钦定四库全书
厯算全书卷五十一
宣城梅文鼎撰
三角法举要卷二
算例
三角形有三类
一曰句股形
即直角三邉形也有正方角一余并锐角
一曰锐角形
三角并锐
一曰钝角形
三角内有钝角一余并锐角
以上三类总谓之三角形其算之各有术
句股形第一术 有一角一邉求余角余邉
内分二支
一先有之邉为
一先有之邉为句【或先有股亦同】
假如【壬癸丁】句股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】
求余角余邉
一求癸丁邉
术曰以半径全数比丁角之余
若壬丁与癸丁句【半径即丁乙余即甲丁
以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸】
一率【原设】半径 一○○○○○为法
二率【原设句】丁角【五十七度】余 五四四六四【相乘】
三率【今有】壬丁邉 九十一丈八尺【为实】
四率【今所求句】癸丁邉 五十丈 法除实得所求一求壬癸邉
术曰以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一率【原设股】半径 一○○○○○ 为法二率【原设股】丁角【五十七度】正 八三八六七 【相乗】三率【今有】壬丁邉 九十一丈八尺 【为实】四率【今所求股】壬癸邉 七十七丈 法除实得所求一求壬角
以丁角【五十七度】与象限九十度相减得余三十三度爲壬角
计开
先有之三件
癸正方角【九十度】 丁角【五十七度】 壬丁【九十一丈八尺】
今求得三件
癸丁旬【五十丈】 壬癸股【七十七丈】 壬角【三十三度】
右例先得以求句股也是为句股形第一术之第一支
假如【壬癸丁】句股形有丁角【六十二度】癸丁句【二十四丈】求余角余邉
一求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角
【戊丙丁句股形以戊丙切线为股丙丁半径为句戊丁割线为
是丁角原有之线】
【今壬癸丁句股形既同丁角则其比例等】
一求壬丁邉
术为以半径比丁角之割线若癸丁句与壬丁
一【原设句】半径 一○○○○○ 为法二【原设】丁角【六十二度】割线 二一三○○五 【相乗】
三【今有句】癸丁邉 二十四丈 【为实】
四【所求】壬丁邉 五十一丈二尺 法除实得所求一求壬癸邉
术为以半径比丁角之切线若癸丁句与壬癸股
一【原设句】半径 一○○○○○为法
二【原设股】丁角【六十二度】切线 一八八○七三 【相乗】
三【今有句】癸丁邉 二十四丈 【为实】
四【所求股】壬癸邉 四十五丈一尺 法除实得所求计开
先有之三件
癸正方角 丁角【六十二度】 癸丁句【二十四丈】
今求得三件
壬角【二十八度】 壬丁【五十一丈一尺】 壬癸股【四十五丈一尺】右例先得句以求及股也或先得股以求及句亦同是为句股形第一术之第二支
句股形第二术 有邉求角
亦分二支
一先有二邉
一先不知正方角而有三邉【新増】
假如【壬癸丁】句股形有壬丁【一百零二丈二】癸丁句【尺四十八】
求二角一邉
一求丁角
术为以壬丁比癸丁句若半
径乙丁与丁角之余甲丁
一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之为法二 癸丁邉 四十八丈 今有之句【丈相】三 半径 一○○○○○ 原设之【乘为】四 丁角余 四六九六六 法除实得所求原设句
依术求得丁角六十二度【实以所得余捡表即】
一求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余二十八度为壬角一求壬癸邉
术为以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一 半径 一○○○○○
二 丁角【六十二度】正 八八二九五
三 壬丁邉 一百○二丈二尺
四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸
计开
先有之三件
壬丁【一百○二丈二尺】 癸丁句【四十八丈】 癸正方角
今求得三件
丁角【六十二度】 壬角【二十八度】 壬癸股【九十丈○二尺三寸】
右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是为句股形第二术之第一支【此先有二邉为与句故用正余若先有者是句与股则用切线其比例之理一也】
假如【壬癸丁】三角形有壬丁邉【一百○六丈】壬癸邉【九十丈】癸丁邉【五十六丈】求角
一求癸角
术以壬丁大邉与丁癸邉相加得【一
百六十二丈】为总又相减得【五十
丈】为较以较乗总得【八千一百丈】为实以壬癸邉【九十丈】为法除之
仍得【九十丈】与壬癸邉数等即知
癸角为正方角
依术求得癸角为正方角定为句股形
一求丁角
术为以丁癸邉比壬癸邉若半径与丁角之切线
一 丁癸句 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半径 一○○○○○
四 丁角切线 一六○七一四
依术求得丁角五十八度○六分【以所得切线捡表即得】
一求壬角
以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
计开
先有三邉
壬丁邉【一百零六丈】 壬癸邉【九十丈】 癸丁邉【五十六丈】
求得三角
癸正方角 丁角【五十八度零六分】 壬角【三十一度五十四分】右例亦以邉求角而先不知其为句股形故兼用三邉是为句股形第二术之第二支
