欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第五十三卷目錄
曆法總部彙考五十三
新法曆書三〈恆星曆指二〉
曆法典第五十三卷
曆法總部彙考五十三
新法曆書三
恆星曆指二
《恆星本行》第一。〈凡五章。〉
前卷所借西史測星之法，為《恆星曆》之基本，此卷應 準前法，仍借舊測諸星經緯度立表，以待推算。然舊 測在萬曆十三、四年，今相去四十餘載，不復可用，宜 作新表。又須先明新舊所以異同之故，不得不論其 本行次，乃定時下各星之經緯度表。
恆星本行之徵
七政之運行也，時相會，時相對。其與恆星也，時相近， 時相遠，其本曜之光，時消時長。
「月有晦朔弦朢。」 《近論》太白、辰星、熒惑皆有之。
「其東西出沒於卯酉也。時南時北，其過子午圈也，時 高時下，人目所見，變動不居。故從古迄今，人人知其 自有運動，因生各曜推步之法，無可疑者。若恆星則 無先相會後相望，無先相近後相遠，其光不消不長， 其東西出沒，其過子午圈，雖百數十年，無從覺其有 差，安知其有本運動乎？」夫恆星移運，非一世之事，前 古曆家既已測其定度，欲更得其轉移之數，必百年 數十年，誰能待之？是故一人之身，絕無能覺之緣也。 後來學者，傳受先賢所測度數，復身試測之，往往見 其不合。先人所見與四節相近者，後人測之漸遠，又 後之人測之又漸遠，從是推知恆星有本行之實，度 分及其移易之所以然也。如角宿大「星，《古地末恰》」於 周赧王二十年丙寅測得其經度，在秋分前鶉尾宮 二十二度。後。多祿某於漢順帝永和三年戊寅測在 鶉尾宮二十七度後。《泥谷老》於嘉靖四年乙酉測得 過秋分，在壽星宮一十七度。後。第谷於萬曆十三年 乙酉測在壽星宮一十八度。軒轅星亦如之，周赧王 丙寅在鶉首宮二十七度。漢永和戊寅，在鶉火宮三 度二十分。今測在鶉火宮二十四度四十分。餘星皆 如之。是以帝堯之世，日中星鳥謂春分，則初昏時鶉 火中也。而周末在井，今在參矣。堯時冬至，日在虛；漢、 唐在斗，今在箕矣。非其自有本行，安得冬至宿虛離 而西，鳥離子午而東乎？
恆星本行之極
七政本行，以黃道為道，以黃道極為極，終古恆然。何 繇知之？葢人目所見，出沒於地平之卯酉，南北不一； 過午之高度，多寡不一。又有時離赤道而南，有時復 還於赤道之北。以此知其行，必非循赤道行；以此知 其極，必非宗赤道極也。然七政之循黃道，或浹旬可 得，或周歲可得；恆星之循黃道，必上下古今，然後可 得。何者？上古有測，中古有測，今時有測，乃恆星出沒 地平之處，今非中古之處，中古非上古之處，其遇午 之軌高亦然。而恆移不定者，赤道之距度；恆定不移 者，黃道之距度也。以此推知，其循黃道行，宗黃道極， 與七政同理，灼然無疑矣。更徵實論之，凡恆星距赤 道之度，從星紀迄鶉首，則在赤道之南者，必古多而 今漸少；在赤道之北者，必古少而今漸多，不似七政 之行從冬至逾春分，而夏至自南趨北乎？從鶉首迄 星紀，則在赤道之南者，必古少而今漸多；在赤道之 北者，必古多而今漸少，不似七政之行從夏至逾秋 分，而冬至自北趨南乎？如外屏第二星，堯時在赤道 南一十二度，彊因此時入娵訾宮，故距度漸減至多 祿某，尚在南○二度四十九分，後漸過赤道以北，今 北距五度矣。井宿距星，堯時在赤道北一十四度弱， 因入實沈宮，故距度漸加至多祿某，得二十度，正今 北距二十三度，與夏至圈相近也。又軒轅大星，堯時 距赤道北二十四度，因入鶉火宮，故距度漸減至多 祿某，得一十九度三十○分，今止一十三度三十○ 分。角宿大星，堯時距赤道北十○度，因入鶉尾宮，故 距度漸減，以至於盡，盡而復加，至《多祿》某，過赤道距 南三十○分，而今漸遠，距南得○九度一十○分。以 此三四星為徵，餘者盡然，知其不隨赤道而循黃道 行，宗黃道極也。且七政皆右行，而恆星亦右行，以此 推之，尤著明矣。
恆星本行古測
多祿某見恆星距赤游移不一，先以上古所測星之 赤道距度、黃道距度及其兩道相距度，依三角形法 測得其黃道經度，後以自測之赤道距度，如前求所當之黃道經度，以兩距時之經度差，得中積之本行， 假如地末恰在其前。四百三十二年所測角宿大星， 距赤道北一度二十四分，距黃道南二度，正此時之 兩道相距，為二十三度五十一分。因推其黃道經度， 在鶉尾宮二十二度二十○分後，自測其黃道距度， 已過赤道而南三十○分。其黃道距度及兩道相距 如前，因得本星黃道經度，在鶉尾宮二十六度三十 八分。以較地末恰所測，差四度一十八分。以四百三 十二年分之，約得一百餘年而行一度。此《多祿》某所 定為恆星本行也。
泥谷老後多祿某一千三百八十六年。又以《時史》所 記恆星距赤道度及所自測，以推其本行漸次成速。 蓋從多祿某至巴德倪七百四十一年，共得本行一 十一度二十六分，為六十五年而一度。又六百四十 五年至見測時行九度一十一分，是為六十一年而 一度。以是論恆星之本行有遲速，初無恆度可為常 定不易之法也。因立為遲疾加減法。今略解之云：凡 恆星去離四節有兩說。或云恆星離四節，〈二分二至〉而右。
圖
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行每六七十年進一度或四節離恆星而左行每六七十年退一度其理則同此所用者左行而退度也如圖甲戊子大圓為黃道甲為天元春分古時合於婁宿南星後來春分去離天元甲而積漸西移以至於戊乃其行遲疾不一故
推步之法，以從甲至戊之本行為春分去天元之平 行，以戊為心，作午子、己小平面圈，貼合於圓球面上， 以子未全徑指量平行與視行。〈視行即實行也〉之差度。其癸 己辛邊上，為自行度，立加減法。若在己未午半圈，則 減於甲戊之平行，以得其實行；若在午子己半圈，即 加於甲戊之平行，以得實行也。依此，所求有三：一求 春分節，戊隨時去離天元甲若干為平行；二求小圈 之最遠，己隨時向辛未行若干為自行；三求子未小 圈半徑內加減度所當小圈邊之自行度，即顯恆星 實本行之度也。
恆星本行今測
從古曆家既知恆星自有本行，後相去二千餘年，其 所行度尚未及周天十二分之一。〈三十○度〉「其遲如此，乃 欲藉此推測全周，欲定其運行體勢，歷歲多寡，譬如 隙中窺豹，所見一班，而遽欲概其全體，何從取證乎？ 故古來諸家所定，或六十年，或七八十年，或百年，而 行一度，各不相合。若於諸家所定長短不齊之中立 為別法，又甚繁而未必是也。」苐谷精思累年，用前賢 之成法，展轉參訂，始信恆星運動常是「平行。雖從前 諸測，不無差殊，究所從來，各有因起，窮極理勢，終歸 一致。」其說：先以泥谷老所測角宿距星試之，於正德 九年甲戌，測得赤道南距八度三十六分。《苐谷》疑前 測地面，其北極出地高度尚非真率，使人用大器密 測，實得彼所用高度，尚差二分四十五秒。因辨角距 星距度中宜減二分四「十五秒，為北極不及之度。」又 以所自測本星之黃道南距一度五十九分及此時 之兩道相距二十三度三十一分三十○秒，依前卷 三《角形法》，改泥谷老時所測黃道經應，得過秋分一 十七度○三分三十○秒。又自於萬曆甲申年測算， 得十八度○三分。兩測時相距七十年，而角南星行 五十九分三十○秒，即一年得五十一秒，為恆星本 行之恆數也。
