<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷三十六
宣城梅文鼎撰
笔算卷三
异乘同除法
以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理
异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也
何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】
问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也
假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干
答曰四十五两
法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】
假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法
其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求
【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】
若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】
【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是
此以上图之四率为
一率也故其序皆倒
而所得四率即上图
之一】
又更而互之
凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】
又错综之
此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等【凡一率二率为前两率乃先有之二件也三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也】
若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】
试仍以古图明之
原有小麦十二石 换食盐九石 【俱四分之三比例若以上□左】今有小麦 四石 换食盐三石 【右更置即成三率之前四图】
更之【以纵为横】
原有粱米 三石 换棉布九疋 【俱三倍之比例若以上下左右】今有粱米 四石 换棉布【十二】疋 【更置即成三率之错综四图】辨法实
凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率
然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率【其未知者待算而知则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣
又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名【如价与价物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率】
假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干
答曰截阔三十六步
定法实诀
以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率
又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】
按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见
以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也
又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变
异乘同除定位法
三率定位与乗法除法无异【乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前卷】但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之【诸家算术往往有定位不确者皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也】
假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里
答曰一百七十五里
论曰试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时亦得【一百七十五里】原无可疑今先乗后除故以【一千○五十里】为实骤观之似乎太多究竟除后得其本数而已
假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干答曰三万一千五百文
若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同则知一百万零八千之非误】
异乗同除约分法
三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加防矣【两率者其一首率其一次率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗用其一皆取其与首率相凖也 或两率并为偶数则俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则以等数约之并如约分法】
【论其比例 半之则 以三约之 以九约之 再约之为十八比 九与八 则六与十 则二与十 则为一十六若九 之比例 六之比例 六之比例 与八若十九与八 亦若九 若三十三 若十一与 十一与十八也 十九与 与八十八 八十八 八十八八十八】
假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两【法以二年成二十四个月依式列之】
四 二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干
答曰二百七十两【此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之】
四 二百七十【十八乘十五得此数右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率】
重测法【三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除】
假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈 先用为法
四 价 三两 法除实得此数
重列
一 价【七钱五分】 又用为法
四 棉布 【二十八丈】 法除实得此数
此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除得所换棉布为四率
并乗除法
以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除【古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换緑豆五石换黄米三石问该换黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻 三石 豆 四石
二 豆 五石 米 三石
三 今麻 【五十四石】 今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆 【九十石】 米【六十七石五斗】
简法【即并法】
【今以两首率相乘为首率
亦以两次率相乘为次率
以两九十石对去不用故三率
省乗是为并法实简法也】
论曰本用两次乘除今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除是并两次除为一次除也以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米【六十七石五斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简】
然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法
又式
假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两
依重测并乘除法当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之得【二六四六○○○○】为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用可省并乘
重列之时径以【十二】为首率饷银【一二六○○】为次率【三】为三率依法乘除而得四率 又以首率【十二】三率【三】约为四与一则径以饷【一二六○○】为实以四为法除之得【三千一百五十】合问变测法【古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也】
凡异乘同除皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】
若同乘异除则反以今有之一率为法【同文算指列于第三今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一第二今定为第二第三】虽亦以法除实得今所求之又一率【即四率】与诸三率同而法实相反故曰变测
假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干
答曰一百六十斤
一 锤重二十一两 为法
四 实重一百六十斤 法除实得数
法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率称重【八十四斤】为先有之又一率相乘【三三六○】为实以本锤重【二十一两】为今有之一率为法法除实得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率合问
假如秤失去锤有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干 答曰一斤五两
一 物重一百六十斤
二 称得重八十四斤
三 【他物代锤】重四十两
四 锤重二十一两
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原长十六丈五尺
四 今长二十二丈
假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
【此原长不动而加深减濶也 今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘长一十二尺得一千零八十尺亦等则其藏粟等】
又问若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干
答曰深八尺
一 今长十五尺
二 原长十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
【此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八十尺】
假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓亦深【二丈一尺】但高减三尺问阔若干
答曰濶加四尺【共濶二十四尺所储米石即同原仓之容】
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
【此原深不动而减高増濶也当与右二条叅防仓之高即窖之深仓之深即窖之长】
【今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积等】
假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱
一 今银色九六 为法
四 今还四十二两【五钱】法除实得数
【解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别卷】
假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时
答曰一年零八个月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原设饷十二个月
四 今可支二十个月
歴算全书卷三十六