西洋利玛窦撰
第一题
有圜求寻其心
法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分之于戊【一卷】
【十】次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜心
论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚
丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚戊丙两角宜亦等【一卷八】而为两直角矣【一卷界説十】夫乙戊甲既直角而庚戊甲又为直角可不可也
系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直角即圜心在其内
第二题
圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内
解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直线相聨题言甲丙线全在圜内
论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊心【本篇一】次作戊甲戊丙两直线次于甲丁丙线上作戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙甲两角宜等【一卷五】而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角【一卷十六】则对戊丁甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣【一卷十九】夫戊甲与戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
在圜界依前论令戊甲大于戊乙亦不可通也第三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分于己题言甲己必是垂线而
己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙丁必两平分
先论曰试从甲作甲乙甲丁两线即甲乙己角形之乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边之甲己乙甲己丁亦等【一卷八】而为两直角矣
后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等【一卷五】又甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁两边又等则己乙己丁两边亦等【一卷廿六】
欲显次论之防又有一説如甲丁上直角方形与甲己己丁上两直角方形并等【一卷四七】而甲乙上直角方形与甲己乙己上两直角方形并亦等即甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁
上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而两边亦等
第四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心【若一过心一不过心即两线不得俱为两平分其理易显】
而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱为两平分
论曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊试令寻本圜心于己【本篇一】从己至戊作甲乙之垂线其己戊既分甲乙为两平分即为两直角【本篇三】而又能分丙丁为两平分亦宜为两直角是己戊甲为直角而己戊丙亦直角全与其分等矣
第五题
两圜相交必不同心
解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁题言两圜不同心
论曰若言丙为同心令自丙至乙至甲各作直线其丙乙至圜交而丙甲截两圜之界于戊于甲夫丙既为戊乙丁圜之心则丙乙与丙
戊等而又为甲乙丁圜之心则丙乙与丙甲又等是丙戊与丙甲亦等而全与其分等也
第六题
两圜内相切必不同心
解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙题言两圜不同心
论曰若言丁为同心令自丁至乙至丙各作直线其丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既为甲乙圜之心则丁乙与丁甲等而又为丙乙圜之心则丁乙与丁丙又等是丁甲与丁丙亦等而全与其分等也
第七题
圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一点为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁止
可出两线等
先论曰试从已心出三线至丙至丁至戊其丙己庚角形之丙己己庚两边并大于丙庚一边【一卷二十】而丙己己庚等于甲己己庚则庚甲大于庚丙依显庚丁庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
次论曰己庚戊角形之己戊一边小于己庚庚戊两边并【一卷二十】而己戊与己乙等则己乙小于己庚庚戊并矣次各减同用之己庚则庚乙小于庚戊依显庚戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
三论曰丙己庚角形之丙己与丁己庚角形之丁己两边等己庚同边而丙己庚角大于丁己庚角【全大于分】则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边【一卷廿四】依显庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小后论曰试依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界为己辛线次从庚作庚辛线其戊己庚角形之戊己腰与庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰间角又等则对等角之庚戊庚辛两底亦等【一卷四】而庚乙两旁之庚戊庚辛等矣此外若有从庚出线在辛之上即依第三论大于庚辛在辛之下即小于庚辛故云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两线等
第八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
解曰乙丙丁戊圜之外从甲防任
出几线其一为过癸心之甲壬其
余为甲辛为甲庚为甲己皆至规
内【规内线者如车辐之指牙】题先言过心之甲
壬最大次言近心之甲辛大于离心之甲庚甲庚又大于甲己三反上言规外之甲乙为乙壬径余者【规外线者如车辐之凑毂】最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线等
