欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百十卷目錄
算法部彙考二
周髀算經〈卷上二〉
曆法典第一百十卷
算法部彙考二
《周髀算經》
卷上二
春分之日夜分，以至秋分之日夜分極下常有日光。
《春秋分》者，晝夜等。春分至秋分，日內近極，故日光照及也。
秋分之日夜分，以至春分之日夜分極下，常無日光。
秋分至春分，日外遠極，故「日光照不及也。」
故「春秋分之日，夜分之時，日所照適至」，極，陰陽之分 等也。冬至、夏至者，日道發斂之所生也，至晝夜長短 之所極。
發，猶往也。斂，猶還也。極，終也。
「《春秋》分」者，「陰陽之修，晝夜之象。」
修，長也。言陰陽長短之等。
晝者陽，夜者陰。
以明暗之差，為陰陽之象。
春分以至秋分，晝之象。
「北極」 下見日光也。日永主物生，故「象晝」 也。
秋分至春分，夜之象。
「北極」 下不見日光也。日短主物死，故象夜也。
故《春秋》分之日，中光之所照，北極，下夜半，日光之所 照，亦南至極。此日夜分之時也。故曰：「日照四旁，各十 六萬七千里。」
「至極」 者，謂璇璣之際，為陽絕陰障。以日之時而日光有所不逮，故知日旁照十六萬七千里，不及天中一萬一千五百里也。
《人望》所見遠近，宜如日光所照。
日近我一十六萬七千里之內及我，我自見日，故為日出。日遠我十六萬七千里之外，日則不見我，我亦不見日，故為日入。是為日與。目見於十六萬七千里之中，故曰「遠近」 宜如日光之所照也。
從周所望，見北過極六萬四千里。
自此以下諸言減者，皆置日光之所照，若人目之所見十六萬七千里以除之，此除極至周，十萬三千里。
臣鸞曰：求從周所望，見北過極六萬四千里。法列《人目》，所極十六萬七千里，以王城周去極十萬三千里減之，餘六萬四千里，即人望過極之數也。
南過冬至之日，三萬二千里。
除冬至日中，去周十三萬五千里。
臣鸞曰：求冬至日中三萬二千里，法列《人目》所極十六萬七千里。以冬至日中去王城十三萬五千里減之，餘即過冬至日中三萬二千里也。
夏至之日，中光南過冬至之日，中光四萬八千里。
除冬至之日，中相去十一萬九千里。
臣鸞曰：求夏至日中光南過冬至日中光四萬八千里。法列日高照十六萬七千里，以冬夏至日中相去一十一萬九千里減之，餘即南過冬至之日中光四萬八千里。
南過人所望見一萬六千里。
夏至日中，去周萬六千里。
臣鸞曰：「求夏至日中光南過人所望見萬六千里，《法列王城》去夏至日中光南過人所望見萬六千里，加日光所及十六萬七千里，得十八萬三千里。以人目所極十六萬七千里減之，餘即南過人目所望見一萬六千里也。」
北過周，十五萬一千里。
除周夏至之日中，一萬六千里。
臣鸞曰：求夏至日中光北過周十五萬一千里。法列日光所及十六萬七千里，以王城去夏至日中一萬六千里減之，餘即北過周十五萬一千里。
《北過極》，四萬八千里。
除極，去夏至之日，十一萬九千里。
臣鸞曰：求夏至日中光北過極四萬八千里，法列日光所及十六萬七千里，以北極去夏至夜半十一萬九千里減之，餘即北過極四萬八千里也。
冬至之夜半，日光南不至，人所見七千里。
倍日光所照里數，以減冬至日道，徑四十七萬六千里。又除冬至日中去周，十三萬五千里。
《臣鸞》曰：「求冬至夜半日光南不至，人目所見七千里。」 法列日光十六萬七千里，倍之得三十三萬四。
考證
千里，以減冬至日，道徑四十七萬六千里，餘十四萬二千里。復以冬至日中去周十三萬五千里減之，餘即不至。《人目》所見七千里。
不至極下七萬一千里。
從極至夜半，除所照，十六萬七千里。
臣鸞曰：「求冬至日光不至極下七萬一千里。」 法列冬至夜半去極二十三萬八千里，以日光一十六萬七千里減之，餘即不至極下七萬一千里。
夏至之日，中與夜半日光九萬六千里，過極相接。
倍日光所照，以夏至日道徑減之，餘即相接之數。臣鸞曰：「求夏至日中，日光與夜半相接九萬六千里。法列：倍日光所照十六萬七千里，得徑三十三萬四千里。以夏至日過徑二十三萬八千里減之，餘即日光相接九萬六千里也。」
冬至之日中與夜半日光不相及，十四萬二千里，不 至極下七萬一千里。
倍日光所照，以減冬至日道徑，餘即不相及之數；半之，即各不至極下。
臣鸞曰：求冬至日光與夜半日不及十四萬二千里，不至極下七萬一千里。法列冬至日道徑四十七萬六千里，以倍日光所照三十三萬四千里減之，餘即日光不相及十四萬二千里，半之，即不至極下七萬一千里也。
夏至之日：正東西望直周，東西日下至周，五萬九千 五百九十八里半。
求之術：以夏至日道徑二十三萬八千里為弦，倍極去周十萬三千里，得二十萬六千里，為股，為之求勾。以股自乘，減弦自乘，其餘，開方除之，得勾一十一萬九千一百九十七里有奇，半之，各得周半數。
