你若看见任何一个挺胸昂头健步，举动活泼而敏捷的青年，你知道他大概是一个曾经受过近代体育训练的人。反之，你若看见一个弯着腰曲着背，面容黄瘦，行路蠕缓，举动温文而迂迟的人，你知道他大概没有受过体育训练。同样，你若看见一个思想清晰，说话有条理、有根据、有对象(即实有所指，言之有物)的青年，你知道他大概是受过逻辑训练的人。反之，那只说感情话，只知发泄主观的感觉与臆想，凡事不以客观的是非真假为准，徒以主观的需要欲求为准，任意武断的人，大概就是没有受过逻辑训练的人。
人人都知道，飞机、轮船、火车、电报、电话等是近代物质方面交通的利器，同时亦是近代战斗的利器。但是很少人知道逻辑概念、语言文字是人类精神上交通的利器，同时亦是精神上斗争的利器。若没有逻辑——概念的次序、语言文字的理则，则人与人之间思想上无共同的方式或范畴，彼此不能以理相喻，彼此不能相互了解，换言之，精神上不能交通。而彼有清晰的条理，有根据而能把握实在的逻辑以指导行为，以组织知识、以发明科学征服自然的人，与那完全持原始的本能、感情、臆想、意见、欲望等粗糙的东西以支配生活、应付自然的人，相见于生存竞争之场，实无异于以铁器时代的人与石器时代的人较长短，其优胜劣败之数，不卜可知。所以，我说逻辑是精神的交通与精神上斗争的利器。再说明白一点，逻辑即是精神生活的命脉，同时也是物质文明的本源。要知道西洋近代科学的发达和征服自然的胜利，导源于培根所谓“新工具”(novum organum，虽然他所说的新工具，仅是逻辑的一部分，并未得其全)或新逻辑，则逻辑为物质文明的本源之说，不言而喻了。
说明逻辑的性质和效用，决非本文所能胜任，且非本篇的目的，兹姑且借上述两个浅近的譬喻，以说明：(1)逻辑是一种修养或训练——精神的训练，一如体操之为身体的训练；(2)逻辑是一种工具——精神的工具，精神交通和斗争的工具，一如轮船、火车、飞机等之为物质上交通和斗争的工具。又精神为物质之本，物质为精神之用，故精神的工具又为物质工具之本，而物质的工具乃系精神的工具——逻辑之用。于此愈足见逻辑的训练对我们来说至关重要，逻辑的工具实为我们所不可一时缺。
我愈感觉到逻辑的重要，而谈到怎样研究逻辑，却愈令我难于措辞，因为近来似乎有很大一个趋势，是要离开实际生活——文化生活、社会生活、日常生活而谈逻辑，甚至想要离开科学思想和哲学思想而谈逻辑，把逻辑认作与下棋、占卦、饲鸟一样，同为有闲阶级的玩意。于是，研究逻辑的方法，便成为如何勿讨论自然问题、文化问题、社会问题、生活问题，如何摆脱哲学史和哲学上根本问题的研究，而去专心致志于名词之玩弄与符号之排列的问题了。离开符号的内容，而玩弄符号，不顾思想的全系统，而因袭中古经院学派的繁琐，支节于此一名词和彼一命题的咬文嚼字，这未免徒卖弄少数人的智巧而忘记逻辑的真正使命了。要想从这类研究逻辑的方法去寻求研究科学和哲学的基本工具，实在比从练习下棋去研究战术和战略尤为不相干。
数学公认为科学的科学。任何学问要想成为科学，最要紧的即在于使该学问受数学的洗礼，采用数学的方法。中国之缺乏科学根本即由于缺乏数学。要使哲学，要使逻辑成为严谨的科学，第一贵在能采取数学的方法，以数学方法为治逻辑或哲学的模范。这种理想，自柏拉图以来，近代不论理性派与经验派的哲学家(经验派的人似惟培根不知推重数学方法，而偏重其所谓归纳法)，皆莫不以数学为哲学的模范，使逻辑或哲学知识有如数学知识之确定，进而成为系统严谨之科学(但须知逻辑取法数学，采取数学方法，使数学贯注于其中是一事，而将逻辑数学化，使逻辑沦为数学中之一部门又是一事)。足见研究逻辑的方法须以研究数学的方法为模范，乃西洋许多大哲学家共取的途径，共具的理想，亦即本文所欲发挥的意思。
数学方法有两个基本要点为逻辑所必须采取：
