钦定四库全书
数度衍卷二十
桐城 方中通 撰
借推盈朒【盈朒之一】
借虚征实差分备矣更有子母杂互隐奥难知者则两借虚数以征之盈者有余也朒者不足也
两不足法
式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总若干曰一千四百四十术先借二十四为通数列左上半为十二于内去三之一为四去四之一为三余五以比三百不足二百九十五列左下又借九
十六为通数
列右上半为
四十八于内
去三之一为十六去四之一为十二余二十以比三百不足二百八十列右下乃以左上乗右下得数注右右上乗左下得数注左两不足相减余为法两乗得数相减余为实以法除实得原总一千四百四十半为七百二十于内去三之一为二百四十去四之一为一百八十余三百合问
式二设一数乗三外加一十又乗四外加二十又乗五外加三十又乘六外加四十共得六千七百其原数若
干曰十三术
先借二列左
上乗三得六
外加十得十
六又乗四得六十四外加二十得八十四又乗五得四百二十外加三十得四百五十又乗六得二千七百外加四十得二千七百四十以比六千七百不足三千九百六十列左下又借三列右上乗三得九加十得十九又乗四得七十六加二十得九十六又乗五得四百八十加三十得五百一十又乗六得三千○六十加四十得三千一百以比六千七百不足三千六百列右下左右上下互乗两不足减余为法两乗数减余为实以法除得一十三如例乗加合六千七百之数
式三二人分银一百两若均分则每人五十然须甲还所得三之一乙还所得五之一方得均分其不均之分各若干曰甲六十四两又七分两之二乙三十五两又七分两之五术先借三十两为甲裒列左上借乙裒七
十附列于甲裒内
减三之一为一十
存二十于乙裒内
减五之一为十四而以乙减归甲十四并二十为三十四以比五十不足十六列左下又借六十两为甲裒列右上借乙裒四十附列于甲裒内减三之一为二十存四十于乙裒内减五之一为八而以乙减归甲八并四十为四十八以比五十不足二列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得甲数于一百内减甲数余乙数
通曰乙减归甲故与甲裒乗也若甲减归乙则与乙裒乗而先求得乙数矣
式四设一数以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百其数若干曰七十二术借十二列左上而以二之一曰六三之一曰四四之一曰三并得十
三加二十
二得三十
五以比一
百不足六十五列左下又借六十列右上而以二之一曰三十三之一曰二十四之一曰十五并得六十五加二十二得八十七以比一百不足十三列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得七十二以其二之一曰三十六加三之一曰二十四四之一曰十八再加二十二合一百
式五二商母银不知数云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其母各若干曰乙母十七两又五十九之二甲母十八两又五十九之十二术从乙起算先借二十为乙裒列左上内减十二余八以当甲六之一用六因求甲得四十八内减还乙十二存三十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩二十一乙裒二十并十五得三十五以甲剩数较乙加数是十之一否甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五是不足一百七十五也列左下另借一百为
乙裒列右上
内减十二余
八十八以当
甲六之一用
六因求甲得五百二十八内减还乙十二存五百一十六为甲裒又于甲裒内捐十五与乙甲剩五百○一乙裒一百并十五得一百一十五以乙较甲是十之一否甲五百○一则乙当五千○一十今乙只一百一十五是不足四千八百九十五也列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得乙母内捐十二与甲余五两又五十九之二六乘得三十两又五十九之十二内减还十二存甲母内捐十五与乙加乙母得三十二两又五十九之二甲剩三两又五十九之十二乃乙十之一也
式六甲乙丙三人共博甲赢乙二之一乙赢丙三之一丙又赢甲四之一各剰银七百两其各母若干曰甲母四百乙母八百丙母九百术先借一百为甲裒列左上内捐与丙四之一曰二十五存七十五而总有七百是