又疑「七十年時日太少，不足以推驗《全周》。」再引係巴 科於漢武帝元朔六年戊午所測軒轅大星，在鶉首 宮二十九度五十○分，至自測時逾一千七百一十 三年，乃在鶉火宮二十四度○五分，即所行二十四 度一十五分。以距年而一，亦得五十一秒，為一年之 本行。凡七十年，又七閱月而行一度，可為定率矣。 又因此距太遠，復引巴德倪在係巴科後一千○六 年，為唐僖宗中和四年甲辰所測軒轅大星，得其黃 道經度，在鶉火宮一十四度○五分，比元朔戊午贏 一十四度一十五分，迄苐谷時，越七百○五年而差 一十度。正究其比例，又得五十一秒，為一年之本行。 且無遲速。若茲參伍，知千年數百年，此率猶當未變 也。
或問「前言古名曆若地末，恰若多祿，某各有測驗，苐 谷時曷不用此二家之說，並加參伍乎？」曰：「依地末恰 多」、祿某測法，即二家所得本行先自不合，用之參伍， 將何從而可乎？試簡彼兩測角距星，地末恰測在鶉 尾宮二十二度二十○分，越一千八百七十九年而 苐谷測得經度東行二十五度四十三分，即一年平 行僅得四十九秒一十五微。多祿某測在鶉尾宮二 十六度四十○分，越一千四百四十六年而《苐谷》測 得東行二十一度二十三分，即一年平行五十三秒一十五微，何從而可乎？若損其有餘，補其不足，亦宜 以五十一秒為正，何況有係、巴科、巴德倪《苐谷》三，測 數並較，並無乖舛，安得舍此之密合，而從彼之紛紜 哉。
又問：「古者測驗，何故多有不合，而今所當用，全屬苐 谷之新法乎？」曰：「苐谷測星，非得其分秒不用，非三四 器三四人同時並測，而所並得在一分以內不用，故 其法為獨密也。古法寬疏，或儀器未善，或未覺知天 行變易之詳，所測度數，差在數分之內，自謂足矣，安 得如新法之精乎？又，苐谷于恆星一一測候，皆躬親」 為之，又苦心數十年，乃得就此。若古測不能遍及諸 星，又皆遠借係巴科所遺之經緯度表，加以後來行 度，率爾立法，未如苐谷之實測實見，確有據依，可以 信今傳後也。若泥谷老所立恒星測法，設平行自行， 以遲疾加減求得實行，當其時誠為密合。今以測星 法細考之，已覺稍遠，將來愈久愈遠，後有作者。當自 得之。不待繁稱也。
恆星本行表
因列宿本行恒平分無遲速，可用加減法，於《曆元》以 前、曆元以後時時，推得黃道經度所在也。若因黃道 距度稍有變易，恒星本行亦當小差。此在數百載之 後，隨時測定，若經度分，即數百年後亦當未變。況《苐 谷》所測，近在四十年間，今借用之，豈非�河汲水甚 易，而實是乎？
崇禎元年戊辰，為《曆元》。下推應加，上推應減。〈分秒法俱是六 十〉
加。〈每年五十一秒。〉減。〈同上〉 加。〈同上〉減。〈同上〉 加。〈同上〉減。〈同上〉
戊辰。〈分○○秒○○〉戊辰 丁丑。〈○七三九〉己未 丙戌。〈一五一八〉庚戌 己巳。〈分○○秒五一〉丁卯 戊寅。〈○八三○〉戊午 丁亥。〈一六○九〉己酉 庚午。〈分○一秒四二〉丙寅 己卯。〈○九二一〉丁巳 戊子。〈七○○〉戊申 辛未。〈分○二秒三三〉乙丑 庚辰。〈一○一二〉丙辰 己丑。〈一七五一〉丁未 壬申。〈分○三秒二四〉甲子 辛巳。〈一一○三〉乙卯 庚寅。〈一八四二〉丙午 癸酉。〈分○四秒一五〉癸亥 壬午。〈一一五四〉甲寅 辛卯。〈一九三三〉乙巳 甲戌。〈分○五秒○六〉壬戌 癸未。〈一二四五〉癸丑 壬辰。〈二○二四〉甲辰 乙亥。〈分○五秒五七〉辛酉 甲申。〈一三三六〉壬子 癸巳。〈二一一五〉癸卯 丙子。〈分○六秒四八〉庚申 乙酉。〈一四二七〉辛亥 甲午。〈二二○六〉壬寅。
加。〈每年五十一秒。〉減。〈同上〉 加。〈同上〉減。〈同上〉 加。〈同上〉減。〈同上〉
乙未。〈分二二秒五七〉辛丑 庚戌。〈三五四二〉丙戌 乙丑。〈四八二七〉辛未 丙申。〈分二三秒四八〉庚子 辛亥。〈三六三三〉乙酉 丙寅。〈四九一八〉庚午 丁酉。〈分二四秒三九〉己亥 壬子。〈三七二四〉甲申 丁卯。〈五○○九〉己巳 戊戌。〈分二五秒三○〉戊戌 癸丑。〈三八一五〉癸未 戊辰。〈五一○○〉戊辰 己亥。〈分二六秒二一〉丁酉 甲寅。〈三九○六〉壬午 己巳。〈五一五一〉丁卯 庚子。〈分二七秒一二〉丙申 乙卯。〈三九五七〉辛巳 庚午。〈五二四二〉丙寅 辛丑。〈分二八秒○三〉乙未 丙辰。〈四○四八〉庚辰 辛未。〈五三三三〉乙丑 壬寅。〈分二八秒五四〉甲午 丁巳。〈四一三九〉己卯 壬申。〈五四二四〉甲子 癸卯。〈分二九秒四五〉癸巳 戊午。〈四二三○〉戊寅 癸酉。〈五五一五〉癸亥 甲辰。〈分三○秒三六〉壬辰 己未。〈四三二一〉丁丑 甲戌。〈五六○六〉壬戌 乙巳。〈分三一秒二七〉辛卯 庚申。〈四四一二〉丙子 乙亥。〈五六五七〉辛酉 丙午。〈分三二秒一八〉庚寅 辛酉。〈四五○三〉乙亥 丙子。〈五七四八〉庚申 丁未。〈分三三秒○九〉己丑 壬戌。〈四五五四〉甲戌 丁丑。〈五八三九〉己未 戊申。〈分三四秒○○〉戊子 癸亥。〈四六四五〉癸酉 戊寅。〈五九三○〉戊午 己酉。〈分三四秒五一〉丁亥 甲子。〈四七三六〉壬申 己卯。〈一度○○二一〉丁巳， 以日周三百六十五度四分度之一，推恒星積歲本 行列表如左，分秒、微纖法俱一百。
年 分 秒 微 纖 年 度 分 秒 微 纖： 「一 一 四十三、 七十三、 二十六、 八十 一、 一十四、 九十八、 六十一、 一十一、 二 二、 八十七、 四十六、 五十二、 九十 一、 二十九、 三十五、 九十三、 七十五 三 四、 三十一、 一十九、 七十八 一百 一、 四十三、 七十三、 二十六、 三十九 四 五、 七十四、 九十三 ○六、 二百 二、 八十七、 四十六、 五十二、 七十八、 五 七、 一十八、 六十六， 三十二， 三百 四， 三十一， 一十九， 七十九， 一十七， 六 八， 六十二， 三十九， 五十八， 四百 五， 七十四， 九十三 ○五 ；五十六， 七 十 ○六， 一十二、 八十五， 五百 七， 一十八， 六十六， 三十一， 九十四， 八 十一， 四十九， 八十六， 一十一， 六百 八， 六十二， 三十九， 五十八， 三十三， 九 十二， 九十三， 五十九， 三十八， 七百 一十 ○六， 一十二」， 八十四， 七十二 十 十四， 三十七， 三十二， 六十四， 八百 一十一， 四十九， 八十六， 一十一， 一十一， 二十， 二十八， 七十四， 六十五， 二十八， 九百 一十二， 九十三， 五十九， 三十七， 五十， 三十 四十三， 一十一， 九十七， 九十二， 一千 一十四， 三十七， 三十二， 六十三， 八十九， 四十 五十七， 四十九， 三十 五十六， 二千 二十八， 七十四， 六十五， 二十七， 七十八， 五十， 七十一， 八十六， 六十三， 一十九， 三千 四十三， 一十一， 九十七， 九十一， 六十七， 六十 八十六， 二十三， 九十五， 八十三， 四千 五十七， 四十九， 三十 五十五， 五十六， 七十 一度○， 六十一， 二十八， 四十七， 五千 七十一， 八十六， 六十三， 一十九， 四十四。
