钦定四库全书
御制厯象考成上编卷十
五星厯理二【専论土星】
土星平行度
用土星三次冲日求本轮均轮半径及最髙求初均数
求次均数
土星平行度
测土星平行之法用前后两测取其距恒星之度分等【恒星有嵗差毎年五十一秒测时须加入计之】距太阳之逺近左右亦等乃计其前后相距中积若干日时及星行满次轮若干周即可得其毎日平行之率盖两测距恒星之度既等则其行满一周天而复于故处而距太阳之逺近左右又等则两测之迟疾加减俱等而次轮之行亦满全周而复其故处也新法厯书载古测定五十九平年又十六日十分日之三或二万一千五百五十一日又十分日之三土星行次轮五十七周【即防日五十七次冲日亦五十七次】置中积二万一千五百五十一日又十分日之三为实星行次轮周数五十七为法除之得周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒【即三百七十八日零百分日之九分二九八二□时厯作三百七十八日○九一六】乃以毎周三百六十度为实周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒为法除之得五十七分零七秒四十三微四十一纎四十四忽三十三芒为毎日土星距太阳之行【即土星在次轮周毎日之行一名嵗】行与毎日太阳平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒相减余二分零三十六微零八纎零七忽零六芒为毎日土星平行经度【即本轮心毎日之行】既得毎日之平行用乘法可得毎年毎月之平行用除法可得毎时毎分之平行以立表
用土星三次冲日求本轮均轮半径及最髙
土星之初均数生于本轮半径而求本轮半径须用三次冲日与月离用三月食同盖星冲日之时星在次轮最近防无次均数故测诸星本轮半径者必俟此时也新法厯书载西人多録某于汉顺帝时用土星三次冲日推得两心差为本天半径十万分之一万一千七百七十二用其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径最髙在大火宫二十三度【永建二年丁夘】后因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之一万一千二百七十七至明正徳间西人歌白泥复用三测推得两心差为本天半径十万分之一万二千最髙在析木宫二十七度三十五分【正徳九年甲戌】相距一千三百八十七年而两次所测最髙相差三十四度三十五分乃以三十四度三十五分为实一千三百八十七年为法除之得毎年最髙行一分二十九秒四十六微万厯间西人第谷又测得两心差为本天半径十万分之一万一千六百二十八后又定两心差为本天半径千万分之一百一十六万二千本轮半径为本天半径千万分之八十六万五千五百八十七【此四分之三小比三分之二大】均轮半径为本天半径千万分之二十九万六千四百一十三【比四分之一大比三分之一小】最髙在析木宫二十六度二十分二十七秒【万厯十八年庚寅】毎年最髙行一分二十秒一十二微用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左
假如第一次冲日日躔娵
訾宫一度零三分二十七
秒土星在鹑尾宫一度零
三分二十七秒如甲第二
次冲日日躔娵訾宫二十
一度四十七分三十九秒
土星在鹑尾宫二十一度
四十七分三十九秒如乙
第三次冲日日躔降娄宫
一十六度五十一分二十
八秒土星在夀星宫一十
六度五十一分二十八秒
如丙
第一次冲日距第二次冲
日一万一千三百四十三
日五时三十六分其实行
相距二十度四十四分一
十二秒【即鹑尾宫甲点距乙点之度亦即甲
丁乙角于第二次实行度内减去第一次实行度即
得】其平行相距一十九度
五十九分五十四秒【以毎日平
行度与距日相乗减去全周即得】第二次
冲日距第三次冲日七百
五十五日二十时三十一
分其实行相距二十五度
零三分四十九秒【即鹑尾宫乙点
距夀星宫丙点之度亦即乙丁丙角于第三次实行
度内减去第二次实行度即得】其平行相
距二十五度一十九分一
十六秒乃用不同心圈立法
算之任取戊点为心作己庚
辛壬不同心圈则辛庚弧即
第一次距第二次之平行度
一十九度五十九分五十四
秒庚巳即第二次距第三
次之平行度二十五度一十
九分一十六秒爰从戊点过
地心丁至圜周二界作一线
为最髙线戊丁即两心差又
引丙丁线至壬自壬至甲丁
乙丁二线所割庚辛二点作
壬庚壬辛二线自庚至辛又
作庚辛线即成壬丁辛壬丁
庚壬庚辛三三角形以求本
天半径与两心差之比例先
用壬丁辛
三角形求壬辛边此形有壬
角二十二度三十九分三十
五秒有丁【壬为界角当辛巳弧以辛庚庚
巳两弧相加折半即得】角一百三十
四度一十一分五十九秒设
丁壬【即甲丁丙角之余】边为一○
○○○○○○求得壬辛边
一八二四二六三九次用壬
丁庚三角形求壬庚边此形
有壬角一十二度三十九分
三十八秒有丁角一百五十
四【以庚巳弧折半即得】度五十六分
一十一秒设丁壬边为一○
○○【即乙丁丙角之余】○○○○
求得壬庚边一九七二二九
五四末用壬庚辛三角形求
庚角此形有壬辛边一壬为
界角当辛巳弧以辛庚庚巳
八二四二六三九有壬庚邉
一九七二二九五四有壬角
九度五十九分五十七秒求
得庚【以辛壬丁角与庚壬丁角相减即得】角
六十度五十八分四十秒倍
之得一百二十一度五十七
分二十秒为辛壬弧与辛巳
弧四十五度一十九分一十