所赢乙二之一
为六百二十五
【七百内去七十五】而乙
裒当为一千二
百五十矣【两其六百】
【二十五】附列内捐二之一剰六百二十五又赢丙三之一共得七百是所赢丙为七十五【七百内去六百二十五】而丙裒当为二百二十五矣【三其七十五】又附列内捐与乙三之一剩一百五十加入得甲四之一曰二十五共一百七十五以比七百不足五百二十五列左下另借二百为甲裒列右上内捐与丙四之一曰五十存一百五十而总有七百是所赢乙二之一为五百五十【七百内去一百五十】而乙裒当为一千一百矣【两其五百五十】附列内捐二之一剩五百五十又赢丙三之一共得七百是所赢丙为一百五十【七百内去五百五十】而丙裒当为四百五十矣【三其一百五十】又附列内捐与乙三之一存三百加入得甲四之一曰五十共三百五十以比七百不足三百五十列右下两不足减余为法两乗数减余为实以法除得四百为甲母内减四之一存三百加乙二之一为七百是所加四百因知乙母八百也以乙母减二之一存四百加丙三之一为七百是所加三百因知丙母九百也以丙母减三之一存六百加甲四之一为七百
通曰不足数与乙裒乗求得乙母与丙裒乗求得丙母式七甲乙丙三商共贩得子银四百两其分数乙比甲多十二两丙比乙多十六两问各若干曰甲一百二十乙一百三十二丙一百四十八术先借一两为甲裒列左上乙该十三丙该二十九共四十三比四百不足三
百五十七列左下又
借二两为甲裒列右
上乙该十四丙该三
十共四十六比四百不足三百五十四列右下依法求得甲数加多得乙丙数
式八绫七尺罗九尺两共价等其每尺价罗少三十六文其各尺价若干曰绫每尺一百六十二文共一千一百三十四文罗每尺一百二十六文共与绫等术先借七十二为绫价列左上罗价当为三十六列次各以尺
数乗之绫得五百○四罗得三百二十四以罗视绫不足一百八十列左下又借一百为绫价列右上罗当为六十四列次各以尺数乗之绫得七百罗得五百七十六以罗视绫不足一百二十四列右下两不足减余为法以不足数乗绫裒得绫实以法除得绫每尺价乗罗裒得罗实以法除得罗每尺价各以尺数乗得各共价式九鸡同笼不知数云九十六头三百○八足问各若
干曰鸡三十八兔五十八术以九十六头爲主先借鸡四十八列右上该四十八【九十六内去四十八存四十八】列次鸡二足乗得九十六足免四足乗得一百九十二足并得二百八十八足比三百○八不足二十列右下又借鸡六十列左上该三十六【九十六内去六十存三十六】列次鸡为一百二十足为一百四十四足并得二百六十四比三百○八不足四十四列左下两不足减余为法以下互乗上裒减余为鸡实以法除得鸡数以下互乗次裒减余为免实以法除得数又各乗得足数合三百○八又术倍九十六头为一百九十二以减总足余一百一十六以二除得五十八为数用四足乘得二百三十二足以减总足余七十六以二除得三十八为鸡数【琇曰鸡足半共足减共头余足分共足减共头倍余为鸡】
两盈法
式设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余
三百其原总几何曰
一千四百四十术先
借四千八百为通数
列左上半为二千四百三之一为八百四之一为六百皆于通数内减之余一千以比三百盈七百列左下又借二千四百为通数列右上半为一千二百三之一为四百四之一为三百皆于右通数内减之余五百以比三百盈二百列右下两盈相减余为法左右上下互乗得数相减余为实以法除实得原总
通曰与前一式同但彼于半通数内减各分此于通数内并半数而减之两法皆可用也
式二三人共分银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两问各若干曰甲五两乙十四两丙二十五两术先借甲一十列左上乙倍得二十
加四共二十四丙兼
甲乙又加六共四十
并三数得七十四比
四十四盈三十列左下又借甲六列右上乙倍得十二加四共十六丙兼甲乙又加六共二十八并三数得五十比四十四盈六列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲五两倍为十加四共十四两为乙数兼甲乙得十九又加六共二十五两为丙数如左图用各裒乗便求得各数也
又术通曰乙多四丙兼甲乙而多六则必兼多乙之四矣并三多为十四于总银内减之余三十为实乙多甲一倍是甲一停乙二停也丙兼甲乙是甲乙共三停丙亦三停也三人共六停为法除实得五两为甲一停之数亦合
式三以一千剖为二甲多于乙四十九两问各几何曰甲五百二十四两五钱乙四百七十五两五钱术先借