《歲差》第二。〈凡一章。〉
歲之有差，亦多故矣。一因太陽最高行度，一因太陽 本圈心去離地心漸次不等，此二者為自差之根。或 因測驗未合，或因北極出地之高度未真，此二者為 偶差之根。若無此四緣，即太陽所成歲周，終古若一， 何難之有哉？然而太陽最高地心去離，皆緣古今測 候，灼然無爽，故當依彼自差，創意立法。若恒星行度 參錯短長，既未能確見其所；�而平行一法，又千數 百年來的有可據，則短長之因，亦宜斷歸於偶差而 已，何必強定為自差，揣摩臆度，定為參差之法？并向下諸天亦與之為參差，牽率天行，憖從彼管窺未定 之說耶？今依實測實理，則恆星經歲之間，其東行實 得三百六十五日二十四刻○九分二十六秒四十 三微，常有定率，絕無多寡，以較日躔定用歲實。實贏 一刻五分四十二秒。以變經度，得五十一秒，為恆星 周歲。離四節而東行之經度。
恆星歲實
古今定歲實之法有二：一為「星歲」，恆星行周歲而復 於故處是也；一為「節歲」，日行周歲而復於故處是也。 近古曆家專用節歲者多矣。泥谷老於正德年間欲 復用星歲，其說引恆星之歲實三：一上古之實，為三 百六十五日二十四刻一十一分；其一中古之實，為 三百六十五日二十四刻○九分一十二秒。又自行 測「驗，約略改定為三百六十五日二十四刻○九分 四十○秒。以先後三率較之，所差僅一分四十八秒， 以為密親。」又用古今所測節歲相較，二千年以來有 差至八九分者，以為疏遠。此其復用星歲之本意也。 然苐谷更密考之，并恆星歲實所得日數亦復小異。 其法取多祿某所測太陽及恆星度分，以較所自測 度分，又除去最高差，不同心差，專求太陽從婁西星 平行之度。
上古春分節密合於婁西星後，節漸違星而西，星漸違節而東。推步者從天元春分以迄婁西，定為若干度分，是名「歲差根」 也。
自「多祿某以迄自測，得兩距之中積度分，用中積歲 而一為每年之歲實也。」按多祿某於漢順帝永和三 年戊寅測得天正秋分《苐谷》於萬曆十六年戊子亦 如之。次加兩測地之東西差。
兩測地有東西差，即中積歲之率，有多有寡。加之者，令兩測之中積歲等。
得中積距，一千四百五十五年三百五十三日五十 九刻一十○分。依此查太陽平行，得若干周，如左。 《多祿》某測太陽在秋分節，其最高在實沉宮五度三 十分，其本圈心距地心之度為六十○分，本圈半徑 之二分二十九秒三十○微。如左圖甲為最高，丙為 最高心，戊為地心，甲乙為太陽離最高之弧弧之對。
圖
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甲戊乙與丙戊乙同角則乙丙戊三角形內有乙丙為本圈之半徑有丙戊為本圈心離地心之遠有丙戊乙角對太陽去最高之遠可推得丙乙戊角為中處〈日平行所至〉與實數。
以見測視行依法加減訖即實行
之差，因在夏後冬前，宜以「中實差」加於實處。
若冬後夏前，則以減於實處。
即太陽實處改為「中處」，而離春分得六宮○二度一 十○分。當時歲差根止六度三十六分。
因此時測得角距星距赤道三十○分。推得其黃道經度，距春分為一百七十六度三十六分，內減角距婁西之本距一百七十○度，正餘六度三十六分，為此時之歲差根。
以減太陽距節平行度六宮○二度一十○分，得太。
圖
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陽距婁西星平行度五宮二十五度三十四分為陽嘉元年壬申之太陽平行根
後苐谷亦測太陽在秋分此時最高移至鶉首宮五度三十○分如圖甲為最高丙為太陽本圈心戊為地心二心之距丙戊為六十○分本圈半徑之二分○九秒乙為太陽之實處
圖
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見測之數已經加減訖
距最高八十四度三十○分所對甲戊乙與丙戊乙同角即乙丙戊三角形內有乙丙丙戊兩邊有戊角可推丙乙戊角為中處與實處之差得二度○二分
三十○秒。以加實處，得中處六宮○二度○二分三 十○秒，為太陽距春分之平行度也。內減此時之歲 差根二十八度○五分三十○秒，得太陽去離婁西 星平行五宮○三度五十七分。以較前多祿某所測， 五宮二十五度三十四分所差二十一度三十七分， 為太陽中積年間之平行。以恆星之中積度分，推太 陽之右旋，得一千四百五十五周三百三十八度二 十三分。以四率比例，推得日行度五十九分○八秒 一十一微二十七纖一十四芒二十六末五十四塵一年行一十一宮二十九度四十四分四十九秒四 十○微四十二纖五十三芒三十八末三十○塵，為 恆星歲實。較《泥谷老》所定，實少一十三秒一十六微 三十○纖。變時得三百六十五日二十四刻○九分 二十六秒四十三微三十○纖。自《多祿某》以來至於 今，恒如是。
問：「星歲無差而有定算，如此何近古曆家不復用之？」 曰：「欲立歲限，以定處為主。節歲於躔道有定處，於四 節有定處，於天氣寒暑有定處。若星歲雖有定算而 無定限，隨恆星右旋，若隨火木土而已，以此較彼，將 孰愈也？其餘尚有他故，《曆指》詳之。」
《恆星變易度》第三。〈凡三章。〉
向言「恆星有本行」，足明其黃道經度日日變遷，且有 定率矣。若用此以推赤道經緯度，及黃道緯度可否 移易，及其經度差互相近、互相遠，俱未及詳也。今論 次如左：
《恆星赤道經緯度變易》。
定恆星向赤道之度，必從赤道起算，右行則為經度， 而去離南北則距度也。若從赤道兩極出大圈，過春 分，名「極分交圈」，乃為界首經度所始。而星居其上者， 不論在赤道之或南或北，皆無經度分，因在初度初 分故也。一離此圈，不論左右遠近，皆名「正升度之圈。」
是從黃道上行，而與赤道同出地平、同入地平者，名「升度圈」 ；其在正球處名「正升」 ，在欹球處名「斜升。」 然止論赤道度，則皆用正升。