臣鸞曰：「求夏至日正東西去，《周法》列《夏至》道徑二十三萬八千里，為弦，自相乘得五百六十六億四千四百萬，為弦實。更置極去周十萬三千里，倍之為二十萬六千里，為股，重張自相乘，得四百二十四億三千六百萬，為股實；以減弦實，餘一百四十二億八百萬，即勾實；以開方除之，得正東西去周一十一萬九千」 一百九十七里二十三萬八千三百九十五分里之七萬五千一百九十一，半之，即周東西各五萬九千五百九十八里半。《經》曰：「奇者，分也。」 若求分者，倍分母得四十七萬六千七百九十，即一方得五萬九千五百九十八里半、四十七萬六千七百九十分里之七萬五千一百九十一。本《經》無所餘算之次，因而演之也。
冬至之日正東，西方不見日。
「正東西方」 者，周之卯酉日，在十六萬七千里之外，不見日。
以算求之，日下至周，二十一萬四千五百五十七里 半。
求之術：以冬至日道徑四十七萬六千里為弦，倍極之，去周十萬三千里，得二十萬六千里為勾，為之求股，勾自乘，減弦之自乘，其餘，開方除之，得四十二萬九千一百一十五里有奇，半之，各得東西數。
臣鸞曰：「求冬至正東西方不見日法：列冬至日道徑四十七萬六千里為弦，重張相乘得二千二百六十五億七千六百萬里，為弦實。更列極去周十萬三千里，倍之得二十萬六千里為勾，重張相乘得四百二十四億三千六百萬，以減弦實，餘一千八百四十一億四十萬，即股實，開方除之，得周直東西四十二萬」 九千一百一十五里八十五萬八千二百三十一分里之三十一萬六千七百七十五半。即周一方，去日，二十一萬四千五百五十七里半，亦倍分母，得一百七十一萬六千四百六十二分里之三十一萬六千七百七十五。
凡此數者，日道之發斂。
凡此上周徑之數者，日道往還之所至，晝夜長短之所極。
冬至、夏至，觀律之數，聽鐘之音。
觀律數之生，聽鐘音之變，知寒暑之極，明代序之化也。
冬至晝，夏至夜。
冬至晝夜日道徑：半之，得夏至晝夜日道徑法：置冬至日道徑四十七萬六千，半之，得夏至日中。去夏至夜半二十三萬八千里，以四極之里也。
差數及日光所還觀之。
以差數之所及，日光所還，以此觀之，則四極之窮也。
《四極徑》八十一萬里。
從極南至冬至日中二十三萬八千里。又日光所照十六萬七千里，凡徑四十萬五千里。北至其夜半亦然。故日徑八十一萬里。「八十一」 者，陽數之終。
日之所極
臣鸞曰：求四極徑八十一萬里。法列冬至日中去極二十三萬八千里，復加冬至日光所極十六萬七千里，得四十萬五千里，北至其夜半亦然。并南北即是大徑八十一萬里。
周二百四十三萬里。
三乘徑即周
臣鸞曰：以三乘八十一萬里，得周二百四十三萬，自此以外，日所不及也。
從周至南，日照處三十萬二千里。
半徑除周，去極十萬三千里。
臣鸞曰：「求周南三十萬二千里。法列半徑四十萬五千，以王城去極十萬三千里減之，餘即周南至日照處三十萬二千里。」
周北至日照處，五十萬八千里。
《半徑》加周，《去極》，十萬三千里。
臣鸞曰：求周去冬至夜半日北極照處五十萬八千里，法列半道徑四十萬五千里，加周夜半去極十萬三千里，得冬至夜半北極照去周五十萬八千里。
東西各三十九萬一千六百八十三里半。
求之術，以徑八十一萬里為弦，倍去周十萬三千里，得二十萬六千里為勾，為之求股，得七十八萬三千三百六十七里有奇，半之，各得東西之數。臣鸞曰：「求東西各三十九萬一千六百八十三里半。法列徑八十一萬里，重張自乘，得六千五百六十一億，為弦實。更置倍周去北極二十萬六千里為勾，重張自乘，得」 四百二十四億三千六百萬，以減弦實，餘六千一百三十六億六千四百萬，即股實。以《開方》除之，得股七十八萬三千三百六十七里一百五十六萬六千七百三十五分里之十四萬三千三百一十一，半之，即得去周。三十九萬一千六百八十三里半，分母亦倍之，得三百一十三萬三千四百七十「分里之十四萬三千三百一十一」 也。
周在天中，南十萬三千里，故東西短，中徑二萬六千 六百三十二里有奇。
求矩中徑二萬六千六百三十二里有奇。法列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里有奇減之，餘即矩中徑之數。
臣鸞曰：「求矩中徑二萬六千六百三十二里有奇。法列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里有奇減之，餘二萬六千六百三十三里。取一里破為一百五十六萬六千七百三十五，分減一十四萬三千三百一十一，餘一百四十二萬三千四百二十四，即徑東西矩二萬六千六百三十二里、一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四。」
周北五十萬八千里，冬至日十三萬五千里。冬至日 道徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里，日 光四極當周東西各三十九萬一千六百八十三里 有奇。
此方圓之法。
此言「求圓於方」 之法。
方圓圖
方圓圖
萬物周事，而圓方用焉。大匠造制，而規矩設焉。或毀 方而為圓，或破圓而為方。方中為圓者，謂之圓方，圓 中為方者，謂之「方圓」也。
七衡圖
七衡圖考證
七衡圖註
