第一节
科学知识起源于在对象或感觉要素的相对稳定的复合中发现某些反应或反应群A和B之间的关联。例如，如果我们发现，由叶和花等等的某种形状和位置（反应A）系统决定的植物的种，此外显出某些受刺激的运动即向他性和向日性现象（反应B），那么这便构成了自然科学中的发现。不顾简化的分类术语的发展，通过排除误解的记述把这样的知识固着在可交流的形式中，依然是一项尴尬的事务。相同的尴尬也在与植物种密切相关的行为的记述中自我重复，这将再次具有许多必须特别留意的独特性。在考虑这些个别特征时，甚至更困难的事情在于，用综合性的记述确定较广泛的洞察群。对于胎生的哺乳动物群来说，依然可以证明共同的生理的和解剖的反应，诸如较高的血液温度、通过肺呼吸、双循环系统等等。然而，如果我们就“哺乳动物”考虑一下有袋动物、单孔目动物、卵生动物、鸭嘴兽、食蚁动物巨大的解剖的和生理的差异——它们在其他方面完全接近“哺乳动物”，那么我们明确认识到，要用综合性的记述传达动物学发现的广泛的群是多么困难。因此，要针对某些环境条件从细胞的特征和胚原基细胞的配置推导发展和生命循环，这个目的至多能够被看作是在遥远的距离徘徊的理想。
第二节
在物理学中，图像似乎与刚刚勾画的图像形成显著的对照。如果两个重物从绳子末端挂在滑轮上，那么我们只需要用若干较小的重物代替每一个，就能够说由较多数目的较小重物组成的重物将阻止另一个重物。如果重物由杠杆的不等臂悬吊，那么我们可以把它们的长度分成较小的相等部分，形成每一个臂和相应的重量的数之积：杠杆在较大乘积的一边失去平衡。因此，特定事实的记述容易从计数能够把分量项目分割的相等部分得到。这样一来，在该领域（比如说，杠杆的领域）的所有案例的差别仅仅在于有关特征的单位的数目，从而是如此相似，以致我们能够容易地通过指明从这些数推导或计算的结果的恰当法则而给出综合性的记述。为此理由，对于相当广泛的事实范围，综合性的叙述将是可能的，例如对于整个力学借助功的概念。相似地，自由落体或折射能够通过表上计数和记录的结果以最简单的形式记述，对这样的表幸运一瞥可能导致人们发现代替它们的简明的推导法则。空间、时间和强度的大小的分度可以依据任意小的相等部分借助计数（测量）实施。这能够使我们把可测量的东西视为由任意小的要素（“无穷小”）构成的，并把它们的进程还原为在无限小的时间间隔内的无限小的要素的行为。就此而言，我们能够以微分方程的形式建立普遍的计算法则。少数这样的方程在原则上足以描述力学、热力学、电动力学等等中的所有可以想像的事实。当然，这些方程的应用也能够在特例中呈现出显著的差异。在上面提到的生物学领域中，类似的步骤迄今还做不到。化学迄今仅仅部分地服从定量的处理，像化学这样的领域处在两个极端之间的中途。
第三节
如果定量的反应abc显现出与另一个hlm联系在一起，那么这个反应充其量能够被注意到，并用语言确定下来。对另一对定量反应def和nop而言，情况也一样。即使两个事实是接近的，要使它们在单一的表达下就范，一般而言也将是困难的。然而，我们要是越广泛地把定性的差异化归为定量的差异，则就范将是比较容易的。例如，把定性的化学分析的事实与物理化学中的相律比较一下。在较近的距离内，我们注意到，定量的调研只不过是定性的调研的特殊而相当简单的例子。例如，物理学与生理学相比达到较高的水平，仅仅因为这处理较简单和较容易的问题，因为这些问题更多地属于一个类型，以致用综合表达较为容易给出它们的答案，事实上，计数描述是可以想像的最简单的描述，并且能够借助预先掌握的数系，在不需要任何新发明的情况下，被推进到任何程度的精细而准确的区别。数系是一个具有不可穷竭的微妙性和广度的术语，迄今在明晰性上依然未被任何其他术语超越。而且，借助计数，任何数都能够从任何其他数推出，这恰恰是使数如此极其适合于描述相依的东西。特定的依赖仅仅由于可计数的东西而相互不同，考虑到这一点，我们同样达到更普遍的综合的相依法则。使用定量特征的这些明显的好处，必定激励我们考察，为了把所有调研逐渐地简化为定量的调研，对于可以与定性方面相关联的定量方面是否可能。于是，颜色的质变为折射率和波长，声音变成频率等等。它们中的一切都是定量特征。