先论曰试从癸心至丙丁戊己庚辛各出直线其甲癸辛角形之甲癸癸辛两边并大于甲辛一边【一卷二十】而甲癸癸辛与甲壬等则甲壬大于甲辛依显甲壬更大于甲庚甲己而过心之甲壬最大
次论曰甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚两边等甲癸同边而甲癸辛角大于甲癸庚角【全大于分】则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边【一卷廿四】依显甲庚大于甲己而规内线愈离心愈小
三论曰甲癸丙角形之甲癸一边
小于甲丙丙癸两边并【一卷二十】次每
减一相等之乙癸丙癸则甲乙小
于甲丙矣依显甲乙更小于甲丁
甲戊而规外甲乙最小
四论曰甲丁癸角形之内从甲与癸出甲丙丙癸两边并小于甲丁丁癸两边并【一卷廿一】此二率者每减一相等之丙癸丁癸则甲丙小于甲丁矣依显甲丙更小于甲戊而愈近径余甲乙者愈小
后论曰试依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作甲子线其甲子癸角形之甲癸癸子两腰与甲癸丙角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰间角又等则对等角之甲子甲丙两底亦等也【一卷四】此外若有从甲出线在子之上即依第四论小于甲丙在子之下即大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两线等第九题
圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心解曰从甲防至乙丙丁圜界作甲乙甲丙甲丁三直线若等题言甲防为圜心三以上等者更不待论
论曰试于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直线相聨此两线各两平分于戊于己从甲出两直线为甲戊为甲己其甲乙戊角形
之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰乙戊戊丙两底又等即甲戊乙与甲戊丙两角亦等【一卷八】为两直角依显甲己丙甲己丁亦等为两直角则甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分为直角而此两线俱为函心线【本篇一之系】定相遇于甲甲为圜心矣又论曰若言甲非心心在于戊者令戊甲相聨引作己庚径线即甲是戊心外所取一防而从甲所出线愈近心者宜愈大矣
【本篇七】则甲丁宜大于甲丙而先设等何也
第十题
两圜相交止于两防
论曰若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙乙丁两直线相联此两线各两平分于壬于癸次从壬癸作子壬子癸两垂线其子
壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各为两直角即子壬子癸两线俱为甲庚乙丁辛戊圜之函心线【本篇一之系】而子为其心矣依显甲乙丙丁戊己圜亦以子为心也夫两交之圜尚不得同心【本篇五】何縁得有三交
又论曰若言两圜三相交于甲于乙于丁令先寻甲庚乙丁辛戊圜之心于壬【本篇一】次从心至三交界作壬甲壬乙壬丁三线此三线等也【一卷界説十五】又甲乙丙丁戊己圜内有从壬出之壬甲壬乙壬丁三相等线
则壬又为甲乙丙丁戊己圜之心【本篇九】不亦交圜同心乎【本篇五】
第十一题
两圜内相切作直线联两心引出之必至切界
解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心题言作直线聨庚己两心引抵圜界必至甲
论曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令从甲作甲己甲庚两线其甲己庚角形之庚己己甲两邉并大于庚甲一邉【一卷二十】而同圜心所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各减同用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲与己乙是内圜同心所出等线则己乙亦大于己丁而分大于全也可乎若曰庚为甲乙丙心己为甲丁戊心亦依前转説之甲己庚角形之己庚庚甲两邉并大于甲己一邉【一卷二十】而同圜心所出之己甲己戊宜等即己庚庚甲大于己戊矣此二率者各减同用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲与庚丙是内圜同心所出等线则庚丙
亦大于庚戊而分大子全也可乎
第十二题
两圜外相切以直线联两心必过切界
解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心为己丁乙戊心为庚题言作己庚直线必过乙论曰如云不然而己庚线截两圜界于戊于丙令于切界作乙己乙庚两线其乙己庚角形之己乙乙庚两边并大于己庚一边而乙
庚与庚戊乙己与己丙俱同心所出线宜各等即庚戊丙己两线并亦大于庚己一线矣【一卷二十】夫庚己线分为庚戊丙己尚余丙戊而云庚戊丙己大于庚己则分大于全也故直线聨己庚必过乙
第十三题【二支】
圜相切不论内外止以一防
先论曰甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相切若云有两防相切于甲又于丙令作直线函两圜心庚辛引出之如前图宜至相切之甲之丙【本篇十一】则甲丙为两圜之同径矣而此径线者两平分于庚又两平分于辛何也【一直线止以一防两平分】若云庚辛引出直线
一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如后图令从两心各作直线至又相切之丙次问之甲乙丙丁圜之心为庚邪辛邪如曰庚也而辛为甲戊内己之心则丙庚辛角形之庚辛辛丙两边并大于庚丙一边【一卷二十】而庚辛辛丙与庚癸宜等【辛癸辛丙同圜心所出故】即庚癸亦大于庚丙矣夫庚丙与庚壬者外圜同心所出等线也将庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚为甲戊丙己之心则丙庚辛角形之辛庚庚丙两边并大于辛丙一边【一卷二十】而辛丙与辛甲宜等即辛庚庚丙亦大于辛甲矣此二率者各减同用之辛庚即庚丙亦大于庚甲也夫庚甲与庚丙者亦同圜心所出等线也而安有大小
后论曰甲乙与乙丙两圜外相切于已从甲乙之丁心丙乙之戊心作直线相聨必过已【本篇十三】若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
作直线其丁乙乙戊并宜与丁戊等而为角形之两腰又宜大于丁戊【一卷二十】则两圜相切安得两防又后论曰更令于两相切之乙之己作直线相聨其直线当在甲乙圜内【本篇二】又当在乙丙圜内何所置之
第十四题【二支】
圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距戊心逺近亦等
论曰试从戊心向甲乙作戊己向丁丙作戊庚各垂线次自丁自甲至戊各作直线其戊己戊庚既各分甲乙丁丙线为两平
分【本篇三】而甲乙丁丙等则平分之甲己丁庚亦等夫甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即戊己戊庚上两直角方形亦等则戊己戊庚两线亦等是甲乙丁丙两线距心之度等【本卷界説四】