趙君卿曰：「青圖畫者，天地合際，人目所遠者也。天至高，地至卑，非合也。人目極觀，而天地合也。日入青圖畫內，謂之日出出青圖畫外，謂之日入青圖畫之內外皆天也。北辰正居天中之央，人所謂東西南北者，非有常處，各以日出之處為東，日中為南，日入為西，日沒為北。北辰之下，六月見日，六月不見日。從春分至秋分，六月常見日，從秋分至春分，六月常不見日。」 見日為晝，不見日為夜。所謂一歲者，即北辰之下，一書一夜。《黃圖》畫者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉，使青圖在上不動，貫其極而轉之，即交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。內第一夏至，日道也；出第四春「秋分日道也。外第七，冬至日道也，皆隨黃道。日冬至在牽牛，春分在婁，夏至在東井，秋分在角，冬至從南而北，夏至從北而南，終而復始也。」
「凡為此圖，以丈為尺，以尺為寸，以寸為分，分一千里。」 凡用繒方八尺一寸，今用繒方四尺五分，分為二千 里。
方為《四極》之圖，盡「七衡」 之意。
呂氏曰：「凡四海之內，東西二萬八千里，南北二萬六 千里。」
呂氏，秦相呂不韋作《呂氏春秋》，此之義在《有始》第一篇，非周髀本文。《爾雅》云：「九夷、八狄、七戎、六蠻，謂之四海。」 言東西南北之數者，將以明車轍馬跡之所至。《河圖括地象》云：「而有君長之州九阻中國之文，德及而不治。」 又云：「八極之廣，東西二億二萬三千五百里，南北二億三萬三千五百里。」 《淮南子地形訓》云：「禹使大章步自東極至於西極，孺亥步自北極至於南極，而數皆然。」 或以廣闊，將焉可步矣？亦後學之徒未之或知也。夫言億者，十萬曰億也。
凡為日月運行之圓周。
「春秋分，冬夏至」 ，璿璣之運也。
七衡周而六間，以當六月節，六月為百八十二日八 分日之五。
節。六月者，從冬至至夏至日百八十二日八分日之五，為半歲。六月節者，謂中氣也，不盡其日也。此日周天，通四分一之，倍法四以除之，即得也。臣鸞曰：「求七衡，周而六間以當六月節，六月為一百八十二日八分日之五，此為半歲也。列周天三百六十五日四分日之一，通分內子得一千四百六十一為實。倍分母」 四為八，除實，得半歲一百八十二日八分日之五也。
「故日夏至在東井，極內衡；日冬至在牽牛，極外衡」也。
「《東井》《牽牛》」 ，為長短之限，內外之極也。
衡復更終《冬至》。
冬至，日從外衡還黃道一周年，復於故衡，終於冬至。
故曰：「一歲三百六十五日四分日之一。」一歲，一內極， 一外極。
從冬至一內極及一外極度，終於星月，窮於次，是為「一歲。」
三十日十六分日之七月，一外極，一內極。
欲分一歲為十二月，一衡間當一月，此舉中相去之日數。以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九，則過周天一日，而與月合宿。論其入內外之極，六歸粗通，未心得也。日光言內極，月光言外極，日陽從冬至起，月陰從夏至起，往來之始。《易》曰：「日往則月來，月往則日來。」 此之謂也。此數置一百八十二日八分日之五，通分內子五。以六間乘分母以除之，得三十。以三約法得十六，約餘得七。
臣鸞曰：「求三十日十六分日之七」 ，法列半歲一百八十二日八分日之五，通分內子得一千四百六十一，為實。以六間乘分母八，得四十八，除實得三十日，不盡二十一，更置法實求等數，平於三，即以約法得十六，約餘得七，即是從中氣相去三十日十六分日之七也。
是故一衡之間萬九千八百三十三里。三分里之一 即為百步。
此數夏至、冬至相去十一萬九千里，以六間除之，得矣。法與餘分皆半之。
臣鸞曰：「求一衡之間一萬九千八百三十三里三分里之一，法置冬至、夏至相去十一萬九千里，以六間除之，即得法與餘分，半之，得也。」
欲知次衡徑，倍而增內衡之徑。
倍一衡間數，以增內衡。
二之以「增內衡徑。」
二乘所倍一衡之間數，以增內衡徑，即得三衡徑。
次衡放此
次至皆如數
內一衡徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里，分 為三百六十五度。四分度之一度，得一千九百五十 四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三 十三。
通周天四分之一為法，又以四乘衡周為實。實如法得一百步，不滿法者十之，如法得十步，不滿法者十之，如法得一步，不滿者以法命之。至七衡皆如此。
臣鸞曰：求內衡度法：置夏至徑二十三萬八千里，以三乘之，得內外衡周七十一萬四千里。以周天分母四乘內衡周，得二百八十五萬六千里為實，以周天分一千四百六十一為法，除之得一千九百五十四里，不盡一千二百六，即而三之，為三千六百十八，以法除之得二百步，不盡六百九十六步上，十之，如法而得四十步，不盡一千一百一十六。復上十之，如法而一，得七步，不盡九百三十三，即是一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三。
