钦定四库全书
取地平线法 増题一
凡测髙深广逺必用直角者以小句股求大句股也地平为句所测髙为股股者垂线也垂线之末加权焉以定地平有本器本论今用象限与矩度则于器心施权线平直相切于象限之边其表边所向之处别立他表则他表与器之心为平行线如
一图甲乙为物髙丙上加器表边在上旁以
权线凖之从丙直视至甲定甲为他表则
甲丙线为地靣上平行线何者垂线从天
顶向地心与地靣上平线为直角故也
若道里相距太逺难定其髙下之较何
者地靣为地球之一分?分也逺则目
与物为?背所隔不相及矣法以相距
之逺分为若干分每两分定其髙下之
较末以各较加减之得总髙下之较如
二图甲乙相距四里许乙上加器别
立丙表令乙与丙等髙丙上加器别
立丁表令丙与丁等髙丁上加器望
甲令甲与丁等髙次量各表距地各
几何加减之得甲乙之较
值两地之间为山城所隔如三图量
乙距丙几何令乙与丙平丙之表端
为丁距戊几何令丁与戊平戊下取
己与丙平戊己距庚辛表几何定己
与庚平戊与辛平庚辛距壬癸表几何令辛庚与壬癸平从壬癸望甲令癸与甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并两数相减余为两地髙下之较如近乙之丁丙与己戊并多于近甲之庚辛与壬癸并则乙下而甲髙深浅反之
若山城中穷于用器则于山腰用之又别有简法曰山顶戊用器求甲与乙之深两数之较则髙下之较【四图】
如在乙欲测甲髙乙上用器令乙与丁平则量丁乙之逺而求甲丁之深【五图】
矩尺测量法 増题二
法曰如一图欲于丁测甲乙之髙丁上立表表端为山
口矩尺之直角加焉以己戊
尺向髙际乙稍移就之令己
戊乙为直线次从戊己尺上
依直线向地平得丙成丁戊
丙甲乙丙相似两形则丙丁与丁戊若丙甲与乙甲以髙求逺则戊丁与丁丙若乙甲与甲丙
若据髙求逺如二图丁丙与戊丁若戊
丁与丁乙若因逺求髙则戊丁与丁丙
若乙丁与戊丁 论曰戊丁乙戊丁丙
两形有丁直角丁丙戊丙戊丁并为一
直角丙戊乙亦为直角两角内减丁戊
丙角余戊丙丁丁戊乙两角等夫直角形有两角等即形相似则丙角之对边戊丁也乙戊丁角之对边丁乙也其比例必等
求井之深则于井口边甲上
立表向井底乙向地平之丁
成甲丁丙丙戊乙两形相似
是丙甲当广甲丁当深也
测极逺别法 増题三
两郡邑相距太逺以髙求逺表法为
穷则用四表遇地靣不平四表法又
穷别法每邑取一髙若山巅若楼防
若林木俱可或并为诸物又地平为
他物所碍则又穷当于气清日朗风恬时烧狼烟直上作两处之表次于近山之顶取甲取乙甲山上加象限
向所测之丁与丙又向乙山定丙甲
丁乙甲丁两角乙山上加象限向甲
向丁向丙定丁乙丙甲乙丙两角夫
甲乙丙形有甲乙边乙甲两角可求
甲丙边甲乙丁形有甲乙边甲乙两
角可求甲丁边未甲丁丙形有甲丙
甲丁两边可求丁丙相距之逺若一次不能测则分测之如以甲乙测丁丙以乙辛测丙戊以辛庚测戊己
量髙逺深 増题四
用方木表承以鼎足之跗垂权取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔长寸许广三分贯以横表游移无定亦以十或百平分之纵横作直角
解曰如一图欲测甲乙之髙丙上立
表横表游移令丁戊乙为直线成丁
戊己丁乙庚两相似形即丁己若干
分与己戊一百分若丁庚与乙庚加甲庚得全髙
以髙求逺则戊己一百分与丁己若
干分若乙庚与庚丁减丁己得甲丙
逺物在下目在上如二图令戊丁丙
作直线则戊己与己丁若戊甲与甲
丙
若无髙求逺则用重表如三图以丑
壬两测之较当庚癸相距之逺
髙上测髙用重表再测但须定表横
用游表直用在丙得己丙在丁得丁
戊其较庚己以当丙丁横表己辛
以当甲乙
在一髙测两下在丁向乙向丙定
横表之两数则丁戊当丁甲戊辛
当甲丙己辛当乙丙己戊当甲乙
用五图以逺求髙其理亦同以逺
求深或井口上立柱用四图以井
口之度求深用二图
造象限仪法【篇中或省曰象限或曰仪】
用铜或木板作圏四分之一去板边三分作甲乙直线平靣中任取丙为心甲为界作甲丁虚圏交甲乙线于戊从戊过丙作直线交甲丁圏于丁从甲至丁作直线
成丁甲乙直角【几何用法】次以甲为心去
版边一二分取乙为界作乙庚圏即
四分全圏之一象限也圏限外余版
剡去之次离乙庚弧以内约二分作
相似弧两弧间平分各度分又同前作相似弧两弧间识其十度或五度从庚从乙皆可起算互用之庚后作小孔贯以权线至甲【若作两指尺可不用权线】
窥衡一名指尺铜为之首为小圜径