第四节
而且，定量调研具有优于定性调研的特殊长处，在这里我们希望确定在感觉中给出的它们相互依赖的要素，这是我们身体外部的依赖，因此，在最广泛的涵义上属于物理学。为了使这些依赖变得纯粹，我们必须尽可能地排除观察者的影响和在他内部的所有要素的影响。通过下述事实可以达到这一点：所有测量仅仅在于比较什么在质上是相像的，在于注意什么是相等的和什么是不相等的，从而把诸如部分地依赖于观察主体的感性知觉的质从作用中除掉。内省心理学起初无法消除定性特征，测量概念迄今在那里几乎没有任何意义，但是通过把它建立在生理学上并间接地建立在物理学上，心理学家可以在未来改变这种事态。
第五节
让我们现在尝试从心理学的角度阐明，数的观念和概念如何起源于直接的或间接的生物学的需要。比如说，还没有获得计数概念的两三岁之间的儿童立即注意到，是否在未观察的时刻有人从一小群同类硬币或玩具中取走某个东西，或者是否把某个东西添入其中。甚至动物无疑受到生命需要的驱使，例如就内容辨认小群相同的果实，偏爱较大的而不是较小的。数概念的起源正在于精炼这种分辨能力的需要。在不丧失对成员的一般观察和个体性的情况下，能够把越多的成员收集到群中，我们将越多地重视这种能力。首先，儿童驾驭2，3，或4的群。在空间和时间中的邻近可能有助于形成群，而空时位置的差异可能制约区分成员的过程。第一个数的观念这样出现了，按照环境的影响具有或没有名称。这些观念通过视觉、触觉和听觉，在最后的情况下通过注意到节律而得以发展。由于在对象变化时我们用数的观念工作，我们利用数的名称被导向独立于对象本性的反应的一贯活动之观点，即被导向数的概念。为了得到相当大的群的数的明晰观念，我们把它们排列到清楚有序的、已经熟悉的部分之中。这一形成史具体体现在亚述人、埃及人、墨西哥人、罗马人和其他种族的数的符号中。我们的扑克牌和骨牌也证明了这个历史。因此，我们必须通过用清楚有序的和细分的方式描述对象群本身，带领初级学校的孩子沿着全体原始人自发地选定的同一道路前进。不过，这种维持一个群中成员的数目的明晰观点的策略，并没有把我们带到远处。
第六节
撇开这种使群的成员有序化的策略不谈，另一种方法会被人接受：人们把被审视的群的每一个成员分配给我们十分熟悉的对象群的成员。原始人利用他们的手指头，有时也利用脚趾，作为这第二个群。在儿时，我们也使用这种原始的手段，通过检查这些十分熟悉的对象，以增强我们的数的观念。如果此时在协调的过程中我们叫出手指的名字，而且我们完全非故意地、从纯粹的习惯出发，总是以相同的秩序贯穿它们，那么手指的这些名称通过频繁的使用失去它们原有的意义，变成数词。由于固定的秩序，最后的名字决定了全体的内容，即被协调的、被计数的群的成员的数目。这就是数词的起源，人类文化史表明了这一点。当人们数朋友或敌人的数目时，或者分配战争的劫掠品或打猎的全部猎物等等时，往往足以出现这种发展的需要和诱因。
第七节
借助小小的和明显的策略，能够把该方法或协调给予不受限制的应用范围，即通过把十的群算作较高的群的成果，把十个这些群算作更高的群的成员，如此等等以至无穷。同样地，能够把任何成员看作是十个较小的相等成员的群，当计数（测量）像长度这样的无限可分的量时，这是一个明显的步骤，但却是能够设想在任何地方起作用的步骤。
第八节
