数公式是可证明的吗？
§5.必须把像2+3=5这样的涉及确定的数的数公式与对所有整数都有效的普遍定律区别开来。
这样的数公式被一些哲学家 [1] 看作像公理一样是不可证明的和直接显然的。康德 [2] 宣布它们是不可证明的和综合的，但是对把它们叫作公理则有所顾忌，因为它们不是普遍的，还因为它们的数是无穷的。汉克尔 [3] 把这种有关无穷多不可证明的原初真命题的看法称为不合适的和怪谬的，这是有道理的。实际上，这种看法与理性对于第一根据要一目了然的要求是矛盾的。那么，
135664+37863=173527
是直接明了的吗？不是！而且康德正是用这一点来说这些句子的综合性质的。但是实际上这对于其不可证明性却是不利的；因为，由于它们不是直接明了的，若是不通过证明，怎么才能理解它们呢？康德想借助手指或点的直觉，这样他就陷入一种危险：使这些句子与他的观点相反，表现为经验的；因为37863根手指的直觉无论如何绝不是纯粹的。“直觉”这个表达似乎也是不太合适的，因为10根手指通过其相互排列就已经能够唤起不同的直觉。那么我们真有135664根手指或点的直觉吗？如果我们有这样的直觉，如果我们有37863根手指的直觉和173527根手指的直觉，那么我们就一定立即明白这个等式的正确性，即使它是不可证明的，至少也适合于手指；但是情况并非如此。
康德显然只考虑了比较小的数。于是，对于比较小的数通过直觉是直接明了的公式，对于大数就会是可证明的。然而难办的是，要对较小的数和大数作出根本的区别，尤其是在不可能划出明确界线的地方。如果譬如从10起，数公式是可证明的，那么人们就有理由问：为什么不是从5起，从2起，从1起呢？
§6.另一些哲学家和数学家也断言了数公式的可证性。莱布尼兹 [4] 说：
“2加2等于4，这不是直接的真；假定4表示3加1。人们可以如下证明这一点：
定义：
1） 2是1加1
2） 3是2加1
3） 4是3加1
公理：
如果代入相等的数，等式依然保持不变。
证明：2+2=2+1+1=3+1=4
定义1. 定义2. 定义3.
所以；根据公理：2+2＝4”
这个证明似乎首先完全是由定义和引入的这条公理建立起来的。甚至这条公理也可以变为一个定义，正像莱布尼兹本人在另一个地方所做的那样 [5] 。看上去，除了定义中包含的1、2、3、4以外，不必再知道任何东西。然而更仔细地考虑一下，人们就会发现一个缺陷，这个缺陷由于省略了括号而被掩盖起来。就是说，应该更精确地书写为：
2+2=2+（1+1）
（2+1）+1＝3+1=4
这里缺少 2+（1+1）＝（2+1）+1
这个句子，它是 a+（b+c）=（a+b）+c
的一种特殊情况。如果以这条定律为前提，就很容易看出，加法的每个公式都能以这种方式被证明。这样每个数就能够由前面的数被定义。实际上我看不出，人们如何能够以比莱布尼兹更合适的方式把譬如437986这个数给予我们。我们甚至没有关于这个数的表象，可确实就这样把它据为己有。通过这样的定义，数的无穷集合化归为一和加一，而且无穷多的数公式均能够由几个普遍的句子证明。 这也是H.格拉斯曼和H.汉克尔的观点。格拉斯曼要通过一条定义得到
a+（b+1）＝（a+b）+1
这条定律，他说 [6] ：
“如果a和b是基本序列的任意项，人们就把a+b之和理解为基本序列的一个项，对这个项来说，
a+（b+e）=a+b+e
这个公式是有效的。”
这里，e应该意谓正单位。对这种解释可以有两种反对意见。首先，和是通过自身被解释的。如果人们还不知道a+b应该意谓什么，人们也就不理解a+（b+e）这个表达式。但是，如果人们与本文相悖地说，应该解释的不是和，而是加法，以此也许可以排除这种反对意见。而在这种情况下，依然能够反对说，如果没有基本序列的项或所要求的那些项，a+b就会是一个空符号。格拉斯曼只是假设不发生这种情况，而没有予以证明，因此严格性只是表面的。