乃以限赤道之經度，容赤道之緯度也。又赤道大圈 為南北距度所始，星居其上，則無緯度，一離此圈，不 論南北遠近，乃至兩極，皆名「距等圈。」〈或云赤道緯圈〉「乃以限 赤道之緯度，容赤道之經度也。」但赤道既斜交於黃 道，而恆星依黃道有本行，必與赤道緯圈皆以斜角 相交相過，即星雖在赤道緯圈上得限距度，而以迤 行，故即黃赤兩距圈每相違遠矣。故星之升度圈，能 得黃、赤經度合一不離者獨有二：一為同在極至交 圈，一為同在兩道交之兩點。自此而外，更不可得。雖 行黃道經度均平如一，其行赤道經度時時變動。所 以然者，赤道之升度圈與黃道極所出圈相遇有疏。
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有密隨在不等故也如圖赤道極乙所出升度圈乙午乙子乙癸等黃道極甲所出圈甲庚未甲丑未等若星在黃道緯之丙己圈行近於黃道即黃赤兩極所出兩圈相去略等其經度或赤道或黃道東行亦略等若星距黃道遠在戊
丁圈從戊至庚，設一十五度，即星歷黃道經圈若干 時得戊庚十五度而歷赤道升度圈亦若干時，所過 乙壬乙癸。〈各十五度〉將及乙甲，幾四十度矣。所以然者，甲 庚未弧限黃道經度至戊庚已稍寬，而乙壬、乙癸等 弧限赤道經度至此尚密，所以星行歷黃道經度少、 歷赤道經度多也。又使有星在黃道緯之辛丁圈上 行，即乙午、乙子等弧限赤道經度者反寬，而甲辛未 等弧限黃道者反密，則星行時所歷黃道經度反多， 歷赤道經度反寡矣。總言之，為星行二道之經度。恆。
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自不等
再論星歷赤道緯度亦常不等如圖甲為星在赤道南二十三度三十○分若行一周必至分節乙即無距度然隨黃道行必過赤道而北極遠處又在北二十三度三十○分矣又丙為星行一周即離赤道圈
丙，漸至己，行愈遠，去赤道亦愈遠，至丁必離四十七 度。若更在戊，距赤道丙己向北二十○度，過庚行愈 遠，距亦愈遠，至壬為本圈距赤最遠之界，更加二十 ○度，總為六十七度矣。餘皆倣此。蓋左邊距赤之度， 每多於右邊距赤之度，如庚之距乙多於戊之距丙 也。至北極癸即左滿九十度，若過極即周行皆在癸 丙九十度間，戊辛之間加一度，即癸辛之間減一度。 〈減者減癸丙九十度也〉若至黃道極辛，即其距度終古不易矣。
二十八宿，各宿度變易。
或問：「二十八宿有次第。蓋日月五星，各以本行，先歷 角宿，至亢至氐、房、心等，古昔如此，今世不然，所見先 入參度而後過觜度，自餘不覺者，宿度寬也。其實皆 有之，何故？」曰：「二十八宿不以赤道極為本行之極，而 以黃道極為極，故其行度時近時遠，於赤道極。行漸 近，極即北極所出赤道經圈漸密，七政過之，其行則 疾；漸遠極」，即《赤道經》圈漸疏。「七政過之，其行則遲。」七 政行度疾於恆星遠甚，其逐及於近極之恆星，在古 覺速，在今覺遲；其逐及於遠極之恆星，在古覺遲，在
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今覺速皆緣二道二極能使其然非七政有異行亦非恆星有易位也
如圖赤道南北極甲上所出各圈相去皆設一十度黃道兩極乙上所出各圈亦如之有星為丁即限其赤道經度者為甲丁癸圈而星卻不依赤道行乃依
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黃道自丁向戊行約每七百年行一十度也又一星為己原設在丁前一十度其限赤度者為甲己子圈而所行亦依黃道自己向庚七百年十度因是己星依黃道至壬時丁星亦依黃道至辛己壬以黃道筭得十經度而丁辛亦正對
寅卯，為黃道之十經度也。然以赤道算之，則黃己壬 所對赤子丑一十度之弧，而黃丁辛所對，不止赤癸 子一十度之弧，更過赤道子而近丑，將及二十度，即 丁星先在己星之後十度，而漸向前行，至逐及於甲 丑圈上，即兩星同經度矣。過丑則丁反在前矣。假令 日循黃道，亦於丁戊線上行，何得不於七百載之先， 至卯入丁宿度前距己未及數度，而七百載之後乃 至壬並入丁己二宿同經之度乎？此非行有疾遲，皆 因度有廣狹故也。度之所以廣狹者，分宿度以赤道 所出經圈為限，而步《七政》以黃道所出經圈為限也。 但此設丁己二星，一近北極，一近黃道，相去稍遠者， 欲令此理灼然易見，若設兩星距度不遠，即不必七 百年能超踰十度，或進一二度，亦此理耳。若古時七 政所歷，先後不相越者，正當黃赤二度，廣狹相等故 也。
考赤道宿度差
《中曆》，古分宿度以相并，或不成一周天。今用之不合 天度，因自《授時》以來，如上所說宿度變易故也。法宜 先求今之實宿度，以究極古今異同之故，仍立法以 求古之實宿度。如堯時冬至，相傳日在虛七度，或在 初分，或在末分，皆不可知。今折中設在六度三十○ 分，即所用虛宿距星，定在析木宮二十三度三十○ 分，為「其赤道經度」，則其距黃道之緯度必八度四十 二分。以此經緯度依三角形法，推其黃道經度，所得 與赤道經度不遠，亦在本宮二十三度三十八分。所 以然者，兩星之黃道經度差，終古不易。依諸距星，今 相離黃道經度，可以定古黃道各宿度，而更以黃道 經緯度覆求各距星之赤道經度及各宿本度也。其 術俱用三角形法。
古赤道積宿度：〈今筭定。〉
角，一百四十六度三十一分。〈春分起算〉
《亢》，一百五十九度○五分；
氐，一百六十八度四十四分；
「房」，一百八十一度四十五分。
《心》，一百八十七度二十五分。
「尾」，一百八十九度二十○分；
箕二百○七度○五分；
《斗》，二百一十七度二十七分。
牛，二百四十二度四十六分。
「女」，二百五十○度十○分。
虛二百六十三度三十○分。
《危》二百七十二度三十七分；
《室》，二百九十一度二十四分；
《壁》，三百○七度二十四分；
《奎》，三百一十九度五十三分；
《婁》，三百三十三度四十六分；
「胃」，三百四十四度二十○分。
「昴」，三百五十九度二十二分；
「畢」，一十○度二十二分。
《觜》，二十八度二十五分；
參：二十○度五十五分。
《井》，三十五度一十七分；
「鬼」，六十五度○八分。
《柳》，七十二度三十三分；
星：八十八度五十四分；
「張」，九十六度二十四分；
《翼》，一百一十三度○三分。
《軫》，一百三十○度○二分；
今赤道積宿度
角，一百九十六度二十六分。
《亢》，二百○八度一十○分；
氐，二百一十七度二十九分；
房，二百三十四度一十○分心，二百三十九度三十八分。
「尾」，二百四十五度四十七分。
箕，二百六十五度○五分；
《斗》，二百七十五度三十九分。
牛三百○○度○三分。
《女》，三百○六度五十三分。
《虛》三百一十八度○○分。
《危》三百二十六度四十一分；
《室》，三百四十一度三十四分；
《壁》，三百五十八度三十四分。
「奎」，六度五十七分；
《婁》，二十三度三十二分；