六百为甲裒
列左上乙四
百附列较差
二百比四十
九盈一百五十一列左下另借五百五十为甲裒列右上乙四百五十附列较差一百比四十九盈五十一列
右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲数减总得乙数又术通曰以一千剖为二得五百以四十九剖为二得二十四两五钱五百外加二十四两五钱为甲数五百内减二十四两五钱为乙数又术通曰于一千内减去四十九余九百五十一剖为二得四百七十五两五钱为乙数减总得甲
式四罏二座葢重一百五十斤以葢加甲鑪则多乙二倍以葢加乙罏则与甲等问各几何曰甲三百斤乙一百五十斤术先借三十为甲裒列左上葢附列共一百
八十又附列以
三之一为乙裒
得六十加葢共
二百一十比甲
裒盈一百八十列左下又借九十为甲裒列右上葢附列共二百四十又附列以三之一为乙裒得八十加葢共二百三十比甲裒盈一百四十列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得甲鑪加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙鑪
式五二人银不知数减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则正等问各几何曰甲三十两乙二十四
两术从乙起算先借十
五为乙裒列左上内减
六存九以当甲之半则
甲该十八内减所加六得十二为甲裒内取三与乙则甲剰九以较乙裒十五加三之十八而乙盈九列左下另借二十为乙裒列右上内减六存十四倍得二十八为甲内减所加六得二十二为甲裒内取三与乙则甲剰十九以较乙裒二十加三之二十三而乙盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得乙二十四减六存十八倍得三十六减六得甲三十内减三与乙则与乙二十四加三正等
式六漏壶注水有三孔甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则几时水
尽曰一时术借四时列左
上以四时推甲当尽二壶
乙当尽一壶又三分壶之
一丙当尽三分壶之二并之四时共尽四壶比原问一壶盈三列左下另借十时列右上推甲当尽五壶乙当尽三壶又三分壶之一丙当尽一壶又三分壶之二并之十时共尽十壶比原问一壶盈九列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得一时甲尽半壶乙尽三分壶之一丙尽六分壶之一正合一壶之数
通曰左裒推得四时尽四壶亦已明矣用合率差分法亦可
式七黄金百斤制鑪不用销毁欲知匠和银若干曰和银十六斤又三分斤之二术以三器贮水等重一投金鑪溢水六十五斤一投纯金百斤溢水六十斤一投纯
银百斤溢水九十斤如
法求之先借四十为和
银数列左上存金六十
附列以溢水裒推之存金六十斤该溢水三十六斤和银四十斤该溢水三十六斤共溢水七十二斤以比六十五斤盈七列左下另借三十为和银数存金七十附列以溢水裒推之存金七十斤该溢水四十二斤和银三十斤该溢水二十七斤共溢水六十九斤以比六十五斤盈四列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得十六斤又三分斤之二为和银数推得溢水十五斤金只八十三斤又三分斤之一推得溢水五十斤共合投鑪溢水六十五斤之数
式八调南北西三处兵南兵四万北兵为南及西二分之一西兵为南及北三分之一问北西各几何曰北三万二千西二万四千术先借三万为北裒列左上推得南西共六万去南四万西仅二万附列西为南北三之
一则南北当为六
万今得七万是盈
一万也列左下又
借二万四千为北
裒列右上推得南
西共四万八千去
南四万西仅八千附列西为南北三之一则南北当为二万四千今得六万四千是盈四万也列右下两盈减余为法两乗数减余为实以法除得北兵推知西兵二万四千
式九金九锭银十一锭等重互换一锭则金轻十三两问各若干曰金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十