§7.人们可能会认为，数公式根据其证明所依据的普遍定律，或者是分析的或综合的，或者是先验的或后验的。然而J. S.密尔的观点与此相反。尽管乍看上去他像莱布尼兹一样，想把科学建立在定义的基础上 [7] ，因为他像莱布尼兹那样解释个别的数；但是，他所持的偏见，即一切知识都是经验的，立刻又毁灭了这种正确的思想。他告诉我们说 [8] ，那些定义不是逻辑意义上的，它们不仅确定了一个表达式的意谓，而且因此也断定了一个观察到的事实。这个观察到的事实，或者像密尔用另一种方式所说的，在777864这个数的定义中所断言的物理事实，究竟会是什么呢？对于我们面前展现出来的极其丰富的物理事实，密尔只向我们提及唯一的一个据说是在3这个数的定义中被断言的事实。根据密尔的说法，这个事实在于：存在着一些对象的聚合，这些对象一方面在感官上造成 这种印象，另一方面又可以分为两部分，譬如 ，然而，幸亏并非世界上所有东西都是固定的；否则，我们就不能进行这种区分，而且2+1也就不会是3!遗憾的是，密尔也没有描述出作为0和1这两个数的基础的物理事实！
密尔继续说：“在承认这个句子之后，我们称所有这样的部分为3。”由此可见，当时钟敲打三下的时候，谈论三次敲打，或称谓甜、酸、苦三种味觉，实际上都是不正确的；赞同“一个方程式的三种解法”这个表达式同样是不正确的；因为人们由此从来也没有得到像从 得到的感觉印象。
这时密尔说：“计算不是从定义本身，而是从观察的事实得出来的。”但是在上述对2+2=4这个句子的证明中，莱布尼兹应该在什么地方诉诸提到的事实呢？密尔没有指出这一缺陷，尽管他对5+2=7这个句子给出一个与莱布尼兹完全相符的证明。 [9] 他和莱布尼兹一样，忽略了这个由于省略了括号而确实存在的缺陷。
如果每个个别的数的定义确实断定了一个特殊的物理事实，那么对一个以表示九的数进行计算的人，人们就会因为他的物理知识而佩服得五体投地。这里，密尔的观点也许并不在于坚持必须逐个观察所有这些事实，而是认为通过归纳法得出一条把它们全包括在内的普遍规律就够了。但是人们试图把这条规律说出来，而且人们将发现，这是不可能的。存在着可被分解的事物的大聚集，这样说是不够的；因为以此并没有说明存在着譬如定义1000000这个数所需要的这样大的和这一类的聚集，而且也没有更确切地说明划分的方式。密尔的观点必然导致以下要求：对于每个数，要特别观察一个事实，因为在一条普遍规律中恰好会失去1000000这个数独特的、必然属于它的定义的东西。根据密尔，人们实际上不能确定1000000 = 999999+1，除非人们恰恰看到了事物聚集的这种独特的、与专属于其他任何数的方式不同的分解方式。
§8.密尔似乎认为，在没有观察到他提及的那些事实之前，不允许做出2=1+1，3=2+1，4=3+1等等这些定义。实际上，如果人们不把任何意义与（2+1）联系起来，就不能把3定义为（2+1）。但是问题在于，因此是不是必须观察事物的聚集和分离。在这种条件下，0这个数就会令人困惑不解；因为至今大概还没有人看到或摸到0个小石子。密尔肯定会把0解释为无意义的东西，解释为一种纯粹的谈论方式；以0进行计算就会纯粹是以空符号进行的游戏，不过令人不可思议的是，这里怎么会产生某种理性的东西。但是如果这些计算当真有一个意谓，那么0这个符号本身也不能是完全没有意义的。而且这里表明这样一种可能性：即使没有观察到密尔提到的事实，2+1仍然可以和0类似地有一种意义。实际上谁愿意断定曾经观察到在密尔对表示18的这个数的定义中包含的事实呢？谁又愿意否认尽管如此这样一个数字依然有一种意义呢？
人们也许会认为，物理事实只用于譬如10以内较小的数，而其他数可以由这些数构造起来。但是如果不用看到相应的聚集，仅通过定义就能由10加1构成11，那么就没有理由说明为什么人们不能也这样由1加1构造2。如果以11这个数进行的计算不是从一个表示这个数的事实得出，为什么以2进行的计算就必须依据对一定聚集及其独特分离的观察呢？