「胃」，三十五度三十六分。
「昴」，五十○度十六分；
「畢」，六十一度四十五分。
參：七十八度二十九分。
《觜》，七十八度四十三分。
《井》九十度○七分；
鬼：一百二十二度二十一分。
「柳」，一百二十四度三十○分。
星：一百三十七度二十一分；
「張」，一百四十三度○九分；
《翼》，一百六十○度二十八分。
《軫》，一百七十九度○六分；
赤道古各宿度 ，今各宿度。
角，十二度三十四分， 十一度四十四分。
亢，九度三十九分。 九度十九分。
氐，十三度○一分。 十六度四十一分。
「房」，五度四十○分。 五度二十八分。
《心》，一度五十五分。 六度九分。
尾，十七度四十五分， 一十九度一十八分。 箕，十○度二十二分， 十○度三十四分。
斗，二十五度十九分， 二十四度二十四分。 牛，七度二十四分， 六度五十○分。
女，十三度二十二分。 十一度○七分。
虛，九度○七分。 八度四十一分。
《危》，十八度四十七分。 十四度五十三分。
《室》，十六度○○。 十七度○○。
《壁》，十二度二十九分。 八度二十三分。
奎，十三度五十三分。 十六度三十五分。
《婁》，十○度三十四分。 十二度○四分。
胃，十五度○二分。 十四度三十○分。
「昴」，十一度○○ 十一度二十九分。
畢，十八度○三分。 十六度三十四分。
《觜》，二度三十○分。 參○度二十四分。
參，四度二十二分。 觜，十一度二十四分。
井，二十九度五十一分， 三十二度四十九分。 鬼，七度二十五分， 二度○九分。
《柳》，十六度二十一分。 十二度五十一分。
星，七度三十○分， 五度四十八分。
張，十六度三十九分。 十七度一十九分。
《翼》，十六度五十九分， 一十八度三十八分。 軫，十六度二十九分， 十七度二十分。
赤道，古今各宿度。〈「依」 三百六十五度四分度之一算。〉
角，十一度九十○分四十四秒。
《亢》，九度四十五分二十六秒；
《氐》，十六度九十二分六十六秒；
《房》，五度五十四分六十四秒。
《心》，六度二十三分九十七秒。
「尾」，十九度三十○分○秒；
箕，十度五十六分六十六秒。
《斗》，二十四度七十五分五十八秒。
牛，六度九十三分六十一秒。
《女》，十一度二十七分五十七秒。
《虛》八度八十一分○秒。
危，十五度十○分四秒；
《室》，十七度二十四分七十九秒。
《壁》，八度四十四分五十六秒。
《奎》，十六度八十一分六十三秒。
《婁》，十二度二十四分二十六秒；
「胃」，十四度七十○分五十八秒。
「昴」，十一度八十一分○二秒；
《畢》，十六度八十○分八十二秒。
〈古觜今參〉○度，四十○分○秒。
〈古參今觜〉十一度五十六分○二秒。
《井》，三十三度二十九分五十三秒。
「鬼」，二度一十五分○秒。
《柳》，十二度八十五分○秒。
「星」，五度八十八分四十六秒。
「張」，十七度五十六分，九十二秒。
《翼》，十八度六十三分三十三秒軫，十七度三十三分三十三秒。
《恆星黃道經緯度變易》第四。〈凡三章。〉
前論「赤道星度，設大圈過南北兩極及赤道上，以定 諸星赤道經度。又赤道左右設不等小圈至兩極，橫 割子午圈以定赤道緯度。」今論黃道以定其經緯度， 亦如之，但不從赤道南北極論，而以黃道南北極論。 一切行度及行度之有變易，皆主此。今論其緯度變 易與否，及其經度差，與諸星相近相遠，以盡黃道星 度之理。
《恆星黃道緯度變易》。
苐谷「測星數十年，得其黃緯度以較多。祿某所記微 不合。且極至交圈側近之星，比於極分交圈側近之 星，其緯度所差尤多。反覆研究，以古黃經度及赤緯 度究其所當黃緯度，明其實然。又欲定諸星之古時 經度，宜得一起算之界，故先求角宿距星經度。」
此為「近於極分交圈者，其黃赤距當不易。」
依前三角形法求其緯度。按地末恰所測角距星，距 赤道北一度二十四分，係巴科所測，止距三十六分。 後多祿某測得其距度，在赤道南三十○分。其黃道 南距度，因此時離秋節不遠，故恆為二度不變。因推 得黃經度於地《末恰》時，在鶉尾二十一度五十三分 後，係巴科時在本宮二十三度五十三分。多祿某時 至二十六度三十八分，繇是以角南為距星，先測近 二至之星試之，然後以測分至兩間之星，各得其緯 度分，知諸星之距黃緯度漸近，二至漸有變易焉。非 星位之有變易也，而黃道之時遠時近於赤道也。 北河西星距角距星之黃經差九十三度三十五分。
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而在左
此為近於極至交圈可驗黃赤距度變易之數
地末恰時其經度在實沈宮一十八度一十八分與夏至近其赤道距度三十三度止後係巴科時稍前在本宮二十○度一十八分赤距度三十三度一十
○分，又多祿某時更前在二十三度○三分，而赤緯 度三十三度二十四分，因是可求其黃緯度，各時所 當焉。如圖外圈為極至交圈，甲丙為赤道，甲乙為黃 道，丁為北河西星，甲己為黃經度，庚己為過黃道極 及本星之弧。其赤道緯度，三史所測，皆設為丁戊，今 所求為丁己黃道距度也。丁辛庚三角形，內有丁辛 邊，為本星距赤道戊丁之餘弧。
在地末恰時為五十七度，蓋三十三度之餘也。
有「庚辛邊。」
黃赤二道最遠之距，於時為二十三度五十一分二十○秒。
有「辛庚丁角」，
甲己《黃經》七十八度一十八分，餘己乙一十一度四十二分，為辛庚丁角之弧。
以求庚丁第三邊，得其餘弧，即本星之黃緯度。丁《己 法》從辛至壬下垂線成兩直角形，一為壬辛庚，一為 壬辛丁，先壬辛庚內有庚辛邊，有庚角，有壬直角。以 求壬辛邊，得四度四十二分一十五秒。又求壬庚得。
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二十三度二十五分次壬辛丁內有壬直角有壬辛辛丁二邊以求壬丁邊得五十六度五十二分十五秒以井先得之壬庚邊共八十○度一十七分一十五秒為丁庚邊是黃道緯度丁己之餘弧即當時北河西星離黃道極庚之度
其餘「九度四十二分四十五秒，為本星距黃道之度。」 依係巴科所測赤緯度如前。其丁辛邊，則五十六度 五十○分。〈三十三度一十○分之餘〉兩極相距，辛庚仍前，二十三 度五十一分二十○秒，辛庚丁角九度四十二分。
《黃經》「甲己」 ，八十○度一十八分之餘。
推壬辛邊三度五十四分三十○秒，壬庚二十三度 三十三分，壬丁五十六度四十四分四十五秒，并得 丁庚八十度一十八分，即北河西星黃道之北，距丁 己九度四十二分。
依多祿某所測，其兩極距如前。本星赤道緯三十三 度二十四分，即丁辛邊為五十六度三十六分。《黃道 經》八十三度○三分，即辛庚丁角六度五十七分。以 推壬辛邊，得二度四十八分二十○秒，壬庚二十三 度四十二分，以加壬丁五十六度三十三分一十五 秒，并得黃緯之餘弧，庚丁八十○度一十五分一十 五秒。其緯度稍強於前兩測為九度四十四分四十 五秒，總《三史》所推，折中為九度四十三分。以較今測 北河西星之距黃道一十○度○二分，實差一十九分，為《三史》時至今黃赤相距之度，漸次改易，自遠而 近也。