设群A和B的每一个都是由相同的成员组成的。把B的成员分配给A的每一个成员：若这穷竭二群，则我们说它们具有相同的容量，或更简明地说它们是相等的。若在A未被穷竭时而B被穷竭，则A的容量大于B的容量。我们把数命名为我们藉以就容量决定相似的成员的群和彼此区分它们的概念。在数概念代替数观念的地方，对于即时的直觉不存在进一步的需要，而仅仅对潜在的直觉有进一步的需要。数概念能让我们使群的容量至少变成间接地直观的，这无论在何处可能是必要的，我们要准备作出努力。是否必须把基数或序数看作心理上或逻辑上原始的需要，我们在这里不关心这个学术上的争论。在任何情况下，都不可能选择在事件后形成的这些系统之一，因为它对文化的发展来说毫无例外地是决定性的。小的数目的名字无疑可以在没有排序原则的情况下产生。然而，在数超过了直接直觉的地方，这样的原则对于形成数的概念是必不可少的，即使未明确地提到它。如果我们计数是恒等的对象、或者对我们而言被认为恒等的对象，那么我们把作为差异记号的数词附着于在其他方面几乎无法区分的对象上；但是，倘若这些名称还不是简单的和十分熟悉的排序记号系统的一部分，那么我们将立即再次失去对它们的控制。正是排序原则，由于每一个数藉以潜在地包含每一个在先的数的观念，同时明确地揭示出它在系统中两个确定的数之间的位置，因此它与通常的名字相比有助于数的巨大优越性。每一个按字母顺序的登记、书的页码、每一个按数目排列的存货清单等等，都清楚地给我们以迅速取向的顺序之值的印象。
第九节
数常常被称为“人类精神的自由创造”。在这个短语中所表达的对人类精神的赞美是足够自然的，因为人类精神给出算术的庄严结构。不过，如果我们追踪一下这一创造的本能的开端，并考虑一下产生对它的需要的环境，那么对理解它会有帮助得多。也许这将导致我们洞察到，在这个领域中的头一批形成物是由生物的和物质的条件无意识地推动的，直到它们已存在并经常证明有用处，它的价值才能够被正确评价。只是在理智受到这样的相当简单的形成物训练后，它才能够逐渐地产生出比较自由和有意识的发明，以迅速地适应目前的需要。
第十节
社会交流和贸易、买和卖，都要求算术的发展。原始文化使用简单的器具或计算机器便利它的计算，例如罗马的算盘或中国的算筹，这经由俄国变得为人所知，并在我们的初级学校生根。所有这些器具使对象符号化，以像借助小的可动物体、小钮扣、小球或其他标记计数；这些标记而非重物，是人们用以操作的项目。数十、数百等等的群被特殊的标记代表，这些特殊标记具有在器具中赋予它们的特殊器件。如果我们采取在某种程度上比较自由和比较广泛的器械（或辅助器具）的概念现，那么我们认识到，我们的阿拉伯数字或印度数字及其清楚的十进记数法——在这里碰巧无代表的群用零表示——本身就是计算机器，是能够在任何时候借助铅笔和纸建造的计算机器。这进一步减轻了我们的注意，因为数字把我们从计数群的每一类的成员的麻烦中拯救出来。
第十一节
现在，在社会交往中产生了形形色色的任务。例如，出现了把具有相似成员的两个或多个群结合为单个群并给出它们的数的需要，即出现了加法问题。最初的解决无疑在于数遍被结合的群，不管单个群数过还是未数过。事实上，儿童对于小的数还这样做，在这样获得计数经验时，他们通过添加数个单位、数十个单位等等应用于加较大的用十进制写出的数，并拥有较高阶的合成的单位。这个简单的例子足以表明，运算在于用先前实施的计数操作尽可能简单地代替直接计数从而省却它，在于针对这样的操作利用已获得的经验。运算是非直接地或间接地计数。设想我们必须加4或5位数，我们首次用直接计数进行，然后用惯常的法则进行，我们认识到，用后者大大地省却了时间和精力。实践生活的任务同样快地引起了减法、乘法、除法等问题，人们能够再次表明，这些问题是利用先前的经验简化和缩短计数的案例；我们愿抑制进一步的细节。
第十二节
物质环境对于算术概念的发展并非像时常设想的那样单纯。如果物理经验没有告诉我们存在着恒等的、不可改变的和恒久的对象的多样性，也没有告诉我们生物学的需要迫使我们把这些对象汇集成群，那么计数也许是没有目的感的。如果环境像在梦中那样在总体上是非恒久的、在每个时刻不同的，那么为什么计数呢？为了确定较大的数，如果直接计算在实践中由于所需要的时间和精力并非不可能，那么运算或间接计数的发明从来也不会把它们强加于我们。通过直接计数，我们仅仅注意到在直接的感性知觉中给予的东西。由于运算是间接计数的形式，因此它不能告诉我们有关感觉经验范围的任何本质上新的东西，实际上不能告诉我们从直接计数中能够获悉的东西。那么，数学为何能够为自然规定先验的定律呢？事实上，它必须把它自己局限于证明运算的结果和起点之间的一致，同时在这一过程中利用与数学家本人的排序活动有关的经验：充分把握这种活动依然是极其有价值的，而且继续从各个角度阐明事实。