人们也许会问，如果我们通过意义根本不能区别任何东西，或者只能区别三种东西，那么算术如何能够存在呢？对于我们关于算术句子及其应用的知识来说，这样一种状况当然有些令人尴尬，但是对于算术句子的真也是如此吗？即使人们称一个句子为经验的（因为我们必须进行观察，以便认识它的内容），人们也并不是在与“先验的”对立的意义上使用“经验的”这个词。这时人们表述了一个只与句子内容有关的心理方面的断定；这个句子是不是真的，这里则没有考虑。在这种意义上，所有荒诞故事也都是经验的；因为人们必须观察到各种各样的东西，才能编造出这些故事来。
* * *
[1] 霍布斯、洛克、牛顿。参见鲍曼：《论时间、空间和数学》（Baumann,Die Lehren von Zeit,Raum und Mathematik,[Band I]S.241u.242,S.366ff.,S.475）。
[2] 《纯粹理性批判》（Kritik der reien Vernunft，Hartenstein.III.S.57）。
[3] 《复数及其函数讲义》（Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen,S.53）。
[4] 《新论》（Nouveaux Essais,[Liv.]IV.[Ch.VII.],§10.Erdm,S.363）。
[5] 抽象证明的优雅范例（Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis）（Erdm.S.94）。
[6] 《中学数学课本》第一部分：算术（Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten,I.Theil:Arithmetik,Stettin 1860,S.4.）。
[7] 《演绎和归纳逻辑系统》（System der deductiven und indudiven Logik,J.Schiel译.III.Buch，XXIV.Cap. ，§5）。
[8] 同上书，第2卷，第6章；§2。
[9] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章§5。
算术规律是归纳的真命题吗？
§9.根据到目前为止的这些考虑，很可能借助几条普遍规律，仅从个别数的定义就可以得出数公式，很可能这些定义既不断定观察到的事实，也不假设它们的合法性。因此重要的是认识那些规律的实质。
密尔 [10] 想把“由部分构成的东西，是由这些部分的部分构成的”这个定理用到前面提到的他对5+2=7这个公式的证明。他把这看作是通常以“算数之和相等”这种形式闻名的定理的一种更有特色的表达。他称这个定理为归纳的真命题和最高等级的自然律。他的描述有不精确的地方，特别是在根据他的观点证明是必不可少的地方，他根本没有使用这个定理；然而他的归纳的真命题似乎确实可以代替莱布尼兹的公理：“如果代入相等的数，等式保持不变。”但是，为了能够把算术的真命题称为自然律，密尔加入了一种它们没有的意义。例如，他认为 [11] 1=1这个等式可以是假的，因为一磅东西与另一磅东西的重量并非总是完全相等。但是1=1这个句子也根本不是要陈述这一事实。
密尔是这样理解+这个符号的：通过它，表达了一个物理物体诸部分与其整体的关系，或一堆东西诸部分与其整体的关系；但这不是这个符号的意义。5+2=7并不意谓，当人们把2个单位容量的液体注入到5个单位容量的液体中，就得到7个单位容量的液体，相反这是那个句子的一种应用，只有在不是由于譬如化学作用而发生容积变化时，这种应用才是允许的。密尔总是把能够对算术句子所做的常常是物理的并且是以观察的事实为前提的应用与纯数学句子本身混淆起来。尽管加号在许多应用中似乎相当于形成一堆东西；但这不是它的意谓；因为在其他一些应用中，不会有堆积、聚合、物理物体与其诸部分的关系的问题，例如当人们计算一些大事件时。尽管这里也可以谈论部分；但是这时就不是在物理学或几何学的意义上，而是在逻辑的意义上使用这个词，正如当人们称谋杀国家元首毕竟也是谋杀的一部分时那样。这里有逻辑的下属关系。因此加法一般也不相应于任何物理关系。由此可见，一般的加法规律也不能是自然律。