后解曰甲乙丁丙两线距戊心逺近等题言甲乙丁丙两线亦等
论曰依前论从戊作戊己戊庚两垂线既等【本卷界説四】而分甲乙丁丙各为两平分【本篇三】其甲戊上直角方形与甲己己戊上两
直角方形并等【一卷四七】等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直角方形并与丁庚庚戊上两直角方形并亦等此二率者每减一相等之己戊戊庚上直角方形即所存甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两线等也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等第十五题
径为圜内之大线其余线者近心大于逺心
解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其径甲己其近心线为辛壬逺心线为丙丁题言甲乙最大辛壬近心大
于丙丁逺心
论曰试从庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂线其丙丁距心逺于辛壬即庚癸
大于庚子【本卷界説四】次于庚癸线截庚丑与庚子等次从丑作乙戊为庚癸之垂线末于庚乙庚丙庚丁庚戊各作直线相联其庚丑既等于庚子即乙戊与辛壬各以垂线距心逺近等【本卷界説四】而两线亦等【本篇十四】夫庚乙庚戊并大于乙戊【一卷二十】而与甲己等即甲己大于乙戊亦大于辛壬矣依显甲己大于他线则甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戊两腰与丙庚丁角形之丙庚庚丁两
腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角则乙戊底大于丙丁底【一卷廿四】故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心线大于逺心线也
第十六题【三支】
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
先解曰甲乙丙圜丁为心甲丙为径从甲作甲丙之垂线题言此线全在圜外论曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
直线即丁甲乙与丁乙甲两角等【一卷五】丁甲既为直角丁乙又为直角乎夫角形三角并等两直角【一卷十七】岂得形内自有两直角也则垂线必在圜外若己戊必不在圜内若甲乙又不在圜界之上【如云在界亦依此论】故曰全在圜外
次解曰题又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角不得更作一直线入其内
论曰若云可作如庚甲令从丁心向庚甲作丁辛为庚甲之垂线【一卷十二】夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于
两直角【一卷十七】而丁辛甲为直角即对小角之丁辛线小于对大角之甲丁线矣【一卷十九】甲丁者与丁壬为同圜相等者也将丁壬亦大于丁辛乎则戊甲乙角之内不得更作一直线而戊甲之下但有直线必入本圜之内也
后解曰题又言丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线鋭角
论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直线偕戊甲所作各直线鋭角皆小于圜分角而切边角小于各直线鋭角
系己甲线必切圜以一防
増先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲
丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言
戊甲全在圜外
増正论曰试于甲戊线内任取一防为庚自庚至丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角小于两直角【一卷十七】而丁甲庚为直角即丁庚甲小于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线矣【一卷十九】则庚防在圜之外也凡戊甲以内作防皆
依此论故戊甲线全在圜外
増次解曰从甲作甲辛线在戊甲之
下题言甲辛必割圜为分
増正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直角而丁壬甲辛两线必相遇【分论十一】其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直角等即甲壬丁必为直角【一卷卅二】而对大角之甲丁线必大于对小角之丁壬线矣【一卷十九】夫甲丁线仅至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也后支前已正论
或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深着明矣今切边之内有角非几何乎此几何何独不可分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几何若从大者半减之减之又减必至一处小于所设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于直线鋭角是亦小几何也彼直线鋭角是亦大几何也若从直线鋭角半减之减之又减何以终竟不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得容一直线如此着明便当并无切边角无角则无几何此则不可得分耳且几何原本书中无有至大不可加之率无有至小不可减之率若切边角不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也有圜有线安得无切边角且既言直线鋭角大于切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且
子言直线与圜界并无切边角
则两圜外相切亦无角乎曰然
曰试如作甲己乙圜其心丙而
丁戊为切线即丁甲己为切边角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外相切于甲依子所説疑无角焉然两圜外相切而以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两直线交罗相遇于甲也能不皆以一防乎如以一防也即此一防之外不能无空即不能不为四切边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可以直线分之耳若用圜线则可分矣如甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛
圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切边小角即又小于丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以圜角分圜角则与其説合矣彼所言大小两几何者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉
