要获悉数学家对连续统（continuum）任何理解，人们不应询问几何学。几何学家总是企图或多或少地想象他所研究的图形，但是他的表象在他看来仅仅是一种工具；在创造几何学时，他要利用空间，正如他用粉笔画图一样；对非本质的东西不应当赋予过多的权重，其重要性往往并不比粉笔的白色更多一些。
纯粹的解析家并不害怕这一危险。他使数学科学脱离所有无关的元素，而且他能够回答我们的问题：“严格地说来，数学家就其进行推理的这个连续统是什么呢？”许多对他们的技艺进行沉思的解析家已经做出了回答；例如，塔纳里（Tannery）先生在他的《单变函数论导论》一书中就这样作了。
让我们从整数的标度开始；在两个连续步骤之间插入一个或多个中间步骤，然后在这些新步骤中再插入其他步骤，如此类推，以至无穷。这些步骤将是所谓的分数、有理数或可通约数。但是，这还不够；无论如何，在这些已经是无限个数的项之间，还必须插入称之为无理数或不可通约数的其他数。在更进一步之前，我们要评论一下。如此设想的连续统，只不过是按某种顺序排列起来的、在数目上无限的个体的集合物，它虽则为真、但却是相互外在的。这不是通常的概念，其中假定，在连续统的元素之间，存在着一类使它们成为整体的密切的结合物，在那里，点不是在线之先，而是线在点之先。从“连续统是相重数（multiplicity）的单位（unity）”这一受人称颂的公式中，只保留着多样性（multiplicity），统一性（unity）却消失了。解析家在像他们所作的那样定义连续统时，他们仍然是正确的，因为只要他们夸耀他们的严格性，他们总是正好以此公式推理的。这足以告诉我们，真正的数学连续统是与物理学家的连续统和形而上学家的连续统大相径庭的东西。
也许可以说，满足于这个定义的数学家受到词的愚弄，为了解释这些中间步骤如何被插入，为了证明这样做是可能的，就必须精确地讲出每一个中间步骤的是什么。但是，那就错了；在他们的推理 [1] 中所运用的这些步骤的唯一特性是在如此这般的步骤之前或之后存在的特性；因此，也唯有这一特性应当出现在定义中。
这样看来，中间项应该如何插入不需要我们涉及；另一方面，没有一个人会怀疑这种操作的可能性，除非他忘记了，在几何学家的语言中，可能的仅仅意味着无矛盾。
不管怎样，我们的定义还不完备，我将在这段冗长的题外话之后再谈及它。
不可通约数的定义。柏林学派的数学家，尤其是克罗内克（Kronecker），不用整数以外的任何材料，致力于构造分数和无理数的这一连续标度。照此看来，数学连续统也许是心智的纯粹创造，经验大概并未参与其中。
有理数概念对他们来说似乎没有困难，他们主要力求定义不可通约数。可是，在这里介绍他们的定义之前，我必须议论一下，以抢先保证不引起那些不熟悉几何学家习惯的读者的惊奇。
数学家研究的不是客体，而是客体之间的关系；因此，只要关系不变，这些客体被其他客体代换对他们来说是无关紧要的。在他们看来，内容（matter）是不重要的，他们感兴趣的只是形式。
不想到这一点，就无法理解戴德金（Dedekind）竟然会把纯粹的符号称为不可通约数，也就是说，这种数完全不同于应当是可度量的并且几乎是可触知的量的普通观念。
现在，让我们看看戴德金的定义是什么：
可通约数能够以无穷方式分为两类，以致第一类中的任何数都大于第二类中的任何数。
也可能会出现这种情况：在第一类数中，有一个数小于所有其他数；例如，如果我们把所有大于2的数和2本身排在第一类，把所有小于2的数排在第二类，那么很清楚，2将是第一类所有数中最小的。数2可以选来作为这种分类的符号。
相反地，也可能会出现下述情况：在第二类数中，有一个数大于所有其他数；例如，如果把所有大于2的数排在第一类，把所有小于2的数和2本身排入第二类，情况就是这样。在这里，数2再次可以选作分类的符号。
但是，同样完全可以发生下述情况：在第一类中既不存在小于所有其他数的数，在第二类中也不存在大于所有其他数的数。例如，假定我们把其平方大于2的所有可通约数放入第一类，把其平方小于2的所有可通约数放入第二类。这里没有其平方恰恰是2的数。显然，在第一类中没有小于所有其他数的数，因为不管一个数的平方多么接近2，我们总是能够找到一个可通约数，其平方更接近于2。
按照戴德金的观点，不可通约数
或
无非是把可通约数分开的这一特殊式样的符号；于是，对于每一种分开的式样，对应着一个可通约数或不可通约数作为它的符号。 可是，满足这一点也许未免过于轻视这些符号的来源了；依然要说明，我们如何被导致把一种具体的存在赋予它们，此外，甚至对于分数本身来说，一开始不就存在着困难吗？如果我们预先不了解我们认为是无限可分的内容即连续统，我们会有这些数的概念吗？