第一，数学只研究本性**本文中的“本性”在《哲学与哲学史论文集》中多作“本质”。，不问目的如何，实用与否，满足人欲望与否；数学只问理论上的由来，不问事实上的由来。譬如有一三角形于此，数学不问此三角形有何用处，不问画此三角形的人目的何在，亦不问这三角形是谁画的，是什么时候画的，是用粉笔或是墨笔画的，或是印在书上的，数学只求证明三角之和必等于两直角——三角之和等于两直角就是三角形之所以成其为三角形之本性。这种关于本性的知识，就是有普遍性有必然性的知识，所以任何问题到手，若用逻辑的方法去研究，必须与数学一般，只问本性，以求普遍必然的知识。所以斯宾诺莎曾说过，“数学不研究目的，仅研究形相的本性和特质，可以供给我们另一种真理的典型”(见《伦理学》卷一附录)。所谓另一种真理的典型即是指逻辑的、纯科学的、纯哲学的真理的典型了。所以一个人是否入了逻辑之门，关键在于他是否能扫除那偶然的、实用的目的，进而探讨普遍的必然的本性。譬如知识问题，培根只注重知识如何有用，如何可以征服自然，及如何纠正知力使获真知的技术问题，洛克辈亦大都仅从心理经验中去分析知识的起源与限度，而康德便能够从纯逻辑的立足点上，去研究知识的本性和构成知识的前提或基本条件。因此，知识问题到了康德手里，便由实用的问题，改进知力的技术问题，心理问题等进而成为逻辑问题了。康德之所以在知识论上开新纪元，且永为治逻辑、治哲学的典范即在于此。而我们研究逻辑首应采取数学这种“不研究目的，但研究本性”的方法更是必要无疑。
中国人平日已养成只注重一物之实用、目的、结果，而不研究一物之本性的思想习惯。这种习惯或成见，在知的方面，只重末而不重本，重效果而不重原理；在行的方面，便成为重势利、重功用而不重理性或义务的计算道德。譬如，《论语》中很有名的一长段推论，由名正而推到言顺，由言顺推到事成，由事成而推到礼乐兴，由礼乐兴而推到刑罚中，由刑罚中推到民能措手足。这种推论便纯是由效果推效果、由功用推功用的思维方式。据这种说法，正名便有言顺，事成，礼乐兴，刑罚中，民能措手足的结果或效用。而不正名便有言不顺，事不成，礼乐不兴，刑罚不中，民无所措手足的结果。虽然孔子这段对于正名的效果的看法也许很对，但这只是一种实用的观点，而不是逻辑的观点，因为这段虽是富有政治识度或哲学识度的谈话，却不能构成政治哲学或正名哲学。假如孔子不仅谈效用，而且能从逻辑方面系统地告诉我们什么是名的本性，那就会构成一部名学，再进而逻辑地昭示我们什么是礼乐刑罚的本性，那就会形成文化哲学或社会哲学。又如《大学》上的“物格而后知致，知致而后意诚，意诚而后心正，心正而后身修，身修而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平”一大串推论，亦不是纯逻辑的推论(什么是纯逻辑的推论，详下)，而只是由效果推效果，由功用推功用的方法。照这种推论，格物致知或正心诚意便有治国平天下的效果。但如果不去做效果的推论——因为这种推论是无必然性的，这就是说，格物致知或正心诚意并不必然有家齐国治天下平的效果，而只是或然的或可能的。由可能的效果推可能的效果，其无必然性与普遍性，其不能建立严谨的逻辑理论，可想而知——而去作本性的探讨，譬如对于物的本性加以系统的研究，可构成自然哲学；对于知的本性加以研究，可构成认识论；研究心或意的本性可成心理学或精神哲学；研究身的本性，可成生理学；研究家、国、天下的本性，可成社会哲学或政治哲学。但中国的思想家大都只注重格物致知正心诚意的方法与效用，注重修齐治平的学养与结果，而不知应用数学的方法从事本性的研讨，因此遂少有产生纯逻辑、纯哲学、纯科学，其主要原因即由于只注重问结果、效用、目的的实用主义，而不注重采用数学方法从事本性的探讨有以使然。无怪乎斯宾诺莎在他的《伦理学》卷一的附录里，用全副力量抨击那仅追问目的、企求效用的思想方式，而认为“这种说法，如果没有数学加以救治，实足以使人类陷于永远不能认识真理”。我也是这么说，这种重目的、重效用不重本性的思想习惯不打破，则知的方面，只问本性，只重原则的纯逻辑、纯哲学、纯科学皆永不会产生；行的方面，正其谊不谋其利，明其道不计其功(“谊”、“道”即是行为方面、道德方面的本质或原则，出于理性而不出于实利的打算)的高洁行为、纯粹道德亦将永无法产生。换言之，以数学为模范，只问本性，不问效用，实走入纯逻辑的主要关键，而且是企求纯道德的“入德之门”。