増题有两种几何一大一小以小率半増之递増至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线鋭角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切
边角恒小乃至终古不得相比
又増题旧有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一説有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论也若用以律本题即不可得故今斥不为公论解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向已其所经丁戊己及中间逐线所经无
数然依本题论则甲丙所经凡割圜时皆为鋭角即小于半圜分角才离鋭角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一旧説未为公论又直线鋭角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧説未为公论也
第十七题
设一防一圜求从防作切线
法曰甲防求作直线切乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁
之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙
论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等【一卷界説十五】丁角同即甲丙乙戊两底亦等【一卷四】而戊
乙丁为直角即甲丙丁亦直角则甲丙偕乙丙圜之半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线【本篇十六之系】第十八题
直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线论曰如云不然令从戊别作垂线如至已
而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直角即宜大于己丙戊角【一卷十七】而对大角之戊丙边宜大于对小角之戊己边矣【一卷十九】夫戊丙与戊丁等也戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎
又论曰若云丙非直角即其两旁角一鋭一钝令乙丙戊为鋭角则鋭角乃大于半圜分角乎【本篇十六】第十九题
直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙
之垂线题言圜心在戊丙线内
论曰如云不然心在于已令从已作己丙直线即己丙亦为甲乙之垂线【本篇十八】而已
丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣
第二十题
负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言乙丁丙角倍大于乙甲丙角
先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角
等【一卷五】而乙丁戊外角与内相对两角并等【一卷卅二】即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两
角并【一卷卅二】而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等【一卷五】则乙丁丙角倍大于乙甲丙角
后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同
以戊乙两圜分为底如前次论戊丁丙角倍大于戊甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角
増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或小于半圜则丁心外余地亦倍大于同底之负圜角
论曰试从甲过丁心作甲戊线即丁心外余地分为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角
第二十一题
凡同圜分内所作负圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等
先论函心大分所作曰试从戊作戊丁戊丙线其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角【本篇十二】即
甲乙两角自相等【公论七】
后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己负圜角【本篇二十】依显丙戊
己分圜角亦倍大于丙甲己负圜角而丁戊庚庚戊己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等
又后论曰二十题増言分圜不作角其心外余地倍
大于同底各负圜角即各角自相等又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并与乙丙己角形之三角并等【一卷卅二】次每减一交角相等之甲己丁乙己丙【一卷十五】即己甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲丁丙乙函心大分内又等【本题第一论】则丁甲丙与丙乙丁亦等
又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大分次于甲己乙己各作直线相聨其丁甲已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界即等【本题第一论】依显丙乙己与丙甲已两角同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等
第二十二题
圜内切界四边形每相对两角并与两直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等
论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等【本篇廿一】依显丙甲丁丙乙丁两角亦等则甲乙丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙
丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等【一卷卅二】则甲乙丙丙丁甲相对两角并与两直角等依显乙丙丁丁甲乙并亦与两直角等
第二十三题
一直线上作两圜分不得相似而不相等
论曰如云不然令于甲乙线上作同方两圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲丁乙其两圜相交止于甲乙两防【本篇十】即