九两二钱五分金九锭共重三百二十一两七钱五分银十一锭共重正等术金轻十三两则金银较为六两五钱先借十三两为金裒列右上银该六两五钱【去较数】列次金九锭乗十三得一百一十七两银十一锭乗六五得七十一两五钱以金比银盈四十五两五钱列右下又借二十四两为金裒列左上银该十七两五钱【去较数】列次金九锭乗二十四得二百一十六两银十一锭乗十七五得一百九十二两五钱以金比银盈二十三两五钱列左下两盈减余为法上与下互乗减余为金实以法除得金一锭数次与下互乗减余为银实以法除得银
一锭数各以锭数乗得共重正等又术以较六两五钱乗金九锭得五十八两五钱为实以金九锭银十一锭相减余二为法除得银一锭数又以较乗银十一锭得七十一两五钱为实以法二除得金一锭数
通曰又术即合率差分法也
一盈一不足法
式物价九十六两三人共买甲出不知数乙于甲内少二两丙于甲乙二人外多四两问各若干曰甲二十四两乙二十二两丙五十两术先借二十为甲数列左上
乙当十八丙当四十二
并得八十较原价不足
十六列左下又借三十
为甲数列右上乙当二十八丙当六十二并得一百二十较原价盈二十四列右下盈不足并得四十为法左右上下互乗并得九百六十为实以法除得甲数推知乙丙
式二物价二千七百两三人共买甲出不知数乙倍甲丙倍甲乙问各若干曰甲三百两乙六百两丙一千八
百两术先借二百为甲
数列左上乙四百丙一
千二百并得一千八百
较原价不足九百列左下又借四百为甲数列右上乙八百丙二千四百并得三千六百较原价盈九百列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数推知乙丙又术通曰只拟甲出十两为率甲十乙二十丙六十并得九十为法以甲十两乗原价得二万七千为实以法除得甲数
式三设一数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原数几何曰一千四百四十术先借二千四
百列左上半为一千二
百内三之一去四百四
之一去三百余五百比
三百盈二百列左下又
借九十六列右上半为四十八内三之一去十六四之一去十二余二十比三百不足二百八十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原数
式四甲乙不知数取乙九与甲则甲倍乙取甲九与乙则甲乙等问各若干曰甲六十三乙四十五术先借一
百为等
数乙得
甲九则
甲原是
一百○
九列左上乙为九十一列次甲若取乙九则甲得一百一十八而乙余八十二比甲之半五十九【甲系倍乙】盈二十三列左下又借五十为等数乙得甲九则甲原是五十九列右上乙为四十一列次甲若取乙九则甲得六十八而乙余三十二比甲之半三十四不足二列右下盈不足并为法上乗并为甲实次乗并为乙实以法各除得各数
式五携酒游山四处每沽増一倍俱饮六升恰尽问原携若干曰五升六合二勺五抄术先借五升四合列右上倍得一斗○八合减六升余四升八合又倍得九升六合减六升余三升六合又倍得七升二合减六升余
一升二合又倍得
二升四合减六升
不足三升六合列
右下又借六升二合列左上倍得一斗二升四合减六升余六升四合又倍得一斗二升八合减六升余六升八合又倍得一斗三升六合减六升余七升六合又倍得一斗五升二合减六升盈九升二合列左下盈不足并为法互乗并为实以法除得原携酒数四次倍减适尽
式六贷糓不知数每年加息一倍又还糓五十石至三年本息俱完问原贷若干曰四十三石七斗五升术先
借四十三列左上倍
得八十六减五十余
三十六又倍得七十
二减五十余二十二又倍得四十四比五十不足六列左下另借四十四列右上倍得八十八减五十余三十八又倍得七十六减五十余二十六又倍得五十二比五十盈二列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得原糓
式七逐百只每三人得四只该几人曰七十五人术先借七十二列左上四乗三除得九十六不足四列左下又借九十列右上四乗三除得一百二十盈二十列
右下盈不足并为法
互乗并为实以法除
得人数又术通曰用
三累法【见九章外法】以四只为一率三人为二率百只为三率求之亦可
式八三人共数六十乙倍甲外加四丙兼甲乙外加六问各几何曰甲七又三之二乙十九又三之一丙三十
三术先借六为
甲倍之加四乙
得十六兼甲乙
加六丙得二十八并得五十俱列左比六十不足一十列左下又借八为甲乙得二十丙得三十四并得六十二俱列右比六十盈二列右下盈不足并为法甲互乗并为实以法除得甲数推得乙丙
式九以三十数剖为二甲加六十乙加二十而甲为乙三倍其剖分各几何曰甲二十二又二之一乙七又二
之一术先借二十为甲
列左上乙一十附列甲