又「河鼓中星角距星之經差，九十七度五十二分，在 右邊。」
亦近於極至交圈，可驗黃赤距變易。
地末，恰時在析木宮二十九度五十○分，距赤道北 五度四十八分後稍前，至星紀宮一度五十○分，其 距赤緯亦五度四十八分。及多祿某時更前，至本宮 四度三十五分，其距赤緯五度五十○分。此時此星 在冬至左右不遠，故以黃赤二道相距最遠之度加 三測之本星赤緯度，即得黃緯度之二十九度四十 ○分，為其「切近於極至交圈，與其在圈也略等，故不 用三角形法。」乃今河鼓中星距黃道二十九度二十 一分三十○秒，以此證近至之黃赤距度，昔遠今近， 極著明矣。
前用二星者，為其一近冬至，一近夏至，皆在黃道北， 必一增一減。其黃緯度，隨黃道所兩至之處，測其違 離南北幾何，得其漸近於赤道也。若考星居分至之 間者，則其差亦在多寡之間矣。如昴宿東第二星地 末，恰以太陰測之，得其北距黃道三度四十○分，在 降婁三十○度後，在大梁三度。《亞仁諾》所測未移緯 度，而今測在本宮二十四度四十五分，恆得距黃道 三度五十五分，較古測強一十五分，為此處變易黃 道之度也。又房宿北星與昴宿為對照地，末恰所測 在大火宮二度，距北一度二十○分後在本宮六度。 然聶老所測未移度，而今測乃前至二十三度二十 ○分，距黃道止一度○五分，較古測差一十五分。即 此時黃道近就於赤道亦一十五分矣。或疑黃赤二 道之距，既能自遠而近，則邃古之時必更遠，遠於何 止乎？曰：邃古之距，無從取證，何可妄為之說？但近古 三史，皆以二十三度五十一分為二至距赤之限，且 測非一人，人非一測，乂皆以太陽二至之高下得之， 豈有誤乎？今世之測驗更細更詳，比昔就近，實為三 分度之一，尤無可疑者。但「自今以後，當復更近，近何 時已近極，或當復遠，復在何時？」此則人靈微眇，無能 窮天載之無窮耳。
或問：「前所求虛宿等距星，上古之經度也，而用今之 黃緯度，能無謬乎？」曰：用今世之緯度，微不同於古之 緯度，但以之推南北度，亦微差，以求東西經度，即無 緣致誤矣。
恆星黃道經度不變易
「前以恆星之有本行，徵其赤道經緯度隨時變易者， 為諸星循黃道行斜交於赤道故也。今論諸星循黃 道行，互相視，有遲速乎？」曰：否。藉有遲有速者，必有違 有就；位置有違就者，形象必有改革。乃自上古以來， 氐恆似斗，尾恆如鉤，天津如弓，箕宿向冬至行，四千 年得五十四度。虛宿之過冬至也，四千年亦五十四 「度。餘皆若此。歷數千年，形象如故，運行如故，遲速如 故」，知黃道經度決無變易矣。係巴科於二千年前述 古記以遺後世。論黃道周繞數星，或居一直線上，或 別成形象，多祿某在後更測之，仍如是，迄今不改。如 當時婁宿自西一二星與天大將軍南二星作一直 線，天關星偕畢大星、天廩南二星同「在大梁宮亦如 之。北河二大星與五諸侯中星為三等，邊三角形。鶉 火宮內御女，與軒轅向北第二、第四、第六星皆相距 等遠。次相星與角宿北星、亢宿北二星在鶉尾宮皆 作一直線，虛宿二星相距之廣，同危宿南北二星相 距之廣也。」此皆古係巴科所傳，與今所見，一一不爽。 試用尺度，向地平二「十○度以上」，既離蒙氣之處，一 一量度，甚易見也。此以知恆星各相距或遠或近，窮 古今恆如是矣。
考黃道宿度差
「星自循黃道上行，而分別宿度之過極經圈，乃從赤 道極上出。故以黃道之星，歷赤道之度，迤行斜過，疏 密疾遲，變遷不一。出黃極者，諸星依之運動，相距遠 近，行度遲速，終古如一也。故當有諸恆星之黃道經 度」法。先以堯時冬至日躔虛六度三十○分，用三角 形法，推得其正麗黃經度二百六十三度三十八分， 而以《經度差定率歷》，推古今之黃道各宿積度、各宿 本度，並列於左：
黃道宿古積度
角，一百四十四度○三分。
「亢」，一百五十四度三十八分；
氐，一百六十五度一十八分；
「房」，一百八十三度一十二分。
《心》，一百八十七度五十八分。
「尾」，一百九十五度三十一分。
箕二百一十一度○七分；
《斗》，二百二十○度二十七分。
牛，二百四十四度一十八分。
女：二百五十一度五十九分虛，二百六十三度三十八分。
《危》二百七十三度三十七分；
《室》，二百九十三度四十四分；
《壁》，三百○九度二十五分；
《奎》，三百二十○度五十六分；
婁，三百三十四度一十○分；
「胃」，三百四十七度一十○分。
「昴」，三百五十九度○一分；
「畢○」八度四十○分。
參○：二十二度三十八分。
《觜○》，二十三度五十九分；
《井○》，三十五度三十二分；
「鬼○」，六十五度五十七分。
「柳○」，七十○度三十三分；
星○：八十七度三十三分；
《張○》，九十五度五十六分；
《翼》，一百一十四度○○分。
《軫》，一百三十一度○○分。
黃道宿今積度。〈平度。〉
角，一百九十八度三十九分。
《亢》，二百○九度一十四分；
氐，二百一十九度五十四分；
《房》，二百三十七度四十八分。
《心》，二百四十二度三十四分。
《尾》，二百五十○度○七分。
箕，二百六十五度四十三分；
「斗」，二百七十五度○三分。
牛，二百九十八度五十四分。
《女》，三百○六度三十五分。
《虛》，三百一十八度一十四分。
《危》三百二十八度一十三分；
《室》，三百四十八度二十○分；
《壁○》，四度○一分；
《奎○》，一十五度三十二分；
《婁○》，二十八度四十六分；
「胃○」，四十一度四十六分。
「昴○」，五十三度三十七分；
「畢○」，六十三度一十六分。
參○：七十七度一十四分。
《觜○》，七十八度三十五分。
《井○》，九十度○八分；
「鬼」，一百二十○度，三十三分。
「柳」，一百二十五度○九分。
「星」：一百四十二度○九分；
「張」，一百五十○度三十二分。
《翼》，一百六十八度三十六分。
《軫》，一百八十五度三十六分。
右《黃道積度》，是各宿離春分東行之度。其十二次度 分表見後方。
各宿黃道本度
角，一十度三十五分；
亢，一十度四十○分；
氐一十七度五十四分；
「房」，四度四十六分；
《心》，七度三十三分。
「尾」，一十五度三十六分；
箕九度二十○分；
《斗》，二十三度五十一分；
牛，七度四十一分。
「女」，十一度三十九分；
《虛》九度五十九分。
危二十度○七分；
《室》，一十五度四十一分；
《壁》，一十一度三十一分；
《奎》，一十三度一十四分；
婁：一十三度○○分；
「胃」，一十一度五十一分；
「昴」，九度三十九分；
「畢」，一十三度五十八分。
參：一度一十一分；
