努力不会白费。
我刚刚说过的几乎一切都适用于克劳修斯原理。与之不同的是，它是用不等式来表示的。也许人们会说，它与一切物理定律相同，由于这些定律的精确性总是受到观察误差的限制。但是，它们至少自命为一级近似，人们希望用愈来愈精确的定律逐渐代替它们。另一方面，如果克劳修斯原理划归为不等式，那么这并不是我们的观察手段不完善的缘故，而是由该问题的真正本性引起的。
关于第三编的总结论
这样一来，力学原理以两种不同的姿态出现在我们的面前。一方面，它们是建立在实验基础上的真理，就几乎孤立的系统而言，它们被近似地证实了。另一方面，它们是适用于整个宇宙的公设，被认为是严格真实的。
如果这些公设具有普遍性和确定性，而从中引出它们的实验事实反倒缺乏这些性质，那么，这是因为它们经过最终分析便划归为约定，我们有权利做出约定，由于我们预先确信，实验永远也不会与之矛盾。
然而，这种约定不是完全任意的；它并非出自我们的胡思乱想；我们之所以采纳它，是因为某些实验向我们表明它总是方便的。
这样就可以说明，实验如何能够建立力学原理，可是实验为何不能推翻它们。
与几何学作一下比较：几何学的基本命题，例如欧几里得的公设，无非是些约定，要间它们是真还是假，正如问米制是真还是假，同样是没有道理的。
这些约定只是方便的，正是某些实验告诉我们这一点。
乍一看，类比是圆满的；实验的作用似乎是相同的。因此，人们将会说：或者必须把力学看做是实验科学，于是同样的结论对几何学而言也必定成立；或者相反，几何学是演绎科学，于是人们可以说力学也是如此。
这样的结论恐怕是不合理的。实验引导我们把几何学的基本约定视为比较方便的东西而加以采纳，但是这些实验依据的是与几何学所研究的对象毫无共同之处的客体；它们与固体的性质有关，与光的直线传播有关。它们是力学实验，光学实验；它们无论如何不能被看做是几何学实验。甚至可以说，我们的几何学在我们看来似乎是方便的主要理由在于，我们身体的各部分、我们的眼睛、我们的四肢，都具有固体的性质。为此缘故，我们的基本实验是出色的生理学实验，这些实验与作为几何学家必须研究的对象即空间无关，而与他的身体，也就是说，与他为从事这一研究必须利用的器具有关。
相反地，力学的基本约定和向我们证明它们是方便的实验与严格相同的客体或类似的客体有关。约定的和普遍的原理是实验的和特殊的原理的自然而直接的概括。
让别人不要说我在科学之间划出一道人为的防线吧；而且，假如我用一道屏障把严格意义上所谓的几何学与固体的研究分隔开来，那么我同样能够在普遍原理的实验式的力学和约定式的力学之间设立一道屏障。事实上，在把这两门学科分开时，我把它们二者都弄得支离破碎了，当约定式的力学被孤立时，它将留下的只是微不足道的东西，而且无论如何也不能和被称之为几何学的这门学科的华美主体相比，谁看不到这一切呢？
现在人们看到，力学教学为什么还应该是实验的。
只有这样，才能够使我们了解科学的起源，这对于完整地理解科学本身是必不可少的。
此外，我们研究力学，那是为了应用它；只有它始终是客观的，我们才能够应用它。现在，正如我们看到的，原理在普遍性和确定性方面有所得，它们在客观性方面就有所失。因此，我们必须尽早熟悉的，尤其是原理的客观性方面，只有从特殊到普遍，而不是反其道而行之，我们才能做到这一点。
原理都是约定或隐蔽的定义。可是，它们是从实验定律引出的；可以说，这些定律被提升为原理，我们的心智把绝对的价值赋予它们。
有些哲学家概括得太过分了；他们认为原理就是整个科学，从而认为全部科学都是约定的。
这种自相矛盾的学说就是所谓的唯名论，它经不起审查。
定律怎么能变成原理呢？它表达了两个真实项A和B之间的关系。但它并非严格为真，它仅仅是近似的。我们任意引入一个或多或少是虚构的中间项C，按照定义，C恰好与A有该定律所表示的关系。
于是，我们的定律被分为两部分：其一是绝对而严格的原理，它表示A和C的关系；其二是实验的定律，它是近似的和可修正的，表示C和B的关系。很清楚，不管把这种分割推得多么远，将总有一些定律依然留下来。
现在，我们将进入严格所谓的定律的领域。
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[1] 下文是我的著作《热力学》（Thermdynamipue）序言中的一部分。