加六十得八十乙加二
十得三十以甲比乙乙三十甲当九十今止八十是不足一十也列左下又借二十四为甲列右上乙六附列甲加得八十四乙加得二十六以甲比乙乙二十六甲当七十八今却八十四是盈六也列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得甲数三之一得乙又术通曰以三十剖为四分每分得七五甲得三分共二十二五乙得一分即七五
式十二人分银百两须甲捐三之一乙捐四之一平分捐数方各得五十两其未均数各几何曰甲五十二两又十七分两之十六乙四十七两又十七分两之一术
先借六十为甲列左
上乙四十附列减甲
三之一为二十存四
十减乙四之一为一十存三十和两减之三十均得十五以甲得十五合减存四十得五十五比五十盈五列左下又借二十四为甲列右上乙七十六附列减甲三之一为八存十六减乙四之一为十九存五十七和两减之二十七均得十三五以甲得十三五合减存十六得二十九五比五十不足二十○五列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数减总得乙
式十一二鑪一葢重百两葢加甲鑪则三倍于乙葢加乙鑪则二倍于甲问各若干曰甲鑪八十两乙鑪六十
两术先借五十为甲列左
上加葢共一百五十附列
以三之一为乙五十加葢
得一百五十甲是五十乙
加葢只该一百今盈五十列左下又借一百一十为甲列右上加葢共二百一十附列以三之一为乙七十加葢得一百七十甲是一百一十乙加葢当二百二十今不足五十列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得甲数推得乙
式十二甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日曰四十五日术须知甲之十八日乃三
十日内五分之三
则知乙十八日为
五分之二先借四
十为乙列左上以十八日完五之二推之四十日当完九之八不足九之一列左下又借六十为乙列右上以十八日完五之二推之六十日当全完又盈九之三列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得乙日【用奇零法见前】又术通曰既知十八日为乙五分之二则以十八折半得九用五乗之亦得乙日
式十三牛羊共百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫银一两五钱问各若干曰牛三十六价
一百四十
四两羊六
十四价二
十四两术
先以三归
十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而皆化为厘算之乃借六十为牛列左上羊四十列次以乗各价牛乘四千厘得二十四万羊乘三百七十五厘得一万五千并得二十五万五千厘比总价盈八千七百厘列左下又借三十为牛列右上羊七十列次以乗各价牛得十二万羊得二万六千二百五十并得十四万六千二百五十厘比总价不足二千一百七十五厘列右下并盈不足为法并上互乗为牛实次互乗为羊实以法除得各数
通曰盈本八万七千不足本二万一千七百五十今降一位列下也再降亦可葢升则法实俱升降则法实俱降也
叠求法
式甲乙丙三数甲加七十三则为乙丙数者二乙加七十三则为甲丙数者三丙加七十三则为甲乙数者四问各几何曰甲七乙十七丙二十三术此因有三之二及四之三当借奇数求甲而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一【奇数】为甲裒加七十三得七十四当为兼乙丙而倍之之数因折半三十七为乙丙数而乙数另须借推第一图先借二为乙列左上乙
丙数三
十七内
减二余
丙三十
五列次乃以二加七十三得七十五以较甲丙合数三十六【甲一丙三十五】三其合数该一百○八今只七十五是不足三十三也列左下又借五为乙列右上乙丙数三十七内减五余丙三十二列次乃以五加七十三得七十八以较甲丙合数三十三【甲一丙三十二】三其合数该九十九今只七十八是不足二十一也列右下两不足减余为法两互乗减余为实以法除得一十又四之一为乙裒另列初借甲裒一列后第三图左上乙裒列次乙丙共三十七内减乙得丙二十六又四之三列次再借三【奇数】为甲裒加七十三得七十六当为兼乙丙而倍之之数因折半三十八为乙丙数而乙数另须借推第二图先借二为乙列左上乙丙数三十八内减二余丙三十