§10.但是它们也许可能依然是归纳的真命题。这如何料想得到呢？应该从哪些事实出发，以便提高到普遍性呢？大概只能从数公式出发。当然这样我们又失去了我们通过对个别数的定义而得到的那种优点，在这种情况下，我们就不得不寻找另一种建立数公式的方式。即使我们现在不考虑这种并非完全无足轻重的疑虑，我们依然会发现这个基础对归纳是不利的；因为这里缺少那种在其他场合能够给予归纳方法极大的可靠性的相似性。对于菲拉雷特的论断：
“数的不同模式只能有或多或少的差异；因此它们是简单的模式，就像空间模式一样”，
莱布尼兹 [12] 就已经作出回答：
“可以这样谈论时间和直线，但是绝不能这样谈论图形，更不能这样谈论数，因为数不仅在量的方面不同，而且也不相像。一个偶数可以分为两个相等的部分，而一个奇数就不能这样分；3和6是三角形数，4和9是平方数，8是一个立方数，等等；而且这在数中比在图形中出现得还多；因为两个不相等的图形可以是彼此完全相似的，但是两个数绝不会这样。”
尽管我们已经习惯于在许多方面把数看作是同类的；但这仅仅是因为我们知道一系列对所有数都有效的普遍句子。然而现在在这里我们必须基于这样的立场，即还不知道任何这样的句子。实际上可能很难找到一个与我们这种情况相应的归纳推理的例子。一般来说，我们常常利用下面这个句子：空间中的每一点和时间中的每一刻本身和其他每一点和每一刻一样完好。只要条件相同，一个结果在另一点和另一刻就必然同样完好地出现。然而这里却行不通，因为数是非时空性的。数序列中的位置与空间的点不是等价的。
数之间的关系也完全不同于个体东西，譬如一类动物之间的关系，因为数有一种由其本性决定的排列次序，因为每个数都以自己的方式建立起来并且有自己的性质，这些性质在0、1和2的情况下表现得特别突出。如果人们在其他情况下通过归纳建立一个与属有关的句子，那么通常仅通过对属概念的定义，就已经得到一整系列共同的性质。而在这里，即使找到一种单一的本身没有首先被证明的性质也是很难的。
我们这种情况可能最容易与下面的情况进行比较。在一个钻孔中人们注意到，气温随着深度有规律地增长；至此人们遇到了极不相同的岩层。在这种条件下，仅从在这个钻孔中所作的观察，显然推论不出任何与更深岩层的性质有关的东西，而且气温是不是依然会继续这样有规律地延伸分布，也一定无法确定。尽管至此观察到的东西以及处于更深层的东西下属于“继续打钻将遇到的东西”这个概念；但是在这里它们不会有什么用处。在数的情况，数全部处于“通过继续加一而得到的东西”这个概念之下，这对我们同样不会有什么用处。在这两种情况中可以发现一种差异，即岩层只能被人们遇到，而数却恰恰是通过继续加一被创造出来，并且根据其全部本性得到确定。这只能说明，人们以通过加1而形成一个数，比如8这个数的方式，可以推出数的所有性质。这样就基本承认了从数的定义得出数的性质而且还显示出这样一种可能性：可以从所有数共同的形成方式证明数的普遍规律，而从特殊的方式可以得出个别数的特殊性质，正像通过继续加一而建立这些数一样。这样，不必用归纳，人们也可以由此推出那些在地层中仅由遇到地层的深度就已经确定的东西，因而推出地层的状况关系；但是由此没有确定的东西，归纳也不能告诉人们。
如果不把归纳方法单纯地理解为一种习惯，那么很可能仅借助算术的普遍句子就能证明它本身的合理性。因为习惯完全没有确保真的能力。科学方法依据客观的尺度有时仅在一次证明中就建立起很高的概率，有时却把千百次证明几乎看作毫无价值，而习惯却通过印象的次数和深刻程度，通过绝没有任何理由影响我们判断的主观状态被确定下来。归纳必须依据概率学说，因为它至多可以使一个句子成为概率的。但是如何能够在不假设算术规律的前提下发展概率学说，却是无法预料的。