锐角形第一术 有两角一邉求余角余邉
假如【乙丙丁】锐角形有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁邉【一百二十尺】
先求乙角
术以丙角【六十度】丁角【五十度】相
并得【一百一十度】以减半周一百
八十度余七十度为乙角
次求乙丁邉
术为以乙角正比丙丁邉若丙角正与乙丁邉
一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁邉【即乙角对邉】 一百二十尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙丁邉【即丙角对邉】 一百一十尺○六寸
次求乙丙邉
术为以乙角正比丙丁邉若丁角正与乙丙邉
一 乙角【七十度】正 九三九六九
二 丙丁【乙角对邉】 一百二十尺
三 丁角【五十度】正 七六六○四
四 乙丙【丁角对邉】 九十七尺八寸
计开
先有之三件
丙角【六十度】 丁角【五十度】 丙丁邉【一百二十尺】
今求得三件
乙角【七十度】 乙丁邉【一百一十尺零六寸】 乙丙邉【九十七尺八寸】右例先有之邉在两角之间也若先有之邉与一角相对亦同盖三角形有两角即有第三角故无两法
锐角形第二术 有一角两邉求余角余邉
此分二支
一先有之角与一邉相对
一先有之角不与邉相对
假如【甲乙丙】锐角形有丙角【六十度】甲丙邉【八千尺】甲乙邉【七千零三十四尺】
先求乙角
术为以甲乙邉比甲丙邉若丙角
正与乙角正
一 甲乙【丙角对邉】 七千○三十四尺
二 甲丙【乙角对邉】 八千尺
三 丙角【六十度】正 八六六○三
四 乙角 正 九八四九六
捡正表得乙角八十度○三分
次求甲角
以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
次求乙丙邉
术为以乙角之正比甲角之正若甲丙邉之与乙丙邉
一 乙角【八十度○三分】正 九八四九六
二 甲角【三十九度五十七分】正 六四二一二
三 甲丙【乙角对邉】 八千尺
四 乙丙【甲角对邉】 五千二百一十五尺计开
先有之三件
丙角【六十度】 甲丙邉【八千尺】 乙甲邉【七千○三十四尺】
今求得三件
乙角【八十度○三分】 甲角【三十九度五十七分】 乙丙邉【五千二百一十五尺】右例有两邉一角而角与一邉相对是为锐角形第二术之第一支
假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 角在两邉之中不与邉对求甲乙邉
先求中长线分为两句股形
术为以半径比丙角正若甲
丙邉与甲丁中长线
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】正 ○八六六○三
三 甲丙邉 四百尺
四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉【即所分甲丁丙形之句而甲丙为之】
术为以半径比丙角余若甲丙邉与丙丁邉
一 半径 一○○○○○
二 丙角【六十度】余 五○○○○
三 甲丙邉 四百尺
四 丙丁邉 二百尺
次求乙丁邉【即所分甲丁乙形之句而甲丁为之股】
以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁次求丁甲乙分角【即分形甲丁乙句股之甲角】
术为以甲丁中长线比乙丁分邉若半径与甲分角切线
一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
二 乙丁分邉 六十一尺○八分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角切线 一七六三三
捡切线表得一十度为甲分角
末求甲乙邉
术为以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙邉
一 半径 一○○○○○
二 甲分角【十度】割线 一○一五四三
三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分求甲全角
以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求到甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周亦同】
计开
先有之三件
甲丙邉【四百尺】 乙丙邉【二百六十一尺○八分】 丙角【六十度】
今求得三件
甲乙邉【三百五十一尺七寸五分】 甲角【四十度】 乙角【八十度】右例有两邉一角而角在两邉之中不与邉对故用分形以取句股是为锐角形第二术之第二支
又术【新増】 用切线分外角
假如【甲乙丙】锐角形有甲丙邉【四百尺】乙丙邉【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】 此即前例但求甲角
术以【甲丙乙丙】两邉相并为总相减为
较又以丙角【六十度】减半周得外
角【一百二十度】半之得半外角【六
十度】捡其切线依三率法求得半
较角以减半外角得甲角
一 两邉总 六百六十一尺○八分
二 两邉较 一百三十八尺九寸二分
三 半外角切线 一七三二○五
四 半较角切线 三六三九七
捡切线表得【二十度】为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
次求乙角