第十三节
算术的最初开端是在为实践生活的服务中发展起来的。当算术变得对生活有特别的要求时，便导致进一步的进展。不得不频繁地进行相似运算的人在这方面获得了特殊的眼力和能力，将最乐于考虑如何简化和缩短他的步骤。于是，出现了代数，代数的符号不代表特殊的数，而宁可说把注意力转向操作的形式。代数一劳永逸地解决了所有在形式上相似的操作，只留下在用特殊的数运算时的剩余努力。代数定理、实际上一般而言数学定理，也总是表达排序活动的的等价。这对于表达二项式定理的方程的两边的例子也有效。如果我们在二次方程旁边写出根的公式，那么我们便确定两个操作的等价，恰如通过把微分方程和它的积分放在一起一样。顺便说及，数学的符号语言再次是一类减轻大脑负担的机器，我们容易地和经常地依靠它完成在其他方面会使我们精疲力竭的符号操作。此外，数学书写符号是成功的万国语中的最漂亮、最完美的范例，尽管它应用于受限制的领域。
第十四节
对等价对象的群的考察直接把我们导向整数的概念。如果对象是可以分为相等部分的个体，那么仅有整数就能够恰当地用来计数它们。然而，作为综合的乘法的对立面之分析的除法，导致我们在特例中把分离的对象或单位分割为分数，这当然仅仅对可分的单位才有意义；或者像求根这样的纯粹算术的操作，作为自乘幂的综合过程之对立面的分析的操作，导致杜撰无理数，这种数完全不能由有限的计数操作来决定。即使像加法和减法这样的最简单的操作，也为新概念的形成提供了诱因。操作7＋8总是可执行的，8－5也是如此，但是，如果我们正在处理等价的对象而无相对的特征，那么5－8包含不可能的要求。不过，只要上述的单位处于诸如贷方和借方、向前数步和向后数步等等的对照之中，这最后的操作很快变得可能了，并获得可理解的涵义。就这样，我们得到正数和负数对照的概念，它们用通常的加法和减法的记号表示，在该操作中需要确定首先呈现出来的这种对照。严格地讲，我们对此必须使用特殊的符号。关于所标记的数的乘法的记号法则通过下述介绍给出：积（a－b）（a－d）必须与通过插入简单值m和n代换因子所得的值一致。对于没有对立面的数而言，这样的法则没有意义。事实上，负数和正数二者都有正的平方，这意味着乍看起来负数的平方根必须是不可能的或虚的。的确，它长期以来像负数一样被看作是不可能的；只要唯一的对照是在正的和负的之间的对照，情况必定依旧如此。沃利斯受代数的几何应用的指导，首次把
看作是＋1和－1之间的几何平均值，即＋1：i＝i：－1和i＝ 。在阿冈（Argand）以充分的普遍性精确地阐明它之前，这种观点或多或少地清楚地数次重现。通过把比例不仅与大小、而且也与方向联系起来，他把表达式a＋b 描述为平面上的矢量：从原点起我们沿一个方向走一段距离a，然后成直角走一段距离b。于是，平面的点能够用复数描述。
第十五节
这样一来，算术实践有时导致乍看起来似乎是不可能的分析操作，或者导致在结果上没有意义的争端。然而，我们依据较仔细的审查发现，迄今可应用的算术概念经过稍微修正或扩展便消除了不可能性，结果容许完全清楚的诠释，尽管是在较广泛的应用领域。当数学家以这种方式被迫违背他们的意愿修正他们的概念，并获知这样的步骤的价值和优点时，听任自由的发明更迅速地满足需要，甚或走在需要的前头，就变得更为自然了，请目睹一下格拉斯曼、哈密顿（Hamilton）和其他人关于矢量运算发明的例子吧，在这里数概念是为了适应几何学、运动学、力学、物理学等等的需要。
第十六节
让我们也考虑一下把截然分明的概念形成不仅给予无限地增加和减少、而且也给予实无穷的近代尝试吧。伽利略在他的对话（1638）的第一天提及这样的悖论：整数的无限集合似乎比平方的集合更大，而后者的一个数都对应于前者的每一个数，以致集合必定是相等的。他得出结论说，相等、较大和较小的范畴并不适合于无穷。这个思考的痕迹可以追溯到古代，它导致