§11.莱布尼兹 [13] 的观点与此相反，他认为像算术中发现的那样的必然真的命题必须有一些原则，这些原则的证明不依赖于例子，因而不依赖于感觉证据，虽然没有感觉谁也别想去考虑这些原则。“整个算术是我们生来就有的，而且是以潜在的方式在我们心中。”他用“生来就有的”这个表达意谓什么，在另一个地方 [14] 得到说明：“人们习得的所有东西都不是生来就有的，这样说是不对的；——数的真命题在我们心中，可人们仍然学习它们，无论是当人们以证明的方式学习它们时从其本源得出它们（这恰恰表明，它们是生来就有的），或是……”。
* * *
[1] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章，§5。
[2] 同上书，第2卷，第6章，§3。
[3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，39页（Erdm.,第243页）。
[4] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，13-14页（Erdm.195、208-209页）。
[5] 同上书，第2卷，第38页（Erdm.第212页）。
算术定律是先验综合的还是分析的？
§12.如果人们补充说明分析和综合的对立，就得到四种组合，然而可以取消其中的一种，即
后验分析的。
如果人们随着密尔赞同后验的，那么就没有选择，因而对我们来说，只还有
先验综合的
和 分析的
这两种可能性需要考虑。康德赞同前者。在这种情况下，大概只能乞求一种纯粹的直觉作为最终的认识基础，尽管这里很难说这是空间的还是时间的，或者可能还是其他什么。鲍曼 [15] 同意康德的观点，尽管理由不同。利普希兹 [16] 也认为，表明数不依赖于计数方法以及加数可以交换也可以结合的那些定律，是从内在直觉产生出来的。汉克尔（Hamkel） [17] 基于三条原理建立了实数理论，他认为这些原理具有notiones communes（普通概念）的特征：“它们经过解释成为完全显然的，根据对量的纯粹直觉对一切量的领域都是有效的，并且能够在不丧失自身特征的情况下变为定义，这时人们说：量的相加是一种满足这些原理的运算。”最后这句陈述有一点不清楚的地方。也许人们可以做出这个定义；但是它绝不能替代那些原理。因为在应用定义时总会涉及这样的问题：数是量吗？人们通常称为数的加法的东西是这种定义意义上的加法吗？而且为了回答这些问题，人们必须已经知道关于数的那些原理。此外，“对量的纯粹直觉”这个表达引起反感。如果人们考虑所有被称为量的东西：数、长度、面积、容积、角度、曲率、质量、速度、力、光强度、电流强度等等，那么大概可以理解，人们如何能够把这置于一个量概念之下；但是绝不能承认“对量的直觉”这个表达是合适的，更不能承认“对量的纯粹直觉”这个表达是合适的。我甚至不能承认对100000的直觉，更不能承认对普遍的数的直觉或甚至对普遍的量的直觉。但是这时人们不应该完全无视“直觉”这个词的意义。
康德在《逻辑》这本著作中（Hartenstein编，VIII，S.88）定义如下：
“直觉是一种个别的表象（repraesentatio singularis），概念是一种普遍的表象（repraesentatio per notas communes）或反思的表象（repraesentatio discursiva）。”
这里根本没有表达与感性的关系，而在《超验美学》中却考虑了这种关系。没有这种关系，直觉就不能用作先验综合判断的认识原则。他在《纯粹理性批判》中（Hartenstein编，III，S.55）写道：
“因而借助感性，对象被给予我们，而且只有感性为我们提供直觉。”