第二，数学上有所谓“公则的方法”(axiomatic method)，也可以说是数学的直观法。此法在寻求清楚明晰不待证明的基本观念和公则，以作推论的基础，而组成严密的系统。换言之，此法以界说(definitions)、公则(axioms)或公设(postulates)为基本，循序演绎，以推论出新的命题或定理。这些公则的性质和公则间的关系是：第一，各公则必须互相独立(independent)；第二，每一公则必须是最基本和最原始的，不可自其他原则推来(underived)；第三，各公则必须贯通而无矛盾(noncontradictory)；第四，每一公则必有其范畴性(categorical)。至于寻得此种公则的来源，可以是由于直觉、想像、类推、分析，也可以是因为应用的便利(请参看J.W.Young， Fundamental Concepts of Algebra and Geometry，及友人江泽涵先生在北京大学科学概论班所讲的《算学方法》讲义大纲)。据罗素的说法则系由方法的怀疑去加以分析的推究得来(an analytic search by methodical doubt)。所以要想使逻辑成为严密有系统的学问，亦必须采取此种数学方法。故欲对于任何问题加以逻辑的研究，首先必须规定适当的界说(界说即所以指出研究的对象的本性，如上文所说)，寻求基本的公则，然后循序演绎出较复杂的新命题、新定理，构成严密的系统。至于逻辑上的界说的性质及其所须遵循的规则，如柏拉图的《美诺篇》(Meno，此篇由讨论道德的界说进而讨论一般的界说所应遵从的原则)，如亚里士多德的《分析后篇》(Posterior Analytics，亚里士多德之论界说，普通逻辑教科书均有相当的叙述)，如斯宾诺莎的《致知篇》(Treatise on the Improvement of the Understanding，由第九十节至篇末均讨论如何可得良好的界说)，均可供参考，兹不赘述。至于斯宾诺莎的《伦理学》一书即是以几何学秩序以证明(ordine geometrico demonstrata)的最显著的例子。
但我们所谓采取数学的“公则方法”乃是采取数学的精神，而不必拘泥于外表的形式。若每著一本逻辑书，每讨论一个哲学问题，都要采取数学的形式，如斯宾诺莎的《伦理学》那样，不惟千篇一律，有如逻辑的八股文，抑且有使思想机械化而受束缚，有不能随意发抒之苦。故斯宾诺莎《伦理学》一书，虽全书的结构采取几何学的形式，而仍辅以长篇的序言、附释、附录等(此等部分约占全书之半)，以济其穷，而自由发挥其意旨。而且斯宾诺莎以后，承袭他的学说，主张采取数学方法入逻辑的哲学家虽多，但极少人的著作采取数学的形式。且真正的逻辑须研究其他科学的前提和思想方式，而逻辑自身并无不待证明的前提，亦不像其他科学可从任意的界说或定义开始(参看黑格尔《大逻辑学》导言论“逻辑的开端”部分)。又建立逻辑的界说，并无形成纯系讨论抽象的对象如几何学的界说那样容易，盖愈具体愈复杂的对象，如“知识”、“生命”、“国家”等概念，则因立说者见仁见智之不同，必有许多不同的界说(此点参看黑格尔《哲学全书》中《小逻辑》部分第二二九节)。因此，我们研究逻辑便只能采取数学的精神，不可拘泥于数学的外表形式了。