三四分从心出直线名指线以定度
分所至也广三分厚一分长与象限
之半径等上设二表一近心一近秒秒以钩钩象限边令游移而不脱表形方髙广约四三分中作直线鑢通之下为小孔表之下端为半枘入尺中令两表之前后两缝两孔皆相对不爽毫发于指线为垂线象限边上亦设二表如上法葢测量法每用两指线以定两测所
在也或作两指尺同心同线可定可
移尤便
如图以木为架上为半圏两端开山
口深三四寸以受象限
用象限法
架口受象限之甲乙边以庚甲线取
平焉仪靣正对所测物从窥衡觑物
与指线相参直得指线如弧所当度
分则从乙至指线者地平上之髙也从指线至庚距天
顶之髙也
次法以架口受象限之弧
甲心上别用权线下垂过
弧甲庚边上立表游移觑
表与物参直审权线之度
定物之髙从乙角起者地
平上之髙也从庚角起者
距天顶之髙也
三法若地或平或欹则别作圆转之架上端为球空大半作实球与空球等入空中鐡枘指外径二分长寸许
旋转廻斡不出大球之口空球旁加螺
旋三具俟实球之体定而固之 仪后
靣中心作孔受实球之枘用时以枘入
孔转仪得其靣与所测物为直线以螺
旋固之
象限之用有二一定仪如首图其一边与地平为平行线以窥衡定地平上之度一游仪如二图用权线其理同也何者游表边与定衡同向一物作平行线定仪之立边与游仪之权线作平行线则窥衡与立边所作角表边与权线所作角等弧亦等
造矩度法
用铜木板作正方直角形如象限法任用一角为心两
旁作直角两线如甲乙甲丙次用元
度乙丙各为心各作小弧交于丁次
作丙丁乙丁两线成甲乙丙丁正方
形各边作一百分毎对边分以直线
相聮成网目形器小每五分十分作
直线器大更细分之
角止作心加窥衡加权线任用架具于前
定仪于立边书髙深平边书逺游仪于表旁边书逺对
边书髙深以便别识
约法象限弧之内空作矩度其窥衡
指线上分即矩度边之分是指线当
权线也为用殊大若欲取最小之分
则加两窥衡两指线相合为一线用时分指焉安衡法管端之小圜心开圆孔象限心则方孔为螺柱当圆为圆当方为方末圆而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙两角各为心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙为三分而等各又三分之为九分又各半之为十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界为心左右参差定防毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同【论见几何用法】分矩度法先平分之又平分之又各五分之为二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分
造小象限法
正方版一角为心作象限之弧弧外
两边二平分之又三平分之至四至
五六七八九十各平分用界尺从心
至各分为界弧上作踈宻线线以内
书各分其弧外余板去之加权线与矩度同用
用法 以表向物如前遇权线截弧表之旁则髙多逺少截表之对边则髙少逺多如截表旁为二分则逺一髙二截五分则逺一髙五反之则髙一逺二逺一髙五说见二卷矩度法中
又法以甲乙边当一百依前法分乙戊弧为一百不平分若权线至己则股一百句五十也至辛则股一百句一十也转用之权线至庚则甲丁股一百句五十也
法用平版如几案置仪其一端仪之心以当两测之初所定仪用防表左右迁移令二表与次所相叅直即于两表间作一线名曰主线主线之左右视所绘之物令与两表相叅直即如前作线虚记本物之名号次用指南针定其方向又各两线中间书其度分之数画讫至次所置仪于版之他端以仪心加主线之上主线与初所相叅直令初测之仪心在两所之间也定仪如前用两表视所绘之物各作线审方注度即每物各有两线在图版之上必相遇相遇之防乃实注本物之名号末去各线成所求作图
若欲知此物之距测所远近多寡先定两测之所相距若干为主线之里数或歩数或丈尺数依三角形法主线为底向一物之两线为两腰是有底及底上之两角求两腰为本物距两测防若干
又两物之两交作一线相聮与一测防成三角形从测所至两防之线为两腰聮线为底如前先得腰再用其角可得底为两物相距之数
如一图甲为两测之初所加仪向次所乙先作主线次向午己戊癸等物作各线后至乙亦如之即得各两线之交为午己戊癸各物之定所
若物在中不可得至欲绘其形即用仪几次周遭测之如二图
新法算书卷八十九