由此看来，直觉这个词的意义在《逻辑》中比在《超验美学》中更广。在逻辑的意义上100000也许可以被称为一种直觉；因为这不是一个普遍概念。但是在这种意义上理解，就不能用直觉作为算术规律的根据。
§13.一般来说，最好不要过高估计与几何学的亲缘关系。针对这一点，我已经引用了莱布尼兹的一段话。仅考察几何学上的一个点本身，根本不能把它与其他任何一个点相区别；对于直线和平面也是如此。只有在直觉中同时把握了许多点、直线和平面时，人们才能区别它们。如果在几何学中从直觉获得普遍的句子，那么由此也就说明，直接看到的点、直线、平面其实根本不是特殊的东西，因而可以被看作是它们整个属的代表。在数的情况中则不同：每个数都有自己的独特性。人们无法立即说出，一个确定的数在什么程度上可以代表所有其他的数，数的特殊性在什么地方起作用。
§14.联系由真命题支配的领域来比较真命题，也表明不利于算术定律的经验的和综合的性质。
经验句子对于物理的或心理的现实是有效的。几何学的真命题支配着空间直观东西的领域，尽管现在它是想象力的实现或产物。传说和诗歌中有一些最放纵狂热的想象，最大胆不羁的创作，它们使动物说话，使日月星辰静止不动，使石头变成人，并且使人变成树，它们还告诉人们，人如何抓住自己的头发把自己拽出泥沼。然而只要它们是直观的，就依然受到几何学公理的约束。只有概念思维能够以某种方式摆脱这些公理，譬如在假定一种四维空间或正曲率量的空间的时候。这样的考虑不是完全无用的；但是它们完全抛弃直觉基础。如果在这里也借助直觉，那么这依然始终是欧几里得空间的直觉，即那唯一的、我们有某种关于它的形象的空间的直觉。然而在这种情况下，这种直觉不是被当作像它实际的那样，而是被当作象征其他某种东西；例如，人们把直观上看到的弯曲的东西叫作直的或平的。对于概念思维而言，人们可以总是假定与这条或那条几何公理相对立的东西，而在根据这些与直觉相悖的假定进行推理时又不陷入自相矛盾。这种可能性表明，几何公理相互独立，并且不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的。对于有关数的科学的原理可以这样说吗？如果人们要否认这些原理中的一条，一切岂不会乱套了吗？这样一来，还能进行思维吗？算术基础不是比所有经验科学的基础，甚至比几何学基础更深吗？算术的真支配着可计数的领域。这一领域是最广博的；因为它不仅包括现实的东西，不仅包括直观的东西，而且还包括一切可被思考的东西。那么，数的规律与思维规律难道不应该联系得最密切吗？
§15.应该预料到，莱布尼兹的陈述只能表明有利于数规律的分析性质，因为在他看来，先验的与分析的是重合的。比如他说 [18] ，代数的优点得自一门高级得多的艺术，即真正的逻辑。在另一个地方 [19] ，他把必然真命题和偶然真命题与可公约量和不可公约量进行比较，认为在必然真的情况，证明或化归为同一是可能的。但是这些说法失去说服力，因为莱布尼兹喜欢把所有真命题都看作是可证明的 [20] ：“每个真命题都有其从术语概念得出的先验的证明，即使我们并非总能够达到这种分析”。当然，与可公约性和不可公约性的比较在偶然真命题和必然真命题之间又建立了一种至少对于我们来说是不可逾越的限制。
W. S.杰芬斯 [21] 坚定不移地表明赞同数规律的分析性：“数不过是逻辑的区别，而代数是一种高度发展的逻辑。”
§16.但是这种观点也有自己的困难。这株高大挺拔、分枝广远而且仍然还在增长的数的科学之树，难道能够植根于纯粹的同一性之中吗？而且如何能够最终从逻辑的空洞形式获得这样的内容呢？
密尔 [22] 认为：“通过对语言的熟练驾驭，我们就能够发现事实，揭示隐蔽的自然过程，这样一种信条是违反常识的，也许只有在哲学方面取得很大进步才能相信它。”