六七十四为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十七】乙裒一十又四之一加七十三得八十三又四之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十七又四之三三其甲丙共数合八十三又四之一无差丙裒二十六又四之三加七十三得九十九又四之三当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十一又四之一四其甲乙共数只该四十五今却九十九又四之三是盈五十四又四之三也列左下右上甲裒三加七十三得七十六为兼乙丙而倍之之数【乙丙共三十八】乙裒一十二又二之一加七十三得八十五又二之一当为兼甲丙共数者三今甲丙共二十八又二之一三其甲丙共数合八十五又二之一无差丙裒二十五又二之一加七十三得九十八又二之一当为兼甲乙共数者四今甲乙共一十五又二之一四其甲乙共数只该六十二今却九十八又二之一是盈三十六又二之一也列右下两盈减余为法甲乗减余为甲实乙乗减余为乙实丙乗减余为丙实以法除得各数甲七加七十三得八十为兼乙丙共数四十者二乙十七加七十三得九十为兼甲丙共数三十者三丙二十三加七十三得九十六为兼甲乙共数二十四者四合问通曰本章诸式多与差分同两法皆可求者则同也原带盈朒【盈朒之二】
一盈一不足法
式买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干曰五人物价十九两术左列五之六【即五
两盈六两】右列三之
四【即三两不足四两】两
子并为人实母
子互乗并为物实两母减余为法以法除人实得人数以法除物实得物价再以五人乗五减六或以五人乗三加四皆同物价若用借裒先借四人列左上乗五得
二十减六存十四又以四
乗三得十二加四得十六
两数相较不足二列左下
另借七人列右上乗五得三十五减六存二十九又以七乗三得二十一加四得二十五两数相较盈四列右下并盈不足为法并互乗为实以法除得五人
式二分糓每人五石盈三十石每人六石不足四十石人糓各若干曰七十人糓三百八十石术五之三十列左六之四十列右两子并为人实母子互乗并为糓实两母减余为法除人实得人数除糓实得糓数再以人
数乘五石加
盈三十或以
人数乗六石
减不足四十皆同糓数前式系出率故减盈増不足此式系入率故増盈减不足也若用借裒先借三十人列左上乗五得一百五十加三十共一百八十又以三十
乗六得一百八十减四
十存一百四十两数相
较盈四十列左下另借
一百人列右上乗五得五百加三十共五百三十又以一百乗六得六百减四十存五百六十两数相较不足三十列右下盈不足并为法互乗并为实以法除得人数
式三新绢作帐折六幅长旧六寸折七幅短旧四寸新绢旧帐幅各几何曰绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸术先以幅数乗盈不足以六列左上乗盈六寸得三
尺六寸列下以
七列右上乗不
足四寸得二尺
八寸列下两子并为旧实母子互乗并为新实两母减余为法得旧帐幅长除新实得绢长
式四田一坵截半另佃截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干曰截积之步五十五原濶步八术左列六之七右列八之九并子为濶实并
母子互乗为截
实两母减余为
法各以法除得
数
两盈法
式买物每人出三两五钱盈六两每人出三两三钱盈二两八钱人数物价各若干曰十六人物价五十两术两出率左右列两盈各列其下两子减余为人实母子
互乗减余为物
实两母减余为
法各以法除得
数
式二井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺折
作四股入井汲
水余绳一尺井
深绳长各几何
曰井深八尺绳长三丈六尺术左三股右四股列上以三乗四尺得十二为左子以四乗一尺得四为右子俱列下两子减余为井实母子互乗减余为绳实两母减余为法各以法除得数
两不足法
式买物每人出银五两不足四两每人出银五两四钱不足二两人数物价各若干曰五人物价二十九两术
左列五十之
四十【升两为十】右
列五十四之
二十两子减余为人实母子互乗减余为物实两母减余为法各以法除得数
一适足一盈法