物理连续统。我们于是问自己，数学连续统的概念是否只是从经验而来。如果是，那么经验的粗糙材料——这就是我们的感觉——也许容许度量。我们可能被诱使认为，它们实际上就是如此，由于最近有人企图去测量它们，甚至提出了一个通称费希纳（Fechner）定律的规律，按照这个定律，感觉与刺激的对数成正比。
然而，如果我们较为仔细审查一下曾经试图建立这个定律的实验，我们将会得出截然相反的结论。例如，人们观察到，10克的重物A和11克的重物B产生相同的感觉，重物B与12克的重物C同样无法区分，但是重物A却很容易与重物C区别开来。于是，经验的粗糙结果可以用下述关系来表示：
A＝B，B＝C，A＜C，
可以把这些关系视为物理连续统的公式。 可是，这里存在着与矛盾律无法容忍的背离，消除这一背离的需要迫使我们发明数学连续统。
因此，我们不能不得出结论：这一概念完全是由心智创造的，但是经验为它提供了机会。
我们无法相信，等于第三个量的两个量彼此不相等，以致我们可以假定，尽管A不同于B，B不同于C，但是由于我们的感官不完善，不容许我们区别它们。
数学连续统的创造。第一阶段。迄今为止，为了说明事实起见，只要在A和B之间插入几项就足够了，这几项依然是离散的。如果我们求助于某些工具以弥补我们感官的软弱无力，例如我们使用显微镜，那么现在会发生什么情况呢？像以前不可区别的A和B项，现在也似乎可以区分了；可是，在现在变得可区分的A和B之间再插入一个新项D，则我们既不能把它与A区别开来，也不能把它与B区别开来。除非使用最完善的方法，我们经验的粗糙结果将总是呈现具有内在矛盾的物理连续统的特征。
只有在已经区分开来的项中连续不断地插入新项，我们才能摆脱它，而且这一操作必须无限期地进行。如果我们能够想象某种威力充分强大的工具，足以把物理连续统分解为离散的元素，就像望远镜把银河分解为恒星那样，我们就可以设想中止这种操作。但是，我们不能想象这一点；事实上，我们正是用眼睛观察显微镜放大了的图像的，因此这个图像必然总是包含着视觉的特征，从而包含着物理连续统的特征。
直接观察到的长度和用显微镜放大一倍的这一长度之半无法区分。整体与部分是齐性的；这是一个新的矛盾，或者确切地讲，如果假定项数是有限的才是这样的；事实上，很清楚，包含比整体少的项的部分不可能相似于整体。
当项数被认为是无限时，矛盾就不存在了；例如，没有什么东西妨碍人们认为整数的集合相似于偶数的集合，虽则偶数只不过是整数的一部分；事实上，每一个整数都对应着一个偶数，即对应着整数的倍数。
但是，心智被引导创造出用无限数目的项形成的连续统的概念，这并不仅仅是为了避免包含在经验材料中的这种矛盾。
一切都像在整数序列中发生的一样。我们有能力设想，一个单位能够加到多个单位的集合中；多亏经验，我们才有机会训练这种能力，我们逐渐意识到它；可是，从这时起，我们感到我们的能力没有限度，我们能够无限期地数下去，尽管我们从来还没有数过多于一个有限数目的对象。
同样地，只要我们被诱使在一个级数的两个相继项之间插入中间项，我们便发觉，这种操作能够超越所有限度而继续下去，也就是说，没有停止的固有理由。
为简便起见，让我把按照与可通约数的标度相同的规则形成的项的每一个集合称为一阶数学连续统。如果我们进而按照形成不可通约数的规律插入新的步骤，我们将会得到我们所谓的二阶连续统。
第二阶段。迄今，我们仅仅是迈出了第一步；我们说明了一阶连续统的起源；但是，有必要看到，为什么甚至连它们也不是充分的，为什么必须发明不可通约数。
如果我们试图想象一条线，那么它必须具有物理连续统的特征，也就是说，除非具有某一宽度，否则我们将无法描绘它。于是，两条线在我们看来似乎形成了两条狭带，如果我们满足于这种粗糙的图像，那么显而易见，若两线相交，则它们将拥有公共部分。
可是，纯粹几何学家却做出进一步的努力；他完全放弃了感官的帮助，试图达到没有宽度的线的概念、没有广延的点的概念。他只有把线视为不断变窄的带子的极限，把点视为不断缩小的面积的极限，才能够得到这个概念。其次，不管我们的两条相交的带子多么窄，它们总有公共的面积，带子越窄，面积越小，它们的极限将是纯粹几何学家所谓的点。
这就是人们说两条相交的线具有公共点的原因，这个真理似乎是直觉的。
然而，如果线被设想为一阶连续统，也就是说，在几何学家所画的线上只能找到具有有理数坐标的点，那它就含有矛盾。例如，只要人们坚持直线和圆的存在，则矛盾是很明显的。
事实上，很清楚，假如唯有其坐标是可通约数的点才被认为是真实的，那么正方形的内接圆和这个正方形的对角线便不会相交，因为交点的坐标是不可通约的。