秒相加得一百六十七度一
十六分三十秒为己辛壬弧
于是以本天半径命为一○
○○○○○○各用八线表
求其通则辛壬弧之通
为一七四八八六三二己壬
弧之通为一九八七六八
一三乃用比例法变先设之
丁壬边为同以辛壬丁角与
庚壬丁角相减即得
比例数以先得之辛壬边
一八二四二六三九与先
设之丁壬一○○○○○
○○之比即同于今所察
之辛壬通一七四八八
六三二与今所求之丁壬
边之比而得丁壬边九五
八六六七九又平分己辛
壬弧于癸作戊癸线平分
己壬通于子得子壬九
九三八四○七内减去丁
壬九五八六六七九余子
丁三五一七二八又以己
癸弧八十三度三十八分
一十五秒与九十度相减
余六度二十一分四十五
【秒为戊巳子角戊巳子为直角三角
形戊角当己癸故己角为己癸减象限之余】察其正得一一○八一八
五为戊子乃用戊子丁勾股
形以戊子为股子丁为勾求
得戊丁一一六二六六三
为两心差也求最髙之
法亦用戊子丁直角三角形
求丁角此形有三边有子直
角求得丁角七十二度二十
三分二十八秒即第三次冲
日土星距最髙丑点之度也
求初均数
土星之初均数授时厯名为盈缩差其盈差最大者八度二五五二三八二一缩差最大者六度二七九○四七一四以周天三百六十度毎度六十分约之盈差得八度零八分一十一秒四十一微缩差得六度一十一分一十九秒三十八微冲合以外各段同用新法厯书最大之初均数为六度三十八分一十九秒零六微【乙而丙即六度零十分度之六分三八】惟星正当冲合之时止用此均数加减若在冲合前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之
如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为八十六万五千五
百八十七戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万六千四
【六三三】百一十三辛【去本轮心逺也】为最逺癸【去本轮心近也】为最近本轮心循本天右旋自而丁毎日行二分有余即土星经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚毎日亦行二分有余【微不及经度之行毎年少一分二十秒一十二微】即自行引数次轮心则循均轮右旋
自癸而壬而辛毎日行四分有余为倍引数也
如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向已行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故
自行初宫初度及六宫初度俱无均数也
如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑【丑癸弧为戊子之倍度】从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸夘直角三角形求癸夘夘丙二邉此形有夘直角有丙
角三十度则癸角必六十度有癸丙边五十六万九千一百七十四【本轮半径内减去均轮半径之数】求得癸夘边二十八万四千五百八十七夘丙边四十九万二千九百一十九以夘丙与丙甲本天半径一千万相加得一千零四十九万二千九百一十九为夘甲边以癸夘边与丑癸通二十九万六千四百一十三相加【即均】
【轮丑癸弧六十度之通故与均轮半径等若非六十度则用比例法以半径一千万为一率均轮丑癸弧折半察正为二率均轮子癸半径为三率得四率倍之即丑癸通也】得五十八万一千为丑夘边于是用甲丑夘直角三角形求得甲角三度一十分零九秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也【凡求得初均角即求得丑甲邉为次轮心距地心之数存之为后求次均之用】若均轮心从最髙
戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸厯壬辛行三百度至已从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实
行也用此法求得最髙后三宫之减差【初宫初度至二宫末度】即得最髙前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】
如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实
行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为五十六万九千一百七十四求得癸戌边四十九万二千九百一十九丙戌边二十八万四千五百八十七以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余
九百七十一万五千四百一十三为戌甲边以癸戌边与申【千四百零二相加】癸通五十一万三【即均轮申癸一百二十度之通】得一百万零六千三百二十一为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角五度五十四分四十九秒即酉丙弧