当然，只有在熟练驾驭语言的过程中什么也没有想时才会如此。这里密尔在反对一种几乎没有任何人主张的形式主义。任何使用词或数学符号的人都要求它们意谓一些东西，谁也不会期待从空洞的符号产生某种有意义的东西。但是一位数学家却不用把他的符号理解为感官上可感觉的、可直观感受的东西，就能进行很长的计算。因此，这些符号还不是没有意义的；人们仍然要把它们的内容和它们本身区别开，尽管也许只有通过符号才可以把握内容。人们认识到，可以规定不同的符号表示相同的东西。只要知道以下两点就足够了：应该如何以逻辑方法处理从符号感受到的内容；在打算应用于物理学时，必须如何实现向现象过渡。但是在这样一种应用中，不应该注意句子的实际意义。在这种应用中总是失去大部分普遍性，并且加入一些特殊的东西，而在其他应用中，这些东西将被其他东西取而代之。
§17.尽管人们非常贬低演绎，但是依然不能否认，由归纳建立的规律是不够的。从这些规律必然推导出一些新句子，而其中任何一条规律本身却不包含这些句子。这些句子已经以某种方式隐藏在所有规律的整体之中，但这并没有免除人们由此揭示它们和确立它们自身性质的工作。这样就呈现出下面的可能性。人们可以不把一个推理串与一个事实直接联系起来，而是对事实不予考虑，把其内容作为条件加以接纳。当人们以这种方式把一个思想序列中的所有事实代之以条件时，就得到这样一种形式的结果：一种结果依赖于一系列条件。这种真就会只通过思维，或者用密尔的话说，通过对语言的熟练驾驭而建立起来。数的规律具有这种性质，这不是不可能的。在这样的条件下，它们就会是分析判断，尽管它们不必是仅仅被思维发现的。因为这里考虑的不是发现的方式，而是论据的种类；或者正像莱布尼兹所说： [23] “这里不是探讨在不同人那里表现为不同的我们人类所发现的历史，而是探讨有关永远相同的真命题的联系和自然次序。”观察最终本应该判定，以这种方式建立的规律所包含的那些条件是不是得到满足。这样人们最终恰恰会达到由于把推理串与观察的事实直接联系起来而实际上达到的地方。但是在许多情况下人们都更喜欢这里提示的这种过程，因为它导致一种普遍的句子，而这句子不必只适用于眼前存在的事实。这样，算术的真命题与逻辑的真命题的关系就类似于几何学的定理与公理的关系。它们各自都会有一整系列未来使用的推理串，其用途将在于：人们不必再进行个别的推理，而是能够立即说出这整个系列的结果。 [24] 由于算术学说的巨大发展及其多方面的应用，广为流行的对分析判断的蔑视和关于纯逻辑毫无成果的无稽之谈将再也没有立足之地。
这种观点并不是本文这里首先提出来的。在我看来，如果人们能够十分严格地、具体地坚持这种观点，从而不留有丝毫怀疑，那么结果就不会是完全不重要的。
* * *
[1] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第669页。
[2] 《数学分析教程》（Lehrbuvh der Analysis,Bd.I.,S.1）。
[3] 汉克尔：《复数系统理论》（Theorie der complexen Zahlensysteme,S.54u.55）。
[4] 鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，第56页（Erdm.,第424页）。
[5] 同上书，第2卷，第57页（Erdm.,第83页）。
[6] 同上书，第2卷，第107页（Rertz,II，，第55页）。
[7] 《科学原理》（The Principles of Science,London 1879 [3.Auflage],S.156）。
[8] 《演绎和归纳逻辑系统》，第2卷，第6章，§2。
[9] 《新论》Nouveau Essais,IV,§9,（Erdm.S.362）。
[10] 引人注意的是，密尔（《演绎和归纳逻辑系统》，第2卷，第6章，§4）似乎也表达了这种观点。他那清醒的意识正好常常打破他赞同经验的偏见。但是这种偏见总是又把一切搞乱，因为这使他把算术的物理应用与算术本身混淆起来。他似乎不知道，即使条件不真，一个假言判断也可以是真的。