这还不可能是充分的，因为我们以这种方式得到的只是某些不可通约数，而不是全部不可通约数。
可是，设想一下一直线分为两条射线。每条射线在我们的想象中似乎都是某种宽度的带子；而且，这两条带子将相互叠加，由于在它们之间必须没有空隙。这个公共部分在我们看来好像是一点，当我们力图把带子想象得越来越窄时，该点将总是保留着，以至于我们承认，若一直线被切割为两条射线，则它们的公共边界是一个点，这是直觉的真理；在这里我们辨认出戴德金（Dedekind）的概念：不可通约数被视之为两类有理数的公共边界。
这就是二阶连续统的起源，这恰恰是所谓的数学连续统。
摘要。简而言之，心智具有创造符号的能力，从而正是心智，构造了只是符号特殊系统的数学连续统。其能力只是受到避免所有矛盾的必要性的限制；但是，只有经验向那里给心智提供刺激物，心智才能利用这种能力。
在所考虑的情况下，这种刺激物是从感觉的粗糙材料中引出的物理连续统的概念。不过，这个概念导致了一系列的矛盾，必须使我们自己相继从这些矛盾中摆脱出来。照此办理，我们势必想象越来越复杂的符号系统。至今，我们在其中停下来的系统不仅无内部矛盾（在我们经过的所有的阶段已经如此），而且与各种所谓的直觉的命题也无矛盾，这些直觉命题是从或多或少经过提炼的经验概念中推导出来的。
可测量的量。迄今为止，我们所研究的量都不是可测量的；我们固然能够说这些量中的一个给定量是否比另一个大，但却不能说它是否比另一个大一倍还是大两倍。
截至目前，我仅仅考虑了我们的项排列的顺序。可是，就大多数应用来说，这并不充分。我们必须学会比较把任何两项分开的区间。只有在这个条件的基础上，连续统才会变为可测量的量，算术运算才是可应用的。
这只能借助新的、特殊的约定来进行。我们将公认，在这样的情况下，A项和B项之间的区间等于C项和D项之间的区间。例如，在我们的著作的开头，我们曾从整数的标度开始，我们设在两个相继步骤之间插入n个中间步骤；好了，这些新步骤根据约定将被视为是等距离的。
这是定义两个量的加法的方式，因为若区间AB根据定义等于区间CD，则区间AD根据定义将是区间AB和CD之和。
这个定义在很大程度上是任意的。然而也不完全如此。它服从某些条件，例如服从加法交换律和结合律。不过，一旦选定的定义满足这些法则，选择就无关紧要了，列举它也就无用了。
几点评论。现在，我们能够讨论几个重要的问题：
1°心智的创造力由于数学连续统的创造而枯竭了吗？
不，杜布瓦-雷蒙（Du Bois-Reymond）以引人注目的方式证明这一点。
我们知道，数学家区分不同阶的无限小，二阶无限小不仅以绝对的方式是无限小，而且相对于一阶无限小也是无限小。不难设想分数阶的无限小乃至无理数阶的无限小，从而我们再次发现数学连续统的标度，这正是我们在前几页所处理的。
再者，有些无限小相对于一阶无限小是无限小，相反地，它们相对于1+ε阶无限小则是无限大，而不管ε可能多么小。于是，这里有插入级数中的新项，如果可以容许我回复到不久前使用过的、虽不怎么通用但却十分方便的措辞，那么我将说，这样便创造了一种三阶连续统。
要再进一步是很容易的，但这却是无用的；人们只能想象没有应用可能的符号，没有一个人想这样做。考虑到不同阶的无限小而导致的三阶连续统本身并没有有用到足以赢得公民身份，几何学家只是把它视为珍奇的玩意儿。心智运用它的创造能力，只有在经验需要它的时候才行。
2°一旦有了数学连续统的概念，人们能免除类似于产生它的那些矛盾吗？
不能，我将举一个例子。
人们必须很博学，才不致认为凡曲线都有切线是明显的；事实上，如果我们把这个曲线和一条直线画为两条窄带，我们总是能够如此安排它们，使它们有公共部分而不相交。其次，如果我们想象这两条带子的宽度无限地缩小，这个共同部分将总是继续存在，可以说到达极限，两线将有共同点而不相交，也就是说，它们将相切。
以这种方式推理的几何学家只是有意或无意地正在做我们在上面已经做过的事情，即证明两线相交有一公共点，他的直觉好像是合理的。
可是，直觉也许会欺骗他。我们能够证明，存在着没有切线的曲线，倘若这样的曲线被定义为二阶分析连续统的话。
毫无疑问，类似于我们上面已经讨论的某些技巧也许足以消除矛盾；但是，因为这只有在十分例外的情况下才会遇到，它没有受到进一步的注意。
我们不想试图把直觉与解析调和起来，我们甘愿牺牲二者之一，因为解析必定依然是无懈可击的，所以我们决定舍弃直觉。
多维物理连续统。我们在上面讨论了从我们感官的直接材料引出的物理连续统，或者，如果你乐意的话，也可以说是从费希纳实验的粗糙结果引出的物理连续统；我已经表明，这些结果总括在下述矛盾的公式中：
A＝B，B＝C，A＜C.