为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向已厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧
与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行
也用此法求得最卑前三宫之减差【三宫初度至五宫末度】即得最卑后三宫之加差【六宫初度至八宫末度】
求次均数
土星与太阳冲合之后即有次均其数生于次轮盖星冲太阳之时在次轮之最近合伏之时在次轮之最逺与次轮心及地心参直故求初均数即以次轮心立算而无次均自冲合而外星行次轮周之左右其次轮周星体所在即次均数也新法厯书载西人多録某测得次轮半径为本天半径十万分之一万零八百三十三其后西人第谷又改为本天半径千万分之一百零四万二千六百今从之
如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为八十六万五千五百八十七戊为最髙己为最
卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为二十九万六千四百一十三庚为最逺辛为最近【此逺近以距本轮心言】壬辛癸为次轮全径壬辛半径为一百零四万二千六百壬为最逺癸为最近【此逺近以距地心言】本轮心从本天冬至度右旋【本天上与黄道冬至相对之度】为经度均轮心从本轮最髙戊左旋为引数【即自行度】次轮心从均轮最近辛右旋为
倍引数星从次轮最逺壬右旋行距日之度【即本轮心距太阳之度】如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最近辛合伏之时星在次轮之最逺壬冲太阳之时星在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减若冲合以后则星在次轮周之左右【冲太阳之后在次轮之右合伏之后在次轮之左】而次
均生矣
如均轮心从最髙戊行三十度至子为自行一宫初度次轮心则从均轮最近辛行六十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角三度一十分零九秒【即寅丙弧】为初均数而无次均数若星从次轮
最逺壬厯癸行三百度至夘从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲夘三角形求甲角【即辰寅】此形有丑角一百二十度【于壬癸夘弧三百度内减去壬癸半周余癸夘即丑角度】有夘丑半径一百零四万二千六百有丑甲边一千零五十万八千九百九十一【求丑甲邉法见前求初均数篇】求得
甲角四度五十四分一十八秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙三度一十分零九秒相加得辰丙弧八度零四分二十七秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行三百三十度至
己为自行十一宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行三百度至午星从次轮最逺壬行六十度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相加之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过
于平行之度是为加差以加于平行而得实行也【若测得平行实行之差及星距太阳之度以推次轮半径亦用丑甲夘三角形求之】
如均轮心从最髙戊行一百二十度至子为自行四宫初度次轮心则从均轮最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸
则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角五度五十四分四十九秒【即寅丙弧】为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬行四十五度至夘从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲夘三角形求甲角【即寅辰弧】此形有丑角一百三十
五度【于半周内减去壬夘弧四十五度余夘癸弧即丑角度】有夘丑半径一百零四万二千六百有丑甲边九百七十六万七千三百九十二求得甲角四度零五十二秒即寅辰弧为次均数与初均数寅丙弧五度五十四分四十九秒相减【因初均寅点在平行丙点之后而次均辰点在寅点之前故相减】余辰丙弧一度五十三分
五十七秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行二百四十度至己为自行八宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行一百二十度至午星从次轮最逺壬厯癸行三百一十五度
至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相减所余之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也
御制厯象考成上编卷十