次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步，周 八十三萬三千里，分里為度，度得二千二百八十里 百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。
通周天四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得里數，不滿者求步數，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第二衡法：列一衡間一萬九千八百三十三里少半里，倍之，得三萬九千六百六十六里太半里。增內衡徑二十三萬八千里，得第二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步」 ，是三分里之二。又以三乘之，步滿三百成一里，得二衡，周八十三萬三千里。以《周天》分母四乘周，得三百三十三萬二千為實。更置周天三百六十五度四分度之一，通分內子得一千四百六十一為法。除之得二千二百八十里。不盡九百二十，以三百乘之，得二十七萬六千，復以前法除之，得一百八十八步，不盡一千三百三十二，即是度得二千二百八十里一百八十八步一千四百六十一分步之一千三百三十二。
次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步，周 九十五萬二千里分為度，度得二千六百六里百三 十步千四百六十一分步之二百七十。
《通周天》四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得里數，不滿法者求步數，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第三衡法：列倍一衡間得三萬九千六百六十六里三分里之二，增第二衡徑二十七萬七千里六百六十六里二百步，即三分里之二，得第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步。」 以三乘徑、步，步滿三百成里，得周九十五萬二千里。又以分母四乘周，得三百八十萬八千為實。以周天分一千四百六十一為法。以除實得二千六百六里，不盡六百三十四，以三百乘之，以法除之，得一百三十步，不盡二百七十，即是度得二千六百六里一百三十步一千四百六十一分步之二百七十。
次四衡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里分 為度，度得二千九百三十二里七十一步千四百一 十分步之六百六十九。
《通周天》四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得里數，不滿法者求步數，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第四衡法：列倍一，衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，增第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步，步滿三百成里，得徑三十五萬七千里。以三乘之，得周一百七萬一千里；以分母乘之，得四百二十八萬四千里為實。」 以周天分一千四百六十一除之，得二千九百三十二里，不盡三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一步，不盡六百六十九，即是度得二千九百三十二里七十一步一千四百六十一分步之六百六十九。
次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步，周 一百一十九萬里分為度，度得三千二百五十八里 十二步千四百六十一分步之千六十八。
《通周天》四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得里數，不滿法者求步數，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第五衡法：列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，增第四衡徑三十五萬七千里，滿三百成里，得第五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步。」 以三分乘徑，得周一百一十九萬里。又以分母四乘周，得四百七十六萬為實。以周天分一千四百六十一為法，除之得三千二百五十八里。不盡六十二，以三百乘之，以法除之，得十二步，不盡一千六十八，即是度得三千二。
考證
百五十八里十二步、一千四百六十一分步之一千六十八。