但数学所据以推论的公则方法，其根本精神何在呢?据我看来可用斯宾诺莎所谓“据界说以思想”(thought by definition)（斯氏《致知篇》第九十四节有“发现新知的恰当方法在于依界说而构思”〔the right way of discovery is to form thoughts according to some given definition〕之语），或康德所谓“依原则而认知”(knowledge by principles)一语包括之。康德所谓“先天逻辑”(transcendental logic)的整个目的可以说是即在于发挥依原则而认知方能获得真知或科学知识，亦即他所谓先天的综合的知识的道理。不论斯宾诺莎与康德别的方面异同如何，此种对于逻辑的根本见解，真可谓同条而共贯，两人之所以为共同启发出后康德派自费希德至黑格尔的伟大哲学潮流的两大导师(据文德尔班《哲学史》)，实非偶然。我相信他们两人这种见解完全导源于数学，盖数学方法，扼要讲来，就是“据界说以构思”或“依原则而认知”。
斯宾诺莎所谓“据界说以思想”是什么意思呢?界说所以表示本性，据界说以思想就是根据对于一物的本性的知识以思想，而事物的内在本性乃是固定永恒的共相，也可以说是深藏于事物之中，为事物所必遵循的律令，无此内在本性，彼事物既不能存在也不能被认知。这些固定的永恒的本质虽是个别的，但因其有无所不在、弥漫一切的力量，可以认为即是构成个别事物的界说的类或共相(《致知篇》第一〇一节)。这样看来，据界说以思想即是据共相、概念、律令以思想的意思。斯宾诺莎还说，好的求知方法在于指导此心使遵循一真观念的标准而思想，若能进而寻得最圆满的存在的观念以作此心思考的标准，则方法便是最为完善(《致知篇》第三十八节)。故据界说以思想亦即是以真观念甚或依对于实体的观念以思想。又此心获得的真观念愈多，则愈知自然，同时亦愈知其自身的力量，此心愈能自知其力量，则愈能自立规律，指导自身，以作求知之补助。因此可以认为“此心循律令而活动，有似精神的自动机”(the mind acts according to certain laws and resembles a spiritual automatos，参见《致知篇》第四节及第八十五节)。这种说法与康德的以原则而认知，以意识之自立法令(the selflegislation of consciousness)为科学知识的前提的说法，实有契合处。至于斯宾诺莎所谓依真观念的标准以思考，即是依界说以思考；而他所谓此心自立规律以作求知的补助或工具，即是指出知性的公则以作推理的规范之意。而这种依界说据公则以思考或认知的方法，纯系采自数学方法，特别是几何方法，更是无可置疑。因为斯宾诺莎根本认为正确的知识——科学的或哲学的知识，是“据逻辑的界说得来的知识”(knowledge by logical definition)，亦可以说是自某种永恒的类型下观认事物得来的知识，盖界说即表示一物的类或永恒的本质。而混淆的不正确的知识即是“由身体的感受得来的知识”(knowledge by bodily affection)，此种知识又叫做自泛泛经验得来的知识，乃由于身体的感官与外界接触所得的片断的混淆的印象及所发生的偶然联想或想像。换言之，此种知识乃是“不依理智的秩序”(without order to the intellect)或“未为理智所决定”(not determined by the intellect)而得来的偶然的被动的感官知识(参看《致知篇》第二十八节及《伦理学》第二部分，命题十四至命题四十七)。也可说是未据逻辑界说以推论得来的有普遍性有必然性的知识。用康德的话来说，即是未经意识的自立法度，不自先天的原则得来的知识。再约而简之，此种知识之所以非真知，非纯科学的知识，即因其系未受过数学的洗礼，不以数学方法为模楷而得来的知识。