并甲丙二角共【一百度】以减半周得余八十度为乙角次求甲乙邉
一 甲角【四十度】正 六四二七九
二 丙角【六十度】正 八六六○三
三 乙丙邉 二百六十一尺○八分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分
锐角形第三术 有三邉求角
假如【甲乙丙】锐角形有乙丙邉【二十丈】甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】乙甲邉【一十三丈○五寸】
术曰任以【乙丙】大邉为底从甲角
作甲丁虚垂线至底分为两句股
形
一甲丁丙形以甲丙邉为丁丙
为句
一甲丁乙形以甲乙邉为丁乙为句
两相并为总相减为较 两句相并【即乙丙邉原数】为句总求两句相减之数为句较
术为以句总比总若较与句较也
一 两句之总【即乙丙】 二十丈
二 两之总 三十丈○六尺三寸五分三 两之较 四丈五尺三寸五分
四 两句之较【即丙戊】 六丈九尺四寸六分
求分形之两句
以句较【六丈九尺四寸六分】减句总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为【甲丁乙】分形之句
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加句较【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为【甲丁丙】分形之句
求丙角
术为以甲丙比丁丙句若半径与丙角之余
一 甲丙邉 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分
三 半径 一○○○○○
四 丙角余 七六六一六
捡余表得丙角四十度
求甲角
术先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形之甲角
次求分形小半之甲角
术为以甲乙比丁乙句若半径与分形甲角之正
一 甲乙邉 一十三丈○五寸
二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分
三 半径 一○○○○○
四 甲分角正 五○○一五
捡正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角
并分形两甲角【先得五十度后得三十度】得共八十度为甲全角求乙角
倂丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角计开
先有三邉
甲丙邉【一十七丈五尺八寸五分】 乙丙邉【二十丈】乙甲邉【一十三丈○五寸】
求得三角
丙角【四十度】 甲角【八十度】 乙角【六十度】
钝角形第一术 有两角一邉求余角余邉
假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙邉【五十四丈】
先求丁角
术以丙乙二角并之共【六十度半】以减半周得余一百一十九度半
为丁钝角
次求乙丙邉
术为以丙角正比丁角正若乙丁邉与乙丙邉
一 丙角【三十六度二十分】正 五九四八二
二 丁角【一百十九度三十分】正 八七○三六
三 乙丁邉 五十四丈
四 乙丙邉 七十九丈○一寸
右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角并同
求丁丙邉
术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉
一 丙角【三十六度三十分】正 五九四八二
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁邉 五十四丈
四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸
计开
先有之三件
丙角【三十六度半】 乙角【二十四度】 丁乙邉【五十四丈】
今求得三件
丁钝角【一百一十九度半】 乙丙邉【七十九丈○一寸】 丁丙邉【三十六丈九尺二寸】
钝角形第二术 有一角两邉求余角余邉
亦分二支
一先有对角之邉
一先有二邉皆角旁之邉而不对角
假如【甲乙丙】钝角形有乙角【九十九度五十七分】甲丙对邉【四千尺】甲乙邉【三千五百一十七尺】
求丙角
术为以甲丙对邉比甲乙邉若
乙角正与丙角正
一 甲丙邉 四千尺
二 甲乙邉 三千五百一十七尺三 乙角【九十九度五十七分】正 九八四九六【即八十度三分正】
四 丙角 正 八六六○三
捡表得丙角六十度
求甲角
并乙丙二角【共一百五十九度五十七分】以减半周得余二十度○三分为甲角
求乙丙邉
术为以乙角之正比甲角之正若甲丙对邉与乙丙邉
一 乙角【九十九度五十七分】正 九八四六九
二 甲角【二十○度三分】正 三四二八四
三 甲丙邉 四千尺
四 乙丙邉 一千三百九十二尺计开
先有之三件
乙钝角【九十九度五十七分】 甲丙邉【四千尺】 甲乙邉【三千五百一十七尺】
今求得三件
丙角【六十度】 甲角【二十度○三分】 乙丙邉【一千三百九十二尺】右例有两邉一角而先有对角之邉是为钝角形第二术之第一支
假如【乙丁丙】钝角形有乙丁邉【一千零八十尺】乙丙邉【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】 角在两邉之中不与邉对
术先求形外之虚垂线补成正方角
从不知之丙角作虚垂线于形外