现在让我们看看，这一概念怎样被概括，如何从它得出多维连续统的概念。
考虑任何两个感觉的集合。或者我们能够把它们一一辨别开来，或者我们不能辨别，正像在费希纳实验中那样，10克的重物能够与12克的重物区别开来，但不能与11克的重物区别。这就是为构造多维连续统所需要的一切。
让我们把这些感觉集合中的一个集合称为一个元素。这类似于数学家的点；不过也不是完全相同的东西。我们不能说我们的元素没有广延，由于我们无法把它与邻近的元素加以区别，从而它犹如被一种烟雾包围着。假如可以容许用天文学作比，那么我们的“元素”也许像星云，而数学点则像恒星。
这已得到承认，如果我们借助于每一个元素都与前一个可以区分的相继元素的系列，能够从它们中的任何一个到达另一个，那么元素的系统将形成一个连续统。这种线性系列就是数学家的线，而孤立的元素则是点。
在进一步之前，我们必须解释所谓截量意味着什么。考虑一个连续统C，并从中取出它的某些元素，我们暂时将认为这些元素不再属于这个连续统。如此取出的元素的集合将被称之为截量。于是便发生了下述情况：由于这个截量，C可以再分为许多不同的连续统，留下的元素的集合不再形成唯一的连续统。
于是，在C上将有两个元素A和B，必须认为它们属于两个不同的连续统，而且人们将承认这一点，因为不可能找到C的相继元素的线性系列，这些第一个是A而最后一个是B的元素中的每一个都与前一个不可区分，这个系列中的元素之一不能与截量中的元素之一区分开来。
相反地，也可能出现这样的情况：所做出的截量不足以再分割连续统C。为了对物理连续统进行分类，我们将严格地审查，为了再分它们必须做出的截量是什么。
如果一个物理连续统C能够被一个截量再分，而这个截量可以划归为都可以相互区分的有限数目的元素（从而既不形成一个连续统，也不形成几个连续统），那么我们将说C是一维连续统。
相反地，如果C只能被本身是连续统的截量再分，我们便说C有多维。如果是一维连续统的截量就能够再分，我们便说C有两维；如果是两维连续统的截量就足以再分，我们便说C有三维，如此等等。
这样一来，由于两个感觉集合是可区分的或不可区分的这一十分简单的事实，便定义了多维物理连续统的概念。
多维数学连续统。通过完全类似于我们在本章开头所讨论的过程，n维数学连续统的概念由此十分自然地涌现出来。你知道，这种连续统的点在我们看来好像是用称之为其坐标的n个不同的量的系统来定义的。
这些量并不需要总是可测量的；例如，有一种与测量这些量无关的几何学的分支，在这种几何学中，例如需要了解的问题只是，在曲线ABC上，点B是否在点A和点C之间，而不需要了解弧AB是等于弧BC呢，还是比弧BC大一倍呢。这就是所谓的拓扑学。
这是一门完整的学说，它吸引了绝大多数几何学家的注意力，我们从中看到，一系列值得注意的定理一个从另一个里涌现出来。这些定理与通常的几何学的定理的不同之处在于，它们纯粹是定性的，即使图形被拙劣的绘图员画得严重歪曲了比例，由于颤抖而把直线画得多少有些弯曲，这些定理依然为真。
由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统，于是这个连续统变为空间，几何学诞生了。但对此的讨论留在第二编。
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[1] 以及包括在特殊约定中的推理，这些约定适合于定义加法，我将在后面谈到它们。