一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁线截甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两线相聨夫两圜分相似者其负圜角宜等【本卷界説十】则乙丙甲外角与相对之乙丁甲内角等乎【一卷十六】
第二十四题
相等两直线上作相似两圜分必等
解曰甲乙丙丁两线上作甲丙乙丙己丁相似两圜分题言两圜分等
论曰甲乙丙丁两线既等试以甲乙线加丙丁线上两线必相合即甲丙乙丙己丁两圜分相加亦相合如云不然必两圜分相加或在内或在外或半在内半在外矣若在内在外即一直线上有两圜分相似而不相等也【本篇廿三】若半在内半在外即两圜三相交也【本篇十】两俱不可故相似者必
等
第二十五题
有圜之分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线相联其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
或小若大即甲乙丙当为圜之小分何也乙丁分甲丙为两平分即知圜之心必在乙丁线内【本篇一之系】而心在丁防之外则从丁防所出丁乙为不过心径线至小【本篇七】故对小边之丁甲乙角小于对大边之丁乙甲角也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等次从乙丁引出一线与甲戊线遇于戊即戊为圜心论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊与戊丙两线等【一卷四】夫甲戊与乙戊以对角等故既等【一卷六】戊丙与甲戊又等则从戊至界三线皆等而戊为心【本篇九】
次法兼论曰若丁乙甲丁甲乙两角等即甲乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等【一卷】
【五】今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必等【一卷六】丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁
为圜心【本篇九】
后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分
即知圜心在乙丁线内【本篇一之系】而丁防在心之外则所出丁乙为过心径线至大【本篇七】故对大边之丁甲乙大于对小边之丁乙甲也【一卷十八】即作乙甲戊角与丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜心
论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等【一卷四】夫乙戊与甲戊以对角等故既等【一卷五】戊丙与甲戊亦等则从戊至界三线皆等而戊为心【本篇九】
増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线联之各两平分于丁于戊从丁从戊作
甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即已为圜心
论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两线即圜之心当在两垂线内【本篇一】而相遇于已即已为圜心
其用法圜界上任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作直线引长之
交于壬即壬为圜心
论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各为同圜等圜之半径各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角之乙癸边亦等【一卷八】则甲癸己乙癸己俱为直角而戊己线必过心【本篇一】依显庚辛线亦过心而相遇于壬为圜心
第二十六题【二支】
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任取两防于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊作戊丁戊己各两线次作甲丙丁己两线相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角即乙与戊自相等【本篇二十】而所负甲乙丙与丁戊己两圜分相似【本卷界説十】又甲庚丙角形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁
辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己两边亦等【一卷四】而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分在等线上亦等【本篇卄四】夫相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乗之圜分等后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等
论曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚辛自相等【本篇二十】依前论甲丙丁己两边亦自相等而甲乙丙与丁戊己两圜分亦等【本篇廿四】今于相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等
注曰后解极易明葢庚辛角既各倍于乙戊则依先论甲丙丁己自相等【在心之乘圜角即分圜角随类异名】
第二十七题【二支】
等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己两
圜等其心为庚为辛若甲庚丙乘
圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等题言甲庚丙丁辛己两角等
论曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角与丁辛己角等即甲壬圜分宜与丁己圜分等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎
后解在界者曰甲丙丁己两圜分等题言其上乙戊两角亦等
论曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角与戊角等其甲乙壬与丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜等【本篇廿六】而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎増题从此推显两直线不相交而在一圜之内若两线界相去之圜分等则两线必平行若两线平行则两线界相去
之圜分等
先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两线其相去之甲乙丁丙两圜分等题言两线必平行
论曰试自甲至丙作直线相联其甲乙丁丙既等即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等【本题】既内相对之两角等即两线必平行【一卷廿七】