《觜》，一十一度三十三分；
《井》，三十○度二十五分；
「鬼」，四度三十六分。
「柳」，一十七度○○分。
星八度二十三分；
「張」，一十八度○四分；
《翼》，一十七度○○分。
《軫》，一十三度○三分；
各宿黃道本度。〈以三百六十五度四分度之一分各宿度。〉
角，一十度七十三分七十六秒。
亢，一十度八十二分二十二秒氐，一十八度一十六分一十○秒。
《房》，四度八十三分六十二秒。
《心》，七度六十六分○一秒。
「尾」，一十五度，八十二分七十六秒。
「箕」，九度四十六分九十五秒；
《斗》，二十四度一十九分七十八秒。
牛，七度六十三分五十四秒。
《女》，一十度九十七分，九十九秒。
《虛》，一十度，一十二分九十○秒。
危，二十度四十一分○一秒；
《室》，一十五度九十一分二十一秒。
「壁」，一十一度六十七分六十七秒。
《奎》，一十三度四十二分二十六秒。
《婁》，一十三度一十八分九十六秒。
「胃」，一十一度九十六分，一十六秒。
「昴」，九度七十八分一十一秒。
「畢」，一十四度一十七分○四秒。
參○，一度三十五分○秒；
《觜》，一十一度七十一分○二秒。
《井》，三十度八十六分○二秒。
「鬼」，四度六十五分八十二秒。
《柳》，一十七度二十四分七十五秒。
星，八度五十○分五十六秒。
「張」，一十八度三十三分○一秒。
《翼》，一十七度二十四分七十九秒。
《軫》，一十三度二十四分○三秒。〈按以上原本作曆指卷三誤當作曆指卷
二恆星之二
〉
「以恆星之《黃道經緯度求其赤道經緯度》」，第一上。〈凡二章。〉
「前論恆星，以本行依黃道漸移而東，既有平行經度， 而緯度南北移就，為數甚少，非歷歲久遠，不可得見。 以此互相推較，其經度差，無時不同，緯度相距遠近， 又無從可改。必至數百年後，測驗差數，乃得依法推 變也。」若論赤道經緯度則否。星行既依黃道，其向赤 道時時遷改，欲從赤道求之，無法可得。故求赤道經 緯，必用黃道經緯。蓋星之去離赤道無恆，而去離黃 道有恆，黃道赤道之相去離也又有恆，以兩有恆求 一無恆，無患不得矣。其推步則有多法：或用曲線三 角形，依乘除三率推算，為第一，此《初法》也。或用曲線 三角形，加減推算，為第二，此《約法》也。或用簡平儀量 度加減推算，為第三，此《簡法》也。或造《立成表》，簡閱得 數，并免臨時推算之煩，為第四。此因法也。第一法前 第一卷已備論之，今所論者，每具二則，為第二第三 法如左方。若《立成表》，作者甚難，用者甚佚，但恐徇末 忘本，則繇而不知者多矣，今附載之。
圖
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求恆星赤道緯度前法〈即第二法〉
前法用曲線三角形加減推算如圖有星在甲甲辛為黃道緯度其餘弧甲乙為甲乙丙三角形之一邊辛戊為黃道經度以加戊己象限得甲乙丙角又乙丙為兩極距度則是甲乙
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丙三角形有甲乙乙丙兩邊有乙角可求甲丙邊甲丙之餘弧甲丁則本星距赤道之緯度也其法以三角形內之小弧加於大弧之餘弧得總弧求其正弦
求緯恆用正弦求經恆用切線
為先得數其總弧或正得
九十度，或較多，或較寡。若正得九十度，即半先得之 弦，為次得之弦。又以大小兩弧所包之見角，求其倒 弦。
為角之弧過象限，故用倒弦。倒弦者，對本角過弧之正弦。
則後得之弦也。今用三率法為全數，與次得之弦，若 後得之倒弦與他弦，既得他弦，以減先得之弦，所存 為三角形內第三弧之餘弦，即所求赤道緯之正弦 也。
假如參宿腰星之西有五等小星，其黃道經度於崇 禎元年推得七十四度二十二分，其緯度距黃道南 二十三度三十二分，使黃道在南，距赤道二十三度 三十二分。〈云使者假設之數不用實分秒〉則「三角形」內，甲乙大弧得 六十六度二十八分，乙丙小弧二十三度三十二分， 甲乙丙角對辛戊經度弧及戊己象限弧，共得一百 六十四度二十二分，甲辛為甲乙大弧之餘，弧得二 十三度三十二分。依法加於乙丙小弧二十三度三 十二分，得四十七度○四分。其正弦七三二一五為
圖
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先得之弦數即以此數折半〈適足一象限故〉得三六六○七為次得之弦數。次求甲乙丙角之倒弦。〈即己辛弧之弦〉《一九六三○一》〈首一者己戊全弦也〉為後得之弦數。依三率法，以乘次得之三六六○七，得七一八五九，為他弦；以減先得之七三二一五，餘一三
五六，為甲丙弧之餘弦；即甲丁弧之正弦；為本星距 赤道圈緯度四十六分三十五秒。
若三角形內之總弧，過一象限，即次得之弦，非折半 可得。法以大弧之餘弧，減小弧所存，求其弦，以加於 先得之總弦，半之，為次得之弦。其後得者，甲乙丙角 之倒弦，依前用三率法，但所求得之他弦，若小於先 得之弦，其法同前。若等，則所求三角形內第三弧之 弦，正為九十度之弦，而星必在赤道上，無距度。若他 弦大於先得之弦，則以小弦減大弦。〈不論何弦但以小減大〉餘。
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為本星距赤道之弦假如畢宿大星於崇禎元年距黃道南五度三十一分在甲其黃道經度為辛戊六十四度三十五分三十秒即甲乙為大弧八十四度二十九分乙丙為小弧二十三度三十一分三十秒〈兩極之距度〉兩弧所包甲乙丙
角一百五十四度三十五分三十秒。依法以大弧甲 乙之餘弧甲戊五度三十一分，加於小弧乙丙二十 三度三十一分三十秒，共得二十九度○二分三十 秒。求其弦四八五四四，為先得之總弦。又以餘弧甲 戊減小弧乙丙，存一十八度○分三十秒，其弦三○ 九一五，以加先得之總弦四八五四四，得七九四五 九，然後半之，得三九七二九，為次得之弦。其後得者， 甲乙丙角之倒弦一九○三二八，依三率法以乘次 得之三九七二九，得他弦七五六一四，因他弦大於 先得之弦，故於他弦內減先得之四八五四四，存二 七○七○，查得十五度四十二分，為甲庚弧，是本星 距赤道之度。
若總弧不及一象限，則如前求先得之總弦，次以小 弧減大弧之餘，弧所存，查其正弦。又以減先得之弦， 所存半之，為次得之弦。其餘同前第一法。
假如崇禎元年大角星距黃道北三十一度○二分 三十○秒，其經度過秋分一十九度○二分三十○ 秒，其兩弧間之角甲乙丙，得一百○九度○二分三。
圖
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十○秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十○秒乙丙小弧二十三度三十一分三十○秒今大弧之餘弧甲己三十一度○二分三十○秒以加乙丙二十三度三十一分三十○秒得五十四度三十四分其弦八一四七九為先得