次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步，周 一百三十萬九千里分為度，度得三千五百八十三 里二百五十四步千四百六十一分步之六。
通周天四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得一里。不滿法者求步，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第六衡法：列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，以增第五衡徑三十九萬六千六百六十六里一百步」 ，又三乘徑，得周一百三十萬九千里。又以分母四乘周，得五百二十三萬六千為實，以周天分一千四百六十一為法，除之得三千五百八十三里。不盡一千二百三十七，以三百乘之，以法除之，得二百五十四步，不盡，六即是度得三千五百八十三里二百五十四步一千四百六十一分步之六。
次七衡徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千 里分為度，得三千九百九里一百九十五步千四百 六十一分步之四百五。
《通周天》四分之一為法，四乘衡周為實。實如法得里數，不滿法者求步數，不盡者命分。
臣鸞曰：「求第七衡法：列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，增第六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步，得第七衡徑四十七萬六千里。」 以三乘之，得周一百四十二萬八千里；以分母四乘之，得五百七十一萬二千為實。以周天分一千四百六十一為法，除之得三千九百九里。不盡九百五十一，又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五步，不盡四百五，即是度得三千九百九里一百九十五步一千四百六十一分步之四百五。
其次曰冬至，所北照，過北衡十六萬七千里。
《冬至》十一月，日在牽牛，徑在北方，因其在北，故言「照過北衡。」
為徑八十一萬里。
倍所照增七衡徑
周二百四十三萬里。
三乘倍增七衡周
分為三百六十五度。四分度之一度，得六千六百五 十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百 二十七。過此而往者，未之或知。
過八十一萬里之外
《或知》者，或疑其可知，或疑其難知，此言上聖不學而 知之。
上聖者，智無不至，明無不見。《攷靈曜》曰：「微式出冥，唯審其形。」 此之謂也。
「故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日 晷長，夏至日晷短，日晷損益，寸差千里。」故「冬至、夏至 之日，南北遊十一萬九千里，四極徑八十一萬里，周 二百四十三萬里，分為度度，得六千六百五十二里 二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七」， 此度之相去也。
臣鸞曰：「求冬至日所北照十六萬七千里，并南北日光得三十三萬四千里。增冬至日道徑四十七萬六千里，得八十一萬里，三之，得周二百四十三萬。以《周天》分母四乘之，得九百七十二萬里為實，以周天分一千四百六十一為法，除之得六千六百五十二里，不盡一千四百二十八，以三百乘之，得四十三萬八」 千四百，復以法除之，得二百九十三步，不盡三百二十七，即是度得六千六百五十二里二百九十三步一千四百六十一分步之三百二十七。
其南北游日：六百五十一里一百八十二步、一千四 百六十一分步之七百九十八。
術曰：置十一萬九千里為實，以半歲一百八十二日 八分日之五為法。
半歲考，從外衡去內衡，以為法，除相去之數，得一日所行也。
而通之。
通之者，數不合齊，以法等得相通入以八乘也。
得九十五萬二千，為實。
通十一萬九千里
所得，一千四百六十一，為法，除之。
《通》百八十二日八分日之五也。
實如法得一里；不滿法者，三之，如法得百步。
一里三百步，當以三百乘而言之。三之者，不欲轉法，便以一位為百實，故從一位命為「百。」
不滿法者，十之，如法得十步。
上下用三百乘，故此十之便以位為十實，故從一位命為十。
不滿法者，十之，如法得一步
復「十之」 者。但以一位為實。故從一位命為一。
不滿法者，以法命之。
位盡於一步故以法命其餘分，為殘步。
臣鸞曰：「求南北游法：置冬至十一萬九千里，以半歲日分母八乘之，得九十五萬二千為實。通半歲一百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除得六百五十一里，不盡八百八十九，以三百乘之，得二十六萬六千七百，復以法除之，得一百八十二步，不盡七百九十八，即得日南北遊日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。」 。