后解曰甲丁乙丙为平行线题言甲乙丁丙两圜分必等
论曰试作甲丙线其甲丁乙丙既平行
即内相对之两角甲丙乙丙甲丁必等【一卷廿七】而所乘圜分甲乙丁丙亦等【本篇廿六】
第二十八题
等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛圜内有甲丙丁己两直线等题言甲乙丙与丁戊己两大分甲丙与丁己两小分各等
论曰试于甲庚庚丙丁辛辛己各作直线其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之
丁己两底既等而甲庚庚丙两腰与丁辛辛己两腰又等即庚辛两角亦等【一卷八】其所乘之甲丙丁己两小分必等【本篇廿六】次减相等之甲丙丁己两小分则所存甲乙丙丁戊己两大分亦等
第二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
解曰依前题两圜之甲乙丙丁戊
己两圜分等而甲丙丁己两圜分
亦等题言甲丙丁己两线必等
论曰依前题作四线其甲庚丙角形之甲庚庚丙两腰与丁辛己角形之丁辛辛己两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两圜分等即庚辛两角亦等【本篇廿七】而对等角之甲丙丁己两线必等【一卷四】
注曰第二十六至二十九四题所説俱等圜其在同圜亦依此论
第三十题
有圜之分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次两平分于丁从丁作乙丁为甲丙之垂线即乙丁分甲乙丙圜分为
两平分
论曰从乙作乙甲乙丙两线其甲乙丁角形之甲丁与丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙与丙丁乙两直角又等即对直角之甲乙乙丙两底亦等【一卷四】而甲乙与乙丙两圜分亦等【本篇十八】则甲乙丙圜界两平分于乙矣
第三十一题【五支】
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙
大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙为直角二言负大分之乙甲丙角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙甲大圜分角大于直角后言丙乙戊小圜分角小于直角
先论曰试作乙丁线次以甲乙线引长之至已其丁乙丁甲两线等即丁乙甲丁甲乙两角等【一卷五】依显丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角与乙甲丙甲丙乙两角并等又己乙丙外角亦与相对之乙甲丙甲丙乙两内角并等【一卷卅二】则己乙丙与甲乙丙等为直角
二论曰甲乙丙角形之甲乙丙既为直角则乙甲丙小于直角【一卷十七】
三论曰甲乙戊丙四边形在圜之内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本篇廿二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙大于直角
四论曰甲乙丙直角为丙乙甲大圜分角之分则大于直角
后论曰丙乙戊小圜分角为己乙丙直角之分则小于直角
此题别有四解四论先解曰甲乙丙半圜其心丁其上任作甲乙丙角题言此为直角论曰试作乙丁线其丁乙丁甲两线既等即
丁乙甲丁甲乙两角亦等【一卷五】而乙丁丙外角既与丁乙甲丁甲乙相对之两内角并等【一卷卅二】即倍大于丁乙甲角依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等两直角【一卷十三】则甲乙丙为直角二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙丙角题言此小于直角
论曰试作甲丁戊径线次作乙戊线相联
其甲乙戊既为直角【本题一论】即甲乙丙为其分而小于直角
三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙丙角题言此大于直角
论曰试作甲丁戊径线而引乙丙圜界至
戊次作乙戊线其甲乙戊既负半圜之直角而为甲乙丙角之分则甲乙丙大于直角
四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊题言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
小于直角
论曰试作乙戊丙径线次作乙甲线引长之至己其乙甲丙直角为丙甲乙大
圜分角之分而丙甲丁小圜分角又为己甲丙直角之分则大分角大于直角小分角小于直角
一系凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角
二系大分之角大于直角小分之角小于直角终无有角等于直角又从小过大从大过小非大即小终无相等依此题四五论甚明与本篇十六题増注互相发也
第三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙从丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角题言甲丙戊角与丙庚戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰如前图甲丙戊乙丙戊两皆直角【一卷十八】而丙庚戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本篇卅一】则交互相等后论割圜线不过心者曰如后图试作丙己过心直线次作戊己线相联其己丙为甲乙之垂线【一卷十八】而丙戊己为直角【本篇卅一】即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦
等于甲丙己角矣此两率者各减同用之戊丙己角即所存戊己丙与甲丙戊等也夫戊己丙与丙庚戊元等【本卷廿一】则甲丙戊与丙庚戊交互相等又丙丁戊庚四边形之丙丁戊丙庚戊两对角并等两直角【本篇廿二】而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角【一卷十三】此二率者各减一相等之甲丙戊丙庚戊则所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等
第三十三题
一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜分角与丙等其丙角或直或鋭或钝若直角先以甲乙两平分于丁次以丁为心甲乙
为界作半圜圜分内作甲戊乙角即负半圜角为直角【本篇卅一】如所求
次法曰若设丙鋭角先于甲防上作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线于甲乙之上次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与甲戊线遇于己
即己乙己甲两线等【一卷六】末以己为心甲为界作甲庚圜必过乙即甲庚乙圜分内甲乙线上所作负圜角必为鋭角而与丙等