G．康托尔（Cantor）关于集合论的研究。伽利略的例子表明，人们如何可能达到如下的定义：如果一个集合中的每一个元素是另一个集合中的元素且是唯一的元素，那么这两个集合具有相同的势，反之亦然。两个这样的集合被称为等价的。若一个集合等价于它本身的部分，则它是无穷集合。康托尔的研究表明，即使在实际上无穷的领域，恰当地构造排序概念，也能使人们依旧坚持一种概观。
第十七节
关于数论的逻辑－数学的描述，我们可以提到L．库蒂拉特（Couturat）撰写的明晰而有趣的书。我们的观点符合心理学的和人类学的考虑，这些考虑在任何情况下都是对逻辑方面的必要补充。对主体发展的深入细致的历史研究，在这里可以具有与费利克斯·克菜因（felix Klein）的著名讲演相同的有益效果。
第十八节
在从一开始我们正在处理就我们的实际兴趣而言是分立的对像之处，数论的应用是相对单纯的。许多探究对象，诸如广延和持续时间、力的强度等等，都不是即时地来自直接可数的等价成员的群。不用说，存在许多方式把它们分割为等价的可数的成员，对于这些成员中的每一个本身来说也同样，如此等等，但是必须使分割的极限人为地变得可感知和可区分，直到我们希望在其中止步的分割程度，因此最后单位的大小是任意的和约定的。然而，一旦我们以这种方式作出连续统，碰巧包含在进行的研究中的它的一部分能够由计数部分、即由达到任何期望的准确度的测量来决定。人为构造的数字连续统是在任何准确性水平上追踪自然连续统的条件的手段。可是在某处或彼处，我们必须在一个极限上停止，因为感官即使在人为支持时也是不完善的。例如，我们不能以无限的准确性观察，测量尺度覆盖被测量的对象，或它们的末端重合。这一相同的不确定性同样侵染了指明测量被测量的对象和测量尺度之间关系的结果之数值。事实上，相同的缺陷也与算术实际应用于分立地可数的对象有联系，因为它们预设的完美的等价实际上从来也没有被满足。
第十九节
如果我们不得不把连续变化的物理条件或物理量化归为量度，那么我们首先必须选择比较的对象或测量单位，并拟定如何判断另一个对象等于标准。倘若在不变的条件下对象能够相互代替而不损失结果，我们便认为对象在某些方面是相等的。两个重物相等，只要把它们单独地和分离地放在同一天平的同一盘子中时，它们引起相同的编转；两个电流相等，只要在它们相继地通过同一不变的电流计时，它们确定指针相同的偏转；对于磁极、热的程度和量等等而言，情况也类同。如果把n个等于该单位的重物放在同一盘子，让n单位的电流通过同一电流计导线（或通过闭合的相邻导线）等等，那么，若该单位是完全可以相互交换的，则结果仅仅由数值的度量n决定。
第二十节
如果借助数值量度确定了一系列相似的物理案例的决定性的条件，那么我们往往能够借助简单的推导法则、以对于描述事实来说充分的准确性，来描述它们相互依赖的方式。诸如折射定律、波意耳气体定律、毕奥－萨伐尔（Savart）定律这样的例子，都说明了这一点。当这样的定律一旦已知，它们常常能够在直接测量是困难的或不可能的地方促进间接测量。例如，连续地改变光源的强度是困难的，但是依据距光源等距离的、成直角被照明的两个接近的等面积的相等照明亮度，用眼睛判断两个光源相等则是容易的。如果现在我们能够表明，一个光源成直角地照明的面积恰恰像另一个相等的照明面积一样亮，而后者准确地收集的等于第一个的4，9，16……倍而却处在2，3，4……倍的距离处，那么能够把任何照明状态的测量化归为确定在相等亮度处的距离的关系，甚至通过眼睛把该测量限定为判断相等的和不相等的照度。
第二十一节
当我们把来自相似部分的物理探究构成整体时，我们必须总是当心，这种配合是否符合实在的添加物。例如，鉴于较强的光能够毫无保留地由相似的、独立的（不连贯的）光构成整体，而且总强度是各部分强度之和，因此众所周知，在某些条件下，我们对于一个小光源的光不再能这样做。同样地，同一音调的几个音叉的声音强度一般地不是各个强度之和，除非仅仅在周相重合的案例中。其他这样的告诫在 W2的PP．39-57中提过了。