如丙戊亦引乙丁线于形外如丁
戊两虚线遇于戊成正方角
术为以半径比乙角正若乙丙邉
与丙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 丙戊邉【即虚垂线】 六百四十三尺
又以半径比乙角之余若乙丙邉与乙戊
一 半径 一○○○○○
二 乙角【二十四度】余 九一三五五
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 乙戊邉【即乙丁引长线】 一千四百四十五尺
以原邉乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊邉相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚句股形之句【则先得丙戊垂线为股而原邉丁丙为之】
求丁丙邉
依句股求术以丙戊股自乗【四十一万三千四百四十九尺】丁戊句自乗【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙邉
求丙角
术为以丁丙邉比丁乙邉若乙角正与丙角正
一 丁丙邉 七百三十九尺
二 丁乙邉 一千○八十尺
三 乙角【二十四度】正 四○六七四
四 丙角 正 五九四四二
捡表得丙角三十六度二十九分
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角
计开
先有之三件
乙丁邉【一千零八十尺】 乙丙邉【一千五百八十二尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丁丙邉【七百三十九尺】 丙角【三十六度二十九分】 丁钝角【一百一十九度三十一分】
右例有两邉一角而两邉并在角之两旁不与角对是为钝角形第二术之第二支
又术【新增】 用切线分外角
假如【乙丙丁】钝角形有丁乙邉【五百四十尺】丙乙邉【七百九十一尺】乙角【二十四度】 角在两邉之中不与邉对求丙角
以【丁乙丙乙】两邉相并为总相减为较又以乙角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】捡其切线得四七○四六三
术为以邉总比邉较若半外角切线与半较角切线
一 两邉之总 一千三百三十一尺
二 两邉之较 二百五十一尺
三 半外角切线 四七○四六三
四 半较角切线 八八七一九
捡表得半较角【四十一度三十五分】以转减半外角【七十八度】得余三十六度二十五分为丙角
求丁角
并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角
求丁丙邉
术为以丙角正比乙角正若乙丁邉与丁丙邉
一 丙角【三十六度二十五分】正 五九三六五
二 乙角【二十四度】正 四○六七四
三 乙丁邉 五百四十尺
四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分计开
先有之三件
丁乙邉【五百四十尺】 丙乙邉【七百九十一尺】 乙角【二十四度】
今求得三件
丙角【三十六度二十五分】 丁钝角【一百一十九度三十五分】 丁丙邉【三百六十九尺九寸八分】
钝角形第三术 有三邉求角【新式】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙邉【三百七十五尺】乙丁邉【六百○七尺】丁丙邉【三百尺】
术自乙角作虚垂线至甲又引丁
丙线横出遇于甲而成正方角则
成乙甲丁句股形
又引横线至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形则丁辛为两句之
总而所设丁丙邉为两句之较
又乙丁邉为大形【乙甲丁】之乙丙邉为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
术为以句较比较若总与句总
一 句较【即丁丙邉】 三百尺
二 较【即乙丁内减乙丙之余】 二百三十二尺
三 总【即乙丁乙丙二邉相并】 九百八十二尺
四 句总 七百五十九尺四寸
以句较【三百尺】减所得句总【七百五十九尺四寸】余数【五百二十九尺四寸】为大形之句甲丁
求丁角【用乙甲丁大形】
术为以乙丁比丁甲句若半径与丁角之余
一 乙丁 六百○七尺
二 甲丁句 五百二十九尺七寸
三 半径 一○○○○○
四 丁角余 八七二六五
捡表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
术为以甲丙句比乙丙若半径与丙角之割线
一 甲丙句 二百二十九尺七寸
二 乙丙 三百七十五尺
三 半径 一○○○○○
四 丙角割线 一六三二五六
捡表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分
求乙角
并丁丙二角所得度分【共一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
计开
先有三邉
乙丙邉【三百七十五尺】 乙丁邉【六百七尺】 丁丙邉【三百尺】
求得三角
丁角【二十九度一十四分】 丙钝角【一百二十七度四十六分】 乙角【二十三度】
右例钝角形三邉求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大邉为底从钝角分中长线同锐角第三术
厯算全书卷五十一