论曰试作甲庚乙角其甲己戊线过己心而丁甲又为戊甲之垂线即丁甲线切甲庚乙圜于甲【本篇十六之系】则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等【本篇卅二】如所求后法曰若设辛钝角依前作壬甲乙钝角与辛等次作戊甲为壬甲之垂线余仿第二法而于甲乙线上作甲癸乙等即与辛等
后论同次
第三十四题
设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等
法曰设甲乙丙圜求割一分而负圜分角与丁等先作戊己直线切圜于甲【本篇十七】次作已甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等
何者已甲乙角与丁等亦与甲丙乙交互相等故【本篇卅二】
第三十五题
圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两线交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等其两线或俱过心
或一过心一不过心或俱不过心若俱过心者其各分四线等即两矩内直角形亦等
先论曰圜内线独丙丁过己心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊即丙戊线在甲乙上为两直角【本篇三】试作已乙线相联其丙丁线既两平分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与等已
丁之已乙上直角方形等【二卷五】夫已乙上直角方形与已戊戊乙上两直角方形并等【一卷四七】即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙上直角方形等乎戊乙与甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直角【本篇三】其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等【二卷五】而已戊上直角方形与已
庚庚戊上两直角方形并等【一卷四七】已乙上直角方形与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上直角方形等【二卷五】此二相等率者每减同用之庚戊上直角方形则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内直角形等矣
后论曰圜内两线俱不过心者又有二种或一线平分或两俱任分皆从已心与戊相聨作直线引长之为庚辛线依上论甲戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形
不论丙丁线平分任分亦与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等
第三十六题
圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙【本篇十七】作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁乙之垂线【本篇十八】其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形
及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方形等【二卷六】而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
后论丁甲不过戊心者曰试
以甲丙线两平分于已次从
戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
四线即戊乙为丁乙之垂线【本篇十八】戊已为甲丙之垂线【本篇三】其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并与已丁上直角方形等【二卷六】次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上两直角方形并与己丁戊己上两直角方形并等夫己丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊
乙上直角方形等【一卷四七】而戊丁上直角方形与己丁戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与
丁乙上直角方形等
一系若从圜外一防作数线至规内各全线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作
甲丙甲丁甲戊各线截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲乙上直角方形俱等故【本题】
二系从圜外一防作两直线切圜此两线等如甲防作甲乙甲丙两切圜线即甲丙与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界
于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊矩内直角形等【本题】则此两直角方形自相等
三系从圜外一防止可作两直线切圜若言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两
线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角【本篇十八】试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大于甲乙戊角【一卷廿一】安得为直角也又甲乙甲丁若俱切圜即两线宜等【本题二系】试作甲戊线截圜于己则甲丁为近己线甚小当小于逺己之甲乙线【本篇八】又安得相等也故一防上止可作切圜线两也
第三十七题
圜外任于一防出两直线一至规外一割圜至规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外之线必切圜
解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外之线遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等题言丁乙为切圜线论曰试从丁作丁己线切圜于己【本篇十七】次作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心者又作丁戊直线其丁己上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形等【本篇卅六】而丁乙
上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊与丁己戊角形之丁己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等【一卷八】而对丁戊底之丁己戊为直角【本篇十八】即丁乙戊亦直角故丁乙为切圜线【本篇十六之系】
几何原本卷三
钦定四库全书