至于康德所谓先天逻辑，更是充满了自数学，特别自伽利略、牛顿的数学、物理得来的教训。康德的道德学说，一言以蔽之曰，“本通则以行为”(to act according to maxims)。康德的逻辑学说，一言以蔽之曰，“依原理以求知”(to know according to principles)。行的方面，以人人应当奉行的无上律令为准则，使自己的意志，遵守自己制定的律令，而形成纯义务的道德。知的方面，依知性的纯概念或先天原则以组织感官经验，使经验循先天的范畴，而形成科学知识。换言之，不但仁义道德非外铄我，即科学知识亦非外铄我。康德的逻辑通则(maxims)之必然自明，有似数学之公则(axioms)处，西吉微克(Sigwick)于他的《伦理学方法论》中讨论直觉主义时，已有发挥，兹不赘述。至于康德之应用数理的基本概念和原理，以形成他的新逻辑观念和新知识学说，更是显然。试看康德所指出伽利略等人的实验所给予我们的新教训：“当伽利略试把他自己选择的某种重量的那些圆球自斜面往下滚时，或当陀里西尼使空气承载他事先所决定的与一定容量的水相等的重量时，或当晚近斯托尔由于某种原料的抽出或加入，使金属变成石灰，或使石灰变成金属时，他们实给一切自然科学家以新的光明。因为他们可以认识，如何理性只能理解依它自己的规律所产生的东西，如何理性可以据判断的原理，依规定的律令进行研究，并且如何自然必须答复理性所提出的问题，而不是理性好像被自然用绳索牵着鼻子走似的。因为不然的话，只是偶然的观察——不依预先规定的计划而得的观察，决不能组成一必然的律令，而此种必然的律令却又为理性所追求所必需的。理性一方面必须本其原则，唯依此原则一致的现象方可认作自然律令，一方面又必须本其依此原则而规划出的实验以研究自然，如此庶理性可受自然的教训，但并非如学生的性质，事事唯教师之命是从，而乃居于钦命的审判官地位，强迫证人回答他所提出的问题”(《纯理论衡》第二版序言)。这足见康德自伽利略的实验所得到的“依原则而认知”的根本教训了。盖康德根本认为逻辑与经验、原理与实验应联合而不可分离。就二者关系言，理性为主体，为立法者，经验为对象，为须遵循法令者。既不离开经验而谈抽象的原理，致陷于空洞，亦不离开理性而谈经验或实验，致陷于盲目，以达到“以逻辑驾驭经验，以经验注释逻辑”的真知识或科学知识。
把握住上述两点：(1)不问目的，但问本质；(2)据界说以思想，依原则而认知，便算把握住了逻辑的本质，认识了逻辑的根本精神。而此两种特性皆出于数学，且为斯宾诺莎和康德逻辑思想的核心。我们现在要研究逻辑，其正当途径自亦不外采取此种出自数学的方法(现代德国现象学派胡塞尔所倡导的逻辑，保持先天方法，注重本性的观认，似为现代最能承继并发挥康德、斯宾诺莎的逻辑思想者，可惜中国很少人涉猎到这方面)。能依此种方法以治逻辑，方可达到一种既非抽象的形式逻辑，又非只是求片断的偶然的知识的经验方法，而乃是可以昭示我们的真理的本质，帮助我们把握实在，获得普遍必然而有系统的科学知识的逻辑，必定要这样的逻辑才真正算得我们篇首所谓精神的训练和精神的工具。麟按：篇中讨论形式逻辑一段，诚不免失之偏激(下棋与战术之喻，乃采英国现代哲学家席勒〔F.S.C.Schiller〕批评形式逻辑之说)，我的本意乃在注重形式与内容不可分。所谓格物穷理，即是由内容以求形式，更用形式以驾驭整理内容的辗转递进的过程。且以为欲知科学方法，须实地实验观察，研究自然科学或社会科学。欲知分析方法，须精读用分析方法写成的哲学书，如康德、休谟的著作。欲知几何方法之用于哲学，须精读笛卡尔、斯宾诺莎的原著。未有专读科学方法的概论书籍，专读形式逻辑的教科书，即可谓已得科学之实质，已尽逻辑训练之能事者。此即从内容求形式之法，与专从形式着手者，似异其趣，至于形式逻辑之有其训练思想的价值，且已脱离哲学而独立成一专门学问，固所承认而赞许之者。