數又甲己內減乙丙小弧，存七度三十一分，其弦一 三○八一，以減先得之弦，存六八三九八，半之，得三 四一九九，為次得之弦。次依三率法，以乘甲乙丙角 之倒弦一三二六一二，得四五三五一，為他弦；以減 先得之八一四七九，存三六一二八，為本星距赤道 之弦。查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒。
求赤道緯度後法：〈即第三法。〉
後法用《簡平儀》，或量度，或加減推算。
《簡平儀》者，以圓平面當渾儀也。圓平面〈闕。〉以極至交圈為界，作過心平面也。以面當球，與《平渾儀》同意，論球則半在面前可見。今以直線當弧，半在面後不可見，其直線當弧，與前半同理。下文言「某線為某弧」，或言前弧後弧等，俱本此。
量度者，用規器量度所有之見度分，即於分度等圈 上量取所求之隱度分也。「加減」者，亦於本儀取數，其 算法即前法也。量度則省算，然每星當作一圖，亦不 能得細分秒，加減則一圖能筭多星，可省圖可得細 分秒，特未免乘除之煩。總之，先得各星之黃道經緯 度，即從星作直線，與赤道平行至外周。從線尾起算 「至赤道，為本星之赤道緯度，弧可量，亦可算也。今併 具二法，用者擇焉。」試先解儀上諸線，如丙壬寅子大 圈為極至交圈，壬丑線為赤道大圈，辛寅線為黃道 大圈，春秋二分俱在癸。若星距黃道北，則辛為夏至， 寅為冬至；星距黃道南，則寅為夏至，辛為冬至。今所 測星，為乙癸甲線，為星之黃道緯度。對丙辛弧甲乙 線，為星之黃道經度，對辰卯弧丙乙子線，為過星之 距等小圈，與黃道平行。丙卯辰子即過星距等圈之
圖
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半在儀上為立面與儀面為直角在弧為丙卯辰子在儀面為丙乙甲子自人視之卯點即乙點辰點即甲點也卯辰為星之黃道經度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁線與赤道平行截極至交圈於午即從午至赤道壬為所求本星之
赤道緯度弧矣。今用規器量度，則先定黃道緯度之 丙辛弧，經度之辰卯弧，從經緯線相交之乙星上出 乙午線，則壬午弧必所指赤道距度也。以加減推算， 則用直線三角形，先從丙出垂線至己，半之得己戊。 從戊作線，與丁乙平行，必至甲
丙甲為丙子之半，故丙戊為丙己之半；
又從子出子己底線，偕丙己垂線，作丙己子直角，即 成三角形者，三而求丙丁弦，以減丙庚正弦，存丁庚 弦為星之赤道緯度。
圖
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假如乙為句陳大星其黃道經於崇禎元年為八十三度二十五分二十七秒黃道緯六十六度○二分當用第二圖推本星距赤道之緯度法以星距黃道之丙辛〈六十六度○二分〉加於黃道距赤之壬辛，〈二十三度二十一分三十○秒〉得丙壬弧八十九度
二十三分三十○秒。其正弦丙庚九九九九七。今欲 推己庚線：
己庚者，子丑弧之正弦，子丑者，星距等圈近赤之弧。
法以黃道距赤之丑、寅。
二十三度三十一分三十○秒。
減星距黃道之子，寅。〈六十六度○二分〉得丑子弧四十二度 三十○分三十○秒。其正弦己庚六七五六九。以減 丙庚餘丙己三二四二八，半之，得丙戊弦一六一一 四。又勾陳黃道經度，甲乙八十三度二十五分二十 七秒。以減全數十萬。〈一率〉存乙丙六五八。〈二率〉以乘丙戊 弦：〈三率〉得一○六，為「丙丁弦。」〈四率〉也。次以一○六減丙庚 正弦，得丁庚九九八九一。其弧八十七度一十九分， 為勾陳大星距赤道之度。其比例，甲丙與乙丙，若戊 丙與丙丁也。更之甲丙與戊丙，若乙丙與丙丁。〈幾何六卷 四〉
算恆星赤道緯度，以右法為例，若各星躔度不同，即 加減法亦異。今為六圖，略率論次如左：
第一圖
第一圖
凡星距黃道北其緯在二十三度三十一分三十○秒以內其黃道經度自春分起至秋分止用第一圖推算或星距黃道南亦在
第二圖
第二圖
二十三度三十一分三十○秒以內而經度過秋分至春分止者同
凡星距黃道北過二十三
第三圖
第三圖
度三十一分三十○秒而不過六十六度二十八分三十○秒〈在本象限之內〉其黃道經度，自春分至秋分，用第二圖推算，若星距黃道南
第四圖
第四圖
過二十三度三十一分三十○秒又不過六十六度二十八分三十○秒而過秋分至春分者同
第五圖
第五圖
凡星在黃道北其緯過六十六度二十八分三十秒經度自春分至秋分用第三圖推算若在黃道南緯度同前而經度自秋分至春分亦用第三圖為兩至距赤度星距黃度并之〈壬丙弧也〉過九十度，而丙庚正弦，亦不在癸辛象限之內。故
凡星距黃道南二十三度三十一分三十○秒以內， 而經度自春分至秋分，用第四圖。若星距黃道北亦 二十三度三十一分三十○秒以內，而經度自秋分 至春分者同。
凡星距黃道南，過二十三度三十一分三十○秒，而 不過六十六度二十八分三十○秒，其經度自春分 至秋分，用第五圖。若星距黃道北緯度同上，而經度 反過秋分至春分，亦用第五圖。
凡星距黃道南過六十六度二十八分三十○秒。其
第六圖
第六圖
經度自春分至秋分用第六圖若星距黃道北緯度同前而經度自秋分至春分即壬丙總弧過九十度亦用第六圖總之星距黃道之弧任在南在北其與黃赤距弧於圖右推算即相加於圖左推筭即相減為恆法也
凡星黃距度大於黃赤距度，則以其較弧之正弦減 先得總弧之正弦。若小，則以較弧之弦加，先得總弧 之正弦。如第三圖子寅。〈星黃距〉大於丑寅，〈黃赤距〉則以其 較《弧》，〈子丑〉之正弦。〈子未或己庚〉減丙壬總弧之正弦丙庚，而 得丙己，若小如第一圖子丑。〈星赤距〉為寅、丑，〈黃赤距〉之較 弧，則以較弧之正弦庚己，加丙壬總弧之正弦丙庚， 而得丙己。
凡星黃距、黃赤距之總弧，大於一象限，用其通餘弧 之正弦。如第三圖壬丙過九十度壬丙丑為通弧，丙 丑為通餘弧，則用其正弦丙庚。
凡星之經度弧少不及二至圈，則取其正弦，加減於 全數，以得其餘矢。若大而過二至之圈，則取其通餘 弧之正弦，求其餘矢。求法，在前三圖用減，在後三圖 用加。如各圖從甲辰分節起算，至卯乙辰卯為經度 弧，其正弦甲乙。〈俱在前半圈〉若過至節之界，或子或丙，至 卯乙，則卯辰為經度之加弧。〈在後半圈〉又前三圖內甲乙 減甲丙，得乙丙；後三圖內加之，得乙丙，皆為餘矢也。
以正弦減半徑，為餘矢。大弧過九十度，其限外弧為加弧，并九十度為過弧。
各圖皆以丙丁弦減丙庚正弦，惟星在兩道間。如第 四圖丙丁大於丙庚，則以丙庚減丙丁而得丁庚。〈赤道 緯〉其餘法簡各圖，自《明。