式买物每人出二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干曰三十人物价六十九两术以二
十五列左上盈六十列
下以二十三列右上无
下数即以盈数为人实
左子乗右母为物实两母减余为法各以法除得数或不乗物实以人数乗适足之母亦得物价
式二以米换布换九疋适足换七疋米多四斗米数布
价各若干曰共米一石八斗每疋
值米二斗术左列九适足右列七
盈四以盈数为米实两母减余为
法除得二斗为每疋换米数乃以适足之母九乗之得共米
一适足一不足法
式买物每人出七两不足十四两每人出九两适足人数物价各若干曰七人物价六十三两术左列七不足
十四右列九适足
以不足为人实左
子乗右母为物实
两母减余为法各以法除得数或以人数乗适足之母亦得物价
叠数盈朒法
式买物每八人共出七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干曰三十六人物价二十七两术分三层以八人列左上九人列右上两上相乗
得七十二为通数共出七两列左中共出六两列右中上中互乗减余为法盈四两五钱列左下不足三两列右下以下与两乗数再互乗并为物实两下并得七十五又乗通数为人实各以法除得数
通曰下层并之数皆以千降百也
式二买物每六人出九两盈三两每四人出七两盈六两人数物价各若干曰十二人物价十五两术六人列左上四人列右上相乗得二十四为通数九两列左中
七两列右中上中互乗减余为法盈三两列左下盈六两列右下以下与两乗数再互乗减余为物实两下相减余三又乗通数为人实各以法除得数 其叠数两不足者仿此
式三买物每三人出五两不足十两五人出九两适足人数物价各若干曰七十五人物价一百三十五两术三
人列左上五人列右上乗得通数五两列左中九两列右中上中互乗减余为法不足十两列左下以左下乗右乗数为物实以左下乗通数为人实各以法除得数 其叠数之盈适足者仿此
母子盈朒法
式银不知数买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干曰总银六十两物价三十七
两术上层左列五之三右列三之二母子互乗右得一十再乗不足一两得一十左得九再乗盈三两得二十七乃以右乗之一十列左中左乗之九列右中以右再乗之一十列左下左再乗之二十七列右下上层两子乗得通数中层左右相减余为法下层左右相并为物实中下互乗并数又以通数除之为银实各以法除得数
式二银不知数买物取六分之四盈二两取四分之三盈三两五钱银数物价各若干曰总银十八两物价十两术上层左列四之三右列六之四母子互乗右得十六再乗盈三两五钱得五十六左得十八再乗盈二两得三
十六乃以右乗之十六列左中左乗之十八列右中以右再乗之五十六列左下左再乗之三十六列右下上层两子乗得通数中层左右减余为法下层左右减余为物实中下互乗减余又以通数除之为银实各以法除得数
式三派银不言数但知甲乙二等户乙户所办当甲戸十之八令甲八户乙五戸纳之不足五两令甲六戸乙八戸纳之不足三两其派银数及各戸则例若干曰甲一戸办五两乙一戸办四两派银六十五两术以甲裒一十【乙当甲十之八故以一十为甲裒】乗八户得八十乙裒八乗五户
得四十并得
一百二十列
左上又以甲
裒一十乗六户得六十乙裒八乗八户得六十四并得一百二十四列右上其不足五两列左三两列右两母
减余为法两互乗减余为银实两子减余为则例实以法除银实得派银以法除则例实得五钱甲裒一十乗五钱得甲一户数乙裒八乗五钱得乙一戸数
式四钱不知数买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干曰钱五十六文物价二十四文
术七之
三列左
二之一
列右母子互乗左子乗得六另列右右子乗得七另列左而以六乗盈四得二十四列右下为物实又以二十四乗适足之母七得一百六十八为钱实两另列之母减余一为法除物实得物价原子相乗得三为法除钱实得钱数
式五粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦及每银一两粜麦若干曰总麦四十八石银一两粜二石术左列三之一右列八之三互乗之左得八再乗十两得八十另列右右得九再乗八两得七十二另列左乃以适足之银
八乗不足之麦二得十六石列右下为银实又以右下乗左上得一千一百五十二以原子相乗得三除之得三百八十四为麦实另列两母减余得八为法除麦实得总麦除银实得麦二石乃价银一两之所